K eg ia ta n B el a ja r1

(1)

Perbandingan dan Fungsi Trigonometri

Standar Kompetensi

Memahami konsep perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, aturan sinus dan kosinus serta menggunakan dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar

1.1Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri 1.2Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri

1.3Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri, dan penafsirannya Materi Pokok Pembelajaran

Indikator Kreteria Kinerja Lingkup Belajar

Sikap Pengetahuan Keterampilan

Pengertian dan Kuadran Mengidentifikasikan pengertian perbandingan trigonometri suatu sudut pada segitiga.

Perbandingan trigonometri Sikap kritis dan sistematis dalam mengambil

keputusan

Sudut radian – derajat Perbandingan

trigomometri pada segitiga siku-siku

Sudut istimewa Sudut berelasi kuadran Hubungan Perbandingan

suatu sudut

Membuktikan identitas trigonometri menggunakan perbandingan trigonometri

Hubungan perbandingan trigonometri dan identitas trigonometri

Sikap kritis dan sistematis dalam mengambil

keputusan

Identitas Trigonometri Koordinat kutub

Persamaan dan pertidaksamaan

trigonometri

Memahami dan menentukan himpunan penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan trigonometri dari berbagai bentuk

Penyelesaian persamaan dan pertidaksamaan trigonometri

keputusan

Sin x = Sin Cos x = Cos Tan x = Tan a sin x + b cos x = c Sin (a–b) – sin (a+b)= c Grafik Trigonometri Menggambar grafik fungsi

trigonometri.

Fungsi trigonometri dan grafik

keputusan

Grafik fungsi Maksimum/minimum Priodik

Aturan sinus, kosinus dan luas segitiga

Mengidentifikasi permasalahan dalam perhitungan sisi atau sudut pada segitiga, dan menentukan luas segitiga

Aturan sinus, cosinus dan rumus luas segitiga

keputusan

Aturan sin Aturan cos Luas segitiga

Mengidentifikkasi permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep

(2)

Kegiatan Belajar 1

ikegiatan belajar 1, diharapkan siswa dapat :

a. Menjelsakan arti derajat dan radian

b. Menentukan sinus, kosinus dan tangen suatu sudut dengan perbandingan

trigonometri segitiga siku-siku.

c. Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut istimewa

d. Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada berbagai kuadran.

e. Menentukan nilai perbandingan trigonometri pada sudut berelasi

B. Uraian Materi 1

Derajat dan Radian

Satuan yang biasa kita gunakan untuk mengukur sudut adalahderajat.

Pada gambar di atas O adalah pusat lingkaran, dan A adalah titik pada

lingkaran, jika A bergrak berlawanan arah jarum jam dengan pusatO dan kembali ke

A, maka dikatakan A telah berputar satu putaran atau OA telah bergerak 360o, Jadi

putaran

360 1

1 = .

Selain satuan derajat kita juga dapat menggunakan satuan lain untuk mengukur

sudut yakni satuanradian.

Satu radian adalah besar sudut pusat lingkaran yang menghadap busur

lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran. Jika kita perhatikan

gambar di atas maka

1 radian B

A

O r

r r

||

(3)

OA dan OB adalah jari-jari lingkaran dengan panjang r.

AB = OA = r

Jadi besar∠AOB = 1 radian.

Kita ketahui bahwa keliling lingkaran adalah 2πr satuan, maka besar sudut satu

putaran penuh adalah 2π radian, sedangkan dalam satuan derajat satu putaran adalah

360o, sehingga kita dapatkan hubungan

radian radian

maka dengan

radian radian

radian

o

o o

o

180 1

3 , 57 1

7 22 ,

180 1

180 2

360 360 2

π

π π

= =

=

Contoh :

1. Ubahlah ke dalam ukuran radian

a. 30o b. 150o c. 240o d. 300o e. 390o

Penyelesaian

a. Diketahui o radian_,maka

180 1 = π

radian radian

radian

o o

6 18 3

180 30 30

π π

π

= =

× =

radian radian

radian

b o o

6 5

18 15

180 150 150 .

π π

π

= =

(4)

radian

2. Ubahlah ke dalam ukuran derajat

a. π radian

a. Diketahui o

(5)

( )

o o

o

radian b

300 60 5

180

3 5

3 5 .

= =

× =

π π π

( )

o o

o

radian c

210 30 7

180 6

7 6

7 .

= =

× =

π π π

( )

o o

o

radian d

75 15 5

180 12 5 12

5 .

= =

× =

π π π

( )

o o

o

radian b

180 15 12

180 12

13 12

13 .

= =

× =

(6)

Perbandingan Trigonometri Pada Segitiga Siku-siku

Perhatikan segitiga siku-siku ABC di atas dari ketiga panjang sisi kita bisa membuat

enam perbandingan sisi, yakni,

r

Keenam perbandingan tersebut masing-masing diberi nama sinus (sin), kosinus (cos),

tangent (tan), kosekan (cosec), sekain (sec) dan kotangen (cot).Perbandingan din atas

disebut sebagaiperbandingan trigonometri.

Jadi perbandingan trigonometri adalah perbandinga atau rasio antar sisi-sisi pada

segitiga siku-siku.Berdasarkan uraian di atas maka dapat ditarik definisi sebagai berikut

:

Sisi dekat sudut

(7)

Contoh :

1. Diketahui segitiga siku-siku ABC dengan siku-siku di A, panjang sisi a = 5 cm, b =

3 dan c = 4, dan∠ABC adalah , Tentukan perbandingan trigonometri sudut .

Penyelesaian

2. Jika

2 2

sinθ = tentukan perbandingan trigonometri lainnya.

Penyelesaian

Gambarlah segitiga siku-siku dari informasi pada soal.

Sehingga nlai perbandingan tigonometri dapat kita tentukan, yaitu : A

Dengan menggunakan teorema

Pythagoras maka kita panjang AB

dapat diketahui:

(8)

3. Diketahui Cosθ = x , sudut lancip, tentukan nilai perbandingan trigonometri lainnya.

Penyelesaian

Gambarlah segitiga siku-siku dari informasi pada soal.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras maka pajang PQ kita temukan

2

Sehingga nilai perbandingan tigonometri dapat kita tentukan, yaitu :

Perbandingan trigonometri pada sudut istimewa

Sudut istimewa adalah sudut dengan nilai fungsi trigonometri dapat ditentukan secara

langsung tanpa menggunakan table trigonometri atau kalkulator. Sudut istimewa yang

dimaksud adalah sudut-sudut yang besarnya : 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o.

Nilai fungsi trigonometri sudut-sudut istimewa dapat ditentukan dengan cara

menggambarkan masing-masing sudut tersebut pada bidang cartesius, kemudian dicari

perbandingan sisi-sisinya.

(9)

a). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 0o

Jika sudut = 0o, maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu x positif. Koordinat

titikPadalah (r, 0) sehingga r = x dan y = 0

b). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 30o

Jika sudut = 30o, maka koordinat titik P adalah ( 3 , 1) sehingga absis x = 3 ,

ordinat y = 1, maka dengan Pythagoras didapat r = 2

c). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 45o

Jika sudut = 45o, maka koordinat titikPadalah (1, 1) sehingga absis x =1, ordinat y

= 1, maka dengan Pythagoras didapat r = 2

Dengan demikian nilai-nilai fungsi trigonometri sudut

0odapat ditentukan sebagai berikut :

0

2

(10)

d). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 60o

Jika sudut = 60o, maka koordinat titik P adalah (1, 3 ) sehingga absis x =1,

ordinat y = 3 , maka dengan Pythagoras didapat r = 2

e). Nilai fungsi trigonometri untuk sudut 90o

Jika sudut = 90o, maka kaki sudutOPberimpit dengan sumbu y positif. Koordinat

titikPadalah (0, r) sehingga x = 0 dan y = r

Dari uraian di atas maka nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa adalah

sebagai berikut :

S u d u t Perbandingan

Trigonometri 0o 30o 45o 60o 90o

Sinus (sin) 0 2

Kosinus (cos) 1 3 2

3

1

(11)

Contoh :

1. Diketahui segitiga siku-siku ABC, dengan panjang sisi a = 4 cm dan ∠A = 60o,

tentukan panjang sisi c dan b.

Penyelesaian

2. Roni mengukur bayangan sebuah tiang di tanah, dan ternyata panjangnya 4,8 m. Ia

lalu mengukur sudut antara ujung bayangan dengan ujung tiang dan hasilnya 60o,

maka tinggi tiang sebenarnya adalah…

Penyelesaian

3. Pada segitiga siku-siku, dengan siku pada B, panjang sisi c = 27 3 cm. panjang sisi

(12)

4. Nilai dari cos 30o cos 60o+ sin 30ocos 60o

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi

a). Pada kuadran Pertama

Sin (90o- ) =

Pada gambar di sampingOP’ adalah

bayangan dariOPyang dicerminkan

terhadap garis y = x

∆OQ’P’dan ∆OQPkongruen, maka

OQ’ = OQ= x

P’Q’ = PQ= y

KoordinatP’ adalah (x’, y’) dengan

x’ = y dan y’ = x.

Jadi koordinatP’(y, x).

(13)

-Contoh

1. sin 70o= sin (90o– 20o) = cos 20o

2. cos 55o= cos (90o– 35o) = sin 35o

3. tan 86o= tan (90o– 4o) = cot 4o

b). Pada kuadran Kedua

Contoh :

1. sin 113o= sin (180 – 67)o= sin 67o

2. cos 136o= Cos (180 – 44)o= - cos 44o

3. tan 95o= tan (180 – 85)o= - tan 85o

c). Pada Kuadran Ketiga

•P(x, y)

y P’(x’, y’) •

y r 180

o

-Q’ - x O x Q

Pada gambar di samping∆OQ’P’ adalah

bayangan dari∆OQPyang dicerminkan

terhadap sumbu y

∠Q’OP’ = =∠QOP

∠QOP’ = 180o

–

Maka

Sin (180o– ) =

r y

= sin

Cos(180o– ) =

r x

−

= -cos

Tan (180o– ) =

x y

− = - tan

•P(x, y)

y

P’(- x, - y) •

1

8

0

o+

- y r

r

O x Q

Q’ - x

Pada gambar di samping∆OQ’P’ adalah

terhadap titik O

∠Q’OP’ = =∠QOP

∠QOP’ = 180o+

Maka

Sin (180o+ ) =

r y

−

= - sin

Cos(180o+ ) =

r x

−

= -cos

Tan (180o+ ) =

x y

(14)

Contoh

1. sin 190o= sin (180 + 10)o= - sin 10o

2. cos 250o= cos (180 + 70)o= - cos 70o

3. tan 205o= tan (180 + 25)o= tan 25o

d) Pada Kuadran Keempat

Nilai Perbandingan Trigonometri di berbagai kuadran

•P(x, y)

y

• P’ (x’, - y) 360o

-- y x r

r O

Q

Pada gambar di samping∆OQP’ adalah

terhadap sumbu x

∠QOP’ = =∠QOP

∠QOP’ = 360o

-Maka

Sin (360o- ) =

r y

−

= - sin

Cos(360o- ) =

r x

= cos

Tan (360o- ) =

x y

−

= -tan

Kuadran I : 0 α< 900

(+) Sinα= y/r (+) Cosα= x/r (+) Tanα= y/x

Sinα= cos (900_-_α₎ Cosα= Sin (900-α) Tanα= cot (90 -α)

•P (x, y)

α •Q (- x, y) Kuadran II : 900 _β_{< 180}0

(+) Sinβ= y/r (-) Cosβ= - x/r (-) Tanβ= - y/x

Sinβ= Sin (1800-β) - Cosβ= cos (1800_-_β₎ - Tanβ= tan (180 -β)

β θ

Kuadran III: 1800 θ< 2700

(-) Sinθ= - y/r (-) Cosθ= - - x/r (+) Tanθ= - y/- x

- Sinθ= Sin (1800+θ) - Cosθ= cos (1800₊_θ₎ Tanθ= tan (180 +θ)

•R (- x, - y) •T (x, - y)

Kuadran IV : 2700 γ< 3600

(-) Sinγ= - y/r (+) Cosγ= - x/r (-) Tanγ= - y/ x

(15)

Contoh

cosθ = dan terletak di kuadran empat, maka nilai sin dan tan adalah..

Penyelesaian

Diketahui :

r

Karena terletak dikuadran empat maka nilia sin dan tan adalah negatif

7

3. Suatu sudut terbentuk antara sumbu x dan garis yang melelui titik pusat O dan titik

(5, - 6). Jika diketahui sudut lain yang terbentuk antara sumbu x dan garis yang

melalui titik (- 5, 6) dan titik pusat, tentukanlah perbandingan nilai kedua sinus kedua

sudut tersebut.

Penyelesaian

Perhatikan grafik di samping, maka.

61

Jadi perbandingannya

(16)

C. Rangkuman 1

1. Hubungan derajat dan radian adalah

o o

rad atau

rad 180 180

1 = π =

π

2. Misalkan∆ABC siku-siku di B, dengan ∠A = , Sisi miring AC disebut hipotunesa, BC

sisi hadap dan AB sisi dekat, maka :

3. Nilai perbandingan trigonometri pada susut istimewa adalah

S u d u t Perbandingan

Trigonometri 0o 30o 45o 60o 90o

Sinus (sin) 0 2

Kosinus (cos) 1 3 2

4. Rumus perbandingan trigonometri sudut berelasi

a). Pada kuadran I

Sin (90o- ) = cos Cos (90o– ) = sin Tan (90o– ) = cot b). Pada kuadran II

Sin (180o– ) = sin Cos(180o– ) = - cos Tan (180o– ) = - tan c). Pada kuadran III

Sin (180o+ ) = - sin Cos(180o+ ) = -cos Tan (180o+ ) = tan d). Pada kuadran IV

(17)

Cos(360o- ) = cos Tan (360o- ) = -tan

D. Lembar Kerja 1

1. Nyatakan besar sudut berikut kedalam satuan radian

a. 135o d. 41o10’

b. 205o e. 150o48’

c. 504o f. 246o15’30”

………...

2. Nyatakan besar sudut berikut ke dalam satuan derajat

a. 100 rad d. 0,75 rad

b. 10 rad e. π

18 13

rad

c. 3πrad f. 1,8πrad

………...

3. Tentukan nilai dari keenam perbandingan trigonometri dari segitiga berikut

a. b.

24 25

(18)

………...

4. Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari sudut pada koordinat cartesius

berikut :

a. b.

………...

5. Jika

3 2

cosθ = , tentukan nilai dari y

•P (9, 12)

O x

O

(19)

a. sin b. tan c. cot

………...

6. Diketahui tan = 0,75 tentukan nilai

a. Cosec b. sec

………...

7. Tentukan nilai dari

a. cos60o.cos30o −sin60o.sin30o =. …

b. ...

30 tan . 60 tan 1

30 tan 60 tan

= +

−

o o

c. _o _o

o o

120 cot 330 sec

60 tan 3 240 cos 150

sin 0

− + −

=….

………...

(20)

a. _o _o o o

130 tan 140 tan 1

130 tan 140 tan

+

−

b. _o _o

o o

320 tan 230 tan

130 tan 220 tan

+ −

………...

9. Jika

2 1

tanx= , untuk

2 3π

π < x< , maka nilai dari sin2x−sinx.cosx+cosx

adalah.

………...

10. Jika1−cos2α =0,36, maka nilai dari sinα.tanα adalah…

………...

(21)

E. Tes Formatif 1

1. Nilai π

2 1

2 rad adalah…

a. 415o d. 385o

b. 405o e. 375o

c. 395o

2. Perhatikan gambar di bawah, jarak titik R

dengan garis horizontal adalah….

a.

(

3+ 3

)

cm

b.

(

2+ 3

)

cm

c. 3 3 cm

d. 3 cm

e. 4 cm

3. Jika P (- 2, - 2) dan adalah sudut antar sumbu x dengan garis yang melalui titik

P dan titik asal, maka nilai cos adalah..

a. 3

2 1

− d. 3

2 1

b. 2

2 1

− e. 1

c. 2 2 1

4. Jika

5 3

sina = , untuk 90o< a < 180omaka cos a adalah..

a. 5 4

− d.

5 3

R

•

2 cm

30o

Q

•

2 cm

30o

P

•

2 cm

O 30o

(22)

b. 5 3

− e.

5 4

c. 4 3

5. Segiempat ABCD di bawah, siku-siku di A dan C,∠ABD = ,∠CBD = . Jika

AD = p, maka BC =…

a. p cos cos

b. p sin cos

c.

α β

sin cos

p

d.

α β

sin sin

p

e.

α β

cos sin

p

6. Segitiga ABC siku-siku di A. jika BC = p, AD⊥BC, DE⊥AC dan sudut B = ,

maka panjang DE =…..

a. p cos cos2

b. p sin2

c. p sin2 cos

d. p sin tan2

e. p sin2 cos2

7. Jika = 30o, nilai m dan n berturut-turut adalah…

8. Diketahui

4 5

tanθ = maka sec adalah…

a. 41 4 9

d. 2 9 1 D

C

A B

C

D E

B A

m 4

a. 2 3dan 2

b. 3 2 dan 2

c. 1 dan 3

d. 2 3 dan 1

(23)

b. 9 8

e. 2 4 1

c. 9 4

9. Sin 181o=…

a. – sin 179o d. cos 1o

b. – sin 89o e. – cos 89o

c. sin 1o

10. cos230o+ sin230o– 2 cos 90o=…

a. 3 3 1

d. 1

b. 9 7 2

e. – 2

c. 0

11. Diketahui sin 40o= 0,6428; cos 40o= 0,766 dan tan 40o= 0,8391. maka nilai dari

sin 140o+ cos 220o– tan 320oadalah…

a. 0,7159 d. – 2,2479

b. 0,5697 e. 0,5697

c. 2,2479

12. cos 150o+ sin 45o+ 1₂_{cot (– 330}o_{) = ….}

a. –1₂ 3 _d. ₃

2 1

b. – ₂1 2 _e. ₂

c. ₂1 2

13. Diketahui tan x = 2,4 dengan x dalam selang (

π

, 2 3

π

) , maka sin x = ….

a. 13

5

d. 13 12

b. -13

5

e. 12

5

c. -13 12

14. Nilai dari – 4 tan 3 2

π. sin 3 1

(24)

a. –4 d. 5

b. –6 e. 6

c. 4

15. Bentuk sederhana dari cos(90 + A) + sin ( 180 – A) – sin ( 180 + A) – sin( - A)

adalah ….

a. sin A d. 4 sin A

b. 2 sin A e. 2

c. 3 cos A

16. Cos (270 – p )o= ….

a. – cos p d. sin p

b. – sin p e. tan p

c. cos p

17. Nilai dari – 4 tan 3 2

π. sin 3 1

π= ….

a. –4 d. 5

b. –6 e. 6

d. 4

18. Nilai cos 11100adalah….

a. 3 d. −½ 3

b. ½ 3 e. ½

c. − 3

19.

Pada gambar di atas nilai (p x q) adalah…

a. 3 3 d. 6 3

b. 6 e. 13 ½

q p

30o

(25)

c. 9

20. Diketahui 3 2 1

cosα = untuk 0 < < 1800Nilai sin (- ) =..

a. 2 2 1

d. 2 1

−

b. 3 2 1

e. 2 1

c. 3

2 1