BAB II
KEADAAN FERMI DIRAC
A. Keadaan Makro dan Mikro
Masalah utama yang dihadapi dalam mekanika statistic adalah menentukan sebaran yang mungkin dari partikel-partikel kedalam tingkat-tingkat energi dan keadaan-keadaan atau status energi. Rincian sebaran partikel ini sangat tergantung pada apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak terbedakan spesifikasi jumlah partikel kedalam tingkat-tingkat energi dengan tidak menghiraukan apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak disebut keadaan makro dari suatu sistem. Setiap keadaan makro dapat dirinci lagi menjadi keadaan-keadaan mikro tergantugn kepada apakah partikel-partikel tersebut terbedakan atau tidak, dan apakah masing-masing tingkat energi terbegenarasi atau tidak. Jumlah keadaan mikro untuk setiap keadaan makro k, disebut “peluang termodinamik” yang disimbolkan dengan Wk, sedangkan peluang termodinamik sistem adalah jumlah semua peluang termodinamik tiap-tiap keadaan makro, yang biasa dirumuskan sebagai berikut:
Dalam statistik Maxwell-Boltmann, ada dua cirri yanga digunakan yakni:
1. Partikel-partikel dalam sistem terbedakan
2. Seiap keadaan energi dapat di isi oleh lebih dari satu partikel
Agar diperoleh gambaran yang jelas tentang keadaan makro dan keadaan mikro dari sistem berdasarkan kedua ciri di atas kita ambil contoh sebagai berikut:
Contoh :
Suatu sistem terdiri dari 3 partikel terbedakan, misalnya a, b, dan c yang tersebar kedalam dua tingkat energi, έ1 dan έ2. Jika sistem tidak tergenerasi, atau jumlah keadaan untuk tiap tingkat energi adalah satu maka : a. Tunjukkan keadaan makro yang mungkin
c. Tentukan peluang termodinamik untuk setiap kedaan makro d. Tentukan peluang termodinamik sistem
Solusi:
Dengan memisahkan N1 dan N2 adalah jumlah partikel untuk masing-masing tingkat energi maka masalah ini dapat diselesaikan dengan cara berikut:
a. Keadaan-keadaan makro yang mungkin:
N1 3 2 1 0
N2 0 1 2 3
Terlihat bahwa terdapat 4 keadaan makro
b. Keadaan-keadaan mikro untuk setiap keadaan makro
Keadaan makro keadaan-keadaan mikro
c. Peluang termodinamik dapat kita lihat untuk setiap keadaan sehingga diperoleh : W1 =1, W 2 = 3, W3 =3, dan W4 = 1
d. Peluang termodinamik sistem adalah : Ω = W1 + W2 + W3 + W4 = 1+3 + 3 + 1 = 8 N2 3 abc N1 0 N2 N1 2 1 N2 N1 1 2 N2 N1 0 3 abc bc a a bc ac b ab c b ac c ab
B. Partikel Fermi
Dalam azas larangan Pauli “ untuk atom yang memiliki lebih dari satu ellektron, misalnya Natrium, elekton-elektron tidak berkumpul ditingkat energi rendah, karen amsing- masing status hanya boleh ditempati tidak lebih dari satu elektron. Tingkat paling rendah ( n =1) hanya boleh ditempati oleh dua elektron, yang satu spin nya keatas dan yang lainnya spinnya kebawah. Sedangkan tingkat energi berikutnya, ( n = 2), akan ditempati oleh 8 elektron, dan seterusnya, tingkat energi ke - n akan diisi oleh 2n2 elektorn dengan konfigurasi yang didasarkan kepada azas larangan Pauli.
Azaz larangan Pauli ini, diperoleh sebagi konsekuensi dari sifat elektron sebagai gelombang, seperti yang sudah disinggung diatas. pada mekanika kuantum untuk partikel identik, akan ditemuakan bahwa fungsi gelombang totalnya, hanya boleh simetrik atau anti simetrik terhadap pertukaran dua partikel. Azas larangan Pauli, akan muncul dengan sendirinya, apabila kita memilih fungsi gelombang total yang anti simetrik. Partikel- partikel yang memiliki sifat seperti ini, misalnya elektron, proton dinamakan “partikel fermi” atau “Fermiun”. Dalam pokok bahasan ini akan dibahas tentang partikel- partikel fermi tersebut, melalui statistik yang disebut “statistik fermi-Dirac” yang dikembang oleh Enrico Fermi dari Italia dan P. Dirac dari Inggris.
C. Fungsi Distribusi Fermi Dirac
Distribusi Fermi Dirac ini memiliki 2 ciri khas yaitu:
a. Partikel-partikel dalam sistem tidak dapat dibedakan antara yang satu dengan yang lain.
b. Satu status atau keadaan enerrgi, hanya boleh diisi oleh satu partikel artinya tidak boleh diisi lebih dari satu partikel.
Bila dilihat dengan contoh sebuah partikel bebas bemassa m, dalam ruangan yang volume V, status energi partikel itu ditentukan oleh 3 bilangan kuantum yaitu (nx, ny, dan nz yang merupakan bilangan bulat dari 0,1,2,3....
dan seterusnya. Tingkat energi partikel itu, ditentukan jumalah kuadrat dari nx, ny, dan nz menurut persaman :
𝜀 𝑛𝑥,𝑛𝑦, 𝑛𝑧 = ℎ 2 2𝑚𝑉23 ( 𝑛𝑥2+ 𝑛 𝑦2+ 𝑛𝑧2) Diperoleh dari : Energy momentum : ℷ =ℎ 𝑝 P=ℎ ℷ ℷ = 𝑙 𝑛 Sehingga
𝜀
𝑛
=
𝑝2 2𝑚=
ℎ 𝑛 𝑙 ² 2𝑚=
ℎ² 𝑛 ² 𝑙² 2𝑚= [
ℎ² 2𝑚𝑙²] n² , L= 𝑣
3=[
ℎ2 2𝑚( 𝑣)²3] n²
= [
ℎ² 2𝑚𝑣2 3]n²
Jadi, 𝜀 𝑛𝑥,𝑛𝑦, 𝑛𝑧 = ℎ 2 2𝑚𝑉23 ( 𝑛𝑥2+ 𝑛 𝑦2+ 𝑛𝑧2)Sudah kita ketahui bahwa tingkat eneergi paling bawah hanya memiliki satu status energi, tingkat berikutnya memiliki 6 status energi dan seterusnya.
Kalau dalam elekrton dalam logam adalah gelombang- gelombang yang berjubel dalam ruangan yang relatif sempit sehingga identitas masing- masing menjadi tidak bermakna maka kita tidak lagi bisa menggunakan perngertian makro seperti pada statistik Maxwell- Bolzman.
Kita akan menggunakan lambang 𝑁1,𝑁2, 𝑁3.... dan seterusnya untuk menunjukkan jumalah partikel- partikel atau “ bilangan populasi” pada tingkatan energi ke 1, 2, 3... dan seterusnya. Dengan cara ini maka energi total dalam kumpulan N elektron adalah :
𝑈 = 𝜀1
𝑛
𝑖=1
𝑁𝑖
𝑑𝑎𝑛 𝑁 = 𝑛𝑖=1𝑁𝑖
Untuk memberikan gambaran yang jelas tentang jumlah keadaan mikro dan suatu keadaan makro, dapat dilihat contoh berikut ini.
Contoh:
Suatu sistem, terdiri dari 2 tingkatan energi, tingkatan 𝜀1, dengan 4 keadaan energi , dan ditempati oleh 3 partikel sedangkan pada tingkatan 𝜀2 ,
dengan 3 keadaan energi, terdapat 2 partikel. Jika partikel memenuhi statistik fermi dirac gambarkan keadaan mikro yang mungkin.
Solusi : ada 4 cara utnuk menempatkan 3 partikel pada tingkatan 𝜀1 dengan 4 keadaan, dan ada 2 cara untuk menempatkan 2 partikel yang terdapat pada tingkatan 𝜀2, seperti yang dilihatkan pada gambar berikut ini:
Tingkatan 𝜀1
Secara umum, peluang termodinamika W untuk setiap tingkat energi dapat dirumuskan sebagai berikut:
𝑊𝑖 =
𝑔𝑖 ! 𝑁𝑖! 𝑔𝑖− 𝑁𝑖 !
Dari contoh diatas berarti: 𝑊1 = 4 !
3! 4 − 3 != 4, 𝑑𝑎𝑛 𝑊2 =
3 !
2! 3 − 2 != 3
Jika kedua tingkatan energi ini dikombinasikan, akan diperoleh peluang termodinamik total sebanyak:
𝑊 = 𝑊1 𝑥 𝑊2= 4 x 3 = 12
Jadi ada 12 cara yang mungkin untuk menggambar konfigurasi partikel pada kedua tingkatan energi itu. Dengan demikian secara umum untuk seluruh sistem peluang termodinamik total paa distribusi fermi – dirac ini adalah;
𝑊 = 𝑔𝑖 ! 𝑁𝑖! 𝑔𝑖− 𝑁𝑖 !
𝑛
𝑖=1
Konfigurasi dengan peluang terbesar dapat ditentukan dengan mencari W yang terbesar dengan kendala N dan U bergharga tetap, seperti yang dilakukan waktu menurun rumus distribusi Maxwell- Boltzman. Sesuai dengan persamaan yang memperlihatkan hubungan antara Entropi S dan peluang termodinamika yaitu S = k ln W, maa entropi terbesar adalah ketika ln W maksimun, maka ln 𝑊 = 𝑙𝑛 𝑔𝑖 ! 𝑁𝑖! 𝑔𝑖− 𝑁𝑖 ! 𝑛 𝑖=1 = ln 𝑔𝑖 ! − [ln 𝑁 𝑖 ! + ln( 𝑔𝑖− 𝑁𝑖 !] 𝑛 𝑖=1
Dengan mengugunakan dalil Striling yaikni: ln 𝑁! = 𝑁 𝐿𝑛 − 𝑁2
ln 𝑊 = [𝑔𝑖ln𝑔𝑖−
𝑛
𝑖=1
𝑁𝑖ln𝑁𝑖− (𝑔𝑖−𝑁𝑖) ln(𝑔𝑖−𝑁𝑖)]
Bila didiferensial terhadap Ni maka :
∂ln 𝑊 = [− ln 𝑁𝑖𝜕 𝑛 𝑖=1 𝑁𝑖+ln (𝑔𝑖−𝑁𝑖)𝜕𝑁𝑖] ∂ ln 𝑊 = ln 𝑔𝑖−𝑁𝑖 𝑁𝑖 𝜕𝑁𝑖 𝑛 𝑖=1
Karena sistem terisolasai, maka perubahan yang terjadi hanyalah jumlah pertikel pada masing-masing tingkat energi, sedangkan jumlah partikel total dalam sistem tidaklah berubah. Begitu juga dengan energi dalam (U) pada sistem, sehingga persamaan (4-2) dan (4-3) dapat ditulis sebagai berikut : 𝜕𝑁𝑖= 𝑑𝑁 = 0 𝑛 𝑖=1 𝜀𝑖 𝜕𝑁𝑖= 𝑑𝑈 = 0 𝑛 𝑖=1
Solusi dari persamaan (4-8), (4-9) dan (4-10), dapat diperoleh dengan menggunakan “ metoda pengali Lagrange”, seperti yang dilakukan ketika menurunkan persamaan distribusi Maxwell-Bolzmann, yaitu :
ln
𝑔
𝑖− 𝑁
𝑖𝑁
�楜+ 𝛼 + 𝛽 𝜀𝑖 = 0
ln
𝑔
𝑖− 𝑁
𝑖Ln
𝑔𝑖−𝑁𝑖 𝑁𝑖=- 𝛼 + 𝛽 𝜀𝑖
𝑔𝑖 𝑁𝑖
–
𝑁𝑖 𝑁𝑖= 𝑒
−𝛼+𝛽𝜀𝑖𝑔𝑖 𝑁𝑖
-
1 = 𝑒
−𝛼+𝛽𝜀𝑖N
i=
𝑔𝑖 𝑒− 𝛼 + 𝛽 𝜀𝑖 +1Dari persaman (4-10) dapat dilihat bahwa jumlah elektron yang menempati tingkatan energi ke i, sebanding dengan jumlah status atau keadaan energi, artinya Ni sebanding dengan gi. Juga terlihat bahwa jumlah partikel yang menghuni status ke s misalnya adalah :
N
i=
𝑔𝑖
𝑒− 𝛼+ 𝛽 𝜀𝑖 +1
Bila kita cermati pers (4-10) dapat pula kita lihat, bahwa bila suku pertama pada penyebut jauh lebih besar dari satu, maka ungkapan untuk Ni mirip dengan distribusi Maxwell-Bolzmann, yakni :
N
s=
1
𝑒− 𝛼+ 𝛽 𝜀𝑖 + 1
Ni
=𝑔
𝑖𝑒 − 𝛼+ 𝛽 𝜀𝑖Dimana telah diperoleh hargaβ = -1/kT .
Untuk menentukan harga a, diperlukan fungsi-sungsi yang agak rumit sehingga sulit untuk mengungkapkannya disini. Tetapi satu hal yang penting adalah bahwa α tergantung pada suhu mutlak T.
dimana Eo merupakan besaran yang mempunyai dimensi energy. Oleh sebab itu, Fermi dirac biasa di tulis dalam bentuk :
f (ε) = 1
exp �屨− εo +1
dan disini fungsi didtribusi ferrmi dirac
Fungsi ini memiliki sifat yang khas, seperti diperlihatkan pada gambar (4
-1). Untuk nilai ε yang lebih kecil dari εo suku pertama dari penyebut dapat di
abaikan besarnya, sehingga f (ε) bernilai 1. Untuk nilai ε yang jauh lebih besar
dari εo, suku pertama dari penyebut menjadi begitu besar, sehingga nilai f (ε)
bernilai 0. Sedangkan tepat ketika ε= εo maka f(ε) bernilai ½.
F 0 1
f 0BAB III PENUTUP
A. Kesimpulan
Masalah utama yang dihadapi dalam mekanika statistic adalah
menentukan sebaran yang mungkin dari partikel-partikel kedalam tingkat-tingkat energi dan keadaan-keadaan atau status energi. Rincian sebaran partikel ini sangat tergantung pada apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak terbedakan spesifikasi jumlah partikel kedalam tingkat-tingkat energi dengan tidak menghiraukan apakah partikel-partikel itu terbedakan atau tidak disebut keadaan makro dari suatu sistem.
B. Saran
Demikianlah makalah statistic Fermi dirac ini pemakalah buat agar
dapat dijadikan bahan untuk perkuliahan pada mata kuliah fisika statistik. Kami sebagai pemakalah menyadari masih banyak terdapat kekurangan pada makalah ini, untuk itu kami mengharapkan kritikan dan saran yang membangun demi kesempurnaan makalah ini.
DAFTAR PUSTAKA
http://www.slideshare.net/putuhermanwiantara/fisika-statistik-16446578
