cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
Khairul Basar
Catatan Kuliah
FI2101 Fisika Matematik IA
Semester I 2015-2016
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Institut Teknologi Bandung
cakul
fi2101 sem1
2015
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
Bab 6
Analisa Vektor
6.1 Perkalian Vektor
Pada bagian terdahulu telah dibahas tentang perkalian vektor (mencakup:
perkalian vektor dengan bilangan, perkalian dua vektor (dot product dan cross product )) dan juga perkalian yang melibatkan tiga vektor (triple product ).
Dot product
Contoh yang penting misalnya adalah dalam persoalan dinamika benda yaitu menghitung usaha (kerja). Usaha (kerja) yang dilakukan oleh gaya F sehingga terjadi perubahan posisi yang dinyatakan dengan dr adalah
W = Z
dW = Z
F · dr
yang merupakan integral lintasan. Penyelesaian integral lintasan tersebut ak- an dibahas kemudian.
Cross product
Dalam persoalan dinamika benda, besaran yang melibatkan representasi cross product misalnya adalah momen gaya (τ ), momentum sudut (L) dan kece- patan angular (ω).
τ = r × F
L = r × p = m (r × v) v = ω × r
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
Contoh
Suatu gaya yang dinyatakan dengan F = 2ˆi − 3ˆj + ˆk bekerja di titik (1, 5, 2). Tentukan momen gaya terhadap titik pusat koordinat.
Titik kerja gaya (titik tangkap) F adalah di (1, 5, 2) sehingga vektor posisi titik tangkap ini dari pusat koordinat adalah
rF = ˆi + 5ˆj + 2ˆk
Dengan demikian momen gaya terhadap titik pusat koordinat adalah τ = rF× F =
ˆi + 5ˆj + 2ˆk
×
2ˆi − 3ˆj + ˆk
= (5 + 6)ˆi + (−1 + 4)ˆj + (−3 − 10)ˆk = 11ˆi + 3ˆj − 13ˆk
Triple product
Triple scalar product yang menghasilkan skalar (bilangan) telah diuraikan contoh penggunaannya yaitu dalam persoalan kristalografi. Sedangkan triple vector product adalah operasi yang melibatkan tiga buah vektor dan meng- hasilkan vektor, yaitu A × (B × C).
Sebagaimana telah dipahami bahwa B×C menghasilkan vektor yang tegak lurus bidang yang dibentuk vektor B dan C. Jika kemudian vektor hasil cross product tersebut dicrosskan lagi dengan suatu vektor A maka dapat dipahami bahwa hasilnya adalah vektor yang terletak pada bidang yang dibentuk vektor B dan vektor C sebagaimana ditunjukkan dalam gambar 6.1.
C B
B × C
Gambar 6.1 Cross product dua buah vektor.
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.2 Diferensial Vektor 133
Karena vektor A×(B × C) terletak pada bidang yang dibentuk oleh vektor B dan vektor C, maka dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari B dan C, misalnya αB + βC.
Triple cross product antara tiga buah vektor memenuhi persamaan berikut
A × (B × C) = (A · C) B − (A · B) C
(A × B) × C = (A · B) C − (A · C) B (6.1)
6.2 Diferensial Vektor
Tinjau suatu vektor dalam ruang tiga dimensi yang dinyatakan dengan A = Axˆi + Ayˆj + Azˆk yang direpresentasikan menggunakan sistem kordi- nat kartesian. Vektor-vektor satuan ˆi, ˆj, ˆk adalah vektor-vektor yang tetap (besar dan arahnya). Sedangkan jika Ax, Ay dan Az merupakan fungsi yang bergantung waktu, maka akan dapat diperoleh turunan (diferensial) terhadap waktu dari vektor A tersebut, yaitu
dA dt = d
dt
ˆiAx+ ˆjAy+ ˆkAz
= ˆidAx
dt + ˆjdAy
dt + ˆkdAz
dt d2A
dt2 = d2 dt2
ˆiAx+ ˆjAy+ ˆkAz
= ˆid2Ax
dt2 + ˆjd2Ay
dt2 + ˆkd2Az dt2
(6.2)
Turunan orde lebih tinggi dapat diperoleh dengan cara yang serupa.
Diferensial terhadap waktu dari operasi aljabar yang melibatkan dua atau lebih vektor (misalnya dot product ataupun cross product ) adalah sebagai berikut
d
dt(A · B) = A ·dB dt +dA
dt · B d
dt(A × B) = A ×dB dt +dA
dt × B
(6.3)
Contoh
Benda titik bergerak dalam ruang dengan posisi tiap saat yang di- nyatakan sebagai r = t2ˆi− 2tˆj + (t2+ 2t)ˆk. Tentukan kecepatan, per- cepatan gerak, energi kinetik serta momentum sudut terhadap titik pusat kordinat untuk benda tersebut.
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
Kecepatan benda diperoleh dari turunan fungsi posisi, sehingga v = dr
dt = d dt
t2ˆi − 2tˆj + (t2+ 2t)ˆk
= 2tˆi − ˆj + (2t + 2)ˆk sedangkan percepatan gerak benda diperoleh dari turunan fungsi ke- cepatan
a = dv dt = d
dt
2tˆi − ˆj + (2t + 2)ˆk
= 2ˆi + 2ˆk Energi kinetik diperoleh dari
K =1
2mv2= 1
2mv · v = m 2
2tˆi − ˆj + (2t + 2)ˆk
·
2tˆi − ˆj + (2t + 2)ˆk
= m
2 4t2− 1 + (2t + 2)2 =m
2 8t2+ 4t + 3
Sedangkan momentum sudut terhadap titik pusat kordinat dapat di- peroleh sebagai berikut
L = r × p = r × (mv) = mr × v
= m
t2ˆi − 2tˆj + (t2+ 2t)ˆk
×
2tˆi − ˆj + (2t + 2)ˆk
= m
(−3t2− 2t)ˆi + 2t2ˆj + 3t2kˆ
Jika menggunakan sistem kordinat lain, dimungkinkan dijumpai vektor sa- tuan yang tidak konstan (arahnya tidak tetap). Misalnya jika menggunakan sistem kordinat polar atau silinder atau bola. Maka perubahan arah vektor satuan ini juga akan berpengaruh pada turunan terhadap waktu suatu besar- an. Misalnya suatu vektor yang dinyatakan dengan V = Vruˆr+ Vθuˆθdengan Vr, Vθ, ˆurdan ˆuθ bergantung pada t, maka
dV dt =dVr
dt uˆr+ Vr
d ˆur
dt +dVθ
dt + Vθ
d ˆuθ
dt (6.4)
Contoh
Vektor-vektor satuan dalam sistem koordinat polar dinyatakan de- ngan ˆur dan ˆuθ yang bila dinyatakan dalam vektor-vektor satuan kartesian adalah ˆur = cos θˆi + sin θˆj dan ˆuθ = − sin θˆi + cos θˆj. Su-
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.2 Diferensial Vektor 135
atu vektor dinyatakan dalam sistem koordinat polar sebagai A = Aruˆr+ Aθuˆθ, tentukanlah dA
dt
dA dt = d
dt(Arˆur+ Aθuˆθ)
= ˆur
dAr
dt + Ar
dˆur
dt + ˆuθ
dAθ
dt + Aθ
dˆuθ
dt Karena ˆur= cos θˆi + sin θˆj dan ˆuθ= − sin θˆi + cos θˆj, maka
dˆur dt = d
dt
cos θˆi + sin θˆj
= − sin θdθ
dtˆi + cos θdθ dt ˆj
=
− sin θˆi + cos θˆjdθ dt
= ˆuθ
dθ dt dˆuθ
dt = d dt
− sin θˆi + cos θˆj
= − cos θdθ
dtˆi − sin θdθ dt ˆj
= −
cos θˆi + sin θˆjdθ dt
= −ˆur
dθ dt Dengan demikian
dA dt = ˆur
dAr
dt + Ar
dˆur
dt + ˆuθ
dAθ
dt + Aθ
dˆuθ
dt
= ˆur
dAr
dt + ˆuθAr
dθ dt + ˆuθ
dAθ
dt − ˆurAθ
dθ dt
= dAr dt − Aθ
dθ dt
ˆ
ur+ dAθ
dt + Ardθ dt
ˆ uθ
Suatu fungsi vektor dapat juga merupakan fungsi dari kordinat posisi (x, y), misalnya dalam bentuk F = x exp(y)ˆi − xyˆj + yˆk, dan disebut se- bagai medan vektor. Turunan fungsi tersebut terhadap variabel-variabelnya dapat diperoleh menggunakan turunan parsial dan hasilnya adalah berupa besaran vektor. Misalnya
∂F
∂x = exp(y)ˆi − yˆj
∂F
∂y = x exp(y)ˆi − xˆj + ˆk
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.3 Medan Skalar dan Medan Vektor
Besaran skalar atau vektor yang didefinisikan tidak hanya pada satu titik da- lam ruang melainkan dalam setiap bagian titik dalam ruang dikenal sebagai medan (field ). Jika besaran medan ini dapat berupa medan skalar ataupun medan vektor. Suatu fungsi dua variabel φ(x, y) adalah contoh medan skalar, sedangkan misalnya F(x, y) merepresentasikan suatu medan vektor. Tem- peratur, tekanan dalam ruang merupakan contoh medan skalar sedangkan medan listrik, percepatan gravitasi merupakan contoh medan vektor. Karena besaran medan mempunyai variabel ruang, maka perubahan pada variabel ruang akan membuat perubahan pada fungsi medan. Turunan terhadap va- riabel ruang menjadi hal yang sangat penting untuk dibahas sebagaimana perubahan terhadap waktu (dinamika) yang telah dibahas sebelumnya.
6.4 Gradien
Untuk fungsi yang terdiri dari satu variabel, turunan menyatakan kemiring- an kurva di titik tertentu. Fungsi dua variabel dapat digambarkan sebagai permukaan pada sistem kordinat tiga dimensi. Turunan fungsi di suatu titik tertentu dapat diperoleh dari turunan parsialnya. Tinjau suatu fungsi dua va- riabel yang dinyatakan dengan φ(x, y). Jika permukaan φ(x, y) dipotong oleh permukaan datar yang sejajar bidang xz (yang berarti bidang y konstan) ma- ka kurva perpotongannya akan mempunyai turunan yang dapat dinyatakan dengan ∂φ
∂x
y
. Turunan ini akan memberikan gambaran bagaimana fungsi φ(x, y) berubah terhadap x untuk suatu nilai y tertentu yang konstan (lihat gambar 6.2).
Oleh karenanya dapat dipahami bahwa turunan di suatu titik bergantung pada arah mana perubahan terjadi (dengan kata lain turunan di suatu titik pada permukaan φ bergantung pada arah bidang datar yang memotongnya).
Hal ini disebut sebagai turunan berarah (directional derivative). Misalkan arah yang dimaksud dinyatakan dengan suatu vektor v, maka turunan fung- si φ di titik (x, y) dalam arah vektor v dituliskan sebagai ∇vφ(x, y) atau ringkasnya sebagai ∇vφ. Dengan ∇ adalah operator diferensial parsial ter- hadap variabel ruang yang disebut ”nabla”. Dikaitkan dengan pengertian tersebut di atas, maka gradien (gradient ) dari suatu fungsi skalar φ(x, y, z) didefinisikan sebagai berikut (dalam sistem koordinat kartesian):
∇φ = grad φ = ∂φ
∂xˆi + ∂φ
∂y ˆj +∂φ
∂z
ˆk (6.5)
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.4 Gradien 137
x
y φ(x, y)
permukaan φ
bidang y konstan kurva perpotongan
x
y φ(x, y)
permukaan φ
bidang x konstan kurva
perpotongan
Gambar 6.2 Ilustrasi perpotongan permukaan φ(x, y) dengan bidang y konstan atau x konstan.
Dengan demikian turunan berarah fungsi φ dalam arah suatu vektor satuan tertentu ˆu adalah
dφ
ds = ∇φ · ˆu (turunan berarah) (6.6)
Misalnya turunan berarah φ dalam arah ˆi (yaitu searah sumbu x) adalah
∇φ · ˆi = ∂φ
∂xˆi +∂φ
∂y ˆj + ∂φ
∂z ˆk
· ˆi = ∂φ
∂x Contoh
Tentukanlah turunan berarah suatu medan skalar φ = x2y + xz di titik (1, 2, −1) dalam arah vektor A = 2ˆi − 2ˆj + ˆk
Vektor satuan dalam arah A adalah ˆ
u = A
|A| = 1
3(2ˆi − 2ˆj + ˆk) Selanjutnya gradien di titik (1, 2, −1) adalah
∇φ = ∂φ
∂xˆi + ∂φ
∂xˆj +∂φ
∂x
ˆk = (2xy + z)ˆi + x2ˆj + xˆk
∇φ
(1,2,−1)= 3ˆi + ˆj + ˆk
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
maka turunan berarah yang dimaksud adalah
∇φ · ˆu = 5 3
Dalam sistem kordinat silinder (r, θ, z) bentuk gradien dari suatu fungsi skalar adalah sebagai berikut
∇φ = ∂φ
∂reˆr+1 r
∂φ
∂θeˆθ+∂φ
∂zeˆz (6.7)
dengan ˆer, ˆeθdan ˆez masing-masing menyatakan vektor-vektor satuan dalam sistem kordinat silinder. Sedangkan bentuk gradien dalam sistem kordinat bola (r, θ, ψ) adalah
∇φ = ∂φ
∂reˆr+1 r
∂φ
∂θeˆθ+ 1 r sin ψ
∂φ
∂ψeˆψ (6.8)
Bila dikaitkan dengan bidang singgung dan vektor normal bidang sing- gung suatu permukaan φ(x, y, z) = konstan di titik tertentu, maka gradien
∇φ(x, y, z) menyatakan vektor yang tegak lurus permukaan bidang singgung (vektor normal) di titik singgung tersebut1, sekaligus vektor tersebut menya- takan arah perubahan paling besar fungsi φ(x, y, z).
Contoh 1
Tentukanlah gradien fungsi φ(x, y, z) = x2y3z di titik (1, 2, −1).
Dengan menggunakan persamaan 6.5, maka dapat diperoleh
∇φ = ∂φ
∂xˆi + ∂φ
∂yˆj +∂φ
∂z
ˆk = 2xy3zˆi + 3x2y2zˆj + x2y3kˆ
sehingga gradien di titik (1, 2, −1) adalah
(∇φ)(1,2,−1)= −16ˆi − 12ˆj + 8ˆk
1 Lihat kembali pembahasan tentang bidang singgung dan integral permukaan, tersedia di http://kuliah-khbasar.blogspot.co.id/2015/10/catatan-tambahan-bidang- singgung.html
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.4 Gradien 139
Contoh 2
Pada suatu permukaan yang dinyatakan dengan persamaan φ = x2− y2+ 2xy, tentukanlah arah yang memberikan penurunan nilai yang paling besar di titik (1, 1).
Arah penurunan nilai yang paling besar dinyatakan dengan −∇φ, dengan demikian untuk permukaan yang dinyatakan dengan φ = x2− y2+ 2xy maka arah penurunan nilai yang paling besar di titik (1, 1) adalah
−∇φ (1,1)
= − ∂φ
∂xˆi +∂φ
∂yˆj
(1,1)
= −
(2x + 2y)ˆi + (−2y + 2x)ˆj
(1,1)= −
4ˆi + 0ˆj
= −4ˆi
Contoh 3
Tentukanlah persamaan bidang singgung (tangent plane) permukaan x2+ y2− z = 0 di titik (3, 4, 25).
Vektor normal permukaan bidang singgung diperoleh dari gradien
∇φ(x, y, z). Dengan demikian untuk φ(x, y, z) = x2+ y2− z akan diperoleh
∇φ = ˆi∂φ
∂x + ˆj∂φ
∂y + ˆk∂φ
∂z
= 2xˆi + 2yˆj − ˆk Di titik (3, 4, 25) akan diperoleh nilai
∇φ
(3,4,25)= 6ˆi + 8ˆj − ˆk
Selanjutnya persamaan bidang singgung yang dimaksud adalah 6(x − 3) + 8(y − 4) − (z − 25) = 0 =⇒ 6x + 8y − z = 25
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.5 Operator Diferensial Vektor ∇
Gradien suatu fungsi φ(x, y, z) yang dinyatakan sebagai ∇φ = ∂φ
∂xˆi +∂φ
∂y ˆj +
∂φ
∂z
k dapat pula dituliskan dalam bentuk lainˆ
∂φ
∂xˆi +∂φ
∂y ˆj +∂φ
∂z
k =ˆ ∂
∂xˆi + ∂
∂y ˆj + ∂
∂z kˆ
φ (6.9)
yang berarti adanya suatu operator diferensial vektor yang bekerja pada su- atu fungsi skalar φ. Operator diferensial vektor tersebut dituliskan kembali dalam bentuk
∇ = ∂
∂xˆi + ∂
∂yˆj + ∂
∂z
ˆk (6.10)
Operator diferensial vektor ∇ juga dapat beroperasi pada fungsi med- an vektor, misalnya untuk suatu medan vektor V(x, y, z) = Vx(x, y, z)ˆi + Vy(x, y, z)ˆj + Vz(x, y, z)ˆk maka dot product antara ∇ dengan V dinamakan divergensi (divergence) dari V atau disingkat divV, yaitu
∇ · V = divV = ∂
∂xˆi + ∂
∂y ˆj + ∂
∂z kˆ
·
Vxˆi + Vyˆj + Vzˆk
=∂Vx
∂x +∂Vy
∂y +∂Vz
∂z
(6.11)
Cross product antara operator diferensial vektor ∇ dengan medan vektor V(x, y, z) dinamakan rotasi (curl ) yang diperoleh sebagai berikut
∇ × V = curlV
= ∂
∂xˆi + ∂
∂y ˆj + ∂
∂z kˆ
×
Vxˆi + Vyˆj + Vzkˆ
= ∂Vz
∂y −∂Vy
∂z
ˆi + ∂Vx
∂z −∂Vz
∂x
ˆj + ∂Vy
∂x −∂Vx
∂y
kˆ
(6.12) Satu lagi bentuk operator diferensial parsial yang sering dijumpai dalam persoalan fisis adalah yang menyatakan divergensi dari suatu gradien yang dikenal sebagai laplacian. Untuk suatu fungsi skalar φ(x, y, z), laplacian dari medan skalar φ(x, y, z) adalah
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.5 Operator Diferensial Vektor ∇ 141
∇2φ = ∇ · ∇φ = div grad φ
= ∂
∂xˆi + ∂
∂y ˆj + ∂
∂z ˆk
· ∂φ
∂xˆi + ∂φ
∂y ˆj +∂φ
∂z ˆk
=∂2φ
∂x2 +∂2φ
∂y2 +∂2φ
∂z2
(6.13)
Contoh 1
Untuk medan vektor V = x2ˆi + y2ˆj + z2k, tentukanlah divergensiˆ (divergence) dan rotasi (curl ) medan vektor tersebut.
Divergensi medan vektor tersebut adalah
∇ · V = ∂
∂xˆi + ∂
∂y ˆj + ∂
∂z ˆk
·
x2ˆi + y2ˆj + z2ˆk
= 2x + 2y + 2z
sedangkan rotasi (curl ) medan vektor tersebut adalah
∇ × V = ∂
∂xˆi + ∂
∂yˆj + ∂
∂z ˆk
×
x2ˆi + y2ˆj + z2ˆk
= ∂z2
∂y −∂y2
∂z
ˆi + ∂x2
∂z −∂z2
∂x
ˆj + ∂y2
∂x −∂x2
∂y
kˆ
= 0
Contoh 2
Tentukanlah laplacian dari medan skalar φ = x3− 3xy2+ y3.
∇2φ =∂2φ
∂x2 +∂2φ
∂y2 +∂2φ
∂z2
= 6x − 6x + 6y = 6y
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.6 Integral Garis
Ini sangat sering dijumpai dalam persoalan mekanika (misalnya ketika meng- hitung usaha). Integral garis biasanya dihitung berdasarkan lintasan (garis) tertentu dan misalnya dilambangkan dengan
Z
C
.
Contoh 1
Gaya yang dinyatakan dengan F = xyˆi−y2ˆj bekerja pada suatu benda dan benda tersebut bergerak sepanjang lintasan yang menghubungk- an titik (0,0) dan (2,1) pada bidang kartesian. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F tersebut jika lintasan yang menghubungkan kedua titik tersebut berupa parabola dengan persamaan y =14x2. Usaha yang dilakukan oleh gaya F adalah
W = Z
dW = Z
F · dr
Karena F = xyˆi − y2ˆj dan dr = dxˆi + dxˆj + dzˆk jadi diperoleh F · dr = xydx − y2dy
Dengan demikian W =
Z
F · dr = Z
xydx − y2dy
Pada lintasan yang dimaksud (yaitu parabola) terdapat hubungan antara variabel y dengan x sesuai dengan persamaan parabola yaitu y = 14x2, dan dapat diperoleh bahwa dy = 12xdx dengan demikian dapat dinyatakan
W = Z
parabola
xydx − y2dy
=
2
Z
0
x(1
4x2)dx − (1 4x2)2(1
2xdx)
=
2
Z
0
1 4x3− 1
32x5
dx = 2
3
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.6 Integral Garis 143
Contoh 2
Sebagaimana Contoh 1 namun lintasan yang digunakan adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) dengan (2,1).
Pada lintasan ini hubungan antara variabel x dan y dinyatakan de- ngan persamaan garis yang menghubungkan kedua titik yaitu y = 12x.
Karena y =12x, berarti dy = 12dx. Dengan demikian dapat dinyatakan W =
Z
garis lurus
xydx − y2dy
=
2
Z
0
x(1
2x)dx − (1 2x)2(1
2dx) =
2
Z
0
1 4x2−1
8x2
dx = 1
Contoh 3
Sebagaimana Contoh 1 dan Contoh 2 namun lintasan yang digu- nakan adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) ke (0,1) kemudian dari (0,1) ke (2,1).
Untuk lintasan yang dimaksud terdapat dua segmen garis. Yang per- tama adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,0) dengan ti- tik (0,1). Pada garis ini berlaku hubungan x = 0, dengan demikian dx = 0. Batas integrasinya adalah dari y = 0 hingga y = 1. Sedangk- an segmen garis kedua adalah garis lurus yang menghubungkan titik (0,1) dengan titik (2,1). Pada garis ini berlaku y = 0, dengan demiki- an dy = 0. Batas integrasi adalah dari x = 0 hingga x = 2. Integral lintasan tersebut dapat dituliskan menjadi dua bagian sesuai segmen garis yang digunakan yaitu
W = Z
lintasan yang dimaksud
xydx − y2dy
= Z
segmen 1
xydx − y2dy + Z
segmen 2
xydx − y2dy
Dengan demikian diperoleh
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
W =
1
Z
y=0
(−y2)dy +
2
Z
x=0
(xdx) = −1
3 + 2 = 5 3
Dari ketiga contoh tersebut terlihat bahwa hasil integral yang diperoleh tergantung pada lintasan yang digunakan. Terdapat bentuk fungsi F tertentu sedemikian sehingga nilai integral lintasan yang menghubungkan dua buah titik dalam ruang sama dan tidak bergantung pada lintasan yang digunakan.
Dalam pembahasan mekanika, fungsi F yang seperti ini dinamakan fungsi (medan) yang bersifat konservatif.
6.7 Teorema Green
Teorema dasar dalam Kalkulus memberikan ungkapan tentang hubungan an- tara diferensial dan integral dari suatu fungsi, yaitu dinyatakan dalam bentuk
b
Z
a
d
dtf (t)dt = f (b) − f (a) (6.14) Misalkan terdapat fungsi multivariabel yaitu P (x, y) dan Q(x, y) yang turun- an keduanya merupakan fungsi yang kontinu. Misalkan suatu luasan A adalah bentuk sembarang dengan batas-batas absisnya (batas paling kiri dan batas paling kanan) adalah x = a dan x = b sedangkan batas-batas ordinatnya (ba- tas paling bawah dan batas paling atas) adalah y = c dan y = d sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 6.7.
Bila dicari integral lipat dua dari turunan parsial P (x, y) terhadap y, maka dapat dinyatakan
Z Z
A
∂P (x, y)
∂y dydx =
b
Z
a
dx
yu
Z
yl
∂P (x, y)
∂y dy
=
b
Z
a
[P (x, yu) − P (x, yl)] dx
= −
b
Z
a
P (x, yl)dx −
a
Z
b
P (x, yu)dx
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.7 Teorema Green 145
(a)
x y
a b
A C yu(x)
yl(x)
(b)
x y
c d
A C xr(y)
xl(y)
Gambar 6.3 Daerah berbentuk sembarang untuk membuktikan teorema Green.
Terlihat bahwa
b
Z
a
P (x, yl)dx merupakan integral garis dengan lintasan be- rupa bagian bawah dari kurva C dari titik 1 (titik yang absisnya a) ke titik 2 (titik yang absisnya b). Demikian juga bahwa integral
a
Z
b
P (x, yu)dx meru- pakan integral garis dengan lintasan berupa bagian atas dari kurva C dari titik 2 ke titik 1. Artinya integral tersebut di atas dapat diganti menjadi in- tegral garis dengan lintasan berupa kurva tertutup C (dari titik 1 kembali ke titik 1) dengan arah berlawanan arah jarum jam. Dengan demikian dapat dituliskan kembali sebagai
I
C
P dx = − Z Z
A
∂P (x, y)
∂y dydx (6.15)
Dengan cara yang sama (tapi dengan mengintegralkan terhadap x terlebih dahulu) dapat pula diperoleh untuk fungsi yang lain yaitu fungsi Q(x, y)
Z Z
A
∂Q
∂xdxdy =
d
Z
c
dy
xr
Z
xl
∂Q
∂xdx =
d
Z
c
[Q(xr, y) − Q(xl, y)] dy
= I
C
Qdy
Artinya diperoleh
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
Z Z
A
∂Q
∂xdxdy = I
C
Qdy (6.16)
Kemudian dengan menambahkan persamaan 6.15 dengan persamaan 6.16 maka akan didapat
Z Z
A
∂Q
∂x −∂P
∂y
dx dy = I
C
(P dx + Qdy) (6.17)
dengan C menyatakan kurva tertutup yang membatasi permukaan A. Integral lintasan yang dihitung arahnya adalah berlawanan arah jarum jam.
Ungkapan persamaan 6.17 dikenal sebagai teorema Green dan teorema ini menyatakan bahwa integral permukaan dapat dinyatakan dalam bentuk inte- gral garis. Atau sebaliknya integral garis pada suatu lintasan tertutup dapat diubah menjadi integral permukaan (lipat dua) pada luasan yang dibentuk oleh lintasan tertutup tersebut.
Contoh
Dengan menggunakan teorema Green, hitunglah integral lintasan Z
(xydx − y2dy)
pada lintasan tertutup yang merupakan garis lurus dari titik (2,1) ke (0,1) kemudian garis lurus dari titik (0,1) ke titik (0,0) dan dilanjutkan dengan lengkungan y = 14x2 yang menghubungkan titik (0,0) ke titik (2,1).
Dengan menggunakan teorema Green, integral lintasan tertutup ter- sebut dapat diubah menjadi integral permukaan (integral lipat dua) dengan daerah yang dibatasi oleh kurva lintasan tertutup tersebut.
Bila digunakan persamaan 6.17 maka dapat dinyatakan bahwa P (x, y) = xy dan Q(x, y) = −y2
dengan demikian
∂Q
∂x = 0 dan ∂P
∂y = x Maka diperoleh
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.8 Teorema Divergensi 147
I
C
(xydx − y2dy) = Z Z
A
∂Q
∂x −∂P
∂y
dx dy = Z Z
A
−x dx dy
= −
1
Z
y=0 2√
y
Z
x=0
x dx dy = −1
6.8 Teorema Divergensi
Misalkan suatu vektor V = Vxˆi + Vyˆj, dengan Vx = Q(x, y) dan Vy =
−P (x, y) adalah berupa fungsi multivariabel dalam x dan y. Karena vektor V tidak mempunyai komponen dalam arah sumbu z berarti dapat dinyatakan
∂Q
∂x −∂P
∂y =∂Vx
∂x +∂Vy
∂y = div V = ∇ · V (6.18) Kemudian tinjau kurva tertutup C yang melingkupi suatu daerah luasan A sebagaimana ditunjukkan dalam Gambar 6.4.
A C
dr
nds dy dx
Gambar 6.4 Luasan A yang dilingkupi oleh kurva tertutup C.
Sepanjang kurva C tersebut vektor dr merupakan vektor yang menying- gung kurva C, dalam hal ini vektor dr dapat dinyatakan sebagai
dr = dxˆi + dyˆj Sedangkan vektor normal yang bersangkutan adalah
nds = dyˆi − dxˆj (6.19)
dengan n menyatakan vektor satuan normal (berarah ke luar dari luasan A) dan ds =p
dx2+ dy2. Dengan demikian dapat dinyatakan
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
P dx + Qdy = −Vydx + Vxdy = (Vxˆi + Vyˆj) · (dyˆi − dxˆj)
= V · n ds (6.20)
Kemudian bila persamaan 6.18 dan persamaan 6.20 disubstitusikan ke per- samaan 6.17 akan diperoleh
Z Z
A
(∇ · V) dx dy = I
C
(V · n) ds (6.21)
Persamaan tersebut dikenal sebagai teorema divergensi dalam dua dimensi.
Dalam kasus 3 dimensi, teorema divergensi dapat dinyatakan dalam ben- tuk
Z Z Z
volume
∇ · Vdτ = Z Z
permukaan
V · ndσ (6.22)
dengan τ menyatakan volume yang dibatasi oleh suatu permukaan tertutup.
Terlihat bahwa teorema divergensi mengaitkan antara integral lipat tiga (in- tegral volume) dengan integral lipat dua (integral permukaan).
Contoh
Untuk suatu medan vektor berbentuk V = x2ˆi+ y2ˆj + z2k, hitunglahˆ Z Z
permukaan
V · n dσ pada permukaan kubus yang bersisi satu satuan dan titik-titik sudutnya adalah pada (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (1,0,0).
Integral tersebut dapat diselesaikan langsung maupun dengan meng- gunakan teorema divergensi.
Permukaan kubus tersebut ada 6 buah masing-masing dengan vektor normal ˆi,−ˆi,ˆj,−ˆj,ˆk dan −ˆk. Bila dihitung integralnya secara langsung maka berarti
Z Z
permukaan kubus
V · n dσ = Z Z
perm. 1
V · ˆi dy dz + Z Z
perm. 2
V · −ˆi dy dz
+ Z Z
perm. 3
V · ˆj dx dz + Z Z
perm. 4
V · −ˆj dx dz
+ Z Z
perm. 5
V · ˆk dx dy + Z Z
perm. 6
V · −ˆk dx dy
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.9 Teorema Stoke 149
Bila dihitung akan menghasilkan
Z Z
permukaan kubus
V · n dσ =
1
Z
y=0 1
Z
z=0
12dy dz +
1
Z
y=0 1
Z
z=0
02dy dz
+
1
Z
x=0 1
Z
z=0
12dy dz +
1
Z
y=0 1
Z
z=0
02dx dz
+
1
Z
x=0 1
Z
y=0
12dx dy +
1
Z
y=0 1
Z
z=0
02dx dy
= 3
Bila menggunakan teorema divergensi, integral tersebut dapat dihi- tung sebagai berikut
∇ · V = ∂
∂xˆi + ∂
∂y ˆj + ∂
∂z ˆk
·
x2ˆi + y2ˆj + z2ˆk
= 2x + 2y + 2z kemudian
Z Z Z
∇ · V dτ =
1
Z
z=0 1
Z
y=0 1
Z
x=0
(2x + 2y + 2z) dx dy dz = 3
6.9 Teorema Stoke
Sekarang misalkan Q = Vydan P = Vxsedangkan suatu vektor V dinyatakan dengan V = Vxˆi + Vyˆj. Kemudian akan dapat dinyatakan
∂Q
∂x −∂P
∂y =∂Vy
∂x −∂Vx
∂y = (∇ × V) · ˆk (6.23) Dengan menggunakan notasi-notasi dalam Gambar 6.4, maka diperoleh
P dx + Qdy = (Vxˆi + Vyˆj) · (dxˆi + dyˆj) = V · dr (6.24) Dengan mensubstitusi persamaan 6.23 dan persamaan 6.24 ke persamaan 6.17 akan diperoleh
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
Z Z
A
(∇ × V) · ˆkdx dy = I
C
V · dr (6.25)
Persamaan tersebut dinamakan teorema Stoke dalam dua dimensi. Bentuk teorema Stoke dalam kasus tiga dimensi adalah
I
kurva C
V · dr = Z Z
permukaan σ
(∇ × V) · ndσ (6.26)
Untuk memahami notasi yang digunakan dalam teorema Stoke, perhatikan Gambar 6.5
dσ permukaan σ n
C
Gambar 6.5 Suatu permukaan σ yang tepinya dinyatakan oleh kurva tertutup C.
Teorema Stoke menghubungkan integral lipat dua dengan integral lintas- an. Hal ini mirip dengan bentuk teorema Green, namun perlu dicatat bahwa permukaan yang digunakan dalam teorema Green adalah permukaan datar, sedangkan permukaan yang digunakan dalam teorema Stoke tidak perlu ber- upa permukaan datar.
Contoh
Hitunglah integral Z
(∇ × V) · n dσ pada permukaan yang berbentuk kubah (setengah bola) yang dinyatakan dengan persamaan x2+ y2+ z2= a2dengan z ≥ 0 jika V = 4yˆi + xˆj + 2zˆk.
Dengan menggunakan persamaan 6.12 dapat diperoleh bentuk rotasi dari medan vektor V, yaitu
∇ × V = −3ˆk
Permukaan yang digunakan dalam integral tersebut adalah permuka- an setengah bola dengan jari-jari a. Vektor normal permukaan terse-
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
6.9 Teorema Stoke 151
but dinyatakan dengan
n = r
|r| = xˆi + yˆj + zˆk a Selanjutnya dapat diperoleh
(∇ × V) · n = −3ˆk ·r a= −3z
a
Kemudian dengan menggunakan sistem koordinat bola, dapat dipe- roleh hubungan
z = r cos θ dσ = r2sin θdθdφ Sehingga
Z
perm. stgh. bola
−3z adσ =
2π
Z
φ=0 π/2
Z
θ=0
−3a cos θ
a a2sin θ dθdφ
= −3a2
2π
Z
0
dφ
π/2
Z
0
sin θ cos θdθ = −3πa2
Integral tersebut dapat juga dihitung menggunakan teorema Stoke.
Bila menggunakan teorema Stoke, integral permukaan tersebut dapat diubah menjadi integral garis (lintasan). Dalam hal ini kurva tertutup yang digunakan adalah lingkaran berjejari a yang berpusat di titik pusat koordinat. Jika digunakan sistem koordinat silinder dua dimensi (polar) maka dapat dinyatakan
dr = adθ(− sin θˆi + cos θˆj) Sehingga
V · dr = a2dθ(−4 sin2θ + cos2θ) Dengan demikian
I
lingkaran
V · dr = a2
2π
Z
θ=0
(−4 sin2θ + cos2θ)dθ
Karena
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
Z
sin2axdx = x
2 −sin 2ax
4a + C, dan Z
cos2axdx = x
2 +sin 2ax 4a + C sehingga akan diperoleh
I
lingkaran
V · dr = a2
2π
Z
θ=0
(−4 sin2θ + cos2θ)dθ = −3πa2
Bila menggunakan teorema Stoke dapat dipahami bahwa integral ter- sebut juga dapat dihitung menggunakan bentuk permukaan lainnya asalkan permukaan tersebut dibatasi oleh kurva tertutup yang identik yaitu lingkaran berjejari a dan berpusat di pusat koordinat. Misalnya saja dapat digunakan permukaan datar berbentuk lingkaran (lingkar- an di bidang xy). Bila digunakan permukaan ini, maka arah normal permukaan adalah k. Sehingga
(∇ × V) · n = −3ˆk · ˆk = −3 Selanjutnya
Z
(∇ × V) · ndσ = −3 Z
dσ = −3πa2
Terbukti bahwa hasil yang diperoleh sama dengan hasil dari cara sebe- lumnya, namun terlihat bahwa hitungan yang terakhir ini jauh lebih sederhana dan singkat.
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar Paket Soal Bab 6
1. Suatu vektor gaya mempunyai komponen (1, 2, 3) dan bekerja di titik (3, 2, 1). Tentukanlah vektor momen gaya terhadap titik pusat koordinat dan momen terhadap masing-masing sumbu koordinat.
2. Gerak suatu benda dinyatakan dengan vektor posisi r = r ˆurdalam sistem koordinat polar. Tentukan kecepatan dan percepatan benda tersebut.
3. Tentukanlah persamaan garis normal (garis yang tegak lurus) permukaan x2y + y2z + z2x + 1 = 0 di titik (1, 2, −1) dan juga persamaan bidang singgung di titik tersebut.
4. Tentukanlah gradien permukaan φ = z sin y − xz di titik (2, π/2, −1) dan tentukan arah penurunan yang paling cepat dari nilai fungsi φ di titik tersebut.
5. Untuk medan vektor berikut, hitunglah divergensi dan rotasinya:
a. V = x sin yˆi + cos yˆj + xyˆk b. V = x2yˆi + y2xˆj + xyzˆk 6. Untuk medan skalar berikut, hitunglah laplaciannya:
a. φ =p
x2− y2 b. φ = xy(x2+ y2− 5z2) c. φ = 1 px2+ y2+ z2 7. Untuk r = xˆi + yˆj + zˆk, hitunglah
a. ∇ ׈k × r b. ∇ · r
|r|
c. ∇ × r
|r|
8. Suatu medan gaya dinyatakan dalam bentuk F = (y + z)ˆi− (x + z)ˆj + (x + y)ˆk. Tentukanlah usaha yang dilakukan oleh gaya untuk menggerakkan benda dalam lintasan berikut:
a. lingkaran x2+ y2 = 1 pada bidang xy dengan arah berlawanan arah jarum jam.
b. lingkaran x2+ z2 = 1 pada bidang xz dengan arah berlawanan arah jarum jam.
c. garis dari pusat koordinat sepanjang sumbu x sampai titik (1, 0, 0) di- lanjutkan garis sejajar sumbu z sampai titik (1, 0, 1) dilanjutkan garis
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
sejajar bidang yz sampai titik (1, 1, 1) dan kemudian kembali ke titik pusat koordinat melalui garis x = y = z.
d. lengkungan dengan persamaan x = 1 − cos t, y = sin t, z = t dari ti- tik pusat koordinat ke titik (0, 0, 2π) kemudian kembali ke titik pusat koordinat melalui garis sepanjang sumbu z.
9. Tentukan usaha yang dilakukan oleh gaya F = x2yˆi−xy2ˆj dengan lintasan a dan b antara titik (1, 1) dan (4, 2) seperti ditunjukkan dalam gambar berikut
x y
(1, 1)
a (4, 2)
b
10. Gunakan teorema Green untuk menghitung integral lintasan tertutup I
C
xydx + x2dy dengan C adalah lintasan tertutup seperti ditunjukkan gambar berikut
x y
1 4
C y = 1/√
x
11. Hitunglah integral lintasan Z
C
(x sin x − y)dx + (x − y2)dy dengan C adalah segitiga yang titik sudutnya (0, 0), (1, 1) dan (2, 0).
12. Hitunglah integral Z
(y2− x2)dx + (2xy + 3)dy sepanjang sumbu x dari (0, 0) sampai (√
5, 0) kemudian sepanjang lengkungan busur lingkaran dari (√
5, 0) ke (1, 2).
13. Hitunglah integral Z
r·ˆn dσ pada seluruh permukaan silinder yang dibatasi x2+ y2= 1, z = 0 dan z = 3, dengan r = xˆi + yˆj + zˆk.
14. Hitunglah integral Z Z Z
∇·V dτ pada kubus satuan yang terletak di oktan pertama (first octant ) jika V = (x3− x2)yˆi+ (y3− 2y2+ y)xˆj + (z2− 1)ˆk.
cakul
fi2101 sem1
2015
khbasar
155
15. Hitunglah integral Z Z
(∇ × V) · ˆn dσ pada bagian permukaan z = 9 − x2− 9y2 di atas bidang xy jika V = 2xyˆi + (x2− 2x)ˆj − x2z2ˆk.
