Hendra Gunawan. 11 April 2014

MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra Gunawan

Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014

11 April 2014

Kuliah yang Lalu Kuliah yang Lalu

12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah. u gs dua (atau eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial

12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan Kekontinuan

12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.6 Aturan Rantai

12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II 12.7 Bidang singgung dan aproksimasi Bag II 12.8 Maksimum dan minimum

12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode pengali Lagrange 

Kuliah Hari Ini Kuliah Hari Ini

13 1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.1 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang

3 3 l i h k

13.3 Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan Persegi Panjang

13.4 Integral Lipat Dua dalam Koordinat Polar 13.5 Penggunaan Integral Lipat Duagg g p

13.1 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS PERSEGI

MA1201 MATEMATIKA 2A

PANJANG

Menghitung atau menaksir integral lipat dua Menghitung atau menaksir integral lipat dua atas persegi panjang dengan menggunakan definisi

definisi

Ingat: Integral Tentu untuk b h

Fungsi Satu Peubah

Jumlah Riemann untuk f^f ,       , 



^{n f (ti ).xi}

merupakan hampiran untuk luas daerah di bawah kurva y = f(x) x є [a b] Jika



i

i

f i 1

) (

di bawah kurva y = f(x), x є [a,b]. Jika





 ⁿ 

i

i

P f ti x

0 1

|

|lim ( ).

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada [a,b]. Integral tentu f pada [a,b]

d d f k b

 i 1

didefinisikan sebagai



^{b f (x)dx } _|^lim_P|0



^{n f (ti).xi 0 1/3 ½   ¾  7/81}



a





 i P| 0 1

|

Jumlah Riemann Fungsi Dua Peubah Jumlah Riemann Fungsi Dua Peubah

Misalkan S = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d} {( ,y) , y } dan f : S  R kontinu (kecuali pd suatu kurva) dan terbatas. Bentuk partisi A_i,  dengan panjang ∆x dan lebar ∆y dan dengan panjang ∆x_i dan lebar ∆y_i, dan di tiap A_i pilih titik sampel (x_i,y_i). Maka diperoleh jumlah Riemann

k h i l



 n 

i

i i

i y A

x f

1

) ,

(

yg merupakan hampiran volume ruang S

di antara permukaan z = f(x,y) dan persegi panjang S. 

S

p g p j g

Integral Lipat Fungsi Dua Peubah Integral Lipat Fungsi Dua Peubah

Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisi Misalkan f fungsi dua peubah yang terdefinisi pada persegi panjang S. Jika



ⁿ

ada maka f dikatakan terintegralkan pada S





 

i

i i

P f xi y A

0 1

||

||lim ( , )

ada, maka f dikatakan terintegralkan pada S. 

Selanjutnya,



ⁿ

di b t i t l li t d d i f d S

 

  



i

i i

P i S

A y

x f dA

y x f

0 1

||

||lim ( , )

: )

, (

disebut integral lipat dua dari f pada S. 

Contoh Contoh

Diketahui persegi panjang S Diketahui persegi panjang S

= {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8}. 

T k i il i



^{64  8x  y2 dA}

Taksir nilai

dengan jumlah Riemann, 



S

y dA 16

g j ,

dengan membagi S atas 8  persegi sama besar dan memilih titik‐titik tengah tiap persegi sebagai titik

l

sampelnya.

Jawab: Kita hitung nilai f di titik titik sampel:

Jawab:  Kita hitung nilai f di titik‐titik sampel: 

f(1,1) = 57/16,   f(1,3) = 65/16,  f(1,5) = 81/16,  f(1 7) = 105/16 f(3 1) = 41/16 f(3 3) = 49/16 f(1,7) = 105/16, f(3,1) = 41/16,  f(3,3) = 49/16,  f(3,5) = 65/16,   f(3,7) = 89/16.

L l d ∆A 4 kit l h

Lalu, dengan ∆A_i = 4, kita peroleh

) 8 (

64 ^{2 8}

 







^{x y dA f A}

4

) ,

16 ( 8 6

1









i

i i

i S

A y

x f y dA

x

. 138 )

89 65

49 41

105 81

65 57

16 (

4        



Teorema Keterintegralan Teorema Keterintegralan

Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva) Jika f kontinu (kecuali pd suatu kurva)  dan terbatas pada persegi panjang S, 

k f t i t lk d S

maka f terintegralkan pada S.

Contoh: Setiap polinom dua peubah

terintegralkan pada sembarang persegi

terintegralkan pada sembarang persegi

panjang.

Sifat‐Sifat Integral Lipat Dua Sifat Sifat Integral Lipat Dua

1. Linear: Jika k R, maka

a.



^



.

S S

dA y

x f k

dA y

x

kf ( , ) ( , )







b.

2 Aditif: Jika S = S U S maka







^{  }

S S

S

dA y

x g dA

y x f dA

y x g y

x

f ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) [

2. Aditif: Jika S = S₁ U S₂, maka







^{( , )  ( , )  ( , )}

S S

S

dA y

x f dA

y x f dA

y x f

3. Monoton: Jika f(x,y) ≤ g(x,y) utk (x,y)  S, maka

2

1 S

S S

) (

)

(





^{f (x, y)dA }



^{g(x, y)dA.}



^{f x y dA  g x y dA}

13.2 INTEGRAL BERULANG

MA1201 MATEMATIKA 2A

13.2 INTEGRAL BERULANG

Menghitung integral lipat dua (pada persegi j ) b i i t l b l

panjang) sebagai integral berulang

Menghitung Integral Lipat Dua Menghitung Integral Lipat Dua

Jika ff terintegralkan pada persegi panjangg p p g p j g S = 

[a,b] x [c,d], maka integral lipat dua dari f pada S dapat dihitung sebagai integral berulang:p g g g g

atau



^{f (x, y)dA }



^{d b f (x, y)dxdy}

atau ^{S c a}

( , ) ( , ) .

b d

f x y dA  f x y dydx

 

Catatan: Pada cara pertama, ruang diiris sejajar sumbu x terlebih dahulu

S a c

 

sumbu‐x terlebih dahulu.

Contoh 1 Contoh 1

Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8], 

8

64 ²

hitung sbg integral berulang dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.



^{ }

S

y dA x

16 8

64 ²

dengan mengintegralkan thd x terlebih dahulu.  

Jawab:

 

^{64  8x  y2 dA }

 

^{8 4 }_^{4  x  y2 }_^dxdy

0 0 2 16

16 y

S

12

8 2







^{y d}

2 512

12 4

0



 





^{y dy}

2 . 512 138

96  



Contoh 2 Contoh 2

Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 8} = [0,4] x [0,8], 

8

64 ²

hitung sbg integral berulang dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.



^{ }

S

y dA x

16 8

64 ²

dengan mengintegralkan thd y terlebih dahulu.  

Jawab:

 

^{64  8x  y2 dA }

 

^{4 8 }_^{4  x  y2 }_^dydx

0 0 2 16

16 y

S

Catatan Catatan

Pengintegralan berulang:

Terhadap y dahulu, Terhadap x dahulu,

l l h d l l h d

lalu terhadap x: lalu terhadap y:

S S

Soal Soal

Jika S = {(x,y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1} = [0,1] x [0,1],  hitung



sebagai integral berulang.

S

xydA xe

13.3 INTEGRAL LIPAT DUA ATAS DAERAH

MA1201 MATEMATIKA 2A

BUKAN PERSEGI PANJANG

Menghitung integral lipat dua atas daerah Menghitung integral lipat dua atas daerah bukan persegi panjang

Bagaimana menghitung integral lipat d d h b k

pada daerah bukan persegi panjang?

S

Integral pada Daerah y‐Sederhana Integral pada Daerah y Sederhana

Himpunan S disebut y‐sederhana Himpunan S disebut y sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai S = {(x y) : u (x) ≤ y ≤ u (x) a ≤ x ≤ b}

S = {(x,y) : u₁(x) ≤ y ≤ u₂(x), a ≤ x ≤ b}, dengan u₁(x) dan u₂(x) kontinu. 

D l h l i i i l f d S d

S

Dalam hal ini, integral f pada S dapat dihitung sebagai

S

 



^{ b}

a

x u

x u S

dydx y

x f dA

y x f

) (

) (

2

. )

, ( )

,

( a b

a u x

S ₁( )

Integral pada Daerah x‐Sederhana Integral pada Daerah x Sederhana

Himpunan S disebut x‐sederhana Himpunan S disebut x sederhana apabila S dapat dituliskan sebagai

S = {(x y) : v (y) ≤ x ≤ v (y) c ≤ y ≤ d} ^d S = {(x,y) : v₁(y) ≤ x ≤ v₂(y), c ≤ y ≤ d}, dengan v₁(y) dan v₂(y) kontinu. 

D l h l i i i l f d S

S

Dalam hal ini, integral f pada S dapat dihitung sebagai

S

2( )

( )

( , ) ( , ) .

v y d

S c v y

f x y dA  f x y dxdy

  

^c

1( )

S c v y

Contoh 1 Contoh 1

Hitung



^xydA apabila S adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh y = x² dan y = 1.

J b



S

Jawab:

Contoh 2 Contoh 2

Hitung



^{ex2 dA} apabila S adalah daerah tertutup yang dibatasi oleh garis y = 2x, garis x = 4, dan

sumbu x



S

sumbu‐x.

Jawab:

Soal 1 Soal 1

Tentukan volume benda pejal yang terletak di

Oktan I dan dibatasi oleh paraboloida z = x² + y²,  tabung x² + y² = 4, dan

bidang‐bidang koordinat.

Soal 2 Soal 2

Hitung



^x2dA apabila S Hitung apabila S adalah daerah cincin yg



S

dA x

1 2

0

dibatasi oleh lingkaran x² + y² = 1 dan x² + y² = 4.