Page | 1
BAB I PENDAHULUAN
I.1 LATAR BELAKANG
Anuitas dapat didefenisikan pembayaran premi asuransi, pembayaran hipotik, pembayaran bunga atas obligasi, pembayaran sewa, pembayaran secara cicilan, pembayaran uang pensiun adalah beberapa contoh daripada sebagai suatu rangkaian pembayaran atau penerimaan berkala atau periodik dari sejumlah uang yang sama besarnya dan dibayar atau diterima pada setiap periode waktu yang sama selama jangka waktu tertentu pembayaran atau penerimaan secara anuitas.
Berdasarkan jangka waktu, anuitas dapat dibagi dua yaitu :anuitas yang jangka waktu pembayarannya sudah pasti(annuity certain) dan anuitas yang jangka waktu pembayarannya tergantung kepada beberapa peristiwa yang bersifat tidak pasti(contingen annuity). Jika dilihat dari waktu pembayarannya ,anuitas dapat dibagi dua yaitu anuitas biasa (ordinary annuity) dan anuitas dimuka (annuity due). Anuitas biasa adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap akhir periode pembayaran, sedangkan anuitas dimuka adalah suatu anuitas yang dibayar pada setiap awal periode pembayaran. Kemudian berdasarkan ketepatan antara periode pembayaran anuitas dengan periode perhitungan bunga anuitas tersebut, anuitas dapat dibagi dua yaitu anuitas sederhana(simple annuity) dan anuitas umum(general annuity). Anuitas sederhana adalah suatu anuitas dimana periode pembayarannya adalah bertepatan atau bersamaan dengan periode perhitungan bunga anuitas tersebut. Anuitas umum adalah suatu anuitas dimana periode pembayarannya tidak bertepatan atau tidak bersamaan dengan periode perhitungan bunga anuitas tersebut.
Page | 2 I.2 TUJUAN
Tujuan dibuatnya makalah ini yaitu :
Untuk mengetahui pengertian anuitas
Untuk mengetahui persamaan umum anuitas biasa
Page | 3
BAB II PEMBAHASAN MATERI
II.1 DEFENISI ANUITAS
Untuk memahami pengertian anuitas, perhatikan contoh berikut ini yang sering ditemui dalam kehidupan sehari- hari.
Contoh: :
Sebagai seorang pegawai negeri, pak Dody mendapatkan fasilitas kredit perumahan dari Bank Tabungan Negara di kompleks perumahan tasbih setia budi Medan. Di samping pembayaran uang muka, pak Dody mempunyai kewajiban untuk melunasi kredit dengan cara angsuran. Pembayaran dilakukan secara teratur setiap bulan sebesar Rp 165.725,00.
Sistem (cara) pembayaran yang dilakukan oleh pak Dody itu merupakan contoh dari anuitas.
Dalam sistem pembayaran tersebut terdapat dua hal yang perlu diperhatikan yaitu : (1) Jumlah uang yang dibayarkan adalah tetap.
(2) Selang waktu pembayarannnya juga tetap. Jadi ,
Anuitas (annuity) adalah suatu rangkaian pembayaran/ penerimaan sejumlah uang umumnya sama besar, dengan periode waktu yang sama untuk setiap pembayaran.
Anuitas secara garis besar dapat dibagi menjadi 3 macam yaitu :
1. Anuitas biasa (ordinary annuity), yaitu jika pembayaran dilakukan setiap akhir periode (mulai satu periode lagi).
2. Anuitas muka (annuity due), yaitu jika pembayaran dilakukan setiap awal periode (pembayaran mulai hari ini).
3. Anuitas ditunda (deferred annuity), yaitu jika pembayaran dilakukan setelah bebrapa periode.
Page | 4 II.1.1 ANUITAS BIASA
Anuitas biasa (ordinary annuity), yaitu jika pembayaran dilakukan setiap akhir periode(mulai satu peride lagi).
Persamaan yang dipakai dalam anuitas biasa ada dua , yaitu untuk nilai sekarang (present value) dan untuk nilai akan datang(future value). Persamaan untuk nilai sekarang dapat digunakan untuk menghitung besarnya cicilan per bulan Kredit Pemilikan Rumah (KPR), cicilan utang sewa guna usaha (leasing), tingakt bunga efektif dari suatu pinjaman, lamanya periode waktu yang diperlukan, nilai sekarang dari rangkaaian pembayaran di kemudian hari, dan saldo pinjaman pada saat tertentu.
Sedangkan persamaan untuk nilai yang akan datang dapat digunakan untuk mencari nilai akhir dari suatu tabungan atau nilai tabungan pada saat tertentu, lamanya waktu yang diperlukan untuk bisa mencapai jumlah tabungan tertentu, dan besarnya tabungan yang harus dilakukan setiap periode untuk bisa memperoleh jumlah tertentu.
a. NILAI SEKARANG DARI ANUITAS
Nilai sekarang dari suatu anuitas hampir sama dengan nilai masa depan dari suatu anuitas, hanya saja pembayaran per periodenya berdasarkan nilai sekarang. Jadi, nilai sekarang dari suatu anuitas adalah jumlah dari nilai- nilai sekarang dari setiap periode pembayaran atau penerimaan uang tertentu. Nilai sekarang dari anuitas ini biasanya dilambangkan dengan PV.
Misalkan suatu anuitas dengan pembayaran Rp 1 dilakukan pada akhir setiap tahun selama n tahun. Nilai sekarang dari pembayaran pertama pada akhir tahun pertama adalah ( ) ; nilai sekarang dari pembayaran kedua pada akhir tahun kedua adalah ( ) ;
nilai sekarang dari pembayaran ketiga pada akhir tahun ketiga adalah ( ) ; dan
seterusnya sampai pada pembayaran akhir tahun ke-n. Karena nilai sekarang dari suatu anuitas adalah jumlah dari nilai-nilai sekarang dari masing masing pembayaran, maka dapat ditulis rumusnya adalah ,
( ) ( ) ( ) ( )
Page | 5
( ) [ ( ) ( ) ( ) ] (2)
Karena [ ( ) ( ) ( ) ], maka Persamaan (2) menjadi,
( ) [ ]
( ) [( ) ]
Dengan demikian,
[ ( ) ]
Jadi, jika A merupakan pembayaran per periode yang dibuat dalam rupiah, maka nilai sekarang anuitas PV, selama n periode pembayran adalah,
[ ( ) ] ( )
dengan :
PV = present value atau nilai di awal periode atau nilai sekarang i = tingkat bunga/ periode
n = jumlah periode
A = anuitas atau pembayaran/ periode ( ( ) )
dalam persamaan ini disebut faktor anuitasnilai sekarang dan
dinotasikan Contoh :
Hitunglah nilai sekarang dari uang Rp 1.000.000 yang diterima setiap tahun selama lima tahun mulai satu tahun lagi jika tingkat bunga yang relevan adalah 15% p.a.
Dik : I = 0,15
Page | 6 n = 5 tahun Dit : PV = ... ? Penyelesaian : [ ( ) ] ( ( ) )
b. MENGHITUNG BESAR CICILAN
Dari persamaan (3) * ( ) + kita dapat menurunkan persamaan baru untuk mencari cicilan atau angsuran yaitu A.
( ( ) ) ( ( ) ) ( ) Contoh
Rina meminjam uang sebesar Rp 10.000.000 dengan bunga 12 % p.a. Jika pinjaman tersebut harus ia lunasi dalam 24 kali cicilan bulanan, berapakah besarnya cicilan yang harus ia bayar setiap bulannya?
Jawab :
Page | 7
c. MENGHITUNG JUMLAH PERIODE
Persamaan untuk mencari jumlah periode atau n dengan cara sebagai berikut : [( ( ) )] [( ( ) ) ] ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Contoh:
KPR sebesar Rp 210.000.000 dikenakan bunga 18% p.a. Jika besarnya angsuran perbulan adalah rp 3.783.889,18,dalam berapa lama KPR tersebut akan lunas?
Page | 8 PV = RP 210.000.000 i = A = RP 3.783.889,18 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jadi, KPR tersebut akan lunas dalam 120bulan atau 10 tahun.
d. MENGHITUNG TINGKAT BUNGA
Sampai saat sudah didapatkan persamaan untuk menghitung nilai sekarang (PV), angsuran (A), atau lamanya periode (n). Untuk mencari tingkat bunga per periode (i), sayangnya kita tidak dapat menurunkan persamaan (29). Yang dapat dilakukan untuk mencari i jika diberikan variabel lainnya (PV, A, dan n) adalah mencoba satu nilai i yang bisa memenuhi persamaan.
Apabila nilai i itu tidak memenuhi ,kita dapat mencoba nilai i yang baru dan demikian seterusnya hingga kita mendapatkan nilai i yang memenuhi persamaan. Pencarian nilai i seperti ini disebut dengan metode trial and error , yang artinya coba, kalau salah coba yang lain. Oleh karena itu ,dalam mencari nilai i diperlukan waktu yang relatif lama dibandingkan dengan mencari variabel lain karena tidak ada persamaan eksplisit dengan i disebelah kiri dan variabel lainnya (kecuali i) disebelah kanan.
Page | 9 Contoh:
Sebuah perhiasan bernilai Rp.30.000.000 tunai dapat dibeli dengan 12kali angsuran bulanan masing-masing sebesar Rp 2.758.973,49.Berapakah tingkat bunga yang dikenakan ?
Jawab i =1,5%=0,015 A =Rp2.758.973,49 PV =Rp 30.000.000 n =12 ( ( ) ) ( ( ) )x Rp 2.758.973,49
Ternyata PV Rp 30.000.000 sehingga kita harus mencoba i yang baru. Karena PV yang didapat Rp 30.000.000 maka kita harus mencoba dengan nilai i yang lebih besar lagi, misalkan 19% p.a. A = Rp. 2.758.973,49 PV = Rp 30.000.000 n = 12 A = Rp. 2.758.973,49 PV = Rp 30.000.000 n = 12 ( ( ) )×RP. 2.758.973,49
Page | 10
Ternyata Pv ≠ Rp 30.000.000 sehingga kita harus mencoba i yang baru. Karena PV yang didapat < Rp 30.000.000 degna i = 19% p.a. dan PV yang di dapat Rp 30.000.000 dengan i =18% p.a. , maka kita dapat ambil kesimpulan bahwa tingkat bunga berada diantara 18% p.a. dan 19% p.a. Selanjutnya, kita bisa mencobamisalkan 18,5% p.a.:
( ) A = Rp. 2.758.973,49 PV = Rp 30.000.000 n = 12 ( ( ) ) ( ( ) )
Karena PV masih > Rp 30.000.000 , kita naikan tingkat bunga lagi menjadi 18,6% p.a. atau 1,55% per bulan. I = 0,0155 A = Rp. 2.758.973,49 PV = Rp 30.000.000 n = 12 ( ( ) ) ( ( ) )
Page | 11
BAB III PENUTUP
III. 1 KESIMPULAN
Dari pembahasan dapat ditarik beberapa kesimpulan , yaitu :
1. Anuitas (annuity) adalah suatu rangkaian pembayaran/ penerimaan sejumlah uang umumnya sama besar, dengan periode waktu yang sama untuk setiap pembayaran. 2. Anuitas secar garis besar dapat dibagi menjadi 3 macam yaitu :
*Anuitas biasa (ordinary annuity), yaitu jika pembayaran dilakukan setiap akhir periode (mulai satu periode lagi).
*Anuitas muka (annuity due), yaitu jika pembayaran dilakukan setiap awal periode(pembayaran mulai hari ini).
*Anuitas ditunda (deferred annuity), yaitu jika pembayaran dilakukan setelah bebrapa periode.
3. Persamaan yang dipakai dalam anuitas biasa ada dua , yaitu untuk nilai sekarang (present value) dan untuk nilai akan datang(future value)
4. rumus persamaan anuitas nilai sekarang adalah ( ( ) )
Page | 12
DAFTAR PUSTAKA
Kalangi, Josep Bintang. 2008. Matematika Ekonomi & Bisnis. Jakarta: Salemba Empat.
Frensidy, Budi. 2008. Matematika Keuangan Edisi 3. Jakarta: Salemba Empat.
Bu’ulolo, Faigiziduhu. 2010. Matematika Keuangan. Medan: USU Press. Spiegel, Murray R. 1987. Matematika Dasar. Jakarta: Erlangga.
http://www.scribd.com/doc/13771014/Matematika-Keuangan-ANUITAS-BIASA-Indra-Maipita
Page | 13
LAMPIRAN
1. Sebuah pinjaman dikenakan bunga 18%p.a dan dapat dilunasi dengan 12 kali cicilan masing-masing Rp 10.000.000 per tahun.Berapakah besar pinjaman tersebut?
Jawab ( ( ) ) ( ( ) )
2. Sepasang pengantin baru berniat membeli rumah dengan menggunakan fasilitas kredit pemilikan rumah (KPR) dari sebuah bank.Rumah yang akan mereka beli berharga tunai Rp 300.000.000 dan KPR bank mensyaratkan uang muka (doen payment-DP)sebesar 30% dari harga rumah tersebut dan pembeli dikenakan bunga 15% p.a. untuk sisanya .Apabila pasangan tersebut ingin melunasi KPR-nya dalam 60 bulan ,berapakah angsuran per bulan yang harus mereka bayar?
Jawab
Harga rumah = Rp 300.000.000
Uang muka =Rp 30% x Rp 300.000.000 =Rp 90.000.000
KPR yang harus diangsur =Rp 300.000.000 – Rp 90.000.000 =Rp 210.000.000 ( ( ) ) A = Rp. 4.995.885,328.
Page | 14
3.Apakah fungsi dari persamaan untuk mencari nilai akan datang? Jawab:
Persamaan untuk nilai yang akan datang dapat digunakan untuk mencari nilai akhir dari suatu tabungan atau nilai tabungan pada saat tertentu, lamanya waktu yang diperlukan untuk bisa mencapai jumlah tabungan tertentu, dan besarnya tabungan yang harus dilakukan setiap periode untuk bisa memperoleh jumlah tertentu.
4.Persamaan apa sajakah yang dipakai dalam anuitas biasa ? Jawab :
Persamaan yang dipakai dalam anuitas biasa yaitu : untuk nilai sekarang (present value)
untuk nilai akan datang(future value)
5. Apa sajakah yang perlu diperhatikan pada system pembayaran secara anuitas ? Jawab :
1. Jumlah uang yang dibayarkan adalah tetap. 2. Selang waktu pembayarannnya juga tetap.
