• Tidak ada hasil yang ditemukan

Barisan dan Deret Geometri (2)

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "Barisan dan Deret Geometri (2)"

Copied!
14
0
0

Teks penuh

(1)

Barisan dan Deret Geometri

A.Barisan Geometri

1. Pengertian Barisan Geometri

Barisan Geometri adalah sederetan bilangna yang berupa suku (satuan) atau unit (U) dan ditulis secara berurutan, dimana perbandingan dua buah suku yang berurutan berharga konstan(tetap) dan dinamakan rasio yang dilambangkan dengan “r”

Sehingga r = Un Un-1

Jika suku pertama dinyatakan dengan a, maka bentuk umum barisan geometri adalah: a, ar, ar² , ...ar n-1

2. Suku ke-n Barisan Geometri

Misalkan a adalah suku pertama barisan geometri, r adalah rasio, dan Un adalah suku ke-n r = Un maka Un = r . Un-1

Un-1

Sehingga Un = ar n-1

Dengan memandang rasionya maka diperoleh tiga jenis, seperti berikut :

a. Jika rasio lebih besar (r >1), maka suku-suku barisan itu semakin besar nilainya/ naik. b. Jika rasionya 0 dan 1 (0<>1), maka suku-suku barisan itu semakin kecil nilainya/ turun c. Jika rasio <0, maka suku barisan berganti tanda disebut barisan naik turun.

3). Nilai Tengah Barisan Geometri

Barisan bilangan yang memiliki suku tengah apabila banyak sukunya ganjil. Jika suku ke-t atau Ut merupakan suku tengah, maka banyaknya suku adalah (2t – 1) dan suku terakhir adalah suku ke-(2t – 1) atau U(2t – 1).

sehingga diperoleh hubungan Ut2 = ( U1. U(2t – 1))

Karena U(2t -1) merupakan suku akhir dari deret tersebut dan U1 merupakan suku awal, maka:

Utengah = √Uawal-Uakhir

B. Deret Geometri

Deret geometri adalah suku-suku dari suatu barisan geometri yang dijumlahkan Pada deret geometri U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un,

jika Un+1> Un maka deretnya disebut deret geometri naik,

dan jika Un+1 < Un , maka deretnya disebut deret geometri turun. Jika Sn adalah jumlah n suku pertama, r adalah rasio, dan a adalah suku pertama suatu deret geometri, maka :

1) Sn =a(rn-1) digunakan jika r >1 r-1

(2)

1-r

1. Suku Tengah Deret Geometri

Suku tengah suatu deret geometri (Ut) terletak di tengahtengahantara a dan Un dengan banyak suku ganjil. Suku tengah deret geometri dapat ditentukan dengan menggunakan rumusberikut :

Ut = √axUn

2. Deret Geometri Tak Hingga

Deret Geometri Tak Hingga adalah deret geometri yang menyatakan banyaknya suku deret geometri itu tak hingga, banyaknya yaitu apabila n menuju bilangan yang besar sekali.

Contoh :

a) 1 + 2 + 4 + 8 +..., r = 2 b) 9 + 3 + 1 + +..., r = 1/3

Keterangan :

a) Un menuju bilangan yang cukup besar, jika n menuju bilangan yang besar maka dinamakan deret geometri naik tak terhingga, Sn tak terhingga.

b) Un menuju atau mendekati nol maka dinamakan deret geometri turun tak hingga

Jumlah deret geomatri turun tak hingga :

Sn =a(1-rn) = a - arn , 0< r <1 1-r 1-r 1-r

Maka : Sn = a = 0→ Sn = a 1-r 1-r

Jenis Deret Geometri Tak Hingga

3. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen

Deret Geometri Tak Hingga Konvergen adalah suatu deret dengan rasio |r| <1 atau -1< r <1 . Jumlah deret geometri tak hingga yang konvergen dirumuskan dengan nilai pendekatan

Sn = a

1-r

Contoh : 1 + 1 + 1 + 1 +...

3 9 27

5. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (Menyebar)

Deret Geometri Tak Hingga Divergen adalah deret dengan rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Jumlah deret geometri tak hingga yang divergen tidak didefinisikan. Contoh : 1 + 3 + 9 + 27 +...

(3)

Sisipan pada Deret Geometri adalah menambahkan beberapa buah bilangan diantara dua suku yang berurutan, sehingga terjadi deret geometri yang baru. Rasio deret baru (r1) setelah disisipkan beberapa buah bilangan diantara x dan y dapat ditentukan dengan rumus berikut :

r1 = k+1√y , jika banyak suku yang disisipkan genap.

x

Dengan r1 = rasio pada deret baru.

(4)

1. Suatu deret geometri mempunyai U1 = 3 dan U5 = 48. Suku ke-7 dari deret geometri tersebut sama dengan

2. Suatu deret geometri memiliki suku pertama sama dengan 4. Jumlah dua suku pertama sam dengan 12. Jumlah 5 suku pertama dari deret tersebut adalah..

3. Diketahui sebuah barisan geometri -192, 96, -48, 24, … . Tentukan nilai suku ke delapan dari barisan tersebut?

4. Pada sebuah deret geometri, rumus jumlah suku ke-n nya adalah Sn = 2n² + 4n. Tentukan nilai suku ke-9 dari deret tersebut?

5. Diketahui sebuah barisan geometri 4p, 2q, r, … . Maka nilai dari q² – pr adalah…

(5)

C.

Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Coba kalian amati barisan 1, 2, 4, 8, 16, 32, .... Terlihat, suku berikutnya diperoleh dengan mengalikan 2 pada suku sebelumnya. Barisan ini termasuk barisan geometri. Jadi, secara umum, barisan geometri adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dikalikan dengan suatu bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut dinamakan rasio (pembanding) dan dinotasikan dengan r.

Perhatikan contoh barisan-barisan berikut.

a. 3, 6, 12, 24, ... b. 2, 1, ½, 1/4, ... c. 2, –4, 8, –16, ...

Barisan di atas merupakan contoh barisan geometri. Untuk barisan di atas berturut-turut dapat dihitung rasionya sebagai berikut.

a. = ... = 2. Jadi, r = 2.

b. = .... Jadi, r = ½

c. = –2. Jadi, r = –2.

Dengan demikian, dapat disimpulkan jika U1, U2, ... Un barisan geometri dengan Un adalah

rumus ke-n, berlaku :

Rumus umum suku ke-n barisan geometri dengan suku pertama (U1) dinyatakan a dan rasio r, dapat diturunkan sebagai berikut.

U1 = a

Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ..., arn–1, ...

Jadi, rumus umum suku ke-n (Un) barisan geometri adalah :

(6)

Keterangan:

a = suku pertama r = rasio

n = banyak suku

Contoh Soal Barisan Geometri 11 :

Carilah suku pertama, rasio, dan suku ke-7 dari barisan geometri berikut.

a. 2, 6, 18, 54, ...

b. 9, –3, 1, -1/3 , ...

Jawaban :

a. 2, 6, 18, 54, ...

Dari barisan geometri di atas, diperoleh :

1) suku pertama: a = 2; 2) rasio: r = ... = ... = 3.

Karena rumus suku ke-n barisan geometri adalah :

Un = arn–1 maka

U7 = 2(37–1) = 2 × 729 = 1.458

b. 9, –3, 1, , ....

Dari barisan ini, diperoleh :

1) suku pertama: a = 9;

2) rasio: r = ;

3) suku ke-7: U7 =

Contoh Soal 12 :

Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 21 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan itu.

Penyelesaian :

Pemisalan yang mudah untuk barisan geometri adalah , a, dan ar.

Jumlah ketiga bilangan itu adalah 21 maka + a + ar = 21.

(7)

Karena a3 = 216, diperoleh a = 6. Kemudian, substitusikan nilai a = 6 ke persamaan + a +

ar = 21 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut.

+ 6 + 6r = 21 ... (kedua ruas dikalikan dengan r)

Bandingkan dengan pola bilangan berikut.

0 × 9 + 1 = 1

Dari kedua pola bilangan di atas, dapatkah kalian menemukan bentuk umumnya?

Dengan memerhatikan bentuk umum kedua pola bilangan di atas, tentu kalian dapat dengan mudah menentukan hasil dari pertanyaan berikut.

(8)

2. Deret Geometri

Jika U1, U2, U3, ... Un merupakan barisan geometri maka U1 + U2 + U3 + ... + Un adalah deret

geometri dengan Un = arn–1. Rumus umum untuk menentukan jumlah n suku pertama dari

deret geometri dapat diturunkan sebagai berikut.

Misalkan Sn notasi dari jumlah n suku pertama.

Sn = U1 + U2 + ... + Un

Sn = a + ar + ... + arn–2 + arn–1 ... (1)

Jika kedua ruas dikalikan r, diperoleh :

rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn ... (2)

Dari selisih persamaan (1) dan (2), diperoleh :

rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn–1 + arn

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama dari deret geometri adalah sebagai berikut.

Sn = , untuk r > 1

Apa yang terjadi jika r bernilai 1?

Contoh Soal Deret Geometri 13 :

Tentukan jumlah dari deret geometri berikut.

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ... (8 suku) b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ... (6 suku)

(9)

a. 2 + 4 + 8 + 16 + ...

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = 4/2 = 2 (r > 1). Jumlah deret sampai 8 suku pertama, berarti n = 8.

Sn = ↔ S8 = = 2(256 – 1) = 510

Jadi, jumlah 8 suku pertama dari deret tersebut adalah 510.

b. 12 + 6 + 3 + 1,5 + ...

Dari deret itu, diperoleh a = 12 dan r = (r < 1). Jumlah deret sampai 6 suku pertama, berarti n = 6.

Sn = ↔ S6 = = 24(1- ) =

Dengan demikian, diperoleh n + 1 = 6 atau n = 5. Jadi, banyak suku dari deret tersebut adalah 5.

(10)

Carilah n terkecil sehingga Sn > 1.000 pada deret geometri 1 + 4 + 16 + 64 + ...

Kunci Jawaban :

Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = 4 (r > 1) sehingga jumlah n suku pertamanya dapat ditentukan sebagai berikut.

Sn =

Nilai n yang mengakibatkan Sn > 1.000 adalah :

> 1.000 ↔ 4n > 3.001

Jika kedua ruas dilogaritmakan, diperoleh :

log 4n > log 3.001

↔ n log 4 > log 3.001

↔ n >

↔ n > 5,78 (Gunakan kalkulator untuk menentukan nilai logaritma)

Jadi, nilai n terkecil agar Sn > 1.000 adalah 6.

Contoh Soal 16 :

Tentukan rumus jumlah n dari deret 1 + 11 + 111 + 1.111 + ...

Penyelesaian :

(11)

3. Deret Geometri Tak Berhingga

Deret geometri yang tidak dapat dihitung banyak seluruh sukunya disebut deret geometri tak berhingga.

Perhatikan deret geometri berikut.

a. 1 + 2 + 4 + 8 + ...

c. 1 + + + ....

d. 9 – 3 + 1 – + ...

Deret-deret di atas merupakan contoh deret geometri tak berhingga.

Dari contoh a dan b, rasionya berturut-turut adalah 2 dan –2.

Jika deret tersebut diteruskan maka nilainya akan makin besar dan tidak terbatas. Deret yang demikian disebut deret divergen, dengan | r | > 1. Sebaliknya, dari contoh c dan d, rasio masing-masing deret 1/2 dan –1/3. Dari contoh c dan d, dapat kita hitung pendekatan jumlahnya. Deret tersebut dinamakan deret konvergen dengan | r | < 1. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi akan mendekati harga tertentu. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S∞ .

Nilai S∞ merupakan nilai pendekatan (limit) jumlah seluruh suku (Sn) dengan n mendekati tak

berhingga. Oleh karena itu, rumus deret tak berhingga dapat diturunkan dari deret geometri dengan suku pertama a, rasio r dan n → ∞ .

(12)

Jadi, rumus jumlah deret geometri tak berhingga adalah :

, dengan | r | < 1

Contoh Soal Deret Geometri Tak Terhingga 17 :

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.

a. 1 + + + + ... b.

Pembahasan :

a. 1 + + + + ...

Dari deret tersebut diketahui a = 1 dan r = ½ sehingga :

b.

Perhatikan deret 2 + 1 + + + + ....

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = ½.

Jadi, = 24 = 16.

Contoh Soal 18 :

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan jumlah sampai tak berhingga adalah 4. Carilah rasionya.

Penyelesaian :

Dari soal di atas, unsur-unsur yang diketahui adalah a = 2 dan S∞ = 4.

Kita substitusikan ke dalam rumus S∞ .

S = ↔ 4 =

↔ 1 – r = ½ . ↔ r = ½

Jadi, rasionya adalah ½.

(13)

Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian 3/4 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan berlangsung terus-menerus sehingga bola berhenti. Tentukan jumlah seluruh lintasan bola. (UMPTN 1995)

Jawaban :

U0 = 10 m; r = 3/4.

U1 = 3/4 x 10 m = 3/40 m

Sn = 10 + 2 S∞ = = 10 + (2 × ) = 10 + (2 × ) = 10 + (2 × 30) = 70.

Dengan cara lain:

Misalnya suatu benda dijatuhkan dari ketinggian H0 secara vertikal dan memantul ke atas

dengan tinggi pantulan a/b kali dari ketinggian semula maka panjang lintasan pantulan (H) hingga berhenti dirumuskan dengan:

Dengan menggunakan cara ini, diketahui a = 3, b = 4, dan H0 = 10 m.

(14)

Referensi

Dokumen terkait

Apabila bilangan ketiga ditambah bilangan pertama, bilangan keempat dikalikan dengan 2, maka diperoleh sebuah barisan geometri (BG).. Carilah keempat

Barisan aritmetika (barisnan hitung) adalah barisan yang suku-sukunya diperoleh dengan menambah atau mengurangi suku sebelumnya dengan bilangan yang

barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu.. merupakan bilangan

Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang Barisan Geometri adalah susunan bilangan yang kenaikan suku berurutannya dikalikan ( atau dibagi ) kenaikan suku berurutannya dikalikan

Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua diberikan formula berikut :.. U n

Barisan aritmatika merupakan suatu barisan bilangan, dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan).. Selisih yang tetap ini

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap suku – sukunya yang berurutan dan mempunyai selisih (beda) yang tetap.. Deskripsi Kesulitan Siswa dalam Menyelesaikan

TUJUAN PEMBELAJARAN • Siswa dapat menjelaskan pengertian barisan dan deret geometri • Siswa dapat menjelaskan syarat suatu barisan geometri • Siswa dapat menentukan rumus suku