Metode fungsi penalti eksterior.

METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Maria Martini Leto Kurniawan NIM : 013114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Disusun Oleh :

Maria Martini Leto Kurniawan NIM : 013114019

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2008

EXTERIOR PENALTY FUNCTIONS METHOD

THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree

in Mathematics

By :

Maria Martini Leto Kurniawan Student Number : 013114019

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA

2008

TUHAN, PERISAIKU

(Mzm 28 : 1-9)

Orang-orang yang menabur dengan mencucurkan air

mata, akan menuai dengan bersorak sorai,

(Mzm 126:5)

Segala sesuatu indah pada waktunya.

(Pengkotbah 3:11)

Bila selama ini aku masih bertahan ...

Semua ini aku persembahkan hanya karena cintaku untuk :

Tuhan Yesus dan Bunda Maria, Teman dan Bunda tersayang yang dengan setia mendengarkan semua kepedihan hatiku…

Bapa dan Mama tercinta.... Ini janji Rita....walaupun perjalanan ini masih panjang, tapi aku senang bisa membuat bapa dan mama tersenyum kembali…

No Ovik tercinta ...Kamu adalah pemberian terindah yang Tuhan berikan buat oncu, dan oncu tidak akan pernah menyerah berjuang dalam hidup ini karena “KAMU”…

Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce & No

Faldi....Aku sangat-sangat bersyukur dan bangga menjadi bagian dari kalian semua…I love u all....

Isto yang sudah hadir dan mewarnai hidupku... Aku mau kamu tahu bahwa semenjak ada dirimu semua terasa indah....Thanks for your love…

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus atas segala kasih dan

perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini

berjudul : “ METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR “, yang diajukan

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program

Studi Matematika, Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi,

Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai

pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan

terima kasih kepada:

1. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing yang penuh

perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik

kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini.

2. Bapak Y.G. Hartono, S.Si, M.Sc sebagai dosen pembimbing akademik.

3. Bapak Herry Pribawanto.S, S.Si, M.Si yang telah memberikan pinjaman

buku-buku matematika yang sangat membantu penulis dalam menyelesaikan

skripsi ini.

4. Bapak St. Eko Hari Parmadi, S.Si.,M.Kom sebagai dosen panguji.

5. Ir. Greg. Heliarko, S.J., S.S., B.S.T., M.Sc., M.A., selaku Dekan FST-USD.

6. Segenap dosen dan karyawan sekretariat FST yang telah mendidik dan

meyediakan fasilitas yang sangat bermanfaat bagi penulis.

7. Bapa, Mama, No Ovik, Cece, Ka Nano, Adeline, Ati, Ka Tonce, No Faldi dan

seluruh keluarga besarku tercinta atas kasih sayang, doa, semangat, dukungan

serta kesabarannya selama ini.

8. No Ie, atas segala bantuan, doa dan dorongan buat saya. Terima kasih untuk

semuanya.

9. Isto untuk segala kasih dan kesabaran yang begitu tulus. Saya sangat

bersyukur mengenal kamu dan menjadi bagian dari hidupmu karena kau telah

mengajarkan saya begitu banyak hal

10.Sahabat-sahabatku seperjuangan angkatan 2001: Agnes, Alam, Fanya, Daniel,

Teddi, Deta, Vrysca, Upik, Yuli, Dani, Tabita, Andre, Indah, Ariel, Erika,

Wiwit, Maria, Very, Ray, dan April.

11.Mas Nadi yang selalu setia membantu dan menyemangati saya. Ma kasih mas.

12.Meggy atas segala bantuan dan dorongan semangat yang begitu tulus. Ma

kasih Gy.

13.Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak

langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh

karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat

membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan

menjadi referensi bagi pembaca.

Yogyakarta, 26 Mei 2008

Penulis

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 26 Mei 2008

Penulis,

Maria Martini Leto Kurniawan

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii

HALAMAN PENGESAHAN ... iv

HALAMAN PERSEMBAHAN ... v

HALAMAN HAK CIPTA ... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... viii

KATA PENGANTAR ... ix

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... xi

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR GAMBAR ... xiv

DAFTAR TABEL ... xv

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang Masalah ... 1

B. Perumusan Masalah ... 3

C. Batasan Masalah ... 4

D. Tujuan Penulisan ... 4

E. Manfaat Penulisan ... 4

F. Metode Penulisan ... 5

G. Sistematika Penulisan ... 5

A. Ruang Euclid dan Matriks ... 7

B. Topologi di Rn ... 8

C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdiferensial ... 11

D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks………. 15

E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala………. 21

F. Teori Optimisasi……… 25

G. Metode Newton……….. 27

BAB III METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR ... 30

A. Konsep Fungsi Penalti ... 30

B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti ... 37

C. Metode Fungsi Penalti Eksterior ... 41

1. Bentuk Fungsi Penalti Eksterior……… 41

2. Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior………. 43

D. Konvergensi Metode fungsi Penalti Eksterior……… 56

BAB IV PENUTUP ... 63

DAFTAR PUSTAKA ... 65

LAMPIRAN ... …. 66

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1.1 Minimum sama dengan maksimum ... 1

Gambar 2.4.1 Ilustrasi dari himpunan konveks dan tidak konveks... 15

Gambar 2.4.2 Lingkaran ... 16

Gambar 2.4.3 Parabola ... 16

Gambar 2.7.1 Diagram Alir Algoritma Metode Newton... 29

Gambar 3.1.1 Grafik Penalti... 35

Gambar 3.1.2 Grafik Fungsi Tambahan... 35

Gambar 3.2.1 Geometri Fungsi Penalti... 39

Gambar 3.3.1 Diagram Alir Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior... 44

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.3.1 Output penyelesaian contoh 3.3.2... 50

Tabel 3.3.2 Output penyelesaian contoh 3.3.3... 54

Tabel 3.3.3 Output penyelesaian contoh 3.3.4... 55

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

Secara umum optimisasi merupakan tindakan untuk mendapatkan hasil

yang terbaik terhadap situasi yang diberikan (sebagai suatu masalah). Sebagai

contoh perusahaan sepatu yang ingin memberikan harga yang terbaik supaya

perusahaan itu mendapatkan keuntungan yang terbanyak. Dalam berbagai macam

situasi praktis tindakan tersebut dapat dibawa ke dalam perumusan matematika

sebagai suatu fungsi dari variabel-variabel keputusan tertentu, sehingga optimisasi

dapat didefinisikan sebagai proses mencari atau menemukan situasi yang

memberikan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi.

Perhatikan gambar 1.1.1 di bawah ini :

( )

x f

( )

x f

*

x pembuat minimum dari f

( )

x

Gambar 1.1.1 Minimumf

( )

x sama dengan maksimum dari − f

( )

x

*

x

x 0

*

x pembuat maksimum dari − f

( )

x

( )

x

satu variabel ) dapat dilihat bahwa jika suatu titik menunjukkan nilai pembuat

minimum dari fungsi , titik yang sama itu juga menunjukkan nilai pembuat

maksimum dari negatif fungsi tersebut yakni

*

x

( )

x

f

( )

x f

− . Berarti optimisasi dapat

ditentukan dengan cara meminimalkan suatu fungsi karena maksimum dari fungsi

tersebut dapat ditemukan dengan mencari minimum dari negatif dari fungsi yang

sama.

Secara matematis optimisasi merupakan proses menemukan nilai

maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan cara meminimalkan fungsi

tersebut.

Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yakni,

optimisasi berkendala dan optimisasi tidak berkendala. Optimisasi berkendala

adalah optimisasi suatu fungsi yang disebut sebagai fungsi obyektif dengan

kendala-kendala berupa pertidaksamaan atau persamaan, sedangkan optimisasi

tidak berkendala adalah optimisasi suatu fungsi obyektif tanpa kendala. Pada

optimisasi berkendala jika fungsi obyektif atau fungsi kendala adalah nonlinear

maka masalah tersebut dinamakan masalah program nonlinear atau biasa disebut

sebagai masalah optimisasi berkendala nonlinear.

Ada beberapa teknik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan suatu

masalah program optimisasi berkendala nonlinear. Semua metode ini dapat

diklasifikasikan ke dalam dua kategori yakni, metode langsung (direct method)

dan metode tidak langsung (indirect method). Metode langsung meliputi metode

3

Metode Arah Layak sendiri terbagi lagi menjadi dua metode yaitu metode

Zoutendijk dan metode Proyeksi Gradien. Sedangkan metode tidak langsung

meliputi Transformasi Variabel dan metode Fungsi Penalti, dimana metode

Fungsi Penalti dibagi lagi menjadi dua metode yakni metode Fungsi Penalti

Eksterior dan metode Fungsi Penalti Interior.

Metode Fungsi Penalti merupakan salah satu metode numerik yang

digunakan untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala menjadi masalah

optimisasi tanpa kendala dengan menambahkan fungsi penalti dan parameter

penalti pada fungsi obyektif.

Dalam skripsi ini hanya membahas metode Fungsi Penalti Eksterior.

Metode Fungsi Penalti Eksterior digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimisasi nonlinear berkendala, dimana pendekatan yang digunakan adalah

dengan mengubah masalah optimisasi dengan kendala tersebut menjadi masalah

optimisasi tanpa kendala yang ekuivalen. Pada metode Fungsi Penalti Eksterior,

pencarian solusi optimal dimulai dari daerah tidak layak dan menghasilkan titik–

titik tidak layak yang limitnya merupakan penyelesaian optimal dari masalah asli.

B. Perumusan Masalah

Berdasarkan uraian yang dikemukakan dalam latar belakang, pokok

permasalahan dalam skripsi ini dapat dirumuskan sebagai berikut :

1. Apa itu metode Fungsi Penalti khususnya metode Fungsi Penalti

Eksterior?

dengan metode Fungsi Penalti Eksterior dan implementasinya dengan

program Matlab.

C. Batasan Masalah

1. Dalam skripsi ini metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah

tidak berkendala adalah metode Newton, akan tetapi dalam skripsi ini

hanya membahas kegunaan dan algoritma metode Newton.

2. Program yang digunakan untuk perhitungan numeris adalah program

Matlab.

D. Tujuan Penulisan

Penyusunan skripsi ini bertujuan untuk membahas metode Fungsi Penalti

Eksterior dan bagaimana algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior dalam

menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala serta konvergensi metode

Fungsi Penalti Eksterior .

E. Manfaat Penulisan

Manfaat yang diharapkan dalam skripsi ini adalah dapat mengetahui dan

memahami bagaimana bentuk metode Fungsi Penalti khususnya metode Fungsi

Penalti Eksterior dan mengetahui bagaimana metode Fungsi Penalti Eksterior

5

F. Metode Penulisan

Dalam penulisan skripsi ini penulis menggunakan metode studi pustaka

yakni, mempelajari referensi-referensi yang berkaitan dengan masalah optimisasi

nonlinear, khususnya mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior dan

referensi-referensi mengenai dasar teori pendukung.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan skripsi ini terdiri dari empat bab dengan urutan

sebagai berikut :

BAB I : PENDAHULUAN

Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang, perumusan

masalah, batasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan,

metode penulisan, dan sistematika penulisan.

BAB II : TOPOLOGI DI Rn DAN TEORI OPTIMISASI

Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang Euclid dan matriks,

topologi di , fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, himpunan

konveks dan fungsi konveks, syarat optimalitas untuk masalah

berkendala, teori optimisasi serta metode Newton yang nantinya

akan digunakan untuk memahami metode Fungsi Penalti Eksterior.

n

Dalam bab III akan dibahas tentang konsep fungsi penalti,

interpretasi geometris fungsi penalti, pengertian metode Fungsi

Penalti Eksterior, bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan

algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior disertai beberapa contoh

masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan

metode Fungsi Penalti Eksterior. Terakhir dibicarakan juga

implementasinya dengan program matlab serta konvergensi metode

Fungsi Penalti Eksterior.

BAB IV : PENUTUP

BAB II

TOPOLOGI DI Rn DAN TEORI OPTIMISASI

Dalam bab ini akan dibahas konsep ruang Euclid dan matriks, topologi di

, fungsi kontinu dan fungsi terdiferensial, himpunan konveks dan fungsi

konveks, syarat optimalitas untuk masalah berkendala, teori optimisasi serta

metode Newton yang nantinya akan digunakan untuk memahami metode Fungsi

Penalti Eksterior.

n

R

A. Ruang Euclid dan Matriks

Berikut akan didefinisikan mengenai hasilkali dalam Euclidean, ruang

Euclid, transpose matriks, dan matriks semidefinit positif.

Definisi 2.1.1

Jika u=

(

u₁,u₂,K,u_n

)

dan v=

(

v₁,v₂,Kv_n

)

adalah vektor-vektor sebarang pada , maka hasilkali dalam Euclid (Euclidean inner product) didefinisikan sebagai

n

R u.v

n nv

u v

u v

u + + +

= _{1 1 2 2} K

.v

u .

Definisi 2.1.2

Ruang dengan operasi-operasi penjumlahan, perkalian skalar dan hasilkali

dalam Euclidean disebut ruang Euclid berdimensi n (n-dimensional Euclidean space) atau Ruang Euclid yang diberi notasi

n

R

n

Jika adalah matriks , maka transpose dari dinyatakan dengan , didefinisikan sebagai matriks

A m×n A At

m

n× yang didapatkan dengan mempertukarkan

baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolom pertama dari adalah

baris pertama dari , kolom kedua dari adalah baris kedua dari , dan

seterusnya.

t

A

A At A

Definisi 2.1.4

Jika A adalah matriks simetris n×n , maka dikatakan semidefinit positif ( positive semidefinite ) jika untuk setiap

A

0

≥

Ax

xt x∈Εn dan ditulis A≥0.

B. Topologi di Rn

Definisi 2.2.1

Diberikan titik x∈Rn dan ε >0, N_ε

( )

x =

{

y∈Rn : y−x <ε

}

disebut suatu

persekitaran−ε dari x.

Definisi 2.2.2

Misalkan n

R

K ⊂ dan x∈K. Titik disebut titik dalam atau titik interior dari

x

K jika terdapat suatu persekitaran−ε dari x yang termuat di dalam K , yaitu

9

semua titik interior dari K disebut interior K dan dinotasikan dengan .

Selanjutnya,

K

int

K disebut terbuka jika K =int K.

Definisi 2.2.3

Misalkan n

R

K ⊂ , x disebut titik limit dari K jika untuk setiap ε >0

( )

φ

ε ≠

∩N x

K . Himpunan semua anggota K beserta titik limitnya disebut

closure dari K dan dinotasikan dengan ClK. Selanjutnya, K disebut tertutup jika K =ClK.

Definisi 2.2.4

Suatu barisan vektor x₁,x₂,x₃,K dikatakan konvergen ke titik limit x jika 0

→ −x

x_k untuk k →∞, yaitu jika untuk sembarang ε >0terdapat bilangan

bulat positif N sedemikian sehingga x_k −x <ε untuk semua . Barisan

biasanya dinotasikan dengan

N k ≥

{ }

xk dan x titik limit

{ }

xk disajikan dengan

x

x_k → untuk k →∞ atau dengan lim_k→∞x_k =x.

Dengan menghapus elemen-elemen tertentu dari barisan

{

, diperoleh

subbarisan, yang biasanya dinotasikan dengan

}

k

x

{ }

x_{k κ}, dengan κadalah subset

dari semua bilangan bulat positif.

Semesta pembicaraan sekarang adalah bilangan real

Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari ke dalam . Jadi, fungsi

atau dengan

Ν R

R

f :Ν→ f

( )

n n∈Νadalah barisan bilangan real. Biasanya

dinyatakan dengan . Barisan dengan sebagai suku ke-n akan ditulis

( )

n

f s_n s_n

n

s atau

{

s_n

}

.

Definisi 2.2.6

Misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi di dalam himpunan bilangan real

R; f dikatakan mempunyai limit L di , dan ditulis , jika diberikan sebuah bilangan

0

x limx→x₀f

( )

x = L

0 >

ε , maka ada sebuah δ >0 sedemikian sehingga

( )

x −L <ε

f bila x∈Xdan 0< x−x₀ <δ .

Definisi 2.2.7

Barisan

{ }

s_n dikatakan konvergen jika terdapat s∈R dengan sifat, untuk sebarang ε >0 yang diberikan, terdapat N∈Ν sehingga untuk semua

dengan berlaku

Ν ∈

11

∞ →

n dan ditulis lim_n→∞s_n atau disingkat lims_n =s. Suatu barisan yang tidak

mempunyai limit disebut divergen.

Definisi 2.2.8

Barisan

{ }

s_n dikatakan naik jika s_n ≤s_n+1 dan turun jika untuk semua . Barisan naik dan barisan turun dinamakan barisan monoton.

1

+

≥ _n

n s

s

Ν ∈

n

Contoh 2.2.8

1. Barisan 1,1,2,2,3,3,K adalah barisan naik.

2. Barisan ,K

3 1 , 3 1 , 2 1 , 2 1 , 1 ,

1 adalah barisan turun.

Ke dua contoh di atas adalah barisan monoton.

C. Fungsi Kontinu dan Fungsi Terdiferensial

Definisi 2.3.1

Misalkan f :K →T, dimana K ⊂Rndan T ⊂ Rl. Fungsi dikatakan kontinu di

f

K

∈

x jika untuk setiap ε >0, terdapat δ >0 sedemikian sehingga untuk

dan K

∈

y y−x <δberlaku f

( ) ( )

y − f x <ε.

Selanjutnya fungsi f dikatakan kontinu padaK jika kontinu di setiap titik

anggota

f

Diberikan fungsi f :K → R ,K ⊂R. Fungsi f dikatakan :

1. Naik pada K jika untuk setiap x₁,x₂∈K, dengan x₁ < x₂, maka

( )

x1 f

( )

x2

f < .

2. Turun pada K jika untuk setiap x₁,x₂∈K, dengan , maka .

2 1 x

x >

( )

x1 f

( )

x2

f >

3. Monoton pada K jika f naik pada K atau turun pada K.

Definisi 2.3.3

Misal . Turunan orde satu dari , dinotasikan dengan , didefinisikan sebagai berikut:

R R f _: n →

f Df ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n x f x f x f

Df , , ,

2 1

L

Definisi 2.3.4

Misal f :Rn →R, gradien dari fungsi di ditulis

f x ∇f

( )

x , adalah transpose dari Df , yaitu :

13

Definisi 2.3.5

Misalkan K himpunan tidak kosong di En, x∈int Kdan . Matriks Hessian dari fungsi pada

E K

f : →

f x, yang biasa dinotasikan dengan H

( )

x _adalah

matriks yang elemen-elemennya terdiri dari turunan-turunan parsial ke dua dari

fungsi f yaitu :

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

. 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = n n n n n x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x f x x x x x x x x x x H M M M Definisi 2.3.6

Misalkan K himpunan tidak kosong di En, dan terdiferensial dua

kali. Teorema Taylor orde dua adalah : untuk setiap , haruslah memenuhi :

E K

f : →

1

x x₂∈K

( )

2

( )

1

( ) (

1 2

)

(

2 1

)

( )

(

2 1

)

2 1 x x x H x x x x x x

x = f +∇f t − ₁ + − t − f

dimana H

( )

x adalah matriks Hessian dari fungsi f pada x dan

(

)

2

1 1 x

x

Misalkan K himpunan tidak kosong di Εn, x∈int Kdan . Maka dikatakan terdiferensial di

Ε

K

f : →

f x jika ada vektor ∇f

( )

x yang disebut vektor gradien, dan ada fungsi α :E→ E1sedemikian sehingga :

( )

x = f

( ) ( ) ( )

x +∇f xt x−x + x−x α

(

x;x−x

)

f

untuk setiap x∈K, dimana lim _x→x α

(

x;x−x

)

=0.

Fungsi dikatakan terdiferensial pada himpunan terbuka jika

terdiferensial pada setiap titik .

f L⊆ K

f L

Definisi 2.3.8

Misalkan K himpunan tidak kosong di En, x∈int Kdan . Maka cdikatakan terdiferensial dua kali di

Ε

K

f : →

x jika terdapat suatu vektor∇f

( )

x , dan

matriks simetris n×n H

( )

x yang disebut sebagai matriks Hessian, dan suatu fungsi α:E →E1 sedemikian sehingga :

( )

x =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

x +∇ x x−x + x−x H x x−x + x−x

(

x;x−x

)

2

1 2

α

t t

f f

f

untuk setiap x∈K, dimana lim _x→x α

(

x;x−x

)

=0.

Fungsi dikatakan terdiferensial dua kali pada himpunan terbuka jika

terdiferensial dua kali pada setiap titik .

f L⊆ K

15

Contoh 2.3.8

Misalkan

(

)

1 2. Diketahui

2 2 2 1 2 1 2

1,x 2x 6x 2x 3x 4xx

x

f = + − − + x=

( )

0,0t . Maka

( )

⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + − = ∇ 1 2 2 1 4 6 6 4 4 2 x x x x

f x dan

( )

.

6 4 4 4 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = x H Sehingga :

(

) ( )

(

)

_⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = 2 1 2 1 2 1 2 1 6 4 4 4 , 2 1 6 , 2 , x x x x x x x x f .

D. Himpunan Konveks dan Fungsi Konveks

Berikut akan diberikan definisi dari himpunan konveks dan fungsi konveks

serta teorema-teorema yang berkaitan dengan fungsi konveks.

Definisi 2.4.1

Himpunan Kdi Rn dikatakan konveks jika setiap garis penghubung antara kedua titik yang ada di himpunan berada juga pada himpunan tersebut. Dengan kata lain,

jika x₁ dan x₂ ada di K, maka λx₁+

(

1−λ

)

x₂ harus ada di K untuk setiap

[ ]

0,1

∈

λ .

Beberapa contoh himpunan konveks.

1. K =

{

(

x₁,x₂

)

:x₁2 +x₂2 ≤4

}

⊂R2

Himpunan ini merepresentasikan titik yang berada di dalam lingkaran dengan

pusat

(

0,0

)

dan radius 2 seperti pada gambar 2.4.2

4

2

2_{+ =}

y x

Gambar 2.4.2 Lingkaran x₁2 +x₂2 =4

2. K =

{

( )

x,y :y≥ x2

}

⊂ R2

Himpunan ini mempresentasikan semua titik yang berada di atas kurva

seperti pada gambar 2.4.3 2

x y=

17

Definisi 2.4.2

Misalkan f :K →R, dimana K adalah himpunan konveks tidak kosong di R.

Fungsi f dikatakan konveks pada K jika

(

)

(

x₁ 1 x₂

)

f

( ) (

x₁ 1

) ( ),

f x₂ f λ + −λ ≤λ + −λ

untuk setiap x₁,x₂∈Kdan 0≤λ ≤1.

Contoh 2.4.2

Buktikan bahwa f

( )

x =ex,x∈Radalah fungsi konveks

Penyelesaian :

Ambil x₁,x₂∈Rmaka

( )

1 dan 1

x

e

f x =

( )

2

2

x

e

f x = , dan

(

)

(

)

( 1 (1 ) 2)

2 1 1

x x

e f λx + −λ x = λ + −λ

( )2 1 1 x

x

e eλ • −λ

= .

Sedangkan,

( ) (

₁

) ( )

1

(

₁

)

2

2 1

x x

e e

f

f λ λ λ

λ x + − x = + − .

Jadi untuk setiap x₁,x₂∈Rdan 0≤λ ≤1diperoleh :

(

)

(

x1 1 x2

)

f

( ) (

x1 1

) ( )

f x2

f λ + −λ ≤λ + −λ .

Jika suatu fungsi adalah konveks maka, untuk setiap dua titik dan

memenuhi

R K

f : → x₁

2

x

( )

x₂ ≥ f

( )

x₁ +∇ft

( )(

x₁ x₂ −x₁

)

f

Bukti :

Misalkan f

( )

x adalah konveks, maka berdasarkan definisi (2.4.2)

(

)

(

x2 1 x1

)

f

( ) (

x2 1

) ( )

f x1

f λ + −λ ≤λ + −λ

atau dapat ditulis sebagai :

(

)

(

x1 x2 x1

)

f

( )

x1

(

f

( )

x2 fx1

)

f +λ − ≤ +λ − (2.4.1)

Pertidaksamaan (2.4.1) dapat dibentuk menjadi :

( )

x1 +λ

(

f

( ) ( )

x2 − f x1

)

≥ f

(

x1+λ

(

x2 −x1

)

)

f

( ) ( )

(

f x2 − f x1

)

≥ f

(

x1+

(

x2 −x1

)

) ( )

− f x1

⇔λ λ

( ) ( )

(

(

)

) ( )

λ

λ _{2 1 1}

1 1 2 x x x x x

x f f f

f − ≥ + − −

Pada ruas kanan penyebutnya dikalikan dengan x₂ −x₁ sehingga menjadi :

( ) ( )

(

(

(

)

) ( )

)

(

2 1

1 2 1 1 2 1 1

2 x x

x x x x x x x x − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ − − − + ≥ − λ λ f f f

f

)

(2.4.2)

19

( ) ( )

(

) ( ) (

2 1

1 1

1

2 x x

x x x x x x − ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ Δ − Δ + ≥

− f f f

f

)

(2.4.3)

Dengan pengambilan limit untuk Δx→∞, sehingga pertidaksamaan (2.4.3)

menjadi :

( )

x₂ ≥ f

( )

x₁ +∇ft

( )(

x₁ x₂ −x₁

)

f

Teorema 2.4.4

Suatu fungsi f :K → Radalah konveks jika matriks Hessian H

( )

x adalah

semidefinit positif.

Bukti :

Dari Teorema Taylor bahwa :

(

x h

) ( )

x

( )

x x x θh

! 2

1 2 _*

1 1 * 1 * * = + ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + = +

∑

∑∑

= =

= i j

n i n j j i i n i i x x f h h x f h f

f (2.4.4)

dimana 0<θ<1 .

Misalkan x* =x₁ , x*+h=x₂, dan h=x₂ −x₁, sehingga pertidaksamaan (2.4.4) menjadi :

( )

2

( )

1

( )(

1 2 1

)

(

2 1

)

{

1 θ

(

2 1

)

}(

2 1

2 1 x x x x x H x x x x x x

x = f +∇ft − + − t + − −

f

)

(2.4.5)

Dapat dilihat bahwa untuk memenuhi Teorema 2.4.3 dan karena konveks,

maka pertidaksamaan (2.4.5) harus memberikan

( )

x f

( )

x

Misalkan fungsi f :K →R2 dan

(

)

2 2 2 2 1 2

1,x 3x 4x R

x

f = + ∈ . Buktikan bahwa

adalah fungsi konveks untuk setiap nilai

(

)

2

2 2 1 2

1,x 3x 4x

x

f = + .

Penyelesaian :

Berdasarkan Teorema 2.4.4 maka cukup menunjukkan bahwa H

( )

x semidefinit

positif,

( )

48 0

8 0 0 6 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 > = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = x f x x f x x f x f x H

Jadi terbukti f

(

x₁,x₂

)

=3x₁2 +4x₂2 adalah fungsi konveks untuk setiap nilai x.

Definisi 2.4.5

Misalkan K adalah himpunan terbuka tidak kosong di En, dan misalkan

terdiferensial pada E

K

f : → K. Fungsi dikatakan pseudokonveks jika

untuk setiap dengan

f

K

∈ 2 1,x

x ∇

( ) (

x1 x2 −x1

)

≥0

t

f , maka atau

ekuivalen dengan pernyataan bahwa jika

( )

x2 f

( )

x1

f ≥

( )

x2 f

(

x1

f <

)

, maka

.

( ) (

_{1 2} − ₁

)

<0

∇f x t x x

Definisi 2.4.6

Pseudokonveksitas di x adalah : fungsi f dikatakan pseudokonveks pada K

∈

x jika ∇

( ) (

x1 x2 −x1

)

≥0

t

21

E. Syarat Optimalitas Masalah Tidak Berkendala

Berikut akan didefinisikan syarat perlu dan syarat cukup tingkat pertama

sebagai syarat optimalitas untuk suatu masalah tidak berkendala.

Definisi 2.5.1

Perhatikan masalah meminimalkan f

( )

x pada En, dan misalkan n

E

∈

x .

a. Jika f

( )

x ≤ f

( )

x untuk semua x∈En, maka x dinamakan suatu peminimum global.

b. Jika ada suatu persekitaran−ε N_ε

( )

x sekitar x sedemikian hingga

( )

x f

( )

x

f ≤ untuk semua x∈N_ε

( )

x , maka x dinamakan suatu peminimum lokal.

c. jika untuk semua x∈N_ε

( )

x , x≠x , untuk ε >0, maka x dinamakan

suatu peminimum lokal tegas.

Suatu peminimum global juga merupakan peminimum lokal.

Teorema 2.5.2

Misalkan bahwa f :En →Eterdiferensial di x. Jika ada sebuah vektor

sedemikian hingga

n

E

∈

d ∇f

( )

xtd<0 maka terdapat δ >0 sedemikian sehingga

(

x d

) ( )

f x

f +λ < untuk setiap λ∈

( )

0,δ . Maka merupakan suatu arah turun (descent direction) dari di

d

Dari Definisi 2.3.7 maka diperoleh :

(

x+λd

) ( )

= f x +λ∇f

( )

x t +λdα

( )

x;λd

f (2.5.1)

dengan α

( )

x;λd →0untuk λ→0.

Selanjutnya persamaan (2.5.1) dibagi dengan λdimana λ ≠0, diperoleh :

(

x d

) ( )

x

( )

_{x dα}

( )

_{x λd}

λ λ

; +

∇ = −

+ t

f f

f

Karena ∇f

( )

xtd<0 dan α

( )

x;λd →0 untuk λ→0 maka terdapat suatu δ >0

sedemikian sehingga ∇f

( )

xt + dα

( )

x;λd <0 untuk setiap λ∈

( )

0,δ . Sehingga

terbukti f

(

x+λd

) ( )

< f x .

Akibat 2.5.3

Misalkan bahwa f :En →E terdiferensial di x. Jika x peminimum lokal fungsi maka

f ∇f

( )

x =0.

Bukti :

Dibuktikan dengan kontradiksi . Andaikan bahwa ∇f

( )

x ≠0.

Misalkan d=−∇f

( )

x , didapatkan ∇f

( )

xtd= ∇f

( )

x 2 <0. Dari Teorema 2.5.2,

terdapat suatu δ >0 sedemikian sehingga f

(

x+λd

) ( )

< f x untuk λ∈

( )

0,δ . Hal

ini kontradiksi dengan asumsi bahwa x merupakan suatu peminimum lokal.

23

Syarat perlu di atas menggunakan vektor gradien yang komponen-komponennya

merupakan turunan parsial pertama dari , sehingga disebut sebagai syarat perlu

tingkat pertama.

f

Teorema 2.5.4

Misalkan bahwa f :En →E terdiferensial dua kali di x. Jika x adalah

peminimum lokal, maka ∇f

( )

x =0 dan H

( )

x semidefinit positif. Teorema ini disebut sebagai Teorema syarat perlu tingkat kedua.

Bukti :

Dari Definisi 2.3.8, maka diperoleh :

(

x λd

) ( )

x λ

( )

x d λ dH

( )

xd λ2 d α

( )

x;λd

2

1 ₂ 2

+ +

∇ + =

+ _{f f} t t

f (2.5.2)

dimana α

( )

x;λd →0 untuk λ→0. Karena x peminimum lokal, maka dari

Akibat 2.5.3 bahwa ∇f

( )

x =0. Selanjutnya pertidaksamaan (2.5.2) dibagi dengan λ2 >0 menghasilkan :

(

) ( )

( )

(

d x d d x H d x d

x _{α λ}

λ λ

; 2

1 2

2 = +

−

+ f t

f

)

(2.5.3)

Karena x peminimum lokal, f

(

x+λd

) ( )

≥ f x untuk λ cukup besar. Maka pada

pertidaksamaan (2.5.3) jelas bahwa

( )

( )

; 0 2

1 2

≥

+ d x d

d x H

dt α λ untuk λcukup

besar. Dengan pengambilan limit untuk λ →0 maka dtH

( )

xd≥0. Karena itu

Misalkan f _:En →E merupakan pseudokonveks di

x. Titik x merupakan suatu

peminimum global jika dan hanya jika ∇f

( )

x =0. Teorema ini adalah Teorema

syarat cukup tingkat pertama.

Bukti :

Misalkan x adalah suatu peminimum global.

Akan ditunjukkan bahwa ∇f

( )

x =0.

Berdasarkan Akibat 2.5.3 bahwa jika x adalah peminimum lokal, maka ∇f

( )

x =0

dan oleh karena suatu peminimum lokal sama dengan peminimum global maka

terbukti bahwa ∇f

( )

x =0. Misalkan bahwa ∇f

( )

x =0

Akan ditunjukkan bahwa x merupakan suatu peminimum global.

25

F. Teori Optimisasi

Secara umum masalah optimisasi dibagi menjadi dua bagian yakni,

optimisasi berkendala dan optimisasi tidak berkendala :

1. Bentuk umum masalah optimisasi berkendala

Minimalkan f

( )

x

dengan kendala g_i

( )

x ≤0, i=1,2,L,m

( )

j l

h_j x =0, =1,2,L,

dengan :

x = Vektor di En

= Fungsi obyektif

( )

x f

( )

x

i

g = Kendala berupa pertidaksamaan sebanyak m

= Kendala berupa persamaan sebanyak

( )

x

j

h l

(2.6.1)

2. Bentuk umum masalah optimisasi tidak berkendala

Minimalkan f

( )

x

Jika fungsi obyektif atau fungsi kendala dalam persamaan (2.6.1) adalah

nonlinear maka masalah tersebut dinamakan masalah program nonlinear atau

Bentuk umum masalah optimisasi nonlinear berkendala adalah :

Minimalkan f

( )

x

dengan kendala g_i

( )

x ≤0, untuk i=1,2,L,m

( )

j l

h_j x =0, untuk =1,2,L,

Dengan f,g₁,K,g_m,h₁K,h_ladalah fungsi-fungsi kontinu pada n

E , Xadalah

subhimpunan dari En dan x∈En.

Definisi 2.6.2

Suatu vektor x∈Xdisebut penyelesaian layak masalah optimisasi nonlinear berkendala jika memenuhi semua kendala.

Definisi 2.6.3

Himpunan dari semua penyelesaian layak disebut daerah layak.

Definisi 2.6.4

Titik layak adalah titik yang menjadi anggota daerah layak.

Definisi 2.6.5

27

G. Metode Newton

Metode Newton merupakan salah satu metode yang paling terkenal dan

sering digunakan dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan nonlinear. Metode

ini merupakan perkembangan dari metode Newton-Raphson dan metode

Titik-Tetap yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan nonlinear. Syarat dalam

menyelesaikan sistem persamaan nonlinear dengan metode Newton adalah

sebagai berikut :

a. Sistem persamaan nonlinear yang dimaksud adalah sistem persamaan

non-linear yang terdiri dari n persamaan dan n variabel.

b. Semua fungsi yang terlibat dalam sistem persamaan nonlinear harus

terdiferensial.

Metode Newton adalah suatu algoritma iterasi fungsional yang

membangkitkan x( )k =x( )k−1 −J

( )

x( )k−1 −1F

( )

x( )k−1 dengan dan adalah matriks Jacobi dari sistem persamaan nonlinear. Metode Newton memiliki

konvergensi yang bersifat q-kuadratik dengan relasi kesalahan

1

≥

k J

( )

x

(k ) ( )k

e e +1 ≤

Metode Newton sangat populer karena bentuk iterasinya yang sederhana.

Metode Newton dapat juga digunakan untuk menyelesaikan masalah

optimisasi nonlinear tidak berkendala karena syarat dari optimisasi nonlinear

adalah gradien dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang berarti bahwa, ada n

turunan dari setiap n variabel dari fungsi obyektifnya sama dengan nol yang

merupakan sistem persamaan nonlinear.

Selesaikan masalah optimisasi ini dengan menggunakan metode Newton.

Penyelesaian :

Dengan menggunakan syarat perlu bahwa, jika fungsi fungsi terdiferensial

maka syarat perlu tingkat pertama adalah

f

( )

x =0

∇f .

Sehingga dengan mencari gradien dari f

(

x₁,x₂,K,x_n

)

menghasilkan :

0 0 0

2 1

= ∂

∂ = ∂

∂ = ∂

∂

n

x f x f x f

M

(2.7.1)

Kumpulan semua persamaan yang ada di (2.7.1) berbentuk sistem persamaan

nonlinear. Kemudian setelah membentuk sistem persamaan nonlinear maka

29

Diagram alir dari algoritma Metode Newton dalam menyelesaikan sistem

persamaan nonlinear.

start

Nilai awal (x) Tol.error (error) Iterasi maksimum (N)

k=1

while k<=N

y=-inv(jx)*fx

if norm(y)<tol x

x=x+y' k=k+1

end ya

tidak fx=fungsi(x) jx=jacobian(x)

METODE FUNGSI PENALTI EKSTERIOR

Dalam bab ini akan dibahas mengenai metode Fungsi Penalti Eksterior

dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala. Tetapi dalam

pembahasan ini penulis akan menjelaskan terlebih dahulu tentang konsep fungsi

penalti dan interpretasi geometris fungsi penalti. Kemudian dilanjutkan mengenai

bentuk umum Fungsi Penalti Eksterior dan algoritma Metode Fungsi Penalti

Eksterior serta contoh masalah yang diselesaikan dengan metode Fungsi Penalti

Eksterior dan diimplementasikan dengan bahasa pemrograman Matlab. Dan yang

terakhir adalah konvergensi metode Fungsi Penalti Eksterior.

A. Konsep Fungsi Penalti

Salah satu cara untuk mengubah masalah optimisasi dengan kendala

menjadi masalah optimisasi tanpa kendala adalah dengan menambahkan fungsi

penalti pada fungsi obyektif yang pada beberapa metode, bergantung pada nilai

kendala-kendalanya. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah penalti

terjadi karena adanya pelanggaran. Demikian juga dalam masalah optimisasi ini

fungsi penalti terjadi karena ada pelanggaran terhadap fungsi obyektif, yaitu

dengan menghilangkan kendala pada permasalahan itu. Fungsi penalti dapat juga

dipandang sebagai fungsi yang ditambahkan pada fungsi obyektif dengan

31

Metode dengan menggunakan fungsi penalti mentransformasikan masalah

dengan kendala ke dalam masalah tanpa kendala tunggal atau ke dalam barisan

masalah tanpa kendala. Kendala-kendala dibentuk ke dalam fungsi obyektif

melalui parameter penalti sedemikian hingga menghilangkan setiap

hambatan-hambatan dari kendala tersebut. Untuk membangun fungsi penalti perhatikan

masalah-masalah dibawah ini.

Contoh 3.1.1

Perhatikan masalah dengan kendala tunggal h

( )

x =0, yaitu :

Minimalkan f

( )

x

Dengan kendala h

( )

x =0.

Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala :

Minimalkan f

( )

x +μh2

( )

x Dengan x∈En

0

μ> suatu bilangan besar .

Secara intuitif dapat dilihat bahwa penyelesaian optimal dari masalah tersebut

haruslah mendekati nol, karena jika tidak maka suatu penalti besar

akan terjadi.

( )

x

2

h

( )

x

2

Contoh 3.1.2

Perhatikan masalah dengan kendala pertidaksamaan tunggal g

( )

x ≤0 yakni :

Minimalkan f

( )

x

Dengan kendala g

( )

x ≤0.

Andaikan masalah di atas diubah menjadi masalah tanpa kendala seperti berikut :

Minimalkan f

( )

x +μg2

( )

x Dengan x∈En

0

μ> suatu bilangan besar.

Maka dapat dilihat bahwa dengan bentuk f

( )

x +μg2

( )

x mengakibatkan terjadinya penalti baik untuk g

( )

x <0 atau g

( )

x >0. Dalam masalah di atas suatu penalti

akan terjadi hanya jika titik adalah tidak layak, yaitu . Dengan

demikian pengandaian di atas salah dan masalah tanpa kendala yang sesuai adalah x g

( )

x >0

Minimalkan f

( )

x +μmaks

{

0,g

( )

x

}

Dengan x∈En

0

μ> suatu bilangan besar.

Jika g

( )

x ≤0, maka maksimum

{

0,g

( )

x

}

=0, dan tidak ada penalti yang terjadi,

dan jika g

( )

x >0, maka maksimum

{

0,g

( )

x

}

>0, dan bentuk penalti μg

( )

x terjadi.

Secara umum, fungsi penalti yang sesuai harus memiliki suatu penalti

33

kendala-kendala tersebut dalam bentuk g_i

( )

x ≤0 untuk i=1,K,mdan h_i

( )

x =0 untuk i=1,K,l maka fungsi penalti yang sesuai diberikan oleh : α

( )

∑

[

( )

]

∑

[

( )

= = Ψ + Φ = l i i m i i h g 1 1

α x x x

]

(3.1.1)

dengan Φ dan Ψ adalah fungsi-fungsi kontinu yang memenuhi :

( )

( )

( )

0 jika 0 dan

( )

0 jika 0

0 jika 0 dan 0 jika 0 ≠ > Ψ = = Ψ > > Φ ≤ = Φ y y y y y y y y (3.1.2)

Secara khusus, Φ dan Ψ berbentuk :

( )

[

{ }

]

p

y

y = maks 0,

Φ

( )

p

y y =

Ψ

dengan padalah bilangan bulat positif. Jadi fungsi penalti yang biasa

digunakan berbentuk

α

( )

[

{

( )

}

]

l

( )

p

i i p m i i h g

∑

∑

= = + = 1 1 , 0 maks

αx x x

Fungsi f

( )

x +μα

( )

x dinamakan fungsi tambahan.

Contoh 3.1.3

Selesaikan masalah optimisasi berikut :

Minimalkan x

Dengan kendala −x+2≤0.

Misalkan α

( )

x =

[

maks

{

0,g_i

( )

x

}

]

2, maka :

Penyelesaian :

Misalkan masalah tersebut diubah menjadi masalah tanpa kendala :

Minimalkan x+μ

(

−x+2

)

2 (3.1.3)

Dengan x∈E

0

μ> suatu bilangan besar.

Selanjutnya penyelesaian optimal persamaan (3.1.3) dapat dicari dengan cara

mencari turunannya. Titik optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan

nol. Maka persamaan (3.1.3) setelah dicari turunannya menjadi:

(

2

)( )

1

μ

2

1+ −x+ −

(

2

)( )

1 1

μ

2 − + − =−

⇔ x

(

2

)

1

μ

2 − =−

⇔ x

μ

2 1 2= − − ⇔x

μ

2 1 2− = ⇔x

Nilai optimal x dapat dicari dengan cara mencari limitnya untuk μ yang

mendekati ∞, yaitu

2

μ

2 1 2 lim

μ ⎟⎟_⎠=

⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

−

∞

→ .

Selanjutnya penyelesaian masalah (3.1.3) dapat ditunjukkan dengan grafik di

35

α

μ2 μ1 =0.5

5 . 1

μ2 =

α

α μ1

Gambar 3.1.1 Grafik Penalti α

μ2 +

f

α μ1 +

f

Gambar 3.1.2 Grafik Fungsi Tambahan

Contoh 3.1.4

Selesaikan masalah optimisasi berikut:

Minimalkan x₁2+x₂2

Perhatikan masalah penalti berikut, dengan μ>0 suatu bilangan besar

Minimalkan

(

1 2

)

2

2 2 2

1 +x +μ x +x −1

x

Dengan kendala

(

x₁,x₂

)

∈E2.

Perhatikan bahwa untuk sembarang , fungsi obyektif konveks. Jadi syarat

perlu dan cukup untuk optimalitas adalah gradien dari

sama dengan nol yang menghasilkan : 0 μ≥

(

2 2 1 2 2 2

1 +x +μ x +x −1

x

)

(

1

)

0

μ 1 2

1+ x +x − =

x

0

μ μ

μ 1 2

1+ + − =

⇔x x x (3.1.4)

dan

(

1 2

)

2 μ x x

x + +

(3.1.5)

Persamaan (3.1.4) dan (3.1.5) diselesaikan dengan menggunakan metode Gauss

Jordan menjadi :

2 1 2 1 B μ 2 1 μ 1 μB B B μ 1 1 μ 1 μ μ 1 μ 2 1 0 μ 1 μ μ 1 μ 1 μ μ 1

μ 1 μ

μ μ 1 μ 1 μ μ 1 μ μ μ μ 1 + + − + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ++ + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − μ 2 1 μ 1 0 μ 2 1 μ 0 1 μ 2 1 μ 1 0 μ 1 μ μ 1 μ 1 2 1 _μB

1

μ

B

37

μ

2 1

μ

1 = ₊

x

μ

2 1

μ

2 = ₊

x

Jadi diperoleh :

μ

2 1

μ

2 1 =x = ₊

x .

Selanjutnya nilai dari dan dapat dicari dengan cara mencari nilai limitnya

untuk , yaitu 1

x x₂

∞ → μ

μ

2 1

μ

lim

μ→∞ +

sehingga diperoleh

2 1 2 1 =x =

x .

Jadi penyelesaian optimal dari masalah penalti dapat dibuat sedekat-dekatnya

dengan penyelesaian dari masalah asli dengan menentukan cukup besar. μ

B. Interpretasi Geometris Fungsi Penalti

Untuk menggambarkan fungsi penalti secara geometri, digunakan contoh

3.1.4. Misalkan bahwa kendala h

( )

x =0dipertubasi sedemikian sehingga

( )

x =ε

h yaitu x₁+x₂−1=ε. Misalkan v

( )

ε merupakan fungsi objektif maka akan

diperoleh masalah berikut :

( )

ε ≡

v Minimalkan x₁2+x₂2

Selanjutnya subsitusikan x₂ ke dalam fungsi obyektif sehingga menjadi :

(

)

2

1 2

1 1 x

x + +ε− (3.2.1)

Nilai optimal akan dicapai ketika turunannya sama dengan nol, maka fungsi pada

(3.2.1) setelah dicari turunannya dapat ditulis sebagai :

(

1

)( )

1 0

2

2x₁+ +ε −x₁ − =

(

1

)

0

2

2 ₁− + − ₁ =

⇔ x ε x

0 2 2 2

2 ₁− − + ₁ =

⇔ x ε x

0 2 2

4x₁− − ε = .

Masing-masing ruas dibagi dengan 2 menjadi :

0 1

2x₁− −ε =

ε

+ = ⇔2x₁ 1

2 1 1 ε + =

⇔x .

Subsitusikan x₁ ke dalam persamaan kendala sehingga menjadi :

ε ε = − + + 1 2 1 2 x ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − + = ⇔ 2 1 1 2 ε ε x 2 1 2 2 2 ε ε − − + = ⇔x 2 1 2 ε + =

⇔x .

39 2 1 2 1 ε + = =x x

dan mempunyai nilai obyektif :

(

)

2

1+ε 2

.

Oleh karena itu, untuk sembarang ε yang diberikan, supremum dari

dengan kendala 2 2 2 1 x x + ε = −

+ ₂ 1

1 x

x sama dengan ∞ . Oleh karena itu, jika diberikan

sembarang titik

(

x₁,x₂

)

di E2 dengan x₁+x₂ −1=ε , nilai obyektifnya berada

pada interval

(

)

_⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∞ + , 2 1 ε 2

. Dengan kata lain, nilai obyektif dari semua xdi E2

yang memenuhi h

( )

x =ε, terletak diantara

(

)

2

1+ε 2

dan ∞.

Titik layak untuk masalah primal

( )

x f

2

E

Pemetaan

( )

h, f

x

[

( ) ( )

]

x x f

h .

Batas bawah terbesar parabola v

( )

ε

Penyelesaian optimal untuk masalah penalti dengan parameter μ' >μ

Penyelesaian optimal untuk masalah primal

( )

x =ε h

μ

ε Penyelesaian optimal untuk

masalah penalti dengan parameter μ

( ) ( )

[

hxμ .f xμ

]

2 μh f + 2 ' μh f +

3.2.1 Batas bawah dari himpunan ini dinyatakan oleh parabola

(

) (

ε

)

( )

_ε

v h

≡ + = +

2 1 2

1 2 2

. Untuk suatu nilai tertentu , masalah penalti adalah

meminimalkan

0

μ>

( )

x μh2

( )

x

f + dengan x∈E2. Kontur dari

diilustrasikan dalam ruang

k h

f +μ 2 =

( )

h, f yang ditunjukkan dalam gambar

3.2.1 dengan parabola putus-putus. Irisan dari parabola tersebut dengan sumbu

sama dengan . Jadi jika diminimalkan, maka parabola tersebut harus

digeser mengarah ke bawah sebanyak mungkin, sedemikian sehingga parabola

tersebut masih mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang sama dengan

himpunan yang diarsir. Proses ini dilanjutkan sampai parabola tersebut

menyinggung himpunan yang diarsir, seperti ditunjukkan pada gambar 3.2.1. Hal

ini berarti bahwa untuk nilai yang diberikan, nilai optimum dari masalah

penalti merupakan perpotongan parabola pada sumbu . Perhatikan bahwa

penyelesaian optimal masalah penalti sedikit tidak layak dari masalah asli, karena

di titik singgung. Selanjutnya, nilai obyektif optimal dari masalah penalti

adalah sedikit lebih kecil dari nilai obyektif optimal primal. Dan perhatikan juga

bahwa jika nilai μ bertambah, parabola menjadi makin curam, dan titik

singgung mendekati penyelesaian optimal sebenarnya dari masalah asli.

f k f +μh2

μ

f

0 ≠

h

2

41

C. Metode Fungsi Penalti Eksterior

Metode Fungsi Penalti Eksterior adalah metode yang digunakan untuk

menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala menjadi masalah tidak

berkendala dengan menambahkan fungsi penalti dan parameter penalti pada

fungsi obyektifnya. Proses pencarian penyelesaian optimal dimulai dari luar

daerah layak, oleh karena itu disebut metode Fungsi Penalti Eksterior.

Kendala-kendala akan ditambahkan pada fungsi obyektif dengan parameter penalti.

1. Bentuk Umum Fungsi Penalti Eksterior

Fungsi Penalti Eksterior merupakan bentuk fungsi tambahan yakni, fungsi

obyektif ditambah fungsi penalti. Misalkan fungsi merupakan fungsi tambahan,

dan f

( )

x merupakan fungsi obyektif, maka dengan mengambil :

( )

[

{

( )

}

]

l

( )

p

i i p m i i h g

∑

∑

= = + = 1 1 , 0 maks

α x x x

didapatkan fungsi tambahan

( )

[

{

( )

}

]

l

( )

p

i i k p m i i

k g h

f

z

∑

∑

= = + + = 1 1 μ , 0 maks

μ x x

x

yang disebut sebagai Fungsi Penalti Eksterior.

Jadi bentuk umum masalah Fungsi Penalti Eksterior adalah :

Minimalkan

( )

[

{

( )

}

]

l

( )

p

i i k p m i i

k g h

f

z

∑

∑

= = + + = 1 1 μ , 0 maks

μ x x

Contoh 3.3.1

Ubalah masalah berikut menjadi masalah Fungsi Penalti Eksterior :

Minimalkan

(

_{1 2}

) (

₁ 1

)

3 ₂ 3

1

,x x x

x

f = + + (3.3.1)

Dengan kendala 1−x₁≤0

0

2 ≤

−x .

Penyelesaian :

Pertama akan dibentuk fungsi penalti dari masalah (3.3.1) yaitu

( )

[

(

)

]

[

(

)

]

2

2 2

1 maks 0 ,

1 , 0 maks

α x = −x + −x

kemudian di bentuk fungsi z= f

( )

x +μ_kα

( )

x , menjadi

(

)

[

(

)

]

[

(

)

]

2

2 2

1 2

3

1 1 μ maks 0 ,1 μ maks 0 , 3

1

x x

x x

z= + + + _k − + _k −

Maka masalah (3.3.1) dapat dibentuk menjadi masalah Fungsi Penalti Eksterior

yakni

Minimalkan

(

₁ 1

)

3 ₂ μ

[

maks

(

0 ,1 ₁

)

]

2 μ

[

maks

(

0 , ₂

)

]

2 3

1

x x

x x

43

2. Algoritma Metode Fungsi Penalti Eksterior

Berikut akan diberikan algoritma dari metode Fungsi Penalti Eksterior

untuk menyelesaikan masalah

Minimalkan f

( )

x

Dengan kendala g

( )

x ≤0

( )

0

h x =

dan x∈X

1. Tentukan titik awal x₁, parameter penalti μ1>0, skalar penalti β>1,

0 >

ε dan k =1.

2. Bentuk fungsi obyektif untuk masalah optimisasi tidak berkendala

( )

x μ_kα

( )

x f

z= + , dengan

( )

[

{

( )

}

]

l

( )

p

i i p

m i

i h

g

∑

∑

= =

+ =

1 1

, 0 maks

α x x x

3. Tentukan penyelesaian dari masalah minimalkan , yakni z x*k.

4. _Jika μ α

( )

_x <ε

k langkah dihentikan dan diperoleh . Jika tidak,

lanjutkan ke langkah 2 dengan

k

*

x

k k βμ μ +1 = .

Perhatikan langkah 3, bahwa ketika masalah optimisasi nonlinear

berkendala setelah diubah menjadi masalah optimisasi nonlinear tidak berkendala

dengan metode Fungsi Penalti Eksterior maka penyelesaian dari masalah

menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala

Mulai

Tentukan titik awal x₁,

0 >

ε parameter penalti

0

μ1> , skalar β>1dan k=1

Gambar 3.3.1 Diagram alir algoritma metode Fungsi Penalti Eksterior

Bentuk fungsi z= f

( )

x +μ_kα

( )

x

dengan

( )

[

{

( )

}

]

l

( )

p

i i p

m i

i h

g

∑

∑

= =

+ =

1 1

, 0

maks x x

x

α

Tentukan penyelesaian dari masalah minimalkan

yakni x

z

k

*

k k βμ μ +1=

YA

Selesai

TIDAK

( )

x <ε

45

Dalam menyelesaikan masalah optimisasi nonlinear berkendala dengan

metode Fungsi Penalti Eksterior ditemukan dua kasus yakni, kasus umum dan

kasus khusus. Kasus umum adalah masalah yang dalam penyelesaiannya

memerlukan titik awal, sedangkan kasus khusus adalah masalah yang dalam

penyelesaiannya tidak memerlukan titik awal.

Berikut ini akan diberikan beberapa contoh kasus umum dan kasus khusus

masalah optimisasi nonlinear berkendala yang diselesaikan dengan metode Fungsi

Penalti Eksterior.

Contoh 3.3.2

Selesaikan masalah berikut :

Minimalkan

(

_{1 2}

) (

₁ 1

)

3 ₂ 3

1

,x x x

x

f = + + (3.3.2)

Dengan kendala 1−x₁≤0 (3.3.3)

0

2 ≤

−x (3.3.4)

Penyelesaian : ITERASI 1 Langkah 1

Menentukan μ1 =0.001, skalar β=10, ε =0.00001dan k=1.

Langkah 2

Bentuk fungsi z= f

( )

x +0.001α

( )

x

dimana

( )

[

(

)

]

[

(

2

)

]

2 2

1 maks 0 ,

1 , 0 maks

Menentukan penyelesaian dari masalah

Minimalkan

(

)

[

(

)

]

[

(

2

2 2

1 2

3

1 1 μ maks 0 ,1 μ maks 0 , 3 1 x x x x

z= + + + _k − + _k −

)

]

(3.3.5)

Penyelesaian dimulai dari mencari turunan parsial terhadap x₁ dan x₂ yaitu :

(

)

[

(

1

2 1 1 1 , 0 maks 2 1 x x x z k − − + = ∂ ∂ _μ

)

]

(3.3.6) dan

[

(

₂

2 , 0 maks μ 2 1 x x z k − − = ∂ ∂

)

]

(3.3.7)

Perhatikan persamaan (3.3.6) :

i.) Jika maks

(

0 ,1−x₁

)

=0maka

(

₁

)

2 1 1 + = ∂ ∂ x x z

ii.) Jika maks

(

0,1−x₁

)

=1−x₁ maka

(

₁

)

2

(

₁ 1 1 μ 2 1 x x x z k − − + = ∂

)

∂

Sehingga persamaan (3.3.6) dapat ditulis sebagai :

(

) (

)

(

)

[

1

]

2 1 2

1 1 , 1 2μ 1

min x + x + − _k −x (3.3.8)

Jika min=0, maka didapatkan

(

x₁+1