362 Komponen imun yang dimaksud dalam artikel ini yaitu sel CTL aktif dan sel T-helper. Pertumbuhan sel tumor dimodelkan sebagai sistem autonomous empat dimensi. Perilaku solusi sistem autonomous tersebut dianalisa melalui eksistensi titik kesetimbangan dan kestabilan lokal melalui proses linearisasi. Sebelum dilakukan analisis pada sistem dengan kemoterapi, dilakukan terlebih dahulu analisis pada sistem tanpa kemoterapi. Kedua sistem mempunyai enam titik kesetimbangan. Sistem tanpa kemoterapi mempunyai tiga titik kesetimbangan stabil jika memenuhi syarat tertentu, sedangkan sistem dengan kemoterapi semua titik kesetimbangan stabil jika memenuhi syarat tertentu. Hasil analisis diuji dan diilustrasikan melalui simulasi numerik. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kemoterapi dapat membantu sel imun untuk menghancurkan sel tumor dengan tetap mempertahankan keberadaan sel imun.
Kata kunci: tumor, sistem imun, kemoterapi, sistem autonomous, kestabilan titik kesetimbangan.
1. PENDAHULUAN
Pemodelan matematika tentang dinamika tumor-imun telah banyak dikaji oleh para peneliti. Salah satunya adalah Kuznetsov dan Knott (2001) yang mengembangkan suatu model deterministik untuk menggambarkan pengaruh timbal balik antara sel kanker dan salah satu sel imun yaitu sel pembunuh cytotoxic. Selain itu, De Pillis dan Radunskaya (2001) mengkaji suatu model matematika yang menunjukkan persaingan antara sel normal dan sel tumor dengan mempertimbangkan peranan kemoterapi, dan masih banyak penelitian lain yang mengkaji tentang dinamika tumor-imun. Berbeda dari Kutznetsov dan Knott (2001), serta De Pillis (2001) dan Radunskaya (2001), dalam penelitian yang dilakukan oleh Sharma dan Samanta (2013) dibahas model interaksi antara sel tumor dan dua sel imun, yaitu sel CTL aktif dan sel T-helper dengan mempertimbangkan peranan kemoterapi dan kontrol optimal. Dalam model matematika yang dikembangkan oleh Sharma dan Samanta (2013) tidak diperlihatkan adanya persaingan antara sel tumor dan sel normal.
Pada artikel ini dibahas analisis dinamik model matematika yang telah dideskripsikan oleh Sharma dan Samanta (2013). Berbeda dari Sharma dan Samanta (2013) yang lebih memfokuskan pembahasan pada pengaruh kontrol optimal kemoterapi terhadap pertumbuhan sel tumor dan sel imun, pada artikel ini dibahas lebih mendalam tentang analisis dinamik model pertumbuhan sel tumor yang dikendalikan oleh sistem imun dan kemoterapi serta tanpa kemoterapi. Berdasarkan hasil analisis dapat diketahui pengaruh kemoterapi terhadap perilaku solusi sistem yang dianalisis melalui eksistensi dan kestabilan lokal titik kesetimbangan sistem.
2. MODEL MATEMATIKA
Model matematika untuk pertumbuhan tumor yang dikendalikan oleh sistem imun saja, maupun yang dikendalikan oleh sistem imun dan kemoterapi yang dibahas dalam artikel ini adalah
363
Model matematika yang dikembangkan oleh Sharma dan Samanta (2013) tersebut menjelaskan adanya interaksi antara sel tumor , sel CTL aktif , sel T-helper dan kemoterapi . Parameter pada kedua model matematika tersebut yaitu dan menyatakan laju pertumbuhan sel tumor dan sel T-helper perkapita, dan menyatakan carrying capacity yang berbanding terbalik untuk sel tumor dan sel T-helper, dan menyatakan laju hilangnya sel tumor akibat bertemu dengan sel CTL aktif dan laju hilangnya sel CTL aktif akibat bertemu dengan sel tumor, menyatakan laju perubahan sel T-helper menjadi sel CTL aktif, menyatakan laju kerusakan sel CTL aktif secara alami per kapita, menyatakan dosis obat kemoterapi yang diberikan, menyatakan laju kerusakan obat kemoterapi per kapita, serta , , dan menyatakan koefesien respon terhadap kemoterapi untuk sel tumor, sel CTL aktif, dan sel T-helper.
3. ANALISIS DINAMIK MODEL
Titik kesetimbangan sistem persamaan (1) diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
Kestabilan titik kesetimbangan ditentukan berdasarkan nilai eigen matriks Jacobi sistem persamaan (1) yaitu
Titik kesetimbangan sistem persamaan (2) diperoleh dengan menyelesaikan sistem persamaan
364
. Jadi titik kesetimbangan eksis dan stabil asimtotik lokal jika syarat eksistensi titik tersebut besar dari nol dan
4. SIMULASI NUMERIK
365
stabil yang menggambarkan bahwa sel tumor habis, sedangkan sel CTL aktif, sel T-helper dan kemoterapi masih ada. Nilai parameter yang dipilih untuk memperlihatkan titik ̅ ( ̅ ̅ ̅ ) stabil diberikan dalam kotak putih pada Tabel 1, sedangkan gabungan semua parameter pada Tabel 1 digunakan untuk memperlihatkan titik ( ̌ ̌ ) stabil.
Tabel 1 Nilai parameter untuk memperlihatkan titik ̅ dan stabil
Parameter
Gambar 1 Potret fase yang memperlihatkan titik
̅ stabil sebelum kemoterapi diberikan
Gambar 2 Potret fase yang memperlihatkan titik stabil setelah kemoterapi diberikan
Potret fase pada Gambar 1 dan 2 memperlihatkan bahwa titik ̅ dan sama-sama bersifat stabil asimtotik lokal. Perubahan arah kestabilan dari titik ̅ stabil sebelum kemoterapi diberikan menjadi titik stabil setelah kemoterapi diberikan menggambarkan bahwa kemoterapi dapat membantu menghancurkan sel tumor sekaligus dapat mempertahankan eksistensi sel CTL aktif dan sel T-helper.
5. KESIMPULAN
Sistem persamaan tanpa kemoterapi memiliki tiga titik kesetimbangan stabil jika memenuhi syarat eksistensi dan kestabilan tertentu, sedangkan pada sistem persamaan dengan kemoterapi semua titik kesetimbangan stabil jika memenuhi syarat eksistensi dan kestabilan tertentu. Perubahan syarat eksistensi dan kestabilan titik kesetimbangan setelah kemoterapi diberikan pada sistem persamaan tanpa kemoterapi, menggambarkan bahwa pemberian kemoterapi dapat mengubah perilaku solusi sistem. Perbandingan hasil simulasi memperlihatkan bahwa kemoterapi dapat membantu sel imun untuk menghancurkan sel tumor tetapi masih dapat mempertahankan eksistensi sel imun tersebut.
6. UCAPAN TERIMAKASIH
Terima kasih kepada W. M. Kusumawinahyu, A. Suryanto, Trisilowati, dan teman-teman Matematika 2010 atas bimbingan, saran, dan motivasi yang diberikan selama penulisan artikel ini.
DAFTAR PUSTAKA
Sharma, S. dan Samanta, G. P., (2013), Dynamical Behaviour of a Tumor-Immune System with Chemotherapy and Optimal Control, Journal of Nonlinear Dynamics, 2013, hal. 1-13.
Kuznetsov, V. A. dan Knott, G. D., (2001), Modeling Tumor Regrowth and Immunotherapy, Mathematical and Computer Modelling, 33(12-13), hal. 1275-1287.
