Susunan Antena. Oleh : Eka Setia Nugraha S.T., M.T. Sumber: Nachwan Mufti Adriansyah, S.T., M.T.

Susunan Antena

Oleh :

Eka Setia Nugraha S.T., M.T.

Sumber:

A. Pendahuluan

Dalam kuliah Medan Elektromanetika Telekomunikasi kita sudah mengenal penjumlahan/ superposisi medan.

Telah dikenal bahwa medan total disuatu titik merupakan superposisi dari medan-medan yang datang dititik tersebut (medan-medan datang dan/atau medan pantul).

...

E

E

E

E



_t





₁





₂





₃



Dalam hal antena, medan total (magnituda dan fasa) dari suatu susunan antena tergantung dari magnituda dan fasa dari medan-medan yang dihasilkan masing-masing elemen antena.

Fasa dari medan-medan yang datang dari masing-masing elemen antena

berbeda karena adanya perbedaan jarak yang ditempuh masing-masing

gelombang.

Jika perbedaan jarak tempuh dua buah gelombang adalah d , maka beda fasa antara kedua gelombang tersebut pada titik observasi adalah :

d

2

d

.



















Contoh..

Lihat gelombang langsung dan gelombang pantul di bawah ini ..

₁

O

_2 h2 h₁

A

B

Tx

Rx

Di penerima ( titik B ), medan total adalah penjumlahan / superposisi dari gelombang langsung dan

gelombang pantul Gelombang Langsung ( E_S1 ) ( Melalui lintasan AB ) 1 j 0 1 S

E

e

E



 Gelombang Pantul ( E_S2 )

( Melalui lintasan AOB )

2 j 0 2 S

E

e

E





Beda fasa antara kedua gelombang,



AOB

AB



2

d

2 1



























A. Pendahuluan

Persamaan medan totalnya menjadi...





 



  



   

















1 1 2 1 2 1 j j 0 j j 0 j 0 j 0 2 S 1 S t

e

e

E

e

e

E

e

E

e

E

E

E

E

₁

O

_2 h2 h₁

A

B

Tx

Rx

Jika medan E₁ dianggap sebagai referensi ( fasanya dianggap = 0 ), maka akan didapat persamaan :



_







j 0 t

E

1

e

E

A. Pendahuluan

Susuna

n

Antena

• Konsep Dasar Susunan

a. Susunan 2 antena isotropik untuk berbagai kasus ( amplitudo dan fasa sama, amplitudo sama fasa berbeda, amplitudo dan fasa berbeda ), meliputi : (1) persamaan medan total susunan, (2) penentuan letak medan maksimum dan minimum, (3) diagram arah medan dan fasa b. Prinsip perkalian diagram dan sintesa pada susunan antena

sejenis, meliputi : syarat-syarat, teknik perkalian, dan sintesa

• Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis

a. Distribusi Arus Uniform, meliputi : penurunan persamaan medan total susunan, arah maksimum dan minimum, Array Factor, gain susunan, teknik desain antena

b. Distribusi Arus Non Uniform, terdiri dari : (1) Susunan Binomial (2) Susunan Optimum (Dolph Tchebyschef), (3) Susunan Edge

a. Susunan Distribusi Arus Kontinyu

• Macam-Macam Susunan

b. Susunan Antena Parasit

d

Ke titik observasi pada medan jauh

f

garis dianggap sejajar k a r e n a j a r a k titik observasi >> dimensi antena (di medan jauh)

x y f cos 2 d 0 1 2 f cos 2 d

B. Konsep Dasar Susunan

B.2. Susunan 2 Sumber Titik

Isotropis

Lihat susunan 2 sumber isotropis di bawah ini !

B.1. Tujuan Membuat Susunan / Array Antena…..

• Mendapatkan diagram arah dengan pola tertentu ( beam forming ) • Mendapatkan diagram arah dengan pengendalian arah tertentu ( beam

steering )

• 2 sumber isotropis

dipisahkan oleh jarak d • Titik observasi adalah ke

arah sudut f dari sumbu horisontal (sumbu-x)

• Garis orientasi dari sumber-sumber isotropis menuju titik observasi dianggap sejajar karena d (jarak antar sumber isotropis) <<

daripada jarak antena menuju titik observasi Interpretasi gambar..

d

f

x y f cos 2 d 0 1 2 f cos 2 d

Kasus 1 :

Amplitudo dan Fasa Sama

Jika

titik O dianggap sebagai referensi (dianggap sbg titik dengan fasa = 0 ), maka E₁ akan tertinggal sebesar :

t E 2 j 0 2 E e E   2  2  

Sehingga

, medan gabungan E_t dapat dituliskan sebagai berikut :

j j  





• Referensi titik 0...

f









cos

2

d

2

2

dan medan E₂ akan mendahului sebesar :

f









cos

2

d

2

2

Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama 2 j 0 2 j 0 t

E

e

E

e

E

  





























  

2

e

e

E

2

E

2 j 2 j 0 t

2

cos

E

2

E

_t



₀



Medan maksimum terjadi ketika, ( d =  )

Medan minimum terjadi ketika, ( d =  )

dengan,

Jadi, untuk referensi titik 0

f





d

_r

cos

d

2

d

_r







0

cos

d

1

2

cos

f

_m













0

cos

f

_m











f



2

3

,

2

m

2

cos

2

1

0

2

cos



f

₀



















f



₀

0

,

mencari medan maksimum dan minimum

dimaksudkan untuk menggambar diagram arah medan

Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama d f x y f cos d 0 1 2 t

E

  j 0 2 E e E



Jika

titik 1 dianggap sebagai referensi (dianggap sbg titik dengan fasa = 0 ), maka E₂ akan mendahului sebesar :

Sehingga

, medan gabungan E_t dapat dituliskan sebagai berikut :







j 0 0 t

E

E

e

E

• Referensi titik 1...

f









2

d

cos

























   

2

e

e

e

E

2

E

2 j 2 j 2 j 0 t 2 j 0 t

e

2

cos

E

2

E







dengan,

Jadi, untuk referensi titik 1

f





d

_r

cos

d

2

d

_r







Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama







j 0 0 t

E

E

e

E















fasa magnituda 0 t

₂

2

cos

E

2

E









      _f   cos 2 d 2 cos E 2 ₀ f       _f   cos 2 d 2 f Diagram Arah Medan Diagra m Fasa

Kasus 1 : Susunan Isotropik Amplitudo dan Fasa Sama o

90

o

0

o

90



f

)

(

f

_p

f

o

90

o

180

360

o referensi titik 1 referensi titik 0

f

2



x

y

Diagram arah medan

Berbentuk “Donat”

Diagram arah fasa

2

cos

E

2

E

_t



₀

















0 t

₂

2

cos

E

2

E









Ref. titik 0 Ref. titik 1

























_f







2

d

cos

2

1

cos

E

2

E

_{t 0}

Lihat cara mencari arah

Kasus 2 :

Amplitudo Sama, Beda Fasa 180o

Beda fasa pada medan-medan yang dihasilkan oleh 2 antena yang dicatu dengan amplitudo arus yang sama di titik jauh disebabkan karena jarak relatif antara dua antena tersebut, dinyatakan oleh :

f









2

d

cos

Jika dua antena tersebut dicatu oleh arus dengan beda fasa tertentu, maka beda fasa antara medan-medan yang dihasilkan dinyatakan oleh :

f





f









2

d

cos

• Referensi titik 0...

2

cos

E

2

E

_t



₀



_f

_

_









2

d

cos

Harga maksimum, d = ½

f





f



d

_r

cos









_f

_









2

cos

d

cos

E

2

E

_{t 0}





2

1

k

2

cos

f

_m

















f

_m

0

,

beda fasa medan karena perbedaan jarak relatif antar sumber

Pengaruh perbedaan fasa arus...

beda fasa medan karena beda fasa arus catuan sumber







f





k

cos

₀ Harga minimum, d = ½

Kasus 2 : Amplitudo sama, beda fasa 180o







f

2

3

,

2

0 Harga ½ daya, d = ½

2

2

1

cos

2

12



f



diagram arah medan





4

1

k

2

cos

2

12









f



o 2 1



60

f

o 2 1



60

f

2 

x

y

o 1

120

2

HPBW



f



Kasus 3 :

Amplitudo Sama, Beda Fasa 90o

• Referensi titik 0...

2

cos

E

2

E

_t



₀



2

cos

d

2





f

















_f

_









4

cos

d

cos

E

2

E

_{t 0}

Untuk menggambarkan diagram arah fungsi tidak sederhana, hitunglah untuk nilai medan untuk nilai maksimum dan minimum, serta terutama untuk sudut-sudut istimewa. Buat tabel perhitungan sbb :

f

E

_t

(

f

)

0

o

10

o

dst

2  x y 2   d 4  x y 2   d setelah itu…plot !!

Kasus Umum :

Amplitudo Berbeda, Beda Fasa =d

• Referensi titik 1

d



f









2

d

cos





_































cos

a

1

sin

a

tan

sin

a

cos

a

1

E

E

_{t 0} 2 2 2 1 Misal : 0 1

E

E



dan

_E

₂



_aE

₀

Beda fasa sembarang !! Bentuk Umum : dan,



0

aE

0

E

t

E

B.3. Prinsip Perkalian Diagram dan Sintesa

Pada Susunan Antena Sejenis

a. Perkalian Diagram...

• Susunan antena

biasanya akan terdiri dari antena-antena sejenis. Antena sejenis adalah antena yang memiliki diagram arah medan dan fasa yang sama, dan orientasinya juga sama.

• Susunan dari sejumlah n antena-antena sejenis, dapat diperhatikan sebagai susunan sejumlah n sumber isotropik dengan catuan arus dan fasa tertentu, sehingga memiliki Diagram Arah dan Diagram Fasa yang terkoreksi dari diagram susunan isotropiknya.

• Pada susunan antena yang sejenis

, dapat dipakai

PRINSIP

PERKALIAN DIAGRAM

• Untuk susunan TAK ISOTROPIK DAN/ATAU TAK SEJENIS

TIDAK BERLAKU PRINSIP PERKALIAN DIAGRAM

 

 

 f

f





jf , e p

e

.

,

f

E

• Misalkan suatu antena A, memiliki diagram arah yang

dinyatakan sebagai berikut :

• Dan susunan sejumlah – n antena isotropis memiliki diagram

arah :

 

 

 f

f





jF , 0 ti p

e

.

,

F

E

E

• Maka, susunan sejumlah – n antena A, akan memiliki diagram

arah sesuai Prinsip Perkalian Diagram, sbb :

   

   



 



 





 



 



fasa p p medan magnitude 0 te

E

f

,

F

,

f

,

F

,

E





f



f





f



f

JD Krauss, Marhefka, RJ,

“Antennas For All Applications”, McGraw-Hill, 2002 page-100

JD Krauss, Marhefka, RJ, “Antennas For All Applications”, McGraw-Hill, 2002 page-101

• Problem sintesa • Definisi / tujuan

sintesa

Proses untuk mencari sumber atau susunan yang

memberikan diagram arah sesuai keinginan designer Sintesa diagram tidak selalu sederhana dan mungkin

menghasilkan susunan yang kurang realiable. Salah satu sintesa yang sederhana adalah dengan

menggunakan

Prinsip Perkalian Diagram

b. Sintesa Diagram...

• Contoh

persoalan sintesa

Carilah susunan antena yang mempunyai diagram arah dengan radiasi

maksimum ke arah utara (f = 0 ) dan radiasi minimum ke arah barat, timur, tenggara, dan barat daya

• Pada susunan primer

2

cos

E

₁





_dengan







f



d





f



d









2

0

,

3

cos

0

,

6

cos

0

E

₁



pada

 Misalkan kita tentukan d = 0,3 



2

k

1



,

k

0

,

1

,

2

,...

dst

135

o















f

Maka :

2

cos

E

2

E

_t



₀



_f

_

_d









2

d

cos

Bentuk umum :



















d









d







425

,

0

1

k

2

1

k

2

2

1

6

,

0

• Pada susunan sekunder

2

cos

E

₂





_dengan







f



d





f



d









2

0

,

6

cos

1

,

2

cos

0

E

₂



pada

 Misalkan kita tentukan d = 0,6 

o o

180

270



d





f

2

cos

E

2

E

_t



₀



_f

_

_d









2

d

cos

Bentuk umum :

• Jadi, medan total hasil perkalian :



 





o o

 

o o



o o 2 1 t

90

cos

108

cos

52

cos

54

cos

2

180

cos

2

,

1

cos

2

104

cos

6

,

0

cos

E

E

E



f



f





f







f









C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis

• Telah kita sepakati sebelumnya bahwa diagram arah medan

maupun fasa dapat diubah-ubah dengan mengatur distribusi

arus pada masing-masing elemen antena

• Pada sub bab ini, dipakai elemen antena isotropis dan

kemudian dilihat pengaruh perubahan distribusi arus pada

masing-masing elemen terhadap perubahan diagram arah dan

fasa, gain susunan, dan sebagainya

• Distribusi arus yang diamati :

• Distribusi arus uniform

C.1. Distribusi Arus

Uniform

Pengantar

Kita memakai prinsip-prinsip yang sudah dipahami sebelumnya untuk menurunkan persamaan medan total yang dihasilkan oleh susunan sejumlah n antena isotropis

d

Ke titik observasi pada medan jauh

f

x y 1 ₂ f cos d 3 d n

• Referensi titik 1

Dengan dinormalisasikan terhadap E_o,

   

_

_

_





j j2 j(n 1) tn

1

e

e

...

e

E

    

_

j

_

j2

_

j3

_

_

jn j tn

e

e

e

e

...

e

E

-



_

j



_

_

jn tn

1

e

1

e

E

































_          2 j 2 j 2 jn 2 jn 2 j 2 jn j jn tn

e

e

e

e

e

e

e

1

e

1

E

Didapatkan, Lihat gambar berikut,

 

 

 2 dcos

Sehingga

, didapatkan medan total ternormalisasi untuk referensi pada titik 1















 











 



2

sin

2

n

sin

E

_tn dimana,









2

1

n

dan,

f



d









2

cos

d = jarak spasi antar elemen

d = beda fasa antar catuan

Dengan cara yang sama

, kita bisa mendapatkan persamaan medan total ternormalisasi untuk referensi titik tengah, sbb :











 











 



2

sin

2

n

sin

E

_tn Diagram fasa persamaan disamping berupa STEP FUNCTION yang

diberikan dari polaritas (+/-) harga E_tn

Selanjutnya kita akan pelajari

:

_{• Menurunkan syarat medan}

maksimum dan minimum

• Array Factor

• Konsep Gain Susunan











 











 



2

sin

2

n

sin

E

_tn

Medan Maksimum dan Minimum ...

Lihat kembali persamaan berikut !

• Medan maksimum

terjadi jika suku penyebut

sama dengan atau mendekati nol

0

2

sin













 

atau

0

2













 

atau





0

Jika

 tidak pernah mencapai harga nol, maka

medan maksimum terjadi jika  mencapai harga minimum

• Medan minimum

terjadi jika suku pembilang

sama dengan nol

0

2

n

sin













 

atau dst ,... 2 , 1 , 0 k

k

2

n









_

Tetapi

, k tidak boleh merupakan kelipatan dari n (k  mn)

PR : Mengapa ?

Array Factor ...

Array factor adalah normalisasi medan total susunan antena

terhadap nilai maksimum dari

medan total susunan tersebut maks

t N

E

E

E

AF

Factor

Array







Contoh,

lihat persamaan medan total sebelumnya !!











 











 



2

sin

2

n

sin

E

_t

E

_maks

tercapai pada



= 0

n

2

sin

2

n

sin

lim

E

0 tmaks













 











 



 











 











 



sin

2

n

sin

n

1

E

_N

Array Factor

t

E

E



Faktor susunan (untuk sejumlah sumber) dapat digambarkan

sebagai fungsi



. Jika



adalah merupakan fungsi

f

, maka nilai

dari faktor susunan dan pola medan akan dapat langsung diketahui

dari grafik di bawah ini !

Gain Susunan ...

• Jika daya W masuk pada 1 antena 

maka

0

1

E

E



• Jika daya W masuk pada n antena 

maka

n

E

'

E

₁



0

• Dan

E

n

n

E

n

'

E

n

E

_{t maks}



₁



0



₀

• Sehingga,

- Penguatan

Medan

n

E

n

E

G

0 0 F





- Penguatan Daya

 

n

G

G



_F 2



Kasus 1

(Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Broadside

Untuk menghasilkan pola pancar broadside, dapat dicapai dari contoh berikut :

0

,

2

d

,

4

n







d



Arah maksimum

, dicapai untuk





d

r

cos

f

m



0

2

3

dan

2

m







f

didapa t

Arah minimum

, dicapai untuk

0

2

n

sin













 

dst ,... 2 , 1 , 0 k

k

2

n









_

























_

_

_

_d



f

 r 1 0

d

1

n

k

2

cos





















f

    1 k 2 k 0

2

k

cos

didapa t o o 0  60 / 120 f o o 0  0 /180 f

• Pola pancar dan fasa susunan broadside

Kasus 2

(Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Endfire

Biasa

_{• Endfire memiliki sifat : E}

maksimum pada sudut

f

= 0 (

f

_m

= 0 )

• Proses desain dilakukan dgn

menentukan beda fasa

d

yang

memberi

f

=0 , pada harga E

_maks

atau



=0

o

_.

• Jadi,



=0

o

untuk

f

_m

=0

o

d

2

d

cos

d

0

r m r













d



d



f





• Untuk n = 4, d =



/2, didapat :

d

= -



C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis

Kasus 3

(Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Endfire

Hansen-Woodyard Dengan Direktifitas Diperbesar

• Susunan Endfire Hansen-Woodyard

dgn direktifitas diperbesar , dicapai

dgn syarat :













_







d

n

d

_r





n

1

cos

d

_r

f













• Emaks terjadi pada :

n

dan

0

_m m







f



f

• Faktor susunan dapat dituliskan

sbb:



 











 







 



2

n

sin

sin

E

_N Gambar diatas

Kasus 4

(Utk Distribusi Arus Uniform) – Susunan Dengan

Medan Maksimum Untuk Arah Sembarang

Misalkan ditentukan medan

maksimum untuk arah tertentu yang

sembarang

• Maksimum terjadi ketika :

0





0

2

n

sin













 

• Minimum terjadi ketika :

d



f









2

cos

dimana,

• Gambar disamping berasal dari

perhitungan untuk :

o m

60

dan

,

2

d

,

4

n







f



C.2. Distribusi Arus Non-Uniform

Seperti juga dengan pengaturan fasa untuk tiap catuan susunan, maka

perubahan pola pancar dapat juga dicapai dengan mengatur distribusi arus tiap catuan. Tujuannya adalah untuk mendapatkan pola pancar yang

diinginkan. Pada sub-bagian ini kita mempelajari beberapa macam distribusi arus tidak seragam dan pengaruhnya pada pola pancar yang dihasilkan

C.2.1. Distribusi Binomial

• Distribusi arus Binomial disebut juga sebagai Distribusi John

Stone

• Susunan dgn distribusi ini

berarti urutan amplituda arus

harus sebanding dengan

koefisien-koefisien pada deret

suku banyak yang memenuhi :





 

 



a

b

...

dst

!

2

2

n

1

n

b

a

1

n

a

b

a



n1



n1





n2







n3 2



Koefisien-koefisien tersebut membentuk Deret Segitiga Pascal

• Sifat pengarahan yang didapatkan : (1) perbandingan mayor

terhadap minor lobe 



, (2) lebar berkas mainlobe cukup

besar

C.2.2. Distribusi Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Distribusi Dolph-Tchebyscheff digunakan untuk mendapatkan kriteria optimum dari pola pancar antena susunan.

Kriteria optimum terdiri

dari 2 macam :

• Jika lebar berkas mainlobe ditentukan, maka perbandingan mayor terhadap minorlobe akan (menuju) maksimum. • Jika perbandingan antara mayor

terhadap minor lobe ditentukan, maka lebar berkas main-lobe akan (menuju) minimum.

Dalam distribusi Dolph-Tchebyscheff, diasumsikan syarat sbb:

• Antena ISOTROPIS dengan distribusi amplitudo arus SIMETRIS • Beda fasa antar catuan elemen isotropis berdekatan = 0 (d = 0) • Jarak spasi antar elemen isotropis SERAGAM (d seragam)

d 2 d dgn r r r

sin

d

cos

d

  





f





sehingga, selisih fasa kuat medan penerimaan dari elemen berdekatan pd titik observasi yang jauh

 = 0

 f

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Penurunan

medan total susunan dilakukan dengan cara yang

sama (spt sebelumnya), dengan referensi titik tengah susunan.

Didapatkan medan total untuk n-genap sbb:















_













2

1

n

cos

A

2

...

2

3

cos

A

2

2

cos

A

2

E

_{ne 0 1 k} e







  













_





k N 1 0 k k ne

2

1

k

2

cos

A

2

E

_Dimana,

n

_e

= jumlah elemen

(genap)

2

n

N



e

k = 0, 1, 2, … , (N-1)

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Sedangkan medan total untuk n-ganjil sbb:















_















2

1

n

cos

A

2

...

2

cos

A

2

cos

A

2

A

2

E

_{no 0 1 2 k} o

 



 

















k N 0 k k no

2

k

2

cos

A

2

E

Dimana,

n

_o

= jumlah elemen

(ganjil)

2

1

n

N



o



k = 0, 1, 2, … , N

C. Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis







  













_





k N 1 0 k k ne

2

1

k

2

cos

A

2

E



 

 

















k N 0 k k no

2

k

2

cos

A

2

E

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Dua persamaan di atas, dapat dipandang sebagai suatu DERET FOURIER

dengan suku terbatas. Sepasang suku menyatakan kontribusi dari “sepasang” sumber atau dari sumber tengah. Dan dapat dianggap sebagai penjumlahan

konstanta DC, fundamental, dan harmonik-harmonik.

Contoh :



















 















sin

sin

2

2

,

maka

2

d

dan

,

9

n

dan konstanta A

_k

diasumsikan  2A

₀

= A

₁

= A

₂

= A

₃

= A

₄

= 

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

 



 

















k N 0 k k no

2

k

2

cos

A

2

E



















 

















sin

sin

2

2

2

d

dan

,

9

n



















cos

cos

2

cos

3

cos

4

2

1

E

₉

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Dalam distribusi arus OPTIMUM

(Dolph-Tchebyscheff), nilai konstanta-konstanta

A

_k

adalah sesuatu yang ditentukan dgn

perhitungan yang akan kita lakukan, untuk

mendapatkan pola pancar optimum.

Optimum ditinjau dari sisi :

Perbandingan mayor terhadap

minorlobe-nya, atau lebar berkas

mainlobe

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Polinom Tchebyscheff

m 2 jm

2

sin

j

2

cos

2

m

sin

j

2

m

cos

e















_













 Teorema de Moivre m

2

sin

j

2

cos

Re

2

m

cos















_







sehingga,

...

sin

cos

)

3

m

)(

2

m

)(

1

m

(

m

2

cos

!

2

)

1

m

(

m

2

cos

2

m

cos

4 4 m 2 m m



























 

Persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai Deret Binomial sbb:

A

Susunan Linear n Sumber Titik Isotropis

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

dst 1 2 cos 8 2 cos 8 2 m cos 0 m 2 cos 3 2 cos 4 2 m cos 3 m 1 2 cos 2 2 m cos 2 m 2 cos 2 m cos 1 m 1 2 m cos 0 m 2 4 3 2                              

A

2 cos 1 2 sin2    2 

substitusi Bentuk disamping kiri bawah, bersesuaian _{dengan Polinom Tchebyscheff, dgn rumus}

rekursif :

 

x

2

x

T

 

x

T

 

x

T

_n1



_n



_n1

 

 

 

 

 

 

 

 

dst x 7 x 56 x 112 x 64 x T 1 x 18 x 48 x 32 x T x 5 x 20 x 16 x T 1 x 8 x 8 x T x 3 x 4 x T 1 x 2 x T x x T 1 x T 3 5 7 7 2 4 6 6 3 5 5 2 4 4 3 3 2 2 1 0                     2 cos x   dengan

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Dibawah ini adalah grafik untuk polinom-polinom Tchebyscheff

untuk nilai m = 1 sd 5

Sifat polinom :

1. Semua T_m(x) melewati (1,1) 2. Jika –1 < x < 1, maka : -1 < T_m(x) < 1 3. Semua akar T_m(x) ada diantara –1 dan 1 atau -1 < x₀ < 1

4. Semua harga ekstrim adalah 1

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Pemahaman grafik polinom

Misalkan R adalah perbandingan antara

mainlobe maksimum dan minorlobe level

_minorlobe

_level

maksimum

mainlobe

R



T_n-1(x) R

• T_n-1(x) adalah menggambarkan diagram arah

medan untuk sejumlah n elemen  E_n • Titik (x₀ , R) pada kurva menggambarkan

harga mainlobe maksimum

• Akar-akar polinom menunjukkan

harga-harga NOL diagram medan

• FNBW (First Null Beamwidth) pada titik

(x = x₁’)

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Dalam distribusi arus OPTIMUM

(Dolph-Tchebyscheff), artinya adalah :

Metoda Dolph dipakai untuk

mendapatkan susunan optimum dengan

menggunakan polinom Tchebyscheff

• Jika direncanakan susunan antena

terdiri dari n sumber, maka diagram

arah medan susunan merupakan suku

banyak orde (n – 1)



Suku banyak ini yang kemudian

diekivalensikan dengan Polinom

Tchebyscheff orde (n – 1)



T

(x)

48

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Prosedur Perencanaan

1. Untuk susunan n-sumber, pilih polinom orde (n – 1)  T

_n-1

(x)



 































m 1 2 m 1 2 0

R

R

1

R

R

1

2

1

x

2. Selesaikan T

_n-1

(x

₀

) = R untuk mendapatkan harga

x

₀

. Untuk m = n – 1 , dapat dihitung

sebagai berikut :

3. Penyekalaan. Jika R > 1, maka x

₀

> 1 juga. Padahal nilai x

adalah berkisar (-1 < x < 1), sebab x = cos (



/2). Lakukan

perubahan skala x  w

0

x

x

w



2

cos

w





Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

4. Persamaan medan total n-sumber

5. Penyetaraan. E

_n

(w) disetarakan dengan T

_n-1

(x), dengan :

0

x

x

w



 

w

T

 

x

E

_{n 1} x x w n _











  













_





k N 1 0 k k ne

2

1

k

2

cos

A

2

E



 

 

















k N 0 k k no

2

k

2

cos

A

2

E

n genap n ganjil

2

n

N



e

2

1

n

N



o



Persamaan dapat dinyatakan dalam w (setelah

penyekalaan)

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Contoh:

dB

26

R

ditentukan

,

2

d

,

8

n







_dB



1. Untuk n = 8, dipilih T

_8-1

(x) = T

₇

(x) = 64x

7

_{– 112x}

5

_{+ 56x}

3

_{– 7x}

2. R = 26 dB  R(numerik) = 20



 





1,15





























7 1 2 7 1 2 0

20

20

1

20

20

1

2

1

x

Untuk orde _{tinggi, x}

0 harus

teliti: 3-5 digit

3. R = 20  R > 1 , sehingga perlu perubahan skala !.

15

,

1

x

w



_untuk

2

cos

w





Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

4. Persamaan setengah medan total (n = 8)







            k N 1 0 k k ne 2 1 k 2 cos A 2 E 2 n N  e

2

7

cos

A

2

5

cos

A

2

3

cos

A

2

cos

A

E

₈



₀





₁





₂





₃



w 5 w 20 w 16 2 5 cos w 3 w 4 2 3 cos w 2 cos 2 4 6 3 5 3               Substitusi dgn w, setelah penyekalaan

persamaan medan total

persamaan setengah medan total

 



 





64

w

112

w

56

w

7

w



A

w

5

w

20

w

16

A

w

3

w

4

A

w

A

w

E

3 5 7 3 3 5 2 3 1 0 8





















Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

  













7

A

5

A

3

A

A



w

w

A

4

A

20

A

56

w

A

16

A

112

w

A

64

w

E

0 1 2 3 3 1 2 3 5 2 3 7 3 8





















= 64x

7

_{– 112x}

5

_{+ 56x}

3

_{– 7x}

5. Penyetaraan

 

w

T

 

x

E

₇ x x w 8 0





 

x

15

,

1

A

A

3

A

5

A

7

x

15

,

1

A

4

A

20

A

56

x

15

,

1

A

16

A

112

x

15

,

1

A

64

w

E

7 0 1 2 3 3 7 1 2 3 5 7 2 3 7 7 3 8





































































= 64x

7

= – 112x

5

= + 56x

3

= – 7x

Didapatkan :

A

₃

= 2,66

A

₂

= 4,56

A

₁

= 6,82

A

₀

= 8,25

Jadi, kita dapatkan distribusi amplituda arus :

A

₃

A

₂

A

₁

A

₀

A

₀

A

₁

A

₂

A

₃

Distribusi Non-Uniform Optimum (DOLPH-TCHEBYSCHEF)

Diagram Arah :

Untuk mendapatkan diagram arah

kuat medan, dapat ditabelkan lalu

diplot, untuk nilai-nilai variabel :



,

x, E

_n

















2

sin

d

cos

x

x

₀ r

dan E

_n

= T

_n-1

(x)

Di bawah ini adalah perbandingan pola pancar yang dihasilkan

dari beberapa distribusi arus untuk jumlah elemen 8 (n = 8)

Berbagai distribusi arus (ternormalisasi) untuk berbagai R dengan n = 8. Susunan dengan distribusi BINOMIAL dan EDGE

merupakan SUBSET / kasus dari distribusi

DOLPH-TCHEBYSCHEFF