teori modul materi direct sum

(1)

DIRECT SUMS (JUMLAH LANGSUNG)

      

n

M M M



2 1

masing-masing modul atas R (ring yang sama).

Bentuk cartesian product:



n i i



n m m m m M

M M

M₁ ₂   ( ₁, ₂,, ) 

Karena Mi  0, i maka M1M2 Mn .

Operasi + (penjumlahan) dan  (pergandaan skalar) sebagai berikut: + pada M₁M₂ M_n dengan definisi:

x = (x₁,x₂,,x_n)

y = (y₁,y₂,,y_n)

x + y = (x₁ y₁,x₂  y₂,,x_n  y_n)

 pada M₁M₂ M_n  R

x = (x₁,x₂,,x_n)

x = (x₁,x₂,,x_n).

Sifat : M₁M₂M_n = R-modul mterhadap operasi + dan  yang didefinisikan seperti di atas.

Definisi : M1M2 Mn disebut Direct Sums (Jumlah Langsung) didefinisikan

:

i n

i

n M

M M

M





   

1 2

1 

M = R-modul atas R

      

n

M M M



2 1

submodul-submodul di M, maka

1. Terbentuk Direct Sum



n i i



i n

i

M m m m

m

M  





) , , , ( ₁ ₂  1

2.





  

 n

i i

n M

M M

M

1 2

(2)

(3)

N modul Bukti : latihan

Untuk membuktikan M _i

n

akan digunakan definisi, yakni dengan membentuk

isomorfisma dari M_i ke M

f : M_i  M homomorfisma modul atas R, injektif dan surjektif dengan fi : Mi M homomorfisma modul atas R.

fi : inklusi injektif

Jadi menggunakan sifat …. Akan terbentuk

M

homomorfisma modul atas R.

(4)

_

Dengan diketahui



(5)

Definisi : Direct Summand

M = R-modul M1 submodul di M

M1 disebut direct summand di M jika ada submodul M2 di MMM1M2.

BARISAN EKSAK

} , 2 , 1 /

{mi i  keluarga modul-modul atas R

i i

i M M

f : _1

1

1: 

 i  i

i M M

f





 _   _ 

1 1

1 i f

i f

i M M

M i i …..(*)

Definisi :

(*) disebut barisan modul dan barisan homomorfisma di R.

Im(fi) submodul di Mi Ker(fi+1) submodul di Mi

Mana yang selalu berlaku : Im(fi)  Ker(fi+1) atau Ker(fi+1)  Im(fi).

Definisi :

1. Barisan (*) dikatakan eksak di Mi jika Ker(fi+1) = Im(fi).

2. Barisan (*) dikatakan eksak jika barisan tersebut eksak di setiap Mi.

Keadaan khusus :

(1). {0}O M₁f M eksak f injektif

(2). Mg M₂O {0} eksak g surjektif

(3). {0}O M₁f Mg M₂O {0} eksak  1. f injektif 2. g surjektif 3. ker(g) = Im(f).

Bukti :

(1). Diketahui : Barisan eksak {0}O M₁f M Akan ditunjukkan : f injektif

Bukti :

Karena barisan eksak maka Im(O) = ker(f) atau {0} = ker(f). Terbukti f injektif.

Diketahui : f injektif

Akan ditunjukkan : Barisan eksak Bukti :

(6)

Barisan ke-3, jika eksak disebut eksak pendek.

Keistimewaan Barisan Eksak Pendek Sifat :

Jika (3) adalah barisan eksak pendek maka ketiga pernyataan sebagai berikut ekuivalen,

a.  homomorfisma modul

1

:MM  f IM



b.  homomorfisma modul

2

:M M g  I_M

 

c. M Im(f)ker() ) Im( )

(  

Ker g

2

1 M

M  