WORO UTAMI PRASETIYONINGSIH BAB II

BAB II

KAJIAN TEORI

A. Sistem Bilangan Real

Definisi II.A.1

Sistem bilangan realRmerupakan suatu sistem aljabar yang terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:

1. Rmerupakan grup komutatif terhadap operasi penjumlahan.

2. R-{0} merupakan grup komutatif terhadap operasi perkalian.

3. Untuk setiap x,y,zR berlaku x.(yz) x.yx.z.

(Darmawijaya, 2006:19)

Definisi II.A.2

Jika x suatu bilangan real, nilai mutlak (absolute value) x yang dituliskan dengan x didefinisikan sebagai berikut.

Sifat-sifat nilai mutlak padaRadalah:

1. x 0 untuk setiap xR, x 0 jika dan hanya jikax= 0

2. x  x untuk setiap xR 0 untuk 

x x



3. xy  x y untuk setiap x,yR, dan

4. ,

y x

y x

 y0

5. Untuk a0 berlaku:

a. x aaxa

b. x axa atau xa

6. x2 x2 dan x  x2 untuk setiap xR

7. x  y x2  y2

8. xy  x yuntuk setiap x,yR.(Ketaksamaan Segitiga)

Akibat dari sifat-sifat nilai mutlak di atas adalah:

y x y x y

x      untuk setiap x,yR

B. Himpunan

Definisi II.B.1

suatu himpunan disebut element atau anggota (member) himpunan tersebut.

(Darmawijaya, 2006:1)

Definisi II.B.2

Jika I suatu himpunan tertentu dan untuk setiap iI terdapat himpunan X_i, maka keluarga (family) atau koleksi (collection) adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan himpunan dan ditulis singkat dengan

 

X_i atau



X_i:iI



.

(Darmawijaya, 2006:6)

Definisi II.B.3

Jika A dan B masing-masing dua himpunan yang tak kosong



A dan B



maka himpunan yang didefinisikan dengan :

 



x y x A y B



B

A  , :  & 

disebut himpunan hasil kali kartesius (Cartesian product) himpunan AdenganB.

(Darmawijaya, 2006:6)

1. Himpunan Terbatas

Definisi II.B.1.1

Diberikan himpunan terurutS dan AS. Himpunan Adikatakan terbatas ke atas jika terdapat suatu pS, sehingga untuk semua

A

x berlaku x p. Jadi,pdisebut batas atas himpunanA. Jika terdapat suatu qS dan untuk semua xA berlaku xq, makaA dikatakan terbatas ke bawah. Jadi,qdisebut batas bawah himpunanA.

(Soemantri, 2000:1.3)

Definisi II.B.1.2

Jika S suatu himpunan terurut, dan AS. Himpunan A terbatas ke atas dan terdapat pS yang memenuhi sifat-sifat berikut:

a. pmerupakan batas atasA, dan b. jikau<pmakaubukan batas atasA

maka p disebut batas atas terkecil atau supremum himpunan A, dan diberikan notasi psupA.

(Soemantri, 2000:1.4)

Definisi II.B.1.3

Batas bawah terbesar atau infimum dari suatu himpunan A yang terbatas ke bawah, didefinisikan sebagai qS dengan sifat bahwaq merupakan batas bawahA dan jikav>qmakav bukan batas bawahA. Untuk batas bawah terbesar himpunanAdiberikan notasi qinf A.

2. Himpunan Bilangan Real

Definisi II.B.2

Himpunan bilangan real (himpunan bagian di dalam R) yang penulisannya khusus antara lain adalah himpunan-himpunan sebagai berikut. Jika a,bR dan ab, didefinisikan

a.

 

a,b 



xR:a xb



disebut selang tertutup (closed interval)

b.

  

a,b  xR:a xb



disebut selang terbuka (open interval)

c.



a,b

 

 xR:a xb



disebut selang tertutup di kiri atau selang terbuka di kanan

d.



a,b







xR:a xb



disebut selang tertutup di kanan atau selang terbuka di kiri

(Darmawijaya, 2006:46-47)

C. Fungsi

Definisi II.C

fungsi. Lambangy=f(x), xA menyatakan sebuah fungsi dengan aturany= f(x) yang terdefinisi pada himpuanA. Selanjutnyax dinamakan peubah bebas danypeubah tak bebas yang nilainya bergantung darix.

Apabila terdapat suatu fungsi y = f(x), maka daerah asal (domain) fungsi fadalah himpunanA, ditulis AD_f , dan daerah nilai fungsifadalah himpunan R_f 



f(x):xAD_f



. Unsur f(x)Bdinamakan nilai fungsi dix. Jika yang diketahui hanyay=f(x), maka domain dan daerah nilai (range) fungsifadalah D_f 



xR: f(x)R



dan R_f 



f(x)R:xD_f



.

(Martono, 1999:29)

1. Fungsi Komposisi

Definisi II.C.1

Jika fungsi f dengan domain D_f di A dan range R_f di B dan jika fungsi g dengan domain D_g di B dan range R_g di C.

Gambar 1.1 Diagram Panah Fungsif(x) R

R

f

x f(x)

f

R

f

D

f R

R

f

R

f

D

Komposisi g f (notasi komposisi) adalah fungsi dari A ke C diberikan oleh

 



a c A C b B ab f b c g



f

g  ,   :  dengan ( , ) dan( , )

Jikafdangadalah suatu fungsi dan jika xD_f makaf(x) yang dikenai fungsi g dengan f(x)D_g. Domain dari komposisi

f

g adalah himpunan D_g_f 



xD_f : f(x)D_g



. Untuk )

(g f D

x  , nilai dari g f di x yang diberikan oleh



g f

 

x g



f

 

x



. Range dari g f ditunjukkan oleh

himpunan R_g_f 



g



f(x)



:xD_g_f



.

(Bartle dan Shelbert, 2000:13)

2. Fungsi Invers

Definisi II.C.2.1

Jika fungsi f dengan domain D_f di Adan range R_f diB maka fungsifdikatakan injektif (satu-satu) jika dan hanya jika

Gambar 1.2 Komposisi Fungsi f

f g

D 

g

B C

g

D A

f

D

f

R

g

R

f g

a. f(a) f(a') maka aa'

b. a, a'D_f dan aa' maka f(a) f(a')

(Bartle dan Shelbert, 2000:15)

Definisi II.C.2.2

Jika fungsif injektif dengan domain D_f di Adan range R_f di B. Jika g



 

b,a BA:

 

a,b  f



makag merupakan fungsi injektif dengan D_g R_f diB dan dengan range R_g D_f di A. Fungsigdikatakan invers fungsi darifdan dinotasikan f1.

Jika invers fungsi f1 merupakan suatu fungsi maka dikatakan bahwa 1

f adalah fungsi invers.

(Bartle dan Shelbert, 2000:15)

Definisi II.C.2.3

Fungsi f :AB dikatakan fungsi bijektif (korespondensi 1– 1), jika untuk setiap yB terdapat tepat satu xA sehingga

) (x f

y  .

Gambar 1.3 Invers Fungsi

1

 f

f

D

a b

f

R f

Definisi II.C.2.4

Jika fungsi f :AB merupakan fungsi bijektif maka kebalikan fungsi f :AB yaitu g:BA pasti merupakan fungsi invers dari f.

3. Jenis Fungsi

a. Fungsi Eksponen

Bentuk umum fungsi eksponen adalah sebagai berikut:

x

a x

f( ) dengana = bilangan pokok



a0 dan a1



dan x= pangkat



xR



_.

(Varberg, dkk, 2010)

b. Fungsi Transenden

Fungsi transenden terdiri dari fungsi-fungsi sebagai berikut:

1) Fungsi logaritma didefinisikan sebagai berikut: fungsi ,

log )

(x x

f a a0, a1, dan x0

2) Fungsi logaritma alami dapat dituliskan f(x)lnx, x0

3) Invers dari ln disebut fungsi eksponen alami dan dinyatakan exp (epangkat). Jadi, xexpyey lnx y, x0

a)

2 2

, sin

sin 1 _{  } _{ }

 

x x

y y x

b)

2 0

, cos

cos 1    



 

x x y y x

c)

2 2

, tan

tan 1     

 

x x

y y x

d)

2 dan 0

, sec

sec1    







 

x x

x y y x

(Varberg, dkk, 2010:357-359)

4. Fungsi Terbatas

Definisi II.C.4

Fungsi f dikatakan terbatas jika terdapat M > 0 sehingga M

x

f( )  untuk xD_f.

(Martono, 1999:38)

Contoh:

a. Fungsi f(x)cos x terbatas karena f(x)  cos x 1 untuk

f

D x 

D. Limit

1. Limit Fungsi di R

Definisi II.D.1.1

L x f

c x ( )

lim berarti bahwa untuk setiap  0, terdapat  0

yang berpadanan sedemikian rupa sehingga untuk 0 xc 

berlaku f(x)L  ; yakni, 0 xc   f(x)L  (Varberg, dkk, 2010:62)

Definisi II.D.1.2

Diberikan fungsi f yang terdefinisi pada interval (c,b). Limit kanan fungsi f di c adalah L (ditulis f x L

c

xlim ( ) atau L

x

f( ) bila xc) jika  0,  0  

   

 

 c x f(x) L

0 dan jika diberikan fungsi f yang

terdefinisi pada interval (a,c) dengan limit kiri fungsifdicadalah

L (ditulis f x L

c x





 ( )

lim atau f(x)L bila xc) jika

0 

 ,  0  0 xc   f(x)L 

(Martono, 1999:53)

Contoh:

Diberikan fungsi

Tentukan (jika ada):

9 , 2

3  

x x  ) (x f

9 , 3 9

2

  

a. lim ( )

Sifat-Sifat Limit Fungsi:

Jika n bilangan bulat positif, k konstanta, serta f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, dengan f x L

c x ( )

lim dan

M x g

c x ( )

lim maka

e.



f x g x



L M

c

x ( ). ( ) .

lim 



f. , 0

) (

) (

lim _ 

    

 _M M

L x g

x f

c x

g. k f x k L

c

x ( ) .

lim 



(Leithold, 1991:99)

Teorema II.D.1.3

Jika f x L

c x ( )

lim , maka f x L

c

x ( ) 

lim

(Martono, 1999:54)

Bukti:

Jika f x L

c x ( )

lim , maka lim f(x) L lim f(x)

c x c

x    .

Diketahui f x L

c x ( )

lim maka f x L

c

x ( ) 

lim . Teorema ini

dibuktikan dengan menggunakan definisi limit dimana L

x f

c x ( )

lim berarti bahwa untuk setiap  0, maka harus

dibuktikan terdapat  0 sehingga

jika 0 xc  maka f(x) L 

Diketahui bahwa f x L

c x ( )

lim , maka dari definisi limit diperoleh

bahwa untuk  0 terdapat ₁ 0 sehingga

Misalkan  adalah lebih kecil dari₁, maka  ₁. Karena itu jika 0 xc  maka f(x)L 

karena f(x) L  f(x)L dan f(x)L  maka sesuai dengan sifat ketaksamaan segitiga diperoleh

   

 L f x L

x

f( ) ( ) .

2. Limit Fungsi di 2

R

Definisi II.D.2

Fungsifadalah fungsi dua variabel dengan domainDmaka dapat dikatakan bahwa limit dari f(x,y) L dan ditulis

L y x f

b a y

x,lim)( , ) ( , )

( , jika untuk setiap  0 terdapat  0

sedemikian sehingga f(x,y)L  bilamana (x,y)D dan 

 

 ( , ) ( , )

0 x y a b dengan



 

2



2

) , ( ) ,

(x y  a b  xa  yb .

(Purcell dan Varberg, 1999:238)

3. Limit Fungsi di Rn

Definisi II.D.3

Definisi yang telah diungkapkan untuk limit fungsi di R dan di

2

bahwa limit dari f(x₁,x₂,...,x_n)L dan ditulis L

x x x

f _n

x x x x x

x n o o no



 ( , ,..., )

lim _{1 2}

) ,..., , ( ) ,..., ,

(1 2 1 2

, jika untuk  0, 0

sedemikian sehingga f(x₁,x₂,...,x_n)L  bilamana D

x x

x , ,..., _n)

( _{1 2} dan 0 (x₁,x₂,...,x_n)(x_1o,x_2o,...,x_no)  . (Purcell dan Varberg, 1999:239)

E. Kekontinuan

1. Kekontinuan Fungsi diR

Definisi II.E.1.1

Kekontinuan fungsi di satu titik dapat didefinisikan sebagai berikut dimisalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka yang mengandung c. Dikatakan bahwa f kontinu di c jika

) ( ) (

lim f x f c

c

x  . Jadi, fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika memenuhi syarat sebagai berikut :

a. f(c) ada;

b. lim f(x)

c

x ada;

c. lim f(x) f(c)

c

x 

Jika satu atau lebih dari ketiga syarat ini tidak dipenuhi di c, maka fungsifdikatakan tidak kontinu dic.

Definisi II.E.1.2

Fungsi f terdefinisi pada interval (a,c) maka fungsi f dikatakan kontinu kanan dicjika lim f(x) f(c)

c x





 .

Fungsi f terdefinisi pada interval (c,b) maka fungsi f dikatakan kontinu kiri dicjika lim f(x) f(c)

c x





 .

(Martono, 1999:59)

Definisi II.E.1.3

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval terbuka (a,b) jika f kontinu di setiap titik (a,b). Fungsi f kontinu pada interval tertutup [a,b] jika kontinu pada interval terbuka (a,b), kontinu kanan dia, dan kontinu kiri dib.

(Martono, 1999:61)

2. Kekontinuan Fungsi di 2

R

Definisi II.E.2.1

Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu di titik (a,b)D, DR2 jika )

, ( ) , ( lim

) , ( ) ,

(xyab f x y  f a b . Fungsi f dikatakan kontinu pada

domainDjikaf kontinu di setiap titik (a,b) dalamD.

Definisi II.E.2.2

Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu pada suatu himpunan S, jika f(x,y) kontinu di setiap titik pada himpunanS.

(Purcell dan Varberg, 1999:239)

3. Kekontinuan Fungsi di Rn

Definisi II.E.3

Secara umum, jika fungsi z f(x₁,x₂,...,x_n) dikatakan kontinu di titik (x_1o,x_2o,...,x_no)D, _{D R}n _jika

) ,..., , ( ) ,..., , (

lim _{1 2 1 2}

) ,..., , ( ) ,..., ,

(1 2 1 2

no o o n

x x x x x

x n o o no f x x x f x x x



 . Fungsi f

dikatakan kontinu pada domain D jika f kontinu di setiap titik )

,..., ,

(x_1o x_2o x_no dalamD.

F. Turunan

1. Turunan Fungsi diR

Definisi II.F.1.1

Jika f fungsi dari [a,b] ke R dan c[a,b] maka L disebut diferensial atau turunan f di c jika  0, 0 sehingga untuk x[a,b] dengan 0 xc  berlaku

Gambar 1.4 Himpunan S S

A



. Jadi, L merupakan turunan darif di c jika

L

(Bartle and Sherbert, 2000:158)

Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiable) di c atau )

Selidiki apakah terdiferensial di

3

Teorema II.F.1.2

Jika fungsif terdiferensial dicmaka fungsif kontinu dic

(Varberg, dkk, 2010:102)

Akibatnya:

Jika fungsif tidak kontinu dicmakaf tidak terdiferensial dic.

a. Sifat–Sifat Turunan:

1) f(x)k, k konstan  f'(x)0

2) f(x) x  f'(x)1

3) _f(x)xn_{ f'(x)n x}n1

Jika u'(x) dan v'(x) ada maka:

4) f(x)u(x)v(x) f'(x)u'(x)v'(x)

5) f(x)c.u(x) f'(x)c.u'(x), denganckonstan

6) f(x)u(x).v(x) f'(x)u'(x).v(x)u(x).v'(x)

7)





2

) (

) ( ' . ) ( ) ( . ) ( ' ) ( ' ) (

) ( ) (

x v

x v x u x v x u x f x v

x u x

f    

(Leithold, 1991:199)

b. Turunan Fungsi Komposisi

Jika y f(u) dengan ug(x) dan fungsi g(x) kontinu pada domainnya, maka menurut definisi (aturan rantai) dapat dituliskan sebagi berikut:

dx du du dy dx dy

Jika y f(u) dengan ug(v) dan vh(x) maka:

dx dv dv du du dy dx dy

y'  . .

(Purcell dan Varberg, 1993:138-139)

c. Turunan Fungsi Trigonometri

1) f(x)sinx f'(x)cosx

2) f(x)cosx f'(x)sinx

3) f(x)tanx f'(x)sec2x

4) f(x)cot x f'(x)csc2x

5) f(x)sec x f'(x)secx.tanx

6) f(x)csc x f'(x)csc x.cotx

(Varberg,dkk, 2010:114-116)

d. Turunan Fungsi Invers Trigonometri

Jika xsiny maka y sin1x

1)

2 1

1 1 ) ( ' sin

) (

x x

f x x

f

  

 

2)

2 1

1 1 )

( ' cos

) (

x x

f x x

f

   

3) 1 ₂

e. Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponensial

1) Turunan fungsi logaritma ini dapat dituliskan sebagai

berikut: f₍x_) a_logx _maka

2) Turunan fungsi logaritma alami dapat dituliskan sebagai

berikut: f(x)lnx maka

x x f'( )1

3) Turunan fungsi eksponensial dapat dituliskan sebagai berikut: f(x)ax maka f'(x)ax.lna

4) Turunan fungsi eksponensial alami dapat dituliskan sebagai berikut: f(x)ex maka f'(x)ex

f. Turunan Fungsi pada Suatu Interval

Definisi II.F.1.f

Jika fungsi y f(x) terdefinisi pada selang I. Turunan fungsi f pada selang I, ditulis f'(x), adalah suatu fungsi yang aturannya di setiap xI ditentukan oleh

h x f h x f x

f

h

) ( ) ( lim ) ( '

0

  

 , limit ini ada.

Catatan:

1) Lambang lain untuk turunan adalah

) ( , ), ( , ,

' f x D y D f x

dx d dx dy

y _{x x} . Lambang

dx dy

dikenal

sebagai notasiLeibniz.

2) Jika I adalah selang tertutup [a,b], maka f'(a) berarti )

( ' a

f _ sedangkan f'(b) berarti f'_(b).

(Martono, 1999:89)

g. Turunan Tingkat Tinggi

Definisi II.F.1.g

kedua dari f. Dan jika f '' masih dapat diturunkan lagi maka yang demikian menghasilkan f''', yang disebut turunan ketiga, dan seterusnya.

(Purcell dan Varberg, 1993:141)

2. Turunan Fungsi di n

R

Definisi II.F.2.1

Fungsi f adalah suatu fungsi dua peubahxdany. Jikaydianggap sebagai suatu konstanta, misalnya y y₀, maka f(x,y₀) menjadi fungsi satu peubahx. Turunan fungsif di xx₀ disebut turunan parsial f terhadap x di f(x₀,y₀) dan dinyatakan sebagai

) , (x₀ y₀ f_x . Jadi,

x

y x f y x x f y

x f

x

x _

   

 

) , ( ) , (

lim ) ,

( 0 0 0 0

0 0

0

Demikian pula, turunan parsialfterhadapydi (x₀,y₀) dinyatakan oleh f_y(x₀,y₀) dan dituliskan sebagai

y

y x f y y x f y

x f

y

y _

   

 

) , ( ) ,

( lim ) ,

( 0 0 0 0

0 0

0

Rumus tersebut mencari f_x(x,y) dan f_y(x,y) dengan menggunakan aturan baku untuk turunan; kemudian mensubstitusikan xx₀ dan y y₀

Contoh:

Definisi II.F.2.2

(Turunan Parsial Tingkat Tinggi) Secara umum, karena turunan parsial suatu fungsi x dan y adalah fungsi lain dari dua peubah yang sama, turunan tersebut dapat diturunkan secara parsial terhadap x atau y untuk memperoleh empat buah turunan parsial kedua fungsifyaitu:

c.

 

Definisi II.F.2.3

Untuk turunan parsial tingkat tiga dan lebih tinggi didefinisikan dengan cara yang sama dan ditulis dengan cara yang sama. Jadi, jika f suatu fungsi dua peubah x dan y, turunan-parsial ketiga f yang diperoleh dengan menurunkan f secara parsial, pertamakali terhadap x dan kemudian dua kali terhadap y, akan ditunjukkan oleh

(Purcell dan Varberg, 1999:235)

Definisi II.F.2.4

Secara umum, jika f adalah suatu fungsi n peubah yaitu

Demikian pula, turunan parsial f terhadap x₂ di (x_1o,x_2o,...,x_no)

dan dituliskan sebagai

2 yang sama. Jadi, untuk turunan turunan parsial f terhadap x_n di

)

dan dituliskan sebagai

n

Definisi II.F.2.5

G. Integral

1. Integral Tak-Tentu (Anti-Turunan)

Definisi II.G.1.1

Suatu fungsi F disebut suatu anti-turunan f pada interval I jika ) dalamI.

(Varberg, dkk, 2010:196)

Teorema II.G.1.2

Jikanbilangan rasional dengan n1, maka c

(Purcell dan Varberg, 1993:233)

Bukti:

maka akan ditunjukkan

berarti



f(x)dxF(x)c atau c n

x dx x

n

n _

 





1₁ .

Untuk n0 diperoleh xndx x dx x cxc 





_





0 ₀01₁

Jadi,



dxxc

Dari hasil di atas maka dapat dianalogikan untuk integral pada fungsi trigonometri adalah sebagai berikut

a.



sinx dxcosxc

b.



cosx dxsinxc

c.



sec2x dxtanxc

d.



csc2x dxcotxc

e.



secx tanxdxsecxc

f.



cscx cotxdxcscxc

(Martono, 1999:170)

Teorema II.G.1.3

Jika fungsi f dan g mempunyai anti turunan (integral tak-tentu) dariksuatu konstanta maka:

b.





f(x)g(x)



dx



f(x)dx



g(x)dx

(Purcell dan Varberg, 1993:235)

Bukti:

a.



k f(x)dxk



f(x)dx

f mempunyai anti-turunan misalF+c,

jika



f(x)dxF(x)c artinya ( ( ) ) f(x) dx

c x F

d  _

misalkan H(x)k F(x) maka





) ( )

( )

( )

(

' k f x

dx c x F d k dx

x F d k x

H    

b.





f(x)g(x)



dx



f(x)dx



g(x)dx

Jika f(x)g(x) mempunyai anti-turunan misal

) ( ) (x G x

F 

maka dapat dituliskan





f(x)g(x)



dxF(x)G(x)

dimanaf mempunyai anti-turunan misalFdangmempunyai anti-turunan misalG

jika



f(x)dxF(x)c artinya ( ( ) ) f(x) dx

c x F

d  _

jika



g(x)dxG(x)c artinya ( ( ) ) g(x) dx

c x G d

 

maka



f x g x



dx F x G x



f x dx



g x dx



( ) ( )  ( ) ( ) ( )  ( )

Teorema II.G.1.4

Jika g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan, dan jika daerah nilai darigadalah suatu selangIdimana ada sebuah fungsifyang didefinisikan pada Idan bahwa F merupakan anti turunan dari f padaI, maka



f



g(x)





g'(x)dx



F(g(x))c

(Leithold, 1991:396)

Bukti:

)) ( ( )) ( (

' g x f g x

F 

dan menurut aturan rantai untuk pendiferensialan



F(g(x))



F'(g(x))



g'(x)



dx

d



diperoleh



F(g(x))



F'(g(x))



g'(x)



f(g(x))



g'(x)



dx

d

 

kesimpulanya



g x dx



F g x c x

g

f  

Teorema II.G.1.5

Jika g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan n suatu bilangan rasional dengan n1, maka









c

n x g dx x g x g

n

n _

 





( ) '( ) ( )₁

1

(Purcell dan Varberg, 1993:236)

Bukti:

Jika ug(x) adalah suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan nsuatu bilangan rasional dengan n1, maka

dx du u dx n u d

n n

. 1

1

      

 

atau dalam cara penulisan fungsional,

) ( ' . )) ( ( )) ( ( . )) ( ( 1 )) (

( 1

x g x g dx

x g d x g dx

n x g d

n n

n

 

   

 

 

Teorema II.G.1.6

(Integral Parsial) Jika f dan g fungsi-fungsi yang dapat terdiferensial pada intervalI, maka



udvuv



vdu

Bukti :

2. Integral Tentu

a. Integral pada Fungsi Satu Variabel

Definisi II.G.2.a.1

Sebuah fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup [a,b]. Himpunan P



ax₀,x₁,x₂,...,x_n b



dengan P membagi interval [a,b] menjadi n selang bagian yaitu



x0,x1

 

, x1,x2

 

,..., xn1,xn



dengan panjang selang bagian ke-i

disebut norma (norm) partisi P sehingga dapat dibentuk jumlah Riemann fungsif yang terkait dengan partisiPyaitu

Suatu jumlah Riemann ditafsirkan sebagai sebuah jumlah aljabar dari luas-luas



3

 

4

    

5 6

Jika suatu fungsi f yang didefinisikan pada selang tertutup

[a,b]. Jika



lim ada, dikatakanf terintegralkan

pada [a,b].



Riemann) f dari a sampai b, diberikan oleh



(Purcell dan Varberg, 1993) y

Definisi II.G.2.a.2

Jika f R[a,b], fungsi F:[a,b]R dengan rumus

0 ) (a 

F dan 



x a

f x

F( ) untuk setiap x(a,b] disebut

primitif (primitive) Riemann fungsif pada [a,b]

Catatan:

Beberapa penulis merumuskan primitif fungsi f R[a,b]

tersebut sebagai berikut  



x a

f a F x

F( ) ( ) .

Hal ini berarti



f F(a)F(a)0

a a

.

(Darmawijaya, 2006:207)

Teorema II.G.2.a.3

Jika fungsi f dapat diintegralkan pada selang tertutup [a,b], [a,c], dan [c,b] maka







 

b c c

a b

a

dx x f dx x f dx x

f( ) ( ) ( )

dengan acb.

Bukti:

DimisalkanPsuatu partisi dari [a,b]. Dibentuk partisi P' dari [a,b] dengan cara sebagai berikut:

Jikac satu titik dari partisiP, maka P' tepat sama dengan P. Karena itu selang-selang bagian dari partisi P', sama seperti selang-selang bagian dari P, kecuali selang bagian [x_i1,x_i] dari P yang dibagi menjadi dua selang bagian [x_i1,c] dan

] ,

[c x_i . Jika P' adalah norm dari P' dan jika P adalah norm dariP, maka P'  P.

Jika di dalam partisi P' selang [a,c] dibagi menjadi rselang bagian dan [c,b] dibagi menjadi (n – r) selang bagian, maka bagian dari partisi P' dari a ke c memberikan jumlah Riemann dalam bentuk





  r

i

i i x

x f f

P S

1

) ( )

, ' (

dan bagian lain dari partisi P', dari c ke b, memberikan jumlah Riemann dalam bentuk



 

  n

r i

i i x

x f f

P S

1

) ( )

, ' (



P menghasilkan



dengan menerapkan definisi integral tertentu pada ruas kanan persamaan di atas diperoleh



Teorema II.G.2.a.4

(Teorema Dasar Kalkulus). Jika suatu fungsi f kontinu pada selang tertutup [a,b] dan misalkanFsuatu fungsi sedemikian sehinggaF’(x) =f(x) dan untuk semuax di dalam [a,b] maka

Bukti :

Jika f kontinu pada semua titik di dalam [a,b], F’(x) =f(x), maka dapat dituliskan bahwa



dengan mengambilx=bdanx=a, maka diperoleh

b. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Persegi Panjang

Definisi II.G.2.b.1

Tetapkan D berupa suatu persegi panjang dengan sisi-sisi

sejajar sumbu-sumbu koordinat yakni



x y a x b c y d



D ( , ):   ,   . Bentuk suatu partisi P dari D dengan menggunakan garis-garis sejajar sumbu x dan sumbu y dan membagi D menjadi beberapa persegi panjang kecil, semuanya n buah, yang ditunjukkan dengan

. ,..., 3 , 2 , 1

,k n

D_k  Tetapkan x_kdan y_k adalah panjang sisi-sisi D_k dan A_k x_ky_k adalah luasnya. Pada D_k, diambil sebuah titik



x_k,y_k



dan bentuk jumlahan











n k

k k k y A

x f

1

,

Gambar 1.6 Daerah D



 

x,y:axb,c yd



z



x_k,y_k



c d

a b

k

D c

D x

yang berpadanan (jika f(x,y)0) dengan jumlah volume dari n kotak. Dengan membuat partisi semakin halus sehingga semua D_k menjadi lebih kecil dan akan menuju ke konsep yang diinginkan serta dengan ketentuan tambahan bahwa norma dari partisiPyang dinyatakan oleh P adalah panjang diagonal terpanjang dari setiap persegi panjang bagian dalam partisi.

(Purcell dan Varberg, 1999:283)

Definisi II.G.2.b.2

Jika f suatu fungsi dua variabel yang kontinu dan terdefinisi pada persegi panjangD. Jika









 

n k

k k k

P f x y A

1

0 ,

lim

Gambar 1.7 Permukaan z f(x,y)

c d

a b

z

y

x Dk

c D

) , (x y f z

k k k y A

x

f 

ada, maka f terintegral padaD. Nilai limit ini disebut integral ganda-dua dari f padaDdan diberikan oleh:





_



 

 

D n

k

k k k

P f x ,y A f(x,y)dA

lim

1 0

(Neswan, 2011:3)

Sifat-Sifat Integral Lipat-Dua:

Jika f(x,y),g(x,y) kontinu dan kR maka:

1) Integral lipat-dua adalah linear; yaitu:

a)







D D

dA y x f k dA y x

kf( , ) ( , )

b)

















D D

D

dA y x g dA y x f dA y x g y x

f( , ) ( , ) ( , ) ( , )

2) Integral lipat-dua adalah aditif pada persegi panjang dimana D1D2D maka







 

2 1

) , ( )

, ( )

, (

D D

D

dA y x f dA y x f dA y x f

3) Sifat perbandingan berlaku jika f(x,y)g(x,y) untuk semua (x,y) di bidangD,maka







D D

dA y x g dA y x

f( , ) ( , )

c. Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi Panjang

Jika kurva S tertutup dan terbatas di bidang (Gambar 1.8). Kelilingi S oleh suatu persegi panjang D dengan sisinya sejajar sumbu-sumbu koordinat (Gambar 1.9). Jika f (x,y) terdefinisi pada S dan didefinisikan f(x,y) = 0 pada bagian D di luarSmaka dikatakan f dapat diintegralkan pada S jika dapat diintegralkan pada D dan ditulis







D S

dA y x f dA y x

f( , ) ( , )

(Purcell dan Varberg, 1999:295)

d. Perhitungan Integral Lipat-Dua Atas Daerah Bukan Persegi

Panjang

Himpunan dengan batas-batas melengkung dapat menjadi sangat rumit. Untuk itu cukup menganalisis apa yang disebut himpunanx sederhana dan himpunany sederhana. Suatu himpunan y Gambar 1.10 Kurva S:z f(x,y)

f(x,y) = 0

S

Gambar 1.8 KurvaSTertutup

Gambar 1.9

KurvaSDikelilingi oleh Persegi PanjangD S

sederhana (Gambar 1.11) jika terdapat fungsi-fungsi kontinu g₁(x) dan g₂(x) pada [a,b] sedemikian sehingga



(x,y):a x b,g₁(x) y g₂(x)



S    

Suatu himpunan S adalah x sederhana (Gambar 1.12) jika terdapat fungsi yang kontinu h₁(y) dan h₂(y) pada [c,d] sederhana sehingga



x y h y x h y c y d



S ( , ): ₁( )  ₂( ),  

Jika akan menghitung integral lipat-dua dari suatu fungsi f(x,y) atau suatu himpunan S dengany sederhana. Kita lingkungiS dalam suatu persegi panjang D (Gambar 1.13) dan f(x,y) = 0 di luar S, maka

Gambar 1.12 KurvaxSederhana S

Secara ringkas

 



_

  

   

b a

x g

x g S

dx dy y x f dA

y x f

) (

) (

2

1

) , ( )

, (

Untuk integral sebelah kanan, x dipertahankan tetap; jadi pengintegralan itu adalah sepanjang garis tebal (Gambar 1.13). Pengintegralan ini menghasilkan A(x) diintegralkan mulai dari a sampai b. Jika himpunan S adalah x sederhana (Gambar 1.13), penalaran serupa menuju rumus

 



_

  

   

d d

y h

y h S

dy dx y x f dA

y x f

) (

) (

2

1

) , ( )

, (

(Purcell dan Varberg, 1999:296)

e. Integral Lipat-Dua pada Koordinat Kutub

permukaan ini dan di atas D (Gambar 1.15) diberikan oleh





D

dA y x f

V ( , ) ... (1)

Dalam koordinat kutub, suatu persegi panjang kutub D berbentuk D



 

r, :arb, 



dengan a0 dan

 

 2 sehingga persamaan permukaannya dapat dituliskan sebagai

) , ( ) sin , cos ( ) ,

(x y f r  r  F r f

z  

Partisi D dibagi kedalam persegi panjang kutub yang lebih kecil

n

D D

D₁, ₂,..., dengan menggunakan suatu kisi kutub dan jika r_k dan

k



 menunjukkan ukuran kepingan D_k yang khas, seperti diperlihatkan pada Gambar 1.16. Luas A(D_k) diberikan oleh

k k k k r r

D

A( )     

Sumbu kutub D

  b

r

a r

Gambar 1.14 Persegi Panjang Kutub

Gambar 1.15 Kurva z f(x,y)F

 

r, D

z

y

x

z = f(x,y) = F(r,)

D Dk

k

 

k

dengan r_k adalah radius rata-rata D_k. Jadi,

k k k n

k

k

k r r

r F

V 



  

1

) , (

Jika diambil limit untuk norma (norm) dari partisi mendekati nol, maka diperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah suatu integral ganda-dua.









D D

d dr r r r f d

dr r r F

V ( ,)  ( cos, sin) ... (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh dua rumus untukV yaitu:







D D

d dr r r r f dA y x

f( , ) ( cos, sin) 

(Purcell dan Varberg, 1999:305)

f. Teorema Fubini

Jika f(x,y) kontinu pada persegi panjang D:a xb,cyd,

maka f x y dA f x y dy dx f x y dx dy

d y

c y

b x

a x b

x a x

d y

c y

D

 

 





 

 

 

 

 

       

  

 ( , ) ( , )

) , (

(Neswan, 2011:7)

1) Jika D



(x,y):axb,g1(x)yg2(x)



. g1 dan g2

Dapat disimpulkan bahwa

 