KALKULUS MULTIVARIABEL I
Oleh
Atina Ahdika, S.Si, M.Si Ayundyah Kesumawati, S.Si, M.Si
(Program Studi Statistika)
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS ISLAM INDONESIA
2014/2015
Daftar Isi iii
Daftar Gambar v
1 Turunan dalam Ruang Berdimensi n 1
1.1 Fungsi Dua Peubah . . . 1
1.1.1 Pendahuluan . . . 1
1.1.2 Domain Fungsi Dua Peubah . . . 4
1.1.3 Grafik Fungsi Dua Peubah . . . 5
1.2 Limit Fungsi 2 Peubah atau Lebih . . . 8
1.3 Kekontinuan Fungsi 2 Peubah . . . 11
1.4 Turunan Fungsi 2 Peubah atau Lebih . . . 14
1.4.1 Turunan Parsial . . . 14
1.4.2 Turunan Fungsi Implisit . . . 15
1.4.3 Fungsi Lebih dari Dua Variabel . . . 16
1.4.4 Turunan - turunan Lebih Tinggi . . . 17
1.4.5 Keterdiferensialan . . . 19
1.4.6 Turunan Berarah dan Gradien . . . 23
1.4.8 Aturan Rantai . . . 24
1.4.9 Aturan Rantai (Versi Kedua) . . . 25
1.5 Maksimum dan Minimum . . . 26
1.6 Syarat Cukup untuk Titik Ekstrim . . . 27
1.7 Metode Lagrange . . . 28
1.7.1 Interpretasi Geometri Metode Lagrange . . . 28
1.7.2 Teorema : Metode Lagrange . . . 29
1.7.3 Untuk Batasan Lebih dari Satu . . . 31
2 Integral dalam Ruang Berdimensi n 33 2.1 Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang . . . 33
2.2 Integral Berulang . . . 41
2.3 Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang . . . 45
2.4 Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub . . . 51
2.5 Penerapan Integral Lipat-Dua . . . 61
3 Kalkulus Vektor 72 3.1 Medan Vektor . . . 72
3.2 Integral Garis . . . 76
3.3 Kebebasan dari Lintasan . . . 87
Pembahasan 89
1.1 Fungsi Satu Peubah . . . 2
1.2 Fungsi Dua Peubah . . . 3
1.3 Keluaran Maple . . . 7
1.4 Output Program Maple . . . 8
1.5 Output Fungsi f (x, y) = −10p|xy| . . . 19
1.6 ilustrasi pendekatan perpotongan garis . . . 20
2.1 Partisi Dua Peubah . . . 34
2.2 Volume Persegi Panjang Rk . . . 35
2.3 Irisan oleh Bidang y = konstanta . . . 41
2.4 Irisan oleh Bidang x = konstanta . . . 42
2.5 Integral di Bawah Daerah Sebarang . . . 45
2.6 Himpunan Sederhana-y . . . 46
2.7 Benda Padat dari Himpunan Sederhana-y . . . 46
2.8 Himpunan Sederhana-x . . . 47
2.9 Benda Padat dari Himpunan Sederhana-x . . . 48
2.10 Bidang di Bawah Kurva dengan Koordinat Kutub . . . 51
2.11 Partisi-partisi R . . . 52
2.13 Himpunan Sederhana-θ . . . 54
2.14 Lamina . . . 61
2.15 Partisi Lamina . . . 61
2.16 Partisi P pada Daerah S . . . 67
2.17 S bukan Persegi Panjang . . . 68
3.1 Medan Vektor F(p) . . . 72
3.2 Partisi P . . . 76
3.3 Tirai Vertikal Melengkung . . . 77
3.4 Potongan Kurva C . . . 78
3.5 kurva C . . . 82
Turunan dalam Ruang Berdimensi n
1.1 Fungsi Dua Peubah
1.1.1 Pendahuluan
Sejauh ini kita telah membahas kalkulus dengan fungsi-fungsi variabel tunggal. Te- tapi pada dunia nyata, besaran-besaran yang digunakan seringkali bergantung pada dua variabel atau lebih. Misalkan pada perhitungan suhu T di sebuah titik pada permukaan bumi pada sebarang waktu yang diberikan bergantung pada lintang x dan bujur y titik tersebut. Kita dapat memikirkan T sebagai fungsi dua variabel x dan y, atau sebagai fungsi dari pasangan (x, y). Ditunjukkan ketergantungan fung- sional ini dengan menuliskan T = f (x, y).
Pada bagian ini akan dibahas perluasan konsep pada fungsi satu peubah ke fungsi dua peubah atau lebih. Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa diharapkan dapat:
• Menentukan domain dan range suatu fungsi dua peubah atau lebih
• Membuat sketsa grafik fungsi dua peubah
• Menentukan limit dan menyelidiki kekontinuan fungsi dua peubah
Pada Kalkulus I, kita telah membahas tentang fungsi satu peubah, baik eksplisit maupun implisit.
Berikut kita ingat kembali fungsi satu peubah
Gambar 1.1: Fungsi Satu Peubah
Pada fungsi satu peubah, f : A→ B. A ⊂ R dan B ⊂ R dengan R = himpunan semua bilangan real. Grafik fungsi f = {(x, y)|y = f (x), x ∈ Df}, berupa himpunan titik di R2, dapat berupa garis lurus atau lengkung.
Selanjutnya pada kalkulus lanjut ini, akan dibahas tentang fungsi dengan dua vari- abel atau lebih. Kita telah belajar fungsi satu peubah, y = f (x), dalam hal ini x merupakan peubah bebas dan y peubah tak bebas.
Akan diperluas menjadi fungsi dengan peubah lebih dari satu, misal:
f (x, y) = 2x2+ y2 g(x, y, z) = 2xeyz
h(x1, x2, x3, x4) = 2x1− 2x2+ 4x3+ x4 Pada fungsi dua peubah,
f : A → B
A ⊂ R×R dan B ⊂ R
Grafik fungsi f = {(x, y, z)|z = f (x, y), (x, y) ∈ Df} berupa himpunan di R3, dapat berupa luasan di R3.
Perhatikan bahwa notasi fungsi dengan peubah lebih dari satu tidak berbeda dengan penulisan fungsi dengan satu peubah.
Gambar 1.2: Fungsi Dua Peubah
Fungsi z = f (x, y) adalah fungsi dengan dua peubah, dengan peubah bebas x dan y, serta z sebagai peubah tak bebas.
Fungsi w = g(x, y, z) adalah fungsi dengan tiga peubah. Peubah x, y dan z meru- pakan peubah bebas dan w peubah tak bebas.
Misalkan :
Suhu T di sebuah titik pada permukaan bumi pada sebarang waktu yang diberikan bergantung pada lintang x dan bujur y titik itu. Kita dapat memikirkan T sebagai fungsi dua variabel x dan y, atau sebagai fungsi dari pasangan (x, y). Kita tunjukk- an ketergantungan fungsional ini dengan menuliskan T = f (x, y).
Nilai dari fungsi dengan dua peubah atau lebih dapat ditentukan dengan mema- sukkan nilai - nilai x dan y.
Contoh 1:
f (x, y) = 2x2+ y2 f (2, 3) = 2.22+ 32 = 17 f (4, −3) = 2.42+ (−3)2 = 41 Definisi
Suatu fungsi f dari dua variabel adalah suatu aturan yang memberikan kepada ma- sing - masing pasangan terurut bilangan real (x, y) di sebuah dalam himpunan D sebuah bilangan real unik yang dinyatakan oleh f (x, y). Himpunan D adalah da- erah asal dari f dan daerah nilainya adalah himpunan nilai yang digunakan f , atau dengan kata lain,f (x, y)|(x, y) ∈ D.
1.1.2 Domain Fungsi Dua Peubah
Jika domain tidak diberikan, maka domain adalah himpunan semua titik sedemikian sehingga fungsi terdefinisi.
Contoh 2:
Pada bidang xy, Tentukanlah daerah asal alami untuk
f = (x, y) = px2+ y2− 25
x (1.1)
penyelesaian
Domain dari f adalah himpunan semua pasangan (x, y) yang memenuhi x2+ y2− 25 ≥ 0 dan x 6= 0, sebab px2+ y2− 25 akan bernilai riil jika x2 + y2 − 25 ≥ 0.
Jadi, domain f adalah himpunan (x, y) yang berada di luar dan pada lingkaran x2 + y2 = 25, tapi x 6= 0.
Contoh 3:
Carilah daerah asal dari fungsi
f (x, y) =p
25 − x2− y2 (1.2)
penyelesaian
Domain f (x, y) adalah himpunan semua titik yang memenuhi:
25 − x2− y2 ≥ 0 (1.3)
25 ≥ x2+ y2 (1.4)
Perhatikan bahwa domain akan berupa himpunan titik di pada dan di dalam ling- karan:
x2+ y2 = 25 (1.5)
Contoh 4: Tentukan domain dari fungsi:
g(x, y, z) =p
x2+ y2+ z2− 16 (1.6) Penyelesaian
Perhatikan bahwa g adalah fungsi dengan tiga peubah, sehingga domainnya tidak berada dalam bidang XY, tetapi di sistem koordinat tiga dimensi. Sehingga, fungsi akan terdefinisi jika:
x2+ y2+ z2− 16 ≥ 0 atau x2+ y2+ z2 ≥ 16 (1.7)
1.1.3 Grafik Fungsi Dua Peubah
Ketika kita menyebut grafik (graph) dari fungsi f dengan dua peubah, yang di- maksud adalah grafik dari persamaan z = f (x, y). Grafik ini normalnya merupakan sebuah permukaan, dan karena terhadap masing - masing (x, y) di dalam daerah asal hanya berhubungan dengan satu nilai z, maka setiap garis yang tegak lurus terhadap bidang xy akan hanya memotong permukaan di satu titik.
Penggambaran grafik fungsi akan sangat membantu dalam memahami suatu fungsi.
Grafik dapat memberikan ilustrasi atau sebagai representasi visual dari suatu per- samaan.
dalam subbab ini kita akan mencoba menggambarkan grafik fungsi dua peubah te- tapi tidak dapat menggambarkan grafik dari fungsi dengan 3 peubah atau lebih.
Contoh 5: Tentukan domain dan range dari fungsi berikut dan buat sketsa grafik- nya.
z = f (x, y) = p
25 − x2− y2 (1.8)
Penyelesaian: Dari contoh 1 kita telah tahu bahwa domainnya berupa himpunan titik - titik pada da di dalam lingkaran dengan jari – jari 5, yaitu himpunan titik - titik yang memenuhi pertaksamaan:
x2+ y2 ≤ 25 (1.9) Range dari z adalah semua kemungkinan nilai z.
Range ini harus non negatif, karena z adalah akar - akar prinsip dengan domain:
x2+ y2 ≤ 25 (1.10)
Nilai dalam akar bervariasi antara 0 dan 25.
Jadi range-nya adalah 0 ≤ z ≤ 5. Dengan mengkuadratkan kedua sisi persamaan, akan diperoleh:
z =p
25 − x2− y2 (1.11)
z2 = 25 − x2− y2 (1.12)
x2+ y2+ z2 = 25 (1.13)
Persamaan diatas merupakan persamaan bola dengan jari - jari 5.
Tetapi perhatikan bahwa fungsi:
z =p
25 − x2− y2 (1.14)
dan persamaan:
x2 + y2+ z2 = 25 (1.15)
tidaklah sama. Persamaan tidak merepresentasikan z sebagai suatu fungsi dari x dan y, artinya setiap (x, y) tidak memberikan nilai tunggal untuk z.
Bahwa fungsi di atas mempunyai range 0 ≤ z ≤ 5, berarti bahwa fungsi ini berupa sebagian setengah atas dari bola. Langkah selanjutnya adalah menggambar grafik, terlebih dahulu kita akan menggambarkan titik - titik di bidang koordinat.
1. Jejak di bidang xy (z = 0).
0 = p25 − x2− y2 atau x2+ y2 = 25
merupakan lingkaran berpusat di O dengan jari - jari 5 di bidang xy.
2. Jejak di bidang yz (x = 0)
z =p25 − y2 atau y2+ z2 = 25 Lingkaran berpusat di O berjari - jari 5 pada bidang yz.
3. Jejak di bidang xz (y = 0) z =√
25 − x2 atau x2+ z2 = 25
Lingkaran berpusat di O berjari - jari 5 di bidang xz.
Selanjutnya kita dapat menggambarkan jejak di bidang yang sejajar dengan bidang koordinat.
4. Untuk z = 3
3 = p25 − x2− y2 atau x2+ y2 = 16
Jadi pada bidang z = 3, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa lingka- rang berpusat di (0, 0, 3) dengan jari - jari 4.
5. Untuk z = 4
4 = p25 − x2− y2 atau x2+ y2 = 9
Maka pada bidang z = 4, yang sejajar dengan bidang xy, jejak berupa lingka- rang berpusat di (0, 0, 4) dengan jari - jari 3.
Berdasarkan kelima jejak di atas, yaitu tiga jejak di bidang koordinat ditambah dua jejak di bidang yang sejajar dengan bidang xy, maka diperoleh sketsa grafiknya sebagai berikut:
Grafik Komputer Beberapa perangkat lunak, seperti Maple mampu meng- hasilkan grafik berdimensi 3 dengan tingkat kerumitan tertentu dengan mudah. se- perti pada contoh beberapa grafik hasil keluaran Maple berikut ini:
Latihan 1.
Sketsakan grafik (luasan permukaan) dari fungsi:
1. z = 36 − x2 − y2 2. z = 13p36 − x2− y2
Gambar 1.3: Keluaran Maple
Gambar 1.4: Output Program Maple
1.2 Limit Fungsi 2 Peubah atau Lebih
Secara umum, teorema limit dan konsep ketaktehinggaan, dan sebagainya pada fungsi satu peubah juga berlaku untuk fungsi - fungsi dengan dua variabel atau lebih, dengan modifikasi yang sesuai. Definisi limit diberikan sebagai berikut.
Definisi
Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi himpunan terbuka D di R2 dan (a, b) ∈ D,
lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) = L (1.16)
Jika dan hanya jika untuk setiap bilangan ε > 0 terdapat bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap (x, y) ∈ D yang memenuhi
0 <p
(x − a)2+ (y − b)2 berlaku |f (x, y) − L| < ε. (1.17) Contoh
1. lim(x,y)→(0,0)
2x3− y3 x2+ y2 = 0 2. lim(x,y)→(a,b)y = b
Beberapa sifat yang dimodifikasi berdasarkan sifat limit pada fungsi satu peubah:
Teorema 1 Jika lim(x,y)→(x0,y0)f (x, y) = L1 dan lim(x,y)→(x0,y0)g(x, y) = L2 maka
1. lim(x,y)→(x0,y0)[f (x, y) + g(x, y)] = L1+ L2 2. lim(x,y)→(x0,y0)[f (x, y) − g(x, y)] = L1− L2 3. lim(x,y)→(x0,y0)[f (x, y).g(x, y)] = L1.L2 4. lim(x,y)→(x0,y0)k.g(x, y) = k.L2
5. lim(x,y)→(x0,y0) f (x, y) g(x, y) = L1
L2 untuk g(x, y) 6= 0
Catatan:
Dalam konsep limit ini:
1. f tidak harus terdefinisi di (a, b)
2. Jika lim(x,y)→(a,b)f (x, y) = L ada bagaimanapun caranya (x, y) mendekati (a, b) nilai f (x, y) selalu mendekati L.
Contoh
Jika f (x, y) = xx22−y+y22 maka lim(x,y)→(0,0) tidak ada.
Bukti:
Titik (0, 0) dapat didekati melalui tak hingga banyak arah. Untuk itu akan dilihat ketika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang sumbu x, sumbu y dan garis y = mx.
Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu x, jadi, y = 0, maka
lim
(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x2− y2
x2+ y2 = lim
(x)→(0)
x2− 0
x2+ 0 = lim
(y)→(0)
x2 x2 = 1 Di sisi lain (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu y(x = 0), maka
lim
(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x2− y2
x2+ y2 = lim
(y)→(0)
0 − y2
0 + y2 = lim
(y)→(0)
−y2 y2 = −1 Terlihat bahwa dari dua arah yang berbeda diperoleh nilai yang berbeda, dengan demikian dapat disimpulkan bahwa limit f tidak ada untuk (x, y) → (0, 0).
Pada contoh diatas kita tidak perlu mencari limit f dari arah lain, karena dari dua arah sudah didapatkan nilai yang berbeda, sehingga dapat disimpulkan bahwa li- mitnya tidak ada.
Jika dari dua arah tersebut nilainya saman maka perlu dicari dari nilai atau pende- katan garis yang lain yg melalui titik tersebut misalnya y = mx.
Latihan 2.
Tentukan nilai limit fungsi berikut jika ada.
1. lim(x,y)→(3,−2)
x2+ y x2+ y2 2. lim(x,y)→(−2,1)
x2+ 3xy + 2y2 x + 2y 3. lim(x,y)→(3,−2)x2 + y
4. lim(x,y)→(0,0)
x2 px2+ y2 5. lim(x,y)→(0,0)
y2 px2+ y2 6. lim(x,y)→(0,0)
x2y px4+ y2 7. lim(x,y)→(0,0)
xy x4+ y2
1.3 Kekontinuan Fungsi 2 Peubah
Kekontinuan fungsi dua peubah diberikan dalam definisi berikut:
Definisi
Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada daerah D ⊂ R2 dan (a, b) ∈ D, maka f dikatakan kontinu di (a, b) jika
lim
(x,y)→(a,b)f (x, y) = f (a, b)
Fungsi f dikatakan kontinu pada D jika f kontinu di setiap titik di D. Jadi un- tuk menunjukkan f kontinu di titik (a, b) harus ditunjukkan ketiga syarat berikut dipenuhi.
i. f (a, b) ada
ii. lim(x,y)→(a,b)f (x, y) ada iii. lim(x,y)→(a,b)f (x, y) = f (a, b)
Jika salah satu syarat di atas tidak dipenuhi, maka f tidak kontinu di (a, b).
Sifat Operasi Aljabar Pada Fungsi Kontinu Jika f dan g keduanya kontinu di (a, b) maka
1. f + g kontinu di (a, b)
2. f − g kontinu di (a, b) 3. f g kontinu di (a, b)
4. fg kontinu di (a, b) asalkan g(a, b) 6= 0.
Contoh Tentukan apakah f kontinu di (0, 0)
f (x, y) =
x2y
x2 + y2 jika (x, y) 6= (0, 0) 0 jika (x, y) = (0, 0)
Penyelesaian:
Dengan menggunakan kriteria kekontinuan fungsi:
(i) f (0, 0) = 0 (ada)
(ii) Diselidiki apakah limit f (x, y) ada untuk (x, y) → (0, 0)
Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu x, jadi y = 0, maka
lim
(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2+ y2 = lim
(x)→(0)
x2
x2.0 + 02 = lim
(x)→(0)
0 x2 = 0 Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) sumbu y(x = 0), maka
lim
(x,y)→(0,0)
f (x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2+ y2 = lim
(y)→(0)
0.y2
02+ y2 = lim
(x)→(0)
0 y2 = 0 Jika (x, y) mendekati (0, 0) sepanjang (melalui) y = x, maka
lim
(x,y)→(0,0)f (x, y) = lim
(x,y)→(0,0)
x2y
x2+ y2 = lim
(x)→(0)
x2x
x2+ x2 = lim
(x)→(0)
x3
2x2 = lim
(x)→(0)
x 2 = 0
Dapat disimpulkan bahwa lim(x,y)→(0,0)
x2y x2+ y2 = 0 (iii) lim(x,y)→(0,0)
x2y
x2+ y2 = 0 = f (0, 0) Jadi f kontinu di (0, 0).
Latihan 3.
1. Carilah limit, jika memang ada, atau perlihatkan jika tidak mempunyai limit a. lim(x,y)→(5,−2)x5+ 4x3y − 5xy2
b. lim(x,y)→(6,3)xycos(x − 2y) c. lim(x,y)→(0,0)
x2 x2+ y2 d. lim(x,y)→(0,0)
(x + y)2 x2+ y2 e. lim(x,y)→(0,0)
8x2y2 x4+ y4 2. Diberikan f (x, y) = x2+ 2y
x2− 2y dan g(x, y) = x4− 4y4 x2+ 2y2 Tunjukkan bahwa:
a. limit f (x, y) untuk (x, y) → (2, 2) tidak ada.
b. limit g(x, y) untuk (x, y) → (0, 0) sama dengan nol.
c. limit g(0, 0) = 0 apakah g(x, y) kontinu di (0, 0).
3. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut :
f (x, y) =
2x − y
x + y jika (x, y) 6= (0, 0) 0 jika (x, y) = (0, 0)
4. Selidiki titik-titik kekontinuan fungsi berikut:
f (x, y) =
xy
x2+ y2 jika (x, y) 6= (0, 0) 1 jika (x, y) = (0, 0)
1.4 Turunan Fungsi 2 Peubah atau Lebih
1.4.1 Turunan Parsial
Umumnya, jika f adalah fungsi 2 peubah x dan y, andaikan kita misalkan hanya x saja yang berubah-ubah sedangkan y dibuat tetap, katakan y = b, dengan b konstanta. Baru sesudah itulah kita sebenarnya meninjau fungsi satu peubah x yaitu g(x) = f (x, b). Jika g mempunyai turunan di a, maka kita menamakannya turunan parsial dari f terhadap x di (a, b) dan menyatakannya dengan fx(a, b).
Jadi
fx(a, b) = g0(a) dengan g(x) = f (x, b) (1.18) Menurut definisi turunan, kita mempunyai
g0(a) = lim
(h)→(0)
g(a + h) − g(a)
h (1.19)
sehingga perluasannya menjadi
fx(a, b) = lim
(h)→(0)
f (a + h, b) − f (a, b)
h (1.20)
Dengan cara serupa, turunan parsial dari f terhadap y di (a,b), dinyatakan dengan fy(a, y), diperoleh dengan membuat x tetap (x = a) dan mencari turunan biasa di b dari fungsi G(y) = f (a, y):
fy(a, b) = lim
(h)→(0)
f (a, b + h) − f (a, b)
h (1.21)
Misalkan titik (a, b) berubah-ubah dalam persamaan diatas, fxdan fy menjadi fungsi dua peubah yang dapat disimpulkan sebagai berikut
Jika f adalah fungsi dua peubah, turunan parsialnya adalah fx dan fy yang didefisikan oleh
fx(x, y) = lim
(h)→(0)
f (x + h, y) − f (x, y)
h (1.22)
fy(x, y) = lim
(h)→(0)
f (x, y + h) − f (x, y)
h (1.23)
Notasi untuk Turunan Parsial Jika z = f (x, y), kita tuliskan
fx(x, y) = fx = ∂f
∂x = ∂
∂xf (x, y) = ∂z
∂x = f1 = D1f = Dxf (1.24) fy(x, y) = fy = ∂f
∂y = ∂
∂yf (x, y) = ∂z
∂y = f2 = D2f = Dyf (1.25)
Untuk menghitung turunan parsial, yang harus dilakukan adalah mengingat dari persamaan fx(a, b) bahwa turunan parsial terhadap x tidak lain adalah turunan bi- asa dari fungsi g dari variabel tunggal yang diperoleh dengan membuat y tetap.
Aturan untuk Pencarian Turunan Parsial dari z = f (x, y)
1. Untuk mencari fx, pandang y sebagai konstanta dan diferensialkan f (x, y) terhadap x
2. Untuk mencari fy, pandang x sebagai konstanta dan diferensialkan f (x, y) terhadap y
Contoh 1 Jika f (x, y) = x3+ x2y3− 2y2, carilah fx(2, 1) dan fy(2, 1) Penyelesaian
Contoh 2 Jika f (x, y) = sin x
1 + y, carilah ∂f
∂x dan ∂f
∂y Penyelesaian
1.4.2 Turunan Fungsi Implisit
Umumnya, sebuah persamaan seperti F (x, y, z) = 0 mendefinisikan satu peubah, misalnya z, sebagai fungsi dari dua peubah lainnya x dan y. Karenanya z kadang - kadang disebut f ungsi implisit dari x dan y, yang berbeda dengan apa yang disebut f ungsi eksplisit f , di mana z = f (x, y), yang sedemikian rupa sehingga F [x, y, f (x, y)] ≡ 0.
Diferensiasi F [x, y, f (x, y)] = 0, variabel - variabel bebas adalah x dan y dan bahwa z = f (x, y). Untuk menentukan ∂f
∂x dan ∂f
∂y, pada mulanya kita menulis (amati bahwa F (x, t, z) adalah nol untuk semua pasangan domain (x, y), dengan kata lain adalah konstanta):
0 = dF = Fxdx + Fydy + Fzdz (1.26) dan kemudian menghitung turunan parsial Fx, Fy dan Fz meskipun x, y, z memben- tuk himpunan variabel bebas. Pada tahap ini, kita menggunakan ketergantungan z pada x dan y untuk memperoleh bentuk diferensial dz = ∂f
∂xdx + ∂f
∂ydy. Melalui subtitusi dan sejumlah operasi aljabar hasil-hasil berikut ini diperoleh:
∂f
∂x = −Fx Fz,∂f
∂y = −Fy
Fz (1.27)
Contoh 3 Carilah dz
dx dan dz
dy, jika z didefinisikan secara implisit sebagai fungsi x dan y oleh persamaan
x3+ y3+ z3+ 6xyz = 1 Penyelesaian
Jika F (x, y, z) = 0 = x3+ y3+ z3+ 6xyz − 1 dan z = f (x, y) maka Fx= 3x2+ 6yz, Fy = 3y2+ 6xz, dan Fz = 3z2+ 6xy. Maka
∂f
∂x = −3x2+ 6yz 3z2 + 6xy,
∂f
∂y = −3y2+ 6xz 3z2+ 6xy
1.4.3 Fungsi Lebih dari Dua Variabel
Turunan parsial dapat juga didefinisikan untuk fungsi tiga variabel atau lebih. Mi- salnya, jika f adalah fungsi tiga variabel x, y, dan z, maka turunan parsialnya ter-
hadap x didefinisikan sebagai berikut
fx(x, y, z) = lim
(h)→(0)
f (x + h, y, z) − f (x, y, z) h
dan ditemukan dengan cara memandang y dan z sebagai konstanta serta mendefe- rensialkan f (x, y, z) terhadap x. Jika ω = f (x, y, z), maka fx = ∂ω
∂x dapat ditafsirkan sebagai laju perubahan ω terhadap x ketika y dan z dianggap konstan. Tetapi untuk kasus 3 peubah kita tidak dapat menafsirkannya secara geometrik karena grafik f terletak di ruang empat dimensi.
Umumnya, jika u adalah fungsi n variabel, u = f (x1, x2, ..., xn), turunan par- sialnya terhadap variabel xi ke-i adalah
∂u
∂xi = lim
(h)→(0)
f (x1, ...xi−1, xi+ h, xi+1, ..., xn) − f (x1, x2, ..., xn) h
atau dapat dituliskan dalam bentuk lain
∂u
∂xi = ∂f
∂xi = fxi = fi = Dif Contoh 4 Carilah fx, fy dan fz jika f (x, y, z) = exylnz.
Penyelesaian
1.4.4 Turunan - turunan Lebih Tinggi
jika f adalah fungsi dua peubah, maka turunan parsialnya fx dan fy juga fungsi dua peubah, sehingga kita dapat menghitung untuk turunan parsial kedua dari f .
Jika z = f (x, y), kita gunakan notasi:
(fx)x = fxx = f11 = ∂
∂x
∂f
∂x
= ∂2f
∂x2 = ∂2z
∂x2 (fx)y = fxy = f12= ∂
∂y
∂f
∂x
= ∂2f
∂y ∂x = ∂2z
∂y ∂x (fy)x = fyx = f21= ∂
∂x
∂f
∂y
= ∂2f
∂x ∂y = ∂2z
∂x ∂y (fy)y = fyy = f22= ∂
∂y
∂f
∂y
= ∂2f
∂y2 = ∂2z
∂y2
Jadi, notasi fxy bermakna bahwa pertama kita mendiferensialkan terhadap x dan kemudian terhadap y, sedangkan dalam menghitung fyx urutannya dibalik.
Contoh 5 Jika f (x, y) = x3+ x2y3− 2y2, carilah turunan parsial keduanya untuk masing-masing x dan y
Latihan Soal
1. Jika φ(x, y) = x3y + exy2 tentukanlah a. φx(x, y)
b. φy(x, y) c. φxx(x, y) d. φyy(x, y) e. φxy(x, y) f. φyx(x, y) 2. Tentukan dz
dx dan dz dy dari:
a. x2z + yz2+ 2xy2− z3 = 0 b. x2tan−1y
x
= 0 c. x2yz − xy + yz = 0 d. x3ey+z − ysin(x − z) = 0
e. xy − z2+ 2xyz = 0
1.4.5 Keterdiferensialan
Untuk sebuah fungsi satu peubah, keterdiferensialan (dif f erentiability) dari f di x berarti adanya turunan f0(x). Sehingga, keterdiferensialan ini akan ekuivalen dengan grafik dari f yang mempunyai garis singgung tak vertikal di x.
Konsep untuk keterdiferensialan sebuah fungsi dua peubah berhubungan dengan kaidah normal tentang keberadaan sebuah bidang singgung, dan jelas bahwa hal ini membutuhkan lebih dari sekedar keberadaan turunan-turunan parsial dari f semata, karena turunan-turunan tersebut mencerminkan sifat f hanya dalam dua arah.
Ilustrasi: Misalkan ada fungsi dua peubah:
f (x, y) = −10p|xy|
yang ditunjukkan pada output program
Gambar 1.5: Output Fungsi f (x, y) = −10p|xy|
Untuk fx(0, 0) dan fy(0, 0) keduanya ada dan sama dengan 0; meskipun tidak dapat dipastikan bahwa grafiknya mempunyai sebuah bidang singgung di titik asal.
Alasannya adalah, tentu bahwa grafik dari f tidak dapat dihampiri dengan baik di titik asal tersebut oleh sebarang bidang (khususnyam bidang xy) kecuali dalam dua arah. Sebuah bidang singgung seharusnya akan menghampiri grafik tersebut dengan sangat baik dalam segala arah.
Cara lain untuk dapat melihat keterdiferensialan sebuah fungsi dengan peubah tung- gal adalah sebagai berikut:
Ilustrasi:
Jika f dapat dideferensialkan di a, maka terdapat sebuah garis singgung yang mela-
lui (a, f (a)) yang mendekati fungsi tersebut untuk nilai x dekat a. Dengan kata lain, f hampir mendekati linier dekat a. gambar berikut mngilustrasikan hal ini untuk fungsi satu peubah, ketika grafik y = f (x) diperbesar, garis singgung dan fungsi tersebut hampir tidak dapat dibedakan. Untuk lebih tepatnya, kita dapat meng-
Gambar 1.6: ilustrasi pendekatan perpotongan garis
atakan bahwa sebuah fungsi f disebut linier setempat di a jika terdapat sebuah konstanta m sedemikian rupa sehingga
f (a + h) = f (a) + hm + hε(h)
dimana ε(h) adalah sebuah fungsi yang memenuhi limh→0ε(h) = 0. Dengan menye- lesaikan ε(h) akan menghasilkan
ε(h) = f (a + h) − f (a)
h − m
Fungsi ε(h) adalah perbedaan antara kemiringan garis potong yang melalui titik (a, f (a)) dan titik (a + h, f (a + h)) dengan kemiringan garis singuung yang melalui (a, f (a)). Jika f bersifat linear setempat di a, maka
lim
h→0ε(h) = lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h − m
= 0
yang berarti bahwa
lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h = m
Kita dapat menyimpulkan bahwa f pasti dapat dideferensialkan di a dan bahwa m pasti sama dengan f0(a). Sebaliknya, jika f dapat dideferensialkan di a, maka
limh→0 f (a + h) − f (a)
h = f0(a) = m, sehingga f linear setempat. Dengan demiki- an, pada kasus satu peubah, f akan linear setempat di a jika dan hanya jika f dapat didefensialkan di a.
Konsep kelinieran setempat ini juga berlaku pada situasi sama dimana f adalah fungsi dua peubah. Berikut definisi linear setempat untuk fungsi dua peubah Defi- nisi Fungsi f dikatakan linear setempat di (a, b) jika
f (a + h1, b + h2) = f (a, b) + h1fx(a, b) + h2fy(a, b) + h1ε1(h1, h2) + h2ε2(h1, h2) dimana ε1(h1, h2 → 0 ketika (h1, h2) → 0 dan ε2(h1, h2 → 0 ketika (h1, h2) → 0
Berdasarkan uraian diatas maka kita dapat mendefinisikan keterdiferensialan yang sama dengan kelinearan setempat.
Definisi
Fungsi s dapat dideferensialkan di p jika fungsi tersebut linear setempat di p. Fungsi f dapat dideferensialkan pada sebuah himpunan terbuka R jika fungsi tersebut dapat dideferensialkan di setiap titik di R.
Vektor (fx(p), fy(p)) = fx(p)i + fy(p)j dilambangkan dengan ∇f (p) dan di- sebut gradien dari f . Jadi, f dapat dideferensialkan di [p] jika dan hanya jika
f (p+h) = f (p) + ∇f (p).h + ε(h.)h
dimana ε(h) → 0 ketika h → 0. Operator ∇ dibaca ”del” dan sering disebut opera- tor del.
Dalam hal-hal yang telah dikemukakan diatas, gradien menjadi analog dengan tu- runan. Aspek-aspek yang tersirat dari definisi diatas adalah:
1. Turunan f0(x) adalah sebuah bilangan, sedangkan gradien ∇f (p) adalah se- buah vektor.
2. Hasilkali ∇f (p).h dan ε(h).h adalah hasilkali titik.
3. Definisi-definisi keterdiferensialan dan gradien dapat dikembangkan dengan mudah menjadi ruang berdimensi berapapun.
Teorema
jika f (x, y) mempunyai turunan-turunan parsial kontinu fx(x, y) dan fy(x, y) pada sebuah himpunan D yang bagian dalamnya mengandung (a, b), maka f (x, y) dapat dideferensialkan di (a, b).
Jika fungsi f dapat dideferensialkam di p0, maka ketika h mempunyai besaran yang kecil
f (p0+ h) = f (p0) + ∇f.h
dengan menganggap p = p0+ h kita menjumpai fungsi T yang didefinisikan sebagai T (p) = f (p0) + ∇f (p0).(p − p0)
Harusnya menjadi hampiran yang baik untuk f (p) jika p dekat dengan p0. Per- samaan z = T (p) mendefinisikan sebuah bidang yang menghampiri f di dekat p0. Biasanya ini disebut bidang singgung.
Contoh Soal Tunjukkan bahwa f (x, y) = xey+ x2y dapat diturunkan dima- napun dan tentukan persamaan bidang singgung di titik (2,0).
Penyelesaian
Pertama buktikan bahwa turunan parsial dari masing-masing variabel kontinu.
∂f
∂x = ey+ 2xy dan ∂f
∂y = xey + x2
Latihan Soal
Tentukan persamaan bidang singgung
1. f (x, y) = x2y − xy2, di p=(-2,3) 2. f (x, y) = x3y + 3xy2, di p=(2,-2)
3. f (x, y) = cosπx sinπy + sin2πy, p=(−1,1 2) 4. f (x, y) = x2
y , p=(2,-1)
5. f (x, y, z) = 3x2− 2y2+ xz2, p=(1,2,-1) 6. f (x, y, z) = xyz + x2, p=(2,0,-3)
1.4.6 Turunan Berarah dan Gradien
Untuk sebarag vektor satuan u, misalkan Duf (p) = lim
h→0f (p + hu) − f (p)
Limit ini, jika ada disebut turunan berarah (dirrectional derivative) dari f di p pada arah u
Gambar dibawah menunjukkan interpretasi geometrik dan turunan berarah. Vektor u menentukan sebuah garis L di bidang xy melalui (x0, y0). Bidang yang mela- lui L ini tegak lurus terhadap bidang xy dan memotong permukaan z = f (x, y) pada kurva C. Persinggungannya di titik (x0, y0, f (x0, y0)) mempunyai kemiring- an di Duf (x0, y0). Interpretasi yang lain adalah bahwa Duf (x0, y0) mengukur laju perubahan f terhadap jaraka dalam arah u.
1.4.7 Hubungan Turunan Berarah dengan Gradien
berdasarkan
∇f (p) = fx(p)i + fy(p)i didapatkan
Teorema A
Misalkan f dapat didefernsialkan di p. Maka f mempunyai turunan berarah di p
pada arah vektor satuan u = u1i + u2j dan
Duf (p) = u.∇f (p) yakni
Duf (x, y) = u1fx(x, y) + u2fy(x, y) Contoh:
1. Jika f (x, y) = 4x2− xy + 3y2, tentukan turunan berarah dari f di (2, −1) pada arah vektor a = 4i + 3j
2. Tentukan turunan berarah dari fungsi f (x, y, z) = xysinz di titik (1, 2,π 2) pada arah vektor a = i + 2j + 2k
Teorema B (Laju Perubahan Maksimum) Sebuah fungsi meningkat paling cepat di p pada arah gradiennya (dengan laju |∇f (p)|) dan menurun paling cepat pada arah yang berlawanan (dengan laju −|∇f (p)| )
Contoh:
Andaikan seekor serangga berada pada paraboloid hiperbolik z = y2− x2 di titik (1,1,0). Ke arah manakah seharusnya serangga tersebut bergerak untuk melewa- ti lintasan yang paling curam dan bagaimanakah kemiringannya ketika serangga tersebut mulai keluar ?
1.4.8 Aturan Rantai
Jika z = f (x, y), dimana x dan y adalah fungsi-fungsi dari t, maka masuk akal apabila kita menyatakan dz
dt, dan tentunya terdapat sebuah rumus untuk itu.
Teorema Aturan Rantai Misalkan x = x(t) dan y = y(t) dapat diderensialkan di t, dan misalkan z = f (x, y) dapat dideferensialkan di (x(t), y(t)), maka z = f (x(t), y(t)) dapat dideferensialkan di t dan
dz dt = ∂z
∂x dz dx + ∂z
∂y dy
dt
Contoh
1. Andaikan z = x3y dimana x = 2t dan y = t2. Tentukan dz dt
2. Ketika sebuah silinder lingkaran tegak yang padat dipanaskan, jari-jari r dan tingginya h akan meningkat, sehingga luas permukaannya S juga meningkat.
Andaikan pada waktu sesaat ketika r = 10 cm, dan h = 100 cm, r meningkat 0,2 cm per jam dan h meningkat 0,5 cm per jam, Seberapa cepatkah peningkatan S pada waktu tersebut ?
1.4.9 Aturan Rantai (Versi Kedua)
Jika z = f (x, y), dimana x = x(s, t) dan y = y(s, t), maka masuk akal apabila kita menanyakan ∂z
∂s dan ∂z
Teorema Aturan Rantai (Versi Kedua) Misalkan x = x(s, t) dan y = y(s, t)∂t mempunyai turunan parsial pertama di (s, t) dan misalkan z = f (x, y) dapat di- deferensialkan di (x(s, t), y(s, t)). Maka z = f (x(s, t), y(s, t)), mempunyai turunan parsial pertama yang dinyatakan dengan
∂z
∂s = ∂z
∂x
∂x
∂s +∂z
∂y
∂y
∂s dan
∂z
∂t = ∂z
∂x
∂x
∂t +∂z
∂y
∂y
∂t Contoh
1. Jika x = 3x2− y2, dimana x = 2s + 7t dan y = 5st, tentukan ∂z
∂t dan nyatakan dalam s dan t.
2. w = x2+ y2+ z2+ xy, dimana x = st, y = s − t, dan z = s + 2t. tentukan ∂w
∂t dan ∂w
∂s
1.5 Maksimum dan Minimum
Misalkan p=(x,y) adalah sebuah titik peubah dan p0 = (x0, y0) adalah sebuah titik tetap apada bidang berdimendi dua (kedua titik tesebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi n)
Definisi
Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S, dan misalkan p0 adalah sebuah titik di S.
1. f (p0) adalah nilai maksimum global dari f di S jika f (p0) ≥ f (p) untuk seluruh p di S.
2. f (p0) adalah nilai minimum global dari f di S jika f (p0) ≤ f (p) untuk seluruh p di S.
3. f (p0) adalah nilai ekstrim global dari f di S jika f (p0) bukan nilai maksi- mum global dan bukan nilai minimum global.
Teorema A
Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) di himpunan tersebut.
Titik kritis (critical point) dari f di S ada tiga jenis:
1. Titik batas (boundary point) 2. Titik Stasioner (Stationary Point).
Kita menyebut p0 adalah sebuah titik dalam di S di mana f dapat dideferensi- alkan dan ∇f (p0) = 0 di titik tersebut, suatu bidang singgung akan horizontal.
3. Titik - titik singular → jika p0 adalah suatu titik dalam dari s dimana f tidak dapat dideferensialkan.
Teorema Titik Kritis Andaikan f dideferensialkan pada suatu himpunan S yang mengandung p0. Jika p0. Jika p0 adalah suatu ektrim, maka p0 haruslah berupa suatu titik kritis, p0 berupa salah satu dari:
1. Suatu titik batas dari S, atau 2. Suatu titik stasioner dari f, atau 3. Suatu titik singular dari f.
Latihan
Cari nilai maksimum dan minimum lokal untuk
1. f (x, y) = x2+ 4y2− 4x 2. f (x, y) = −x2
a2 +y2 b2
1.6 Syarat Cukup untuk Titik Ekstrim
Andaikan bahwa f (x, y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu ling- kungan dari x0, y0 dan bahwa ∇f (x0, y0) = 0. Ambil
D = D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) − (fxy(x0, y0))2 maka:
1. Jika D > 0 dan fxx(x0, y0) < 0 maka f (x0, y0) adalah nilai maksimum lokal 2. Jika D > 0 dan fxx(x0, y0) > 0 maka f (x0, y0) adalah nilai minimum lokal 3. Jika D < 0, f (x0, y0) bukan merupakan nilai ekstrim atau x0, y0 adalah sebuah
titik pelana
4. Jika D = 0 uji yang dilakukan tidak mempunyai hasil/tidak dapat disimpulkan.
Latihan
1. Tentukan titik ekstrim, jika ada, dari fungsi F yang didefinisikan dengan F (x, y) = 3x3+ y2− 9x + 4y
2. Tentukan jarak minimum dari titik asal dan permukaan z2 = x2y + 4.
1.7 Metode Lagrange
Metode ini digunakan untuk mencari nilai minimum dari suatu bidang yang terbatas.
Untuk mencari nilai minimum dari x2+2y2+z4+4 adalah suatu masalah nilai ektrim
yang bebas. Tetapi, bila diminta mencari nilai minimum dari x2+2y2+z4+4 dengan batasan x + 3y − z = 7 untuk menyelesaiakan nilai ekstrim terkendala (terbatas) dapat digunakan Pengali Lagrange.
1.7.1 Interpretasi Geometri Metode Lagrange
maksimumkan atau minimumkan f(x,y) terhadap batasan g(x,y)=0. Untuk memak-
simumkan f terhadap batasan g(x,y) = 0 adalah mencari kurva ketinggian f(x,y) = k dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva batasan yaitu pada titik P0(x0, y0) dan P1(x0, y0) . Pada titik P0 danP1, kurva ketinggian dan kurva batas- an memiliki suatu garis singgung bersama, kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama.
Vektor gradien ∇f dan ∇g sejajar di titik P0 dan P1, maka:
∇f (P0) = λ0∇g(P0) dan ∇f (P1) = λ1∇g(P1) λ0 dan λ1 adalah bilangan tak nol.
1.7.2 Teorema : Metode Lagrange
Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f(p) terhadap batasan/kendala (p) = 0, selesaikan sistem persamaan
∇f (p) = λ∇g(p) dan g(p) = 0
Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem terkendala dan λ yang berpadanan disebut pengali lagrange.
Langkah- langkah penyelesaian:
1. Tentukan vektor gradien dari masing-masing persamaan 2. Tentukan persamaan lagrange
3. Tentukan pengali lagrange
4. Subtitusikan ke persamaan lagrange yg terbentuk 5. Dapatkan nilai kritis dan lakukan uji nilai titik kritis Contoh
1. Gunakan metode lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimum minimum dari f (x, y) = y2− x2 pada elips x2
4 + y2 = 1 Penyelesaian:
(a) Vektor Gradien g(x, y) = x2
4 + y2 = 1 → g(x, y) = x2+ 4y2 = 0
∇f = −2xi + 2yj
∇g = 2xi + 8yj (b) Persamaan Lagrange
(i) -2x=λ 2x (ii) 2y = λ 8y (iii) x2+ 4y2 = 4
jadi (iii) x dan y tidak dapat disama dengan nol.
(c) Persamaan (i) → λ = −1 Persamaan (ii) → y = 0 → x2
4 + 0 = 1 → x = ±2 Jadi titik -titik kritis (±2, 0)
(d) Bila y 6= 0 → λ = 1
dari persamaan pertama, bila x = 0, maka dari persamaan ketika y = ±14 maka (0, ±1) juga titik - titik kritis.
(e) Uji titik kritis f (x, y) = y2− x2 f (2, 0) = y2− x2 = −4 f (−2, 0) = y2 − x2 = −4 f (0, 1) = y2− x2 = 1 f (0, −1) = y2 − x2 = 1
Dari uji titik kritis di atas didapatkan bahwa nilai minimum untuk f(x,y) adalah -4 dan nilai maksimum nya adalah 1
2. Tentukan minimum f (x, y, z) = 3x + 2y + z + 5 terhadap batasan g(x, y, z) = 9x2+ 4y2− z = 0.
Penyelesaian (a) Vektor Gradien
f (x, y, z) = 3i + 2j + k g(x, y, z) = 18xi + 8yj − k Titik kritis, bila
∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) dan g(x, y, z) = 0 (b) Persamaan Lagrange
Untuk (x, y, z, λ) dengan λ pengali Lagrange.
(i) 3 = 18 λx (ii) 2 = 8y λ (iii) 1 = - λ
(iv) 9x2+ 4x2− z = 0
(c) Dari (iii) λ = −1 → subtitusikan ke (i) dan (ii), didapat x = −1 6 dan x = −1
4 subtitusi dari persamaan (iv)9
−1 6
2
+ 4
−1 4
2
− z = 0 → z = 1
2
(d) Sehingga penyelesaian sistem persamaan simultan tersebut adalah
−1 6, −1
4,1 2, −1
satu-satunya titik kritis adalah
−1 6, −1
4,1 2
(e) maka minimum f(x,y,z) terhadap kendala adalah f
−1 6, −1
4,1 2
= 41 2
1.7.3 Untuk Batasan Lebih dari Satu
Misalkan terdapat dua batasan g(x,y,z) = 0 dan h(x,y,z) = 0, maka persamaannya menjadi
∇f (x, y, z) = λ∇g(x, y, z) + µ∇h(x, y, z) g(x,y,z) = 0 ; h(x,y,z) = 0
dimana λ dan µ adalah pengali lagrange
sehingga sistem lima persamaan simultannya adalah :
1. fx(x, y, z) = λgx(x, y, z) + µhx(x, y, z) 2. fy(x, y, z) = λgy(x, y, z) + µhy(x, y, z) 3. fz(x, y, z) = λgz(x, y, z) + µhz(x, y, z) 4. g(x,y,z) = 0
5. h(x,y,z) = 0
Integral dalam Ruang Berdimensi n
2.1 Integral Lipat-Dua atas Persegi Panjang
Pada bab sebelumnya, kita telah mempelajari mengenai pendiferensialan dalam ru- ang berdimensi n, selanjutnya yang akan kita pelajari adalah pengintegralan dalam ruang berdimensi n. Pada dasarnya, masalah-masalah yang dipecahkan dengan menggunakan integral pada ruang berdimensi n memiliki prinsip yang sama dengan integral pada satu variabel. Pada bab ini, kita akan menggunakan integral lipat un- tuk menghitung volume benda padat, luas permukaan, dan pusat massa dari lapisan tipis (lamina), dan benda-benda padat dengan berbagai kerapatan. Pengintegralan berlipat ini akan disederhanakan menjadi pengintegralan tunggal berurutan di mana Teorema Dasar Kalkulus Kedua memainkan peranan yang penting.
Ingat kembali mengenai integral Riemann pada fungsi satu variabel di mana kita membagi interval [a, b] menjadi interval-interval kecil dengan panjang ∆xk, k = 1, 2, . . . , n, berdasarkan partisi p : x1 < x2 < . . . < xk mengambil sebuah titik contoh ¯xk dari interval ke-k, kemudian
b
Z
a
f (x)dx = lim
|p|→0 n
X
k=1
f (¯xk)∆xk
Prinsip tersebut berlaku pula pada ruang berdimensi dua sehingga kita dapat mendefinisikan integral untuk fungsi dua peubah. Misalkan f (x, y) kontinu pada himpunan berbentuk persegi panjang R yaitu
R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}
Bentuklah partisi p pada himpunan R yaitu garis-garis yang sejajar dengan sumbu x dan sumbu y menjadi persegi panjang-persegi panjang kecil dengan panjang sisi-sisinya masing-masing ∆xk dan ∆yk (perhatikan Gambar 2.1).
Gambar 2.1: Partisi Dua Peubah
Pembuatan partisi ini membagi R menjadi persegi panjang-persegi panjang yang lebih kecil sebanyak n (notasi: Rk), k = 1, 2, . . . , n. Misalkan panjang sisi- sisi Rk masing-masing adalah ∆xk dan ∆yk dan misalkan luas persegi panjang ke-k yaitu ∆Ak = ∆xk∆yk. Pada persegi panjang Rkambil sebuah titik ( ¯xk, ¯yk) sehingga dapat ditentukan bentuk jumlah Riemann-nya yaitu
n
X
k=1
f ( ¯xk, ¯yk)∆Ak
Gambar 2.2: Volume Persegi Panjang Rk
Dengan demikian, berikut adalah definisi dari integral lipat-dua.
Definisi Integral Lipat-Dua
Misalkan f adalah fungsi dengan dua peubah yang didefinisikan pada sebuah persegi panjang tertutup R. Jika
lim
|p|→0 n
X
k=1
f ( ¯xk, ¯yk)∆Ak,
ada, maka f dapat diintegralkan di R.
RR
R
f (x, y)dA disebut integral lipat-dua dari f atas R dan dapat dinyatakan dengan
Z Z
R
f (x, y)dA = lim
|p|→0 n
X
k=1
f ( ¯xk, ¯yk)∆Ak
Contoh:
Hampirilah RR
R
f (x, y)dA berikut dengan menghitung jumlah Riemann di mana f (x, y) = 64−8x+y16 2 dan R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}
Penyelesaian:
Titik-titik contoh yang diperlukan dan nilai-nilai yang berhubungan pada fung- si tersebut adalah sebagai berikut
( ¯x1, ¯y1) = (1, 1), f ( ¯x1, ¯y1) = 57 16 ( ¯x2, ¯y2) = (1, 3), f ( ¯x2, ¯y2) = 65 16 ( ¯x3, ¯y3) = (1, 5), f ( ¯x3, ¯y3) = 81 16 ( ¯x4, ¯y4) = (1, 7), f ( ¯x4, ¯y4) = 105
16 ( ¯x5, ¯y5) = (3, 1), f ( ¯x5, ¯y5) = 41
16 ( ¯x6, ¯y6) = (3, 3), f ( ¯x6, ¯y6) = 49 16 ( ¯x7, ¯y7) = (3, 5), f ( ¯x7, ¯y7) = 65 16 ( ¯x8, ¯y8) = (3, 7), f ( ¯x8, ¯y8) = 89 16 Karena ∆Ak= 4, maka diperoleh
Z Z
R
f (x, y)dA =
8
X
k=1
f ( ¯xk, ¯yk)∆Ak= 4
8
X
k=1
f ( ¯xk, ¯yk)
= 4(57 + 65 + 81 + 105 + 41 + 49 + 65 + 89) 16
= 138
Teorema Keterintegralan
Jika f terbatas pada suatu persegi panjang tertutup R dan jika fungsi ini kontinu di R, kecuali pada sejumlah hingga kurva mulus, maka f dapat diitegralkan pada R. Secara khusus, jika f kontinu di seluruh R, maka f dapat diintegralkan di R.
Sifat-sifat Integral Lipat-Dua
1. Bersifat linear a. RR
R
kf (x, y)dA = kRR
R
f (x, y)dA;
b. RR
R
[f (x, y) ± g(x, y)]dA =RR
R
f (x, y)dA ± RR
R
g(x, y)dA
2. Bersifat aditif (penjumlahan) pada daerah yang saling tumpang tindih hanya pada sebuah ruas garis
Z Z
R
f (x, y)dA = Z Z
R1
f (x, y)dA + Z Z
R2
f (x, y)dA
3. Perbandingan pada integral lipat-dua, jika f (x, y) ≤ g(x, y) untuk seluruh (x, y) di R, maka
Z Z
R
f (x, y)dA ≤ Z Z
R
g(x, y)dA
Perhitungan pada Integral Lipat-Dua
Jika f (x, y) = 1 di R maka integral lipat-dua merupakan luas dari R, Z Z
R
kdA = k Z Z
R
1dA = kA(R)
Contoh:
Misalkan f adalah fungsi tangga, yaitu misalkan
f (x, y) =
1 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1 2 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2 3 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3 Hitung RR
R
f (x, y)dA di mana R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 3}.
Penyelesaian:
Buat persegi panjang R1, R2, dan R3 sebagai berikut R1 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 1}
R2 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2}
R3 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 3, 2 ≤ y ≤ 3}
Dengan menggunakan sifat penjumlahan pada integral lipat-dua diperoleh:
Z Z
R
f (x, y)dA = Z Z
R1
f (x, y)dA + Z Z
R2
f (x, y)dA + Z Z
R3
f (x, y)dA
= 1A(R1) + 2A(R2) + 3A(R3)
= 1(3) + 2(3) + 3(3) = 18
Latihan 2.1
1. Misalkan R = {(x, y) : 1 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2}, hitung RR
R
f (x, y)dA di mana f (x, y) =
(2 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ 2 3 3 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 2 2. Misalkan:
R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2}
R1 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}
R2 = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2}
Misalkan pula:
Z Z
R
f (x, y)dA = 3
Z Z
R
g(x, y)dA = 5
Z Z
R1
g(x, y)dA = 2
. Hitunglah:
a. RR
R
[3f (x, y) − g(x, y)]dA b. RR
R1
[2g(x, y) + 3]dA 3. Hitunglah RR
R
(1 + x)dA di mana R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}.
(Petunjuk: sketsalah benda padat tersebut).
2.2 Integral Berulang
Sekarang yang akan kita hadapi adalah menghitungRR
R
f (x, y)dA di mana R adalah persegi panjang R = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} dan menginterpretasikannya sebagai volume V dari benda padat di bawah permukaan
V = Z Z
R
f (x, y)dA (2.1)
Terdapat cara lain untuk menghitung volume benda padat yaitu dengan meng- iris benda padat tersebut menjadi lempengan-lempengan tipis yang sejajar dengan bidang xz atau yz. Misalkan kita akan menggunakan lempengan-lempengan tipis yang sejajar dengan bidang xz, perhatikan Gambar 2.3 berikut.
Gambar 2.3: Irisan oleh Bidang y = konstanta
Misalkan Ay adalah luas muka lempengan sedangkan ∆y merupakan ketebalan lempengan, maka volume dari lempengan tersebut dapat dihampiri dengan
∆V ≈ A(y)∆y atau
V =
d
Z
c
A(y)dy
Di sisi lain, luas Ay dapat dihampiri dengan
A(y) =
b
Z
a
f (x, y)dx
Dengan demikian, volume dari benda padat tersebut dapat diperoleh yaitu
V =
d
Z
c
A(y)dy =
d
Z
c
b
Z
a
f (x, y)dx
dy (2.2)
Dengan menggabungkan persamaan (2.1) dan (2.2) diperoleh
Z Z
R
f (x, y)dA =
d
Z
c
b
Z
a
f (x, y)dx
dy
Persamaan tersebut disebut integral berulang.
Selanjutnya, dengan cara yang sama, penghitungan volume juga dapat dila- kukan dengan mengiris lempengan sejajar dengan sumbu yz.
Gambar 2.4: Irisan oleh Bidang x = konstanta
Pengintegralan yang terjadi dalam urutan yang berlawanan yaitu
Z Z
R
f (x, y)dA =
b
Z
a
d
Z
c
f (x, y)dy
dx
Contoh:
Tentukan volume V suatu benda padat di bawah permukaan z = 4 − x − y dan di atas persegi panjang R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1}.
Penyelesaian:
V = Z Z
R
f (x, y)dA = Z Z
R
A(x)dx
=
x=2
Z
x=0 y=1
Z
y=0
(4 − x − y)dy dx =
x=2
Z
x=0
4y − xy − y2 2
1 0
dx
=
x=2
Z
x=0
7 2− x
dx = 5
Latihan 2.2
1. Hitunglah integral berulang berikut a.
2
R
1 3
R
0
(xy + y2)dx dy
b.
ln 3
R
0 ln 2
R
0
ex+ydy dx
c.
ln 3
R
0 1
R
0
xyexy2dy dx
2. Sketsa dan hitunglah volume benda padat berikut a.
2
R
0 2
R
0
(x2+ y2)dy dx
b. Benda padat di antara z = x2 + y2 + 2 dan z = 1 dan terletak di atas R = {(x, y) : −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
3. Hitung integral berulang berikut
2
Z
−2 1
Z
−1
|x2y3|dy dx
2.3 Integral Lipat-Dua atas Daerah Bukan Perse- gi Panjang
Misalkan himpunan S tertutup dan terbatas pada bidang. Himpunan S tersebut terkandung dalam sebuah persegi panjang R dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordi- natnya.
Definisikan, f (x, y) =
( f (x, y) jika (x, y) di S 0 jika (x, y) di R-S
Gambar 2.5: Integral di Bawah Daerah Sebarang f bisa diintegralkan di S jika f dapat diintegralkan pada R
Z Z
S
f (x, y)dA = Z Z
R
f (x, y)dA
Penghitungan Integral Lipat-Dua atas Himpunan Umum 1. Himpunan Sederhana-y
Sebuah himpunan S dikatakan sederhana-y jika himpunan tersebut sederhana pada arah y, artinya bahwa sebuah garis pada arah ini memotong S dalam selang tunggal (atau titik atau tidak sama sekali).
S = {(x, y) : g1(x) ≤ y ≤ g2(x), a ≤ x ≤ b}
Gambar 2.6: Himpunan Sederhana-y
Untuk tiap nilai x, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-x adalah
A(x) =
y=g2(x)
Z
y=g1(x)
f (x, y)dy
Himpunan sederhana-y tersebut apabila digambarkan dalam bentuk benda padat dan dihitung volumenya maka
Gambar 2.7: Benda Padat dari Himpunan Sederhana-y
V =
x=b
Z
x=a
A(x)dx =
x=b
Z
x=a
y=g2(x)
Z
y=g1(x)
f (x, y)dy
dx atau
Z Z
S
f (x, y)dA =
x=b
Z
x=a
y=g2(x)
Z
y=g1(x)
f (x, y)dy
dx
2. Himpunan Sederhana-x
Himpunan S disebut sederhana-x jika terdapat fungsi h1(y) dan h2(y) pada selang [c, d] sedemikian rupa sehingga
S = {(x, y) : h1(y) ≤ x ≤ h2(y), c ≤ y ≤ d}
Gambar 2.8: Himpunan Sederhana-x
Untuk tiap nilai y, luas penampang yang diperoleh jika benda diiris tegak lurus sb-y adalah
A(y) =
x=h2(y)
Z
x=h1(y)
f (x, y)dx
