Course 1_Rancangan Acak Lengkap

Arum Handini Primandari, M.Sc.

PERCOBAAN SATU FAKTOR:

PENGUJIAN HIPOTESIS

Langkah-langkah pengujian hipotesis:

1) Merumuskan hipotesis

2) Memilih taraf nyata α

3) Daerah kritis

4) Menentukan statistik uji

HIPOTESIS

Keadaan sesungguhnya dalam populasi H₀ benar H₀ salah

ANALISIS VARIANSI

Misalkan: terdapat percobaan pengaruh pemberian jenis pupuk pada pertumbuhan batang suatu tanaman. Pupuk yang diujikan terdapat 3 macam. Akan diuji adakah perbedaan

pengaruh ketiga jenis pupuk pada pertumbuhan tanaman.

Ulangan

1. Faktor: pupuk

2. Level: 3 macam pupuk

MODEL DATA

Data pada tabel tersebut dimodelkan sebagai berikut:

𝑦_𝑖𝑗 = 𝜇_𝑖 + 𝑒_𝑖𝑗 dengan 𝑖 = 1, 2, 3, … , 𝑡 dan 𝑗 = 1, 2, 3, … , 𝑟 (eq. 1)

𝑦_𝑖𝑗 merupakan nilai observasi ke-𝑖𝑗, 𝜇_𝑖 adalah rata-rata pada perlakuan ke-𝑖, dan 𝑒_𝑖𝑗 adalah galat ke-𝑖𝑗. Model tersebut disebut model rata-rata.

Model alternatifnya:

Substitusi nilai 𝜇_𝑖 = 𝜇 + 𝜏_𝑖 pada persamaan (1), sehingga:

𝑦𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝜏𝑖 + 𝑒𝑖𝑗 (eq. 2)

Secara intuisi, pada persamaan 2 diperoleh:

𝜇 merupakan konstanta, dan

Pengaruh perlakuan yaitu 𝜏_𝑖 dianggap sebagai deviasi dari konstanta akibat dari suatu perlakuan ke-𝑖. Sehingga disebutlah analisis variansi.

Persamaan 1 (maupun 2) disebut model pada analisis variansi satu arah karena hanya terdapat 1 faktor yang dianalisis.

RANCANGAN ACAK LENGKAP (RAL)

RAL merupakan rancangan paling sederhana di antara rancangan-rancangan percobaan baku.

Jika kita ingin mempelajari t _{perlakuan dengan} r _{satuan percobaan untuk setiap}

perlakuan (menggunakan rt _{satuan percobaan), maka RAL mengalokasikan t}

perlakuan secara acak pada rt _{satuan percobaan. Pola ini disebut dengan}

pengacakan lengkap.

Penggunaan RAL akan tepat dalam kasus:

 Bahan percobaan homogen atau relatif homogen.

KEUNTUNGAN RAL

Keuntungan RAL:

 Denah perancangan percobaan lebih mudah

 Analisis statistika terhadap subyek, sangat sederhana

 Fleksibel dalam ulangan

KEKURANGAN RAL

Rancangan hanya dapat digunakan dengan beberapa perlakuan (yang tidak banyak) serta untuk unit percobaan yang relatif homogen.

Apabila harus melibatkan cukup banyak unit percobaan, maka variabilitas seluruh unit percobaan akan cukup besar. Sehingga tidak disarankan

PENGACAKAN DAN DENAH RANCANGAN

Misalkan:

 Kita memiliki 3 perlakuan yaitu: A, B, C

 Setiap perlakuan diulang 5 kali, sehingga kita memiliki 15 unit percobaan.

Pengacakan dilakukan secara langsung pada 15 unit percobaan.

Contoh denah pengacakan:

1; A 2; C 3; C

4; B 5; B 6; C

7; A 8; A 9; A

10; B 11; B 12; C

13; B 14; C 15; A

TABULASI DATA

Tabulasi data dapat disajikan sebagai berikut:

Baris 𝒊 merupakan

perlakuan

Kolom 𝒋 merupakan

ulangan

Perlakuan Ulangan Total

MODEL LINIER DAN ANALISIS VARIANSI UNTUK RAL

Bentuk umum dari model linier aditif untuk RAL:

Dimana:

Y_ij: pengamatan pada perlakuan ke-i dan ulangan ke-j

μ: rataan umum

μi: rataan perlakuan ke-i

τj: pengaruh perlakuan ke-i

εij: pengaruh acak pada perlakuan ke-i, ulangan ke-j

Persamaan tersebut disebut juga analisis satu-arah (one-way) atau faktor analisis variansi tunggal (single-factor analisys of variance) karena hanya satu faktor yang diinvestigasi.

Berdasarkan model untuk RAL, pendugaan terhadap pengaruh perlakuan dengan metode kuadrat terkecil (least square method) ditentukan dengan asumsi bahwa

MODEL DALAM ANALISIS VARIANSI

1. Model Tetap (Fixed Model₎

Dalam model ini, τ_i bersifat tetap dan galat percobaan

Keadaan ini menggambarkan bahwa peneliti hanya dapat mengambil kesimpulan yang berhubungan dengan perlakuan yang dicobakannya.

Asumsi model tetap dapat dituliskan:

Hipotesis untuk model tetap:

atau dapat dituliskan:

Hipotesis dirumuskan untuk menguji bahwa tidak ada pengaruh perlakuan terhadap respon.

        

0 1 2 t

1 i j

H : ... (rataan semua perlakuan sama) H : untuk paling tidak sepasang (i,j)

2. Model Acak (Random Model)

Dalam model acak, peneliti akan berhadapan dengan populasi perlakuan.

Kesimpulan yang ditarik mengenai populasi perlakuan didasarkan atas sejumlah (t buah) perlakuan yang dipilih secara acak

Asumsi model acak:

 

 

2

 

2 iid



2



i i ij ij ij

Hipotesis untuk model acak

(rata-rata yang sesungguhnya dari ke-t buah grup perlakuan sama)

(paling sedikit ada rata-rata satu grup perlakuan yang berbeda dengan yang lain)

Atau

(tidak ada keragaman dalam dalam populasi perlakuan)

(ada keragaman dalam populasi perlakuan)

KESIMPULAN PERBEDAAN MODEL FIX DAN

RANDOM

Model Fix Model Random

Perlakuan Ditetapkan peneliti Diacak dari populasi perlakuan Hipotesis

Kesimpulan bersifat Terbatas hanya melingkupi perlakuan yang dicobakan

DEKOMPOSISI JUMLAH KUADRAT TOTAL

Keragaman total diuraikan sebagai berikut:

Jika dikuadratkan kedua ruas:

Atau:

Jumlah kuadrat total = Jumlah kuadrat perlakuan + Jumlah kuadrat galat













t r ₂ t r ₂ t r ₂

ij i ij i

i 1 j 1 i 1 j 1 i 1 j 1

JKT JKP JKG

Y Y_ Y_ Y_ Y Y_

     

    

PERHITUNGAN JUMLAH

KUADRAT UNTUK

ULANGAN SAMA

FK = Faktor koreksi

JKT = Jumlah kuadrat total

JKP = Jumlah kuadrat perlakuan

JKG = Jumlah kuadrat galat

PERHITUNGAN JUMLAH KUADRAT UNTUK ULANGAN YANG TIDAK SAMA

FK = Faktor koreksi

JKP = Jumlah kuadrat perlakuan

untuk JKT dan JKG rumusnya sama dengan yang menggunakan ulangan sama.

TABEL ANALISIS VARIANSI

Kuadrat tengah (KT) F-hitung

Ulangan sama

Perlakuan t – 1 JKP KTP = JKP/ (t – 1) F = KTP/KTG Galat t(r – 1) JKG KTG = JKG/ [t(r – 1) ]

Total tr – 1 JKT

Ulangan tidak sama

PENGUJIAN HIPOTESIS

Statistik Uji:

mengikuti sebaran F dengan derajat bebas pembilang sebesar (t – 1) dan derajat bebas penyebut [t(r – 1)].

Hipotesis ditolak jika:

penolakan hipotesis nol berimplikasi bahwa perlakuan yang diberikan terhadap unit-unit percobaan memberikan pengaruh yang nyata terhadap respon yang diamati

hitung

F  KTP KTG

1 2

hitung ;db ;db

KOEFISIEN KERAGAMAN (KK)

Koefisien keragaman (KK) atau disebut juga keragaman relatif terhadap besaran data adalah:

Nilai KK yang terlalu besar bila dibandingkan dengan nilai biasa diperoleh peneliti, mencerminkan bahwa unit-unit percobaan yang digunakan tidak homogen.

KK merupakan indeks keterandalan yang baik bagi suatu percobaan. Semakin tinggi nilai KK makin rendah keandalan percobaan tsb.

Besarnya KK ideal tergantung pada bidang yang studi yang digeluti. Misal: untuk bidang pertanian dianggap wajar adalah 20% - 25%.

ˆ KTG

KK 100% 100%

Y Y_



PENERAPAN RAL MODEL TETAP DENGAN ULANGAN SAMA

HASIL PENGUKURAN KANDUNGAN NITROGEN (MG)

gabungan 17.3 19.4 19.1 16.9

1. Perlakuan: penyuntikan R. Trifoli dan R. melitoti

2. Faktor: R. Melitoti

3. Level: 5 jenis strain dan gabungan

PENYELESAIAN :

1. Model

model yang cocok adalah model tetap.

karena hanya terdapat enam perlakuan yang tersedia untuk percobaan ini. Sehingga model liniernya adalah

Dimana :

 Yij: kandungan nitrogen dari tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i.

 µ: nilai tengah umum (rata – rata populasi) kandungan nitrogen.

 τi: pengaruh perlakuan ke-I

 εij: pengaruh galat percobaan pada tanaman ke-j yang memperoleh perlakuan ke-i ij i ij

2. Asumsi

Komponen-komponen bersifat aditif

Nilai-nilai   , ,_{i ij} tetap,





i i 1,2,...,6

 



 _i 0;E

 

  _{i i}

 

 

2 2

ij ij

3. Hipotesis

(yang berarti tidak ada perbedaan pengaruh perlakuan terhadap kandungan nitrogen tanaman).

(artinya minimal ada satu perlakuan yang pengaruhnya terhadap hasil kandungan nitrogen tanaman berbeda)

0 1 2 6

H :     ...    0

  

1 i

4. Taraf signifikasi

5. Statistik Uji dan daerah kritis

6. Perhitungan

LATIHAN DENGAN R

# RAL latihan 1

# perlakuan: penyuntikan r. trifoli dan r. melitoti # faktor: R. melitoti

# level: 5 jenis strain dan strain gabungan # unit pengamatan: kandungan nitrogen tanaman

# Input data

nitrogen = c(19.4,32.6,27,32.1,17.7,24.8, 27.9,25.2,17,19.4, 9.1,11.9,20.7, 21,20.5,18.8,14.3,14.4,11.8,11.6,17.3,19.4,19.1,16.9)

# melitoti = c(rep("1", 4), rep("2", 4), rep("3",4), rep("4",4), rep("5",4), rep("6",4)) melitoti = gl(6, 4, labels = c("1", "2", "3", "4", "5", "gabungan"))

observasi = data.frame(nitrogen, melitoti)

# uji anova

LATIHAN 2

HASIL PENGAMATAN

1. Perlakuan: 2. Faktor: 3. Level:

MODEL LINIER ADITIF RAL

Model yang cocok untuk analisis model acak adalah :

Dimana :

Y_ij : nilai kekuatan kain dari mesin ke-i pada ulangan ke-j.

µ : nilai tengah umum (rata – rata populasi) kekuatan kain.

Τi : pengaruh mesin ke-i terhadap kekuatan kain εij : pengaruh galat percobaan dari mesin ke-i pada

HIPOTESIS & PERHITUNGAN

Hipotesis yang akan diuji adalah

(yang artinya tidak terdapat keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan tenun).

(yang berarti ada keragaman kekuatan kain yang dihasilkan oleh peralatan tenun)

Tahap Perhitungan !!!

Penarikan Kesimpulan

REFERENSI

Gaspersz, Vincent, 1991, Teknik Analisis Dalam Penelitian Percobaan, Tarsito, Bandung.

Mattjik, Ahmad Anshori., dan Sumertajaya, Made I, Perancangan Percobaan

dengan Aplikasi SAS dan Minitab, IPB Press, Bandung.

Montgomery, Douglas C., 2001, Design and Analysis of Experiments 5th Ed,