VIETMATHS.NET Toi uu tap hop Truong Phuoc Nhan

T

ỐI ƯU TẬ

P H

Ợ

P

1. CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

Bài toán: Cho Flà một họ các tập con A A₁, ₂,...,A_m các tập con của tập



1, 2,...,n



, sao cho

,

i j

A    A i j. Chứng minh rằng : _m₂n1 _.

Lời giải:Do điều kiện A_i   A_j ,i j nên với mỗi tập con S 



1, 2,...,n



thì hoặc là S hoặc là S (phần

bù của tập S trong



1, 2,...,n



) thuộc vào họ F (có thể là cả hai tập đều không thuộc ). Suy ra họ Fchỉ có

thể chứa tối đa là phân nửa số tập con của



1, 2,...,n



, cụ thể là ₂n1_.

2. CÁC BÀI TOÁN VỀ HỌ TẬP GIAO NHAU

Bài toán 1: (Fisher-de Bruijn-Erdos) Cho F là một họ các tập con của tập



1, 2,...,n



sao cho hai thành

viên bất kì của họ có đúng 1 phần tử chung. Chứng minh rằng họ F có tối đa là n thành viên.

Chứng minh: Giả sử họ F gồm các thành viên A A₁, ₂,...,A_m . Xét ma trận liên thuộc M 

 

m_ij với cấp

n m của họ, phần tử m_ij bằng 1 khi và chỉ khi iA_j. Ta sẽ chuyển điều kiện của bài toán sang ngôn ngữ

của đại số tuyến tính để dễ dàng sử dụng trong quá trình giải toán. Gọi c c₁, ₂,....,c_n là các vector cột của ma

trận M .

Ta cần chứng minh c c₁, ₂,....,c_m là một họđộc lập tuyến tính.

Thật vậy, để thực hiện điều này đầu tiên ta tiến hành xác định công thức của tính vô hướng theo nghĩa

thông thường trên n đối với các vector :s 



α ci i, với αi bất kì , thì bằng tính toán đơn giản ta được :

2

1

, , , 2 ,

m

i i j j i i i i j i j

i j i i j

s s α c α c α c c α α c c

 



 









.

Theo cách ta định nghĩa ma trận liên thuộc thì c c_i, _j 1 với i j và c c_i, _i  A_i . Thay các giá trị vào ta

được:









2

2 2 2

2 2 2 2

1 1 1 1 1

, 2 1 2 1 0

m m m m m

i i i j i i i i j i i i

i i j i i i j i i

s s α A α α α A α α α α A α

      

 

        _{ } 

 















.

Dấu “=” chỉ xảy ra khi và chỉ khi α₁ ... α_m0. Điều này kéo theo là nếu



α c_{i i} 0 thì

1 ... m 0

α  α  , hay nói cách khác c c₁, ₂,....,c_m là một họđộc lập tuyến tính. Theo lý thuyết đại số tuyến tính dimnn nên mn ,điều phải chứng minh.

Bài toán 2: (Bourbaki) Cho Xlà một tập hữu hạn, và Flà một họ hữu hạn các tập con phân biệt của

X.Giả sử với hai phần tử phân biệt bất kì thuộc X, ta luôn tìm được duy nhất một thành viên thuộc họ

Fchứa cả hai. Chứng minh rằng : F  X .

Lời giải: Đặt X

 

n và F



A1,...,An



. Ta cần chứng minh : nm. Ta định nghĩa ma trận liên thuộc Acấp

m n trên  bằng cách đặt 1 ở hàng thứ i và cột thứ j nếu jA_i. Ta xem xét ma trận A AT , đây là một ma

chính đều lớn hơn 1, bởi vì nếu một phần tử jXchỉ nằm trong duy nhất một tập AkF, thì từđiều kiện

kéo theo mọi phần tử iX cũng đồng thời thuộc Ak, mâu thuẫn với điều kiện.

Ta cần đến bổđề sau:

Bổđề: Cho A là một ma trận vuông cấp n trên _. Nếu các phần tử không nằm trên đường chéo chính

đều bằng t0, tất cả các phần tử nằm trên đường chéo chính đều lớn hơn t thì A là ma trận không suy biến.

Chứng minh bổđề: Nếu t0 thì khẳng định bài toán là hiển nhiên.

Xét t0 , gọi J là ma trận vuông với tất cả các phần tửđều bằng 1 và đặt D A tJ. Lưu ý rằng D

là một ma trận đường chéo với các phần tửtrên đường chéo chính là các sốdương.

Ta tiến hành giải phương trình toán tử Ax0 . Phương trình này tương đương với Dx tJx. Gọi s

là tổng của tất cả các thành phần x_i của vector x và gọi d d₁, ₂,...d_n là các phần tửtrên đường chéo chính

của D.

Thì khi đó: _{i i i}

i

t

d x ts x s

d

       

  . Điều này chỉ ra rằng xi và tổng s có dấu trái ngược nhau ; nếu

i

x và s khác 0 . Do vậy lẽ tất yếu :x₁   x₂ ... x_n 0. Nói cách khác ma trận A không suy biến, đpcm.

Do đó từ bổ đề ta suy ra ma trận T

A A không suy biến ( áp dụng bài toán 1), nên

 

T

rank A A n. Tuy

nhiên ,

 

T

rank A A rankAm, suy ra điều phải chứng minh.

3. CÁC BÀI TOÁN VỀ XÍCH VÀ ĐỐI XÍCH

Bài toán 1: (Lubell-Yamamoto- Meshalkin):

Cho A A₁, ₂,...,A_k là các tập con của tập



1, 2,...,n



, và giả sử rằng không có bất kì tập nào là con của một

tập khác , nghĩa là A_jA_jvới i j. Đối với mỗi chỉ số i , ta đặt a_i  A_i . Chứng minh rằng 1

1 1

i

n

a i Cn





.

Chứng minh: Chọn một hoán vị ngẫu nhiênσ



x x₁, ₂,...,x_n



của

 

n . Đặt E_i là biến cố : tập A_i là đoạn

đầu tiên của , có nghĩa là



₁,...,



i

a i

x x  A . Bởi vì mỗi tập A_i không nằm lồng trong một tập A_j khác,

nên các biến cố E_i độc lập. Nhưng ta nhận thấy

 

1

i

i a

n

P E C

 , do đó vế trái chính là _i

i

P_ E_





 và xác suất này luôn 1.

Bài toán 2: (Sperner)

Cho F là một họ các tập con của tập



1, 2,...,n



sao cho không có hai tập A B, F mà AB hoặc

B A . Chứng minh rằng

2

n

F n

 

 

  _{ }  _{ }

 

.

Chứng minh: Chọn một hoán vị ngẫu nhiên σ 



σ

   

1 ,σ 2 ,...,σ n

 



của



1, 2,...,n



và gọi

   

 









: : 1 , 2 ,..,

số i j sao cho



σ

   

1 ,σ 2 ,...,σ i σ i

     

, 1 ,...σ j



F, bằng cách đặt A:



σ

   

1 ,σ 2 ,...,σ i

 



và

   

 





: 1 , 2 ,...,

B  σ σ σ j thì A B, F và AB. Do đó kì vọng của X cũng sẽ 1, nghĩa là E X

 

1.

Mặt khác, ta tiến hành tìm công thức cho E X

 

. Gọi N_k là số các thành viên của F có đúng k phần

tử.

Tiến hành tính toán:

 



     



1

1 1 1 _{2 2 2}

1 , 2 ,...

n

k

n n n

k k k

k n n n

k k n k

n n n

N

N N m

E X P σ σ σ k F

C

C C C



     

     

     _{     }





_  _











 ,

trong tính toán trên ta có sử dụng đánh giá : 2 n k

n n

C C

     

 . Suy ra 2

n

n

m C

     

 , điều phải chứng minh.

3. SIÊU ĐỒ THỊ

Bài toán 1: (Bổđềhoa hướng dương ) Cho k r, 1. Một hoa hướng dương r đều với k cánh hoa với

phần nhụy hoa C là một siêu đồ thị với k cạnh E E₁, ₂,...E_k kích thước mỗi cạnh bằng r thỏa mãn

i j

E  E C, 1  i j k và C  r 1, kí hiệu là S_k r . Đặt ex n S

 

, _k r là số lớn nhất các cạnh của một

siêu đồ thị rđều đảm bảo rằng không chứa bất kì một hoa hướng dương với k cánh hoa . Chứng minh rằng với mọi nr k

 

1 thì

 

k1 r ex n S

 

, _k r r k!

 

1 r.

Chứng minh: a) Chứng minh chặn dưới: Gọi V V V₀, ,_{1 2},....,V_r là các tập đỉnh phân biệt với V_i  k 1,

1 i rvà V₀  n r k

 

 1 0 . Xét siêu đồ thị H trên tập đỉnh V    V₀ V₁ ... V_r trong đó ta xác định

cạnh EV khi và chỉ khi E  V₀ và E V_i 1với i1,...,r . Thì Hcó :

i) n đỉnh : bởi vì _{0 1}

 

1

... _r 1 ...

k

V V V V n r k r r n



          _{}

ii)

 

k1rcạnh : để có cạnh E thỏa mãn cách xây dựng ta chỉ cần chọn ra các phần tử v v₁, ₂,...,v_r lần

lượt thuộc V V₁, ₂,....,V_r và đặt E:



v v₁, ₂,...,v_r



. Mỗi tập V_i có k1 phần tử nên ta có

 

k1 r cách để

thực hiện

iii) rđều : bởi vì ₀ 1

0 1 ... 1 r

i

i r

E E V E V r



  



     _{}

Ta chứng minh siêu đồ thị H không chứa hoa hướng dương với k cạnh.

Thật vậy, xét một tập tập S 



E E₁, ₂,...,E_k



gồm k cạnh phân biệt thuộc H. Không giảm tính tổng quát ta

giả sử hai cạnh E E₁, ₂ khác nhau trên V₁, nói một cách nôm na là không chứa bất kì đỉnh nào thuộc tập V₁ ,

có nghĩa là



E₁V₁

 

 E₂V₁



 . Trong khi V₁  k 1, do đó theo nguyên lý chuồng bồ câu ta tìm

được một đỉnh v V ₁ được chứa trong ít nhất hai cạnh khác nhau của tập S. Điều đó có nghĩa là nếu S có

dạng một hoa hướng dương thì đỉnh v phải nằm ở phần nhụy, mâu thuẫn vì nhụy của ta là tập V₀. Từ đó

suy ra siêu đồ thị H không chứa bất kì một hoa hướng dương với k cạnh nào , điều phải chứng minh.

b) Chứng minh chặn trên: Xét một siêu đồ thị H r đều trên n và có tối thiểu r k!

 

1 r cạnh

phân biệt. Ta sẽ chỉ ra một hoa hướng dương với k- cạnh nằm trong H bằng qui nạp theo r. Lưu ý rằng:

k cạnh phân biệt lập thành một hoa hướng dương với k cánh hoa và phần nhụy rỗng. Với r1 thì mỗi

cạnh của H chỉ chứa một đỉnh, khẳng định là hiển nhiên. Giả sử khẳng định đúng với mọi giá trị r



r2



. Nếu H chứa k cạnh phân biệt thì khẳng định là đúng theo lưu ý. Do đó ta giả sử H không chứa

k cạnh phân biệt. Gọi S



E E₁, ₂,...,E_t



là tập các cạnh phân biệt với kích thước lớn nhất của H và đặt

1 2 ... t

U    E E E . Thì U   tr

 

k 1 r và mỗi cạnh thuộc H đều có giao với U ( nếu ngược lại ta bổ

sung thêm cạnh không có giao với U và thu được một tập có kích thước lớn hơn, mâu thuẫn với tính lớn

nhất).

Theo nguyên lý chuồng bồ câu ta tìm được một đỉnh v được chứa trong ít nhất là

 

 

 

   

1

     

1

! 1 1 1

1 ! 1 1 ! 1

1 1

r

r r

E H r k

r k r k

U k r k r

 

 

 _     _    cạnh thuộc H. (*)

Xét siêu đồ thị H

 

r 1 đều với tập cạnh E H

 

 



E\

 

v |EE H

 

,vE



. Theo (*), siêu đồ

thị H chứa nhiều hơn

   

r1 ! k1 r1 cạnh và theo giả thiết qui nạp thì nó phải chứa k cạnh phân biệt

1, 2,..., k

E E  E  có dạng hoa hướng dương với k cánh hoa và ngụy C. Theo cách ta xây dựng thì E_i 

 

v

là một cạnh trong siêu đồ thị H với mọi 1 i k. Do đó các cạnh E₁

 

v ,E₂

 

v ,...,E_k

 

v lập

thành một hoa hương dương với nhụy C C

 

v trong H.

4. SỐ TURAN

Bài toán 1: Cho Xlà một tập với nphần tử , và Flà một họ các ltập con của X thỏa mãn tính chất : Với mọi k tập con của X luôn chứa ít nhất một thành viên của F, trong đó 1  l k n.

Số Turan T n k l



, ,



là số thành viên nhỏ nhất của họ Fthỏa mãn tính chất nêu trên.

Chứng minh rằng :

a) T n k l



, ,



n T n



1, ,k l



n l

 



b) T n k l



, ,

 

T n1,k  1,l 1

 

T n1, ,k l



c)



, ,



n

n k l l

T n k l

k l

l

 

  _{   }

   _{  }

  _{ }

   

Chứng minh: Giả sử Flà họ các l- tập con của tập X với số thành viên nhỏ nhất thỏa mãn tính chất : Với mọi ktập con bất kì của X luôn chứa một thành viên của họ F .

a) Ta xét ma trận 0-1 M 

 

m_{x A,} trong đó các hàng được đánh số bởi các phần tử của tập X , các cột

được đánh số bởi các thành viên của họ F , và m_{x A,} 1 khi và chỉ khi xA. Đặt r_x là số các số 1 được

điền ở x hàng và c_A là số các số 1 được điền ở A cột. Thì c_A là số các phần tử của tập A nên c_Al.

Áp dụng nguyên lí Fubini , ta được :



| ,



_{x A}



, ,



x x A F

A A F x A r c F l T n k l l



     



 









| ,

, , x

A A F x A l

T n k l

X n

 





 ( bởi vì X n ).

Theo nguyên lí trung bình, ta tìm được phần tử x sao cho



A A| F x, A



l T n k l



, ,



n

   .

Nếu ta đặt G:



A A| F x, A



thì



| ,

 

, ,

 

| ,



n l



, ,



G F A A F x A T n k l A A F x A T n k l

n 

        

Ta cần chứng minh rằng : G T n



1, ,k l



, có nghĩa là họ G thỏa tính chất : Với mọi ktập con bất

kì của X luôn chứa một thành viên của họ G.

Thật vậy, Glà một họ trên Y: X\

 

x . Gọi B là một tập con với k phần tử bất kì thuộc Y, vì B

hiển nhiên là một tập con gồm k phần tử của Xnên Bchứa một tập con T với l phần tử thuộc họ F. Do

B không chứa x nên xT. Suy ra Tlà một thành viên của họ G, đpcm.

b) Xét một phần tử xX , và gọi G,H lần lượt là các họ h tập và

 

h 1 tập con của

 

\

Y X x với số thành viên tương ứng là T n



1, ,k l



và T n



1,k 1,l 1



thỏa mãn tính chất của bài

toán.

Gọi E là họthu được từ họ H bằng cách bổ sung thêm phần tử x vào các thành viên của họ H.

Thì họ GE thỏa G  E và do đó G E T n



1, ,k l

 

T n1,k 1,l 1



. Bây giờ ta cần chỉ ra

rằng với mọi k tập A thuộc X luôn chứa l tập B là một thành viên của họ GE.

Thật vậy, nếu xA, thì A\

 

x là một

 

k 1 tập con của Y, và do đó chứa một

 

l 1 tập con

B là thành viên của họ H, nên B: B

 

x  A và BE. Nếu xA, thì Alà một k tập con của Y

và do đó chứa một l tập con BG.

c)Chứng minh chặn dưới: Xét ma trận 0-1 M 

 

m_{A B,} trong đó các hàng được đánh số bởi các thành

viên của họ F, các cột được đánh số bởi các ktập con của X, và m_{A B,} 1 khi và chỉ khi AB. Đặt r_A

là số các số1 được điền ở A hàng và c_B là số các số 1 được điền ở B cột. Thì c_B1 với mọi tập B,

bởi vì theo B phải chứa ít nhất là một thành viên của họ F. Mặt khác r_A bằng số các ktập con chứa một

l tập con cho trước; nên r_A n l k l



 

 _{ } _với mọi tập AF.

Áp dụng nguyên lí Fubini ta thu được : _{A B}

A F B

n l n

F r c

k l _ k



 _{  } 

 _   

 

 

 



, ,



n n

k l

T n k l F

n l k

k l l

   

   

   

  _{    }

 _   

   

Chứng minh chặn trên: Ta chứng minh qui nạp theo n, khẳng định là hiển nhiên đúng trong trường hợp tầm thường. Giả sử khẳng định được chứng minh với mọi giá trị  n 1 .

Sử dụng kết quảởcâu b) ta được :



 

 



1 1

, , 1, 1, 1 1, , 1

1

n k l n k h n k l

T n k l T n k l T n k l

l l l

       

     

       _{   } _{ } _

     , đpcm.

Bài toán 2: Chứng minh rằng :

a)





2 2 2

, , 2 .

2 1 2 2

n k n r r

T n k

k

     

_{ } _ _{ }

    với mọi n k 2 , trong đó r là số dư trong phép chia của

số n cho k1

b) T n n l k



,  ,



 l 1 với mọi nk l

 

1 và k1.

Chứng minh

a) Ta xây dựng đồ thị G với tập đỉnh X với n phần tử và một 2-tập là một cạnh của đồ thị G. Ta cần xác định số cạnh nhỏ nhất của đồ thị Gsao cho với mọi k tập đỉnh luôn chứa ít nhất một cạnh. Nếu

ta xét bài toán với đồ thị liên hợp G* của G , thì ta cần tìm số cạnh lớn của đồ thị G* sao cho nó không

chứa một kclique. Áp dụng định lí Turan (xem bài viết “ Định lí Turan và các hướng tiếp cận khác nhau

trong chứng minh - phần 1” - chứng minh thứ 2 trên VietMaths.Net) thì số này bằng

 

2 2 2

, : .

2

1 2

r

k n r

T n k k

 

 

 _{   }

 .

Suy ra:





 

2 2 2

, , 2 , .

2 2 1 2 2

n n k n r r

T n k T n k

k

       

_{ } _{ } _ _{ }

     , đpcm.

b) Nếu k1, bằng tính toán trực tiếp ta thu được :T n n l



,  ,1



     n

 

n l 1 l 1 .

Bây giờ ta xét với k2:

Đầu tiên ta chứng minh: T n n l k



,  ,



 l 1 (*)

Thật vậy , bất đẳng thức (*) có nghĩa là tồn tại một họ F gồm các k tập con với F l không thỏa

mãn tính chất Turan. Ta tiến hành xây dựng họ F như sau:

Gọi S là một l tập con của X. Đặt \ 1

X S

k

 

 _ 

  là họ các

 

k 1 tập con của X S\ . Nhận thấy rằng

do \

1

X S S k

 _{ }

 _ 

  ( bởi vì n l l k

 

1 nên \

1

X S

k

 

 _ 

  luôn chứa ít nhất là l tập con với k1 phần tử ) nên

ta có thể xác định được một ánh xạ : \ 1

X S f S

k

 

 _{ } _sao cho các tập



 



x S

f x

 là phân biệt từng đôi một.

Gọi F là họ k tập con với l thành viên được xác định bởi



   



x S

F x f x



  . Hiển nhiên tập X S\

có n l phần tử và không chứa bất kì thành viên nào thuộc F. Từđây ta suy ra điều phải chứng minh.

Tiếp theo chứng minh chiều ngược lại: T n n l k



,  ,



 l 1 (**)

Thật vậy, bất đẳng thức (**) có nghĩa là tồn tại một họ G gồm các k tập con với G  l 1 thành

Gọi T là một

 

l 1 tập con của X . Nhận thấy rằng do \ 1

X T T k

 _{ }

 _ 

  ( bởi vì

  

1 1 1

n l   l k nên \ 1

X T

k

 

 _ 

  luôn chứa ít nhất là l1 tập con với k1 phần tử ) nên ta có thể xác

định được một ánh xạ : \

1

X T g T

k

 

 _{ } _sao cho các tập

 

 

x T

g x _ là phân biệt từng đôi một. Đặt

   





x T

G x g x _ . Khi đó G là một họ gồm l1 thành viên và mỗi thành viên đều có kích thước k (vì

 



xg x



k với mọi xT).

Ta cần chứng minh rằng với mọi tập con gồm n l phần tử luôn chứa một tập con thuộc họ G.

Gọi AX A,  n l, ta có đẳng thức sau : n l  A    A T A



X T\



Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử các tập f x

   

₁ ,f x₂ ,...,f x

 

_r không thuộc tập A và

1, 2,..., r

n n n lần lượt là số phần tử của các tập f x

   

₁ , f x₂ ,...,f x

 

_r không nằm trong A. Khi đó:





1

\ 1

r

i i

n l A T A X T A T n l n



          



1

1 1 r

i i

A T n r



  



  

Do đó, A chứa ít nhất một phần tử xT và x



x x₁, ₂,...,x_r



. Từđây ta suy ra A

   

x g x G.

Suy ra điều phải chứng minh. Từ (*) và (**) ta suy ra : T n n l k



,  ,



 l 1

5. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]. Stasys Jukna , Extremal Combinatorics: with Applications in Computer Science,Second Edition.

[2]. Po- Shen Loh, Algebraic Methods in Combinatoric.

[3]. Po- Shen Loh, Combinatorics of sets.

[4]. Po- Shen Loh, Probabilistic Methods in Combinatorics.

[5]. Stasys Jukna , Extremal Combinatorics: with Applications in Computer Science,Second Edition.

[6]. Ioan Tomescu, Problem in Combinatorics and Graph theory.