BAB 4
TURUNAN
4.1
Gradien Garis Singgung
Tinjau sebuah kurva y = f(x) seperti diperlihatkan pada Gambar 4.1. Garis yang melalui titik P(x1, f(x1)) dan Q(x1 + x, f(x1 + x)) disebut tali busur. Gradien tali busur tersebut
adalah
x x f x x f x y mPQ
) ( ) (
.
Jika titik Q digerakkan menuju P, x mendekati 0. Pada keadaan ini, y juga mendekati 0. Akan tetapi, y/ x menuju nilai tertentu dan kenyataan ini mengantarkan pada penggunaan konsep limit.
Gambar 4.1
Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit y/ x ketika x mendekati 0, yakni
h x f h x f x
y m
h h
) ( ) ( lim lim
0 0
CONTOH 1 Tentukan gradien garis singgung pada kurva ( ) 2 1
x x f
y pada titik
(1, 2). Tuliskan persamaan garis singgungnya.
Penyelesaian
Gradien garis singgung pada titik (1,2) sebagai berikut.
h f h f m
h
) 1 ( ) 1 ( lim
0
h h
h
2 } 1 ) 1 {( lim
2
0
x y
(x, f(x))
garis singgung tali busur
x = h y
(x+h, f(x+h))
h h h
h
2 } 1 ) 2 1 {( lim
2
0
h h h
h
2
0 2 lim
) 2 ( lim
0 h
h 2
Persamaan garis singgung dengan gradien m = 2 dan melalui titik (1, 2) sebagai berikut.
1 1)
(x x y
m y
2 ) 1 ( 2 x
x 2
Jadi, persamaan garis singgung pada kurva ( ) 2 1
x x f
y pada titik (1, 2) adalah
x
y 2 .
4.2
Definisi dan Lambang Turunan
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ yang memiliki nilai pada suatu bilangan x didefinisikan sebagai
h x f h x f x
f
h
) ( ) ( lim ) ( '
0
yang menjamin bahwa limit itu ada dan bukan atau .
Jika limit itu ada, dikatakan bahwa fungsi tersebut terdiferensialkan pada x. Pencarian turunan disebut pendiferensialan.
Lambang turunan dapat dituliskan dalam beberapa bentuk. Lambang-lambang yang digunakan untuk fungsi yang diturunkan terhadap x sebagai berikut.
f’(x) Dx [f(x)] [f(x)]
dx d
dx dy
Ketiganya memiliki makna yang sama atau, dengan kata lain,
dx dy x f dx
d x f D x
CONTOH 1 Cari turunan dari f(x) = 2x + 5.
Penyelesaian
2
Penyelesaian
x
Penyelesaian
) 1 lim
0 x h x h
x 2
1
Jadi, y x maka
x dx dy
2 1
.
4.3
Aturan Pencarian Turunan
Pencarian turunan menggunakan limit merupakan pekerjaan yang sulit dan menjemukan. Akan tetapi, dari dua contoh di atas, kita mendapatkan metode yang lebih singkat. Teorema-teorema yang berkaitan dengan aturan pencarian turunan sebagai berikut.
Untuk k konstanta, n real, u = u(x), dan v = v(x):
(1) f(x) = k maka f’(x) = 0.
(2) f(x) = xn maka f’(x) = nxn-1.
(3) g(x) = k f(x) maka g’(x) = k f’(x)
(4) f(x) = u v maka f’(x) = u’ v’
(5) f(x) = uv maka f’(x) = u’v + uv’
(6)
v u x
f( ) maka '( ) ' 2 '
v u v v u x f
CONTOH 1 Cari turunan dari f(x) 2x3 x2 5. Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan (1), (2), (3), dan (4) diperoleh
x x x
x x
f'( ) 3 2 31 2 21 0 6 2 2
CONTOH 2 Cari turunan dari f(x) (x2 2x 6)2. Penyelesaian
Fungsi di atas dapat dianggap sebagai hasil kali dua buah fungsi sebagai berikut.
uv x f( )
dengan
6 2 2
x x v u
24
Untuk menguji kebenarannya, gunakan cara lain
36
maka sesuai aturan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh
24
CONTOH 3 Cari turunan dari
1
Penyelesaian
Misal u = x dan v = x2 + 1 maka
sehingga dengan aturan hasil bagi,
2
4.4
Turunan Fungsi Komposisi: Aturan Rantai
Jika f(u) terdiferensialkan pada u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan pada x, fungsi komposisi y (fg)(x) f(g(x)) f(u)terdiferensialkan pada x. Turunan fungsi komposisi ini dapat dicari menggunakan rumus berikut.
dx
Rumus di atas disebut aturan rantai.
CONTOH 1 Cari
Penyelesaian
4
CONTOH 2 Cari turunan dari 2 3
) 1 (x
y .
Penyelesaian
Misal 2 1
y . Dengan demikian,
2
Penyelesaian
Misal u 2x 5 maka 3
y . Dengan demikian,
4
Ketika menerapkan aturan rantai, akan cukup membantu jika kita menggunakan tahapan berikut: turunkan fungsi” luar” f dan fungsi “dalam” masing-masing, lalu kalikan satu sama lain. Perhatikan contoh berikut.
CONTOH 4 Cari
Penyelesaian
Ubah bentuk fungsi di atas menjadi
4.5
Turunan Fungsi Trigonometri
Untuk menurunkan fungsi sinus dan cosinus, kita dapat menggunakan konsep limit dan identitas penjumlahan sudut:
Dari penurunan di atas diperoleh teorema sebagai berikut.
x x dx
d
cos
sin dan x x
dx d
sin cos
Turunan fungsi trigonometri dasar lainnya dapat diperoleh dengan bantuan teorema di atas.
CONTOH 1 Cari turunan dari y = tan x.
Penyelesaian
v u x x x y
cos sin tan
maka, sesuai aturan hasil bagi,
x x
x x x
x
x x x
x v
u v v u dx
dy 2
2 2
2 2
2
2 sec
cos 1 cos
sin cos
cos
sin ) sin ( cos cos '
'
Jadi,
x x
dx
d 2
sec tan
CONTOH 2 Tentukan x
dx d
sec .
Penyelesaian
Dengan mengingat bahwa
x x
cos 1
sec dan turunan hasil bagi: ' ' 2 '
v u v v u
y , diperoleh
x x x x x x
x x
x dx
d x dx
d
tan sec cos sin cos
1 cos
1 ) sin ( cos 0 cos
1
sec 2
Jadi,
x x x dx
d
CONTOH 3 Cari turunan dari y = 2 sin 2x.
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai,
x x
dx dy
2 cos 4 2 ) 2 cos 2
( .
CONTOH 4 Cari turunan dari y 2x
cos
Dengan menggunakan aturan rantai,
x x
x x
x dx
dy
2 sin cos sin 2 ) sin ( ) cos 2 (
CONTOH 5 Cari turunan dari y = sin3 (2x).
Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai,
x x x
x dx
dy
2 cos 2 sin 6 ) 2 ( ) 2 (cos ) ) 2 (sin 3
( 2 2
.
4.6
Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen Asli
Turunan fungsi logaritma dan eksponen natural sebagai berikut:
x x dx
d 1
ln , x 0 dan x x
e e dx
d
CONTOH 1 Cari
dx dy
jika ln( 2 2 )
x x
y .
Penyelesaian
Misal u x2 2x
u
y ln
maka 2x 2
dx du
dan
x x u du dy
2 1 1
2
sehingga sesuai aturan rantai diperoleh
x x
x dx du du dy dx dy
2 2 2
2 .
CONTOH 2 Cari
dx dy
jika x x
Penyelesaian
Misal u x2 4x u
e y
maka 2x 4
dx du
dan u x x
e e du
dy 2 4
sehingga diperoleh
) 4 2 ( 4
2
x e
dx du du dy dx
dy x x
.
CONTOH 3 Cari
dx dy
jika x
xe
y .
Penyelesaian
Misal u x dan x
e
v y uv sehingga
) 1 (
1 e x
e xe dx du v dx dv u dx
dy x x x
.
4.7
Turunan Orde Tinggi
Turunan dari f adalah f’. Jika f’ didiferensialkan lagi, diperoleh f’’. f’ disebut turunan pertama dan f’’ turunan kedua. Jika didiferensialkan lagi dan lagi, diperoleh turunan ketiga (f’’’), keempat (f(4)), kelima (f(5)), dan seterusnya. Lambang turunan dari y = f(x) untuk orde tinggi diberikan pada Tabel 4-1.
Tabel 4-1
Lambang turunan orde tinggi
Turunan Lambang f’ Lambang y’ Lambang D Lambang
Leibniz
Pertama f’(x) y’ Dxy
dx dy
Kedua f’’(x) y’’ Dx2y
2 2
dx y d
Ketiga f’’’(x) y’’’ Dx3y
3 3
dx y d
Keempat f(4)(x) y(4) Dx4y
4 4
Kelima f(5) (x) y(5) Dx5y
5 5
dx y d
Keenam f(6) (x) y(6) Dx6y
6 6
dx y d
Ke-n f(n) (x) y(n) Dxny
n n
dx y d
CONTOH 1 Cari turunan kelima dari f(x) x4 2x3 5x2 6x 8.
Penyelesaian
6 10 6 4 ) (
' 3 2
x x x x
f (4)( ) 24
x f
10 12 12 ) ( '
' 2
x x x
f (5) 0
f
12 24 ) ( ' '
' x x
f
CONTOH 2 Cari f’’’(x) jika f(x) x2lnx
, x 0.
Penyelesaian
Gunakan aturan turunan hasil kali maka
x x x x x x x x
f'( ) 2 1 2 ln 2 ln
x x
x x x
f''( ) 1 2 1 2ln 3 2ln
x x x
f'''( ) 0 2 2
4.8
Pendiferensialan Implisit
Dalam beberapa kasus, y sebagai fungsi x tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam bentuk y = f(x), misalnya y = x2. Sebagai contoh, persamaan
2 2
3y x
y
tidak dapat ditulis menjadi y = f(x) secara eksplisit Fungsi seperti ini disebut fungsi implisit, dengan kata lain y merupakan fungsi implisit dari x. Akan tetapi, turunan dari y terhadap x dapat dicari. Metode pencarian turunan fungsi implisit disebut pendiferensialan implisit.
CONTOH 1 Cari dx dy
dari persamaan berikut: 2 2
3y x
y .
Penyelesaian
Diferensialkan setiap suku di semua ruas terhadap x.
]
sehingga diperoleh
3
Penyelesaian
Diferensialkan setiap suku di setiap ruas terhadap x,
]
sehingga diperoleh
x
CONTOH 3 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva 3 2 2 8
x xy
y di titik
(0, 2).
Penyelesaian
x y
y x dx dy
2 3
] [ 2
2
Gradien garis singgung pada kurva tersebut di titik (0, 2) adalah
3 1 12
4 0 2 2 3
) 2 0 ( 2
2 2 , 0 y x dx dy
m .
Persamaan garis singgungnya di titik (0, 2) adalah
1 1)
(x x y
m y
2 ) 0 ( 3 1
x
2 3 1 x
Jadi, garis singgung pada kurva 3 2 2 8
x xy
y di titik (0, 2) adalah 2
3 1 x
y atau
dapat ditulis sebagai x 3y 6 0.
4.9
Laju yang Berkaitan
Jika variabel y bergantung pada waktu t, turunannya, dy/dt, disebut laju perubahan terhadap wa ktu. Secara umum, setiap variabel yang bergantung waktu, turunannya disebut laju.
CONTOH 1 Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dan posisinya sebagai
fungsi waktu berubah menurut persamaan: x = t2 + 5t – 10, dengan x dalam meter dan t dalam sekon. Cari laju perubahan posisi terhadap waktu (atau dikenal sebagai kecepatan) pada saat t = 2 sekon.
Penyelesaian
Turunan dari posisi terhadap waktu,
5 2 )
( t
dt dx t v
Pada t = 2 sekon,
9 5 2 2 ) 2 (
v m/s.
CONTOH 2 Setiap sisi kubus bertambah dengan laju 3 cm per sekon. Tentukan laju perubahan volume kubus saat panjang sisinya 12 cm.
Penyelesaian
Misalnya sisi kubus dinyatakan oleh s maka volume kubus V = s3. Laju pertambahan sisi
kubus 3 cm/s, ini berarti 3
dt ds
dt ds s s dt
d dt
dV 3 2
3 ]
[ .
Dengan demikian, pada s = 12 cm,
1296 3 ) 12 (
3 2
dt dV
cm3/s.
CONTOH 3 Seorang anak menyedot minuman dari sebuah cangkir berbentuk kerucut
dengan laju 3 cm3/s. Sumbu cangkir vertikal dan tinggi cangkir 10 cm dengan diameter bagian terbuka 6 cm. Tentukan laju penurunan tinggi cairan dalam cangkir ketika kedalamannya 5 cm.
Penyelesaian
Kedalaman cairan h dan jari-jari cangkir r maka volume cangkir (kerucut),
h r
V 2
3 1
.
Dari gambar diperoleh hubungan
10 3 10
3 h
r h
r
maka
3 2
100 3 10
3 3 1
h h
h V
Laju perubahan volume terhadap waktu,
dt dh h h
dt d dt
dV 3 2
3 100
3 100
3
sehingga laju perubahan kedalaman terhadap waktu,
dt dV h dt dh
2 9
100
Karena cairan berkurang (disedot) dengan laju 3 cm3/s, ini berarti
3 dt dV
cm3/s. [tanda negatif menunjukkan berkurang]
Dengan demikian pada h = 5 cm diperoleh
3 4 3 5 9
100 9
100
2 2
dt dV h dt dh
cm/s.
Jadi, laju penurunan kedalaman cairan adalah 3
4
cm tiap sekon.
h 10 cm r
CONTOH 4 Sepeda motor A bergerak lurus dengan kelajuan konstan 60 km/jam menuju ke Timur dan melintasi perempatan jalan tepat pada pukul 10.00. Sepeda motor B bergerak lurus ke Utara dengan kelajuan konstan 80 km/jam dan melintasi perempatan jalan yang sama pada pukul 10.15. Tentukan laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00.
Penyelesaian
Misalnya titik O adalah titik yang tepat di perempatan jalan. Pada suatu saat tertentu, jarak motor A ke O sebut saja x, jarak motor B ke O adalah y, dan jarak A dan B adalah r. Keadaan ini diilustrasikan pada gambar. Sesuai dengan dalil Phytagoras diperoeh hubungan
2 2 2
y x
r .
Laju perubahan jarak A dan B (dr/dt) diperoleh
melalui pendiferensialan implisit pada
persamaan di atas sebagai berikut.
)
( 2 2
2
y x dt
d r dt
d
dt dy y dt dr x dt dr
r 2 2
2
sehingga diperoleh
dt dy r y dt dr r x dt dr
atau
2 2
y x
dt dy y dt dr x
dt dr
(*)
dengan dt dx
= 60 km/jam dan dt dy
= 80 km/jam. Jarak yang ditempuh motor A selama 1
jam (dari pukul 10.00 s.d. 11.00) adalah
60 1 60 t dt dx
x km,
sedangkan jarak yang ditempuh motor B selama 45 menit atau ¾ jam (dari pukul 10.15 s.d. 11.00) adalah
60 4 3 80 t dt dy
y km.
Masukkan nilai-nilai di atas pada (*) diperoleh
2 2
y x
dt dy y dt dr x
dt dr
O A
B
x
y r
2 70 2
60 ) 80 60 ( 60
60 60
80 60 60 60
2 2 dt
dr
km/jam.
Jadi, laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00 adalah 70 2 km/jam.
4.10
Diferensial dan Hampiran
Misalnya y = f(x) terdiferensialkan pada setiap x. Dalam notasi Leibniz, turunan fungsi tersebut dituliskan sebagai
) ( ' x f dx dy
Sejauh ini, kita belum memberikan makna apa pun pada notasi dy/dx, selain sebagai lambang turunan yang tak terpisahkan. Pada bagian ini, kita akan memberikan makna pada dy dan dx.
Dari definisi turunan, untuk fungsi y = f(x) yang terdiferensialkan berlaku
) ( ' ) ( ) ( lim lim
0
0 x f x
x f x x f x
y
x
x .
Jika x kecil,
) ( ' ) ( ) (
x f x
x f x x f x y
atau
x x f x f x x f
y ( ) ( ) '( ) .
Karena x = dx, persamaan di atas dapat ditulis
dx x f x f x x f
y ( ) ( ) '( ) .
Ruas kanan pada persamaan ini didefinisikan sebagai diferensial dari y, dilambangkan oleh dy, yakni
dx x f
dy '( ) .
Besaran dx disebut diferensial variabel bebas x dan dy disebut diferensial variabel terikat y.
Secara grafis, tafsiran diferensial diperlihatkan pada Gambar 4.2. Besaran dy menyatakan perubahan dalam garis singgung pada P ketika x berubah sebesar x = dx. Jika x sangat kecil, dy menjadi hampiran yang cukup baik pada y dan mudah untuk dicari.
CONTOH 1 Cari dy jika (a) y 2 , (b) x y x2 3x
, (c) y sin . x
Penyelesaian
Untuk mendapatkan diferensialnya, terlebih dahulu cari turunannya lalu kalikan dengan dx.
(a) dy 2dx
(b) dy (2x 3)dx
(c) dy cosxdx
CONTOH 2 Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai 1,01.
Penyelesaian
Nilai yang akan kita cari adalah 1,01. Karena itu, ambil fungsi y f(x) x dan kita akan mencari/menghampiri nilai f(1,01). Turunan dari f(x) x adalah
x x
f
2 1 ) ( '
maka perubahannya dalam y adalah
dx x f
y '( )
atau
x x f x f x x
f( ) ( ) '( ) .
Sekarang, ambil x = 1 dan x = 0,01 maka
x x f x f x x
f( ) ( ) '( )
x x x x x
2 1
01 , 0 1 2
1 1 01 , 1
005 , 0 1 01 , 1
