Makalah Metode Branch and Bound

(1)

MAKALAH

METODE BRANCH AND BOUND

Diajukan untuk melengkapi salah satu tugas Mata Kuliah : Program Linear

Dosen : Darta, S. Pd., M. Pd.

Subaryo, S. Pd., M. Pd.

Disusun Oleh :

Yunichi C. Silalahi 195050035

Rahmi Rahmayanti 195050045

Nida Amelya Al Fitriani 195050048 Atina Rahmah Ichtiari 195050054 Aramy Prima Rachwaty 195050055

Rena Nur’alia 195050056

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PASUNDAN 2022

(2)

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala rahmat-Nya sehingga makalah ini dapat tersusun hingga selesai. Tidak lupa kami mengucapkan terima kasih terhadap bantuan dari pihak yang telah berkontribusi dengan memberikan sumbangan pikirannya.

Kami berharap semoga makalah ini dapat menambah pengetahuan dan pengalaman untuk para pembaca. Bahkan kami berharap lebih jauh lagi agar makalah ini bisa pembaca praktikkan dalam kehidupan sehari – hari.

Kami yakin masih banyak kekurangan dalam penyusunan makalah ini karena keterbatasan pengetahuan dan pengalaman. Untuk itu kami sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca demi kesempurnaan makalah ini.

Bandung, 6 Juni 2022

Penyusun

(3)

ii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ... i

DAFTAR ISI ... ii

DAFTAR GAMBAR ... iii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang... 1

1.2. Rumusan Masalah ... 1

1.3. Tujuan ... 2

1.4. Manfaat ... 2

1.5. Metode ... 2

BAB II PEMBAHASAN ... 3

BAB III PENUTUP ... 15

3.1. Kesimpulan ... 15

DAFTAR PUSTAKA ... 16

(4)

iii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1 Solusi Metode Branch and Bound pada Simpul Pertama ... 5

Gambar 2 Solusi dan Sub-solusi untuk Cabang Pertama ... 7

Gambar 3 Solusi dan Sub-solusi pada Grafik Masalah Contoh 1 ... 8

Gambar 4 Solusi dan Sub-solusi pada Grafik Masalah Contoh 1 ... 9

Gambar 5 Tidak Ada Penyelesaian yang Layak untuk Simpul Kelima ... 11

Gambar 6 Pembuatan Simpul 6 dan 7 dari Simpul 4 ... 12

Gambar 7 Grafik Titik Optimum dan Daerah Penyelesaian ... 13

Gambar 8 Grafik Solusi Metode Branch and Bound ... 14

(5)

1

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Riset operasi adalah salah satu bagian matematika yang mengkaji cara menetapkan arah tindakan terbaik (Optimum) dari sebuah masalah keputusan di bawah pembatas sumber daya yang terbatas. Pada tahun 1947 seorang ahli matematika dari Amerika Serikat yang bernama George D. Danzig menemukan cara menguraikan dan memecahkan persoalan pemograman linear dengan Metode Simpleks.

Pada kenyataanya, tidak semua masalah bisa diselesaikan dengan metode yang biasa digunakan, terutama jika beberapa atau semua variabel yang telah dimodelkan untuk memiliki nilai-nilai bulat (integer). Bukan tugas mudah untuk membulatkan nilai-nilai pecahan variabel yang menjami tetap memenuhi semua kendala dan tidak menyimpang cukup jauh dari solusi bulat yang tepat. Karena diperlukan prosedur yang sistematis untuk mendapatkan solusi optimal terhadap masalah itu.

Bakhtiar S. Abbas (2008) dalam penelitiannya “Sistem Oprimasi Produksi untuk Memaksimalkan Laba” mengatakan masalah yang dihadapi perusahaan saat ini adalah ketidakmampuan perusahaan dalam menentukan jumlah produksi optimal. Hal ini mengakibatkan perusahaan seringkali mengalami kekurangan dan kelebihan produksi yang menyembabkan perusahaan tidak dapat mencapai laba maksimum. Meode yang digunakan dalam menghitung unit produksi untuk mencapai laba adalah Metode Branch and Bound. Dalam makalah ini akan membahas mengenai Metode Branch and Bound.

1.2. Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, penulis merumuskan rumusan masalah sebagai berikut.

1. Apa yang dimaksud dengan Metode Branch and Bound ?

2. Bagaimanakah langkah – langkah menyelesaikan Metode Branch and Bound ?

3. Bagaimanakah contoh permasalahan Metode Branch and Bound ?

(6)

1.3. Tujuan

Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut : 1. untuk mengetahui pengertian Metode Branch and Bound;

2. untuk mengetahui langkah – langkah menyelesaikan Metode Branch and Bound;

3. untuk mengetahui contoh permasalahan Metode Branch and Bound.

1.4. Manfaat

Dapat menambah pengetahuan dan wawasan tentang bagaimana cara penyelesaiaan menentukan jumlah produksi optimal dengan menggunakan Metode Branch and Bound.

1.5. Metode

Metode yang digunakan dalam pengumpulan data adalah metode studi pustaka, metode deskriptif dalam menganalisis data, dan metode informal dalam penyajian hasil analisis.

(7)

3

BAB II PEMBAHASAN

Metode branch and bound bukan teknik solusi khusus terbatas pada masalah program linier bilangan bulat. Ini adalah pendekatan solusi yang dapat diterapkan pada sejumlah jenis masalah. Cabang dan pendekatan metode ini didasarkan pada prinsip bahwa total set solusi yang layak dapat dipartisi menjadi himpunan bagian solusi yang lebih kecil. Himpunan bagian yang lebih kecil itu kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi terbaik ditemukan. Kapan branch and bound diterapkan pada masalah program linier bilangan bulat, itu digunakan dalam hubungannya dengan pendekatan solusi bilangan rasional (Bima & Wijaya, 2016).

Metode branch and bound mempunyai beberapa langkah:

1. Selesaikan masalah program linier dengan metode biasa (simpleks) yaitu dengan bilangan real (biasa).

2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel basis yang diharapkan berbentuk bilangan bulat, maka pekerjaan telah selesai. Solusi itu adalah solusi optimum. Tetapi bila solusinya bukan bilangan bulat, maka lakukan langkah selanjutnya.

3. Nilai solusi yang tidak bulat yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah, dengan tujuan untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan bilangan bulat. Pencabangan ini dilakukan dengan kendala- kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat.

4. Untuk setiap sub masalah, nilai solusi optimum kontinu (tak bulat) fungsi tujuan dijadikan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya ini adalah solusi kontinu yang dibulatkan ke bawah). Sub-sub masalah yang mempunyai batas atas kurang dari batas bawah yang ada tida diikutsertakan dalam analisis selanjutnya. Suatu solusi bulat, layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk semua sub masalah yang dicari. Jika solusi demikian ada, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan, kemudian kembali ke langkah 3.

(8)

Kita akan mencoba metode branch and bound pada penyelesaian Contoh 1 berikut.

Contoh 1

Pemilik suatu toko mesin berencana untuk mengembangkan usahanya dengan membeli beberapa mesin press dan mesin bubut baru. Pemilik memperkirakan bahwa setiap mesin press yang dibeli akan meningkatkan laba sebesar $100 per hari dan setiap mesin bubut akan meningkatkan laba sebesar $150 setiap hari.

Jumlah mesin yang dapat dibeli pemilik dibatasi oleh harga mesin dan ruang yang tersedia di toko. Harga pembelian alat berat dan persyaratan ruang adalah sebagai berikut.

Mesin Kebutuhan Ruangan (Kaki) Harga Barang

Mesin Press 15 $8000

Mesin Bubut 30 $4000

Sang pemilik toko memiliki budget sebesar $40.000 untuk membeli mesin-mesin tersebut dan 200 kaki persegi untuk luas ruangan yang tersedia. Pemilik toko ingin mengetahui ia harus membeli berapa mesin press dan berapa mesin bubut agar dapat meningkatkan keuntungannya dengan maksimal.

Penyelesaian

Berdasarkan masalah tersebut kita dapat membuat model matematikanya sebagai berikut.

Maksimumkan 𝑍 = 100𝑥₁+ 150𝑥₂ dp. 8000𝑥₁+ 4000𝑥₂ ≤ $40000

15𝑥₁+ 30𝑥₂ ≤ 200 𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0 dan bilangan bulat

di mana 𝑥₁ = mesin press dan 𝑥₂ = mesin bubut

Variabel keputusan dalam model ini dibatasi untuk seluruh mesin. Fakta bahwa keduanya variabel keputusan, 𝑥₁, dan 𝑥₂, dapat mengasumsikan nilai

(9)

5

integer lebih besar dari atau sama dengan nol apa yang memberi model ini penunjukannya sebagai model integer total. Kita mulai metode brach and bound dengan terlebih dahulu menyelesaikan masalah sebagai masalah program linear biasa tanpa batasan bilangan bulat (untuk kemudian dilanjutkan prosesnya).

Model pemograman linear untuk masalah dan solusi optimalnya adalah 𝑥₁ = 2,22 dan 𝑥₂ = 5,56 dengan 𝑍 = 1055,56.

Metode branch and bound menggunakan diagram yang terdiri dari simpul dan cabang sebagai kerangka kerja untuk proses pencarian solusi. Simpul pertama dari metode branch and bound ditunjukkan pada Gambar 1, yaitu berisi solusi pemograman linear biasa yang telah dibahas sebelumnya dan solusi pembulatannya.

Gambar 1 Solusi Metode Branch and Bound pada Simpul Pertama

Perhatikan bahwa simpul ini memiliki dua batas yang ditunjuk, batas atas (BA) yaitu $1055,56 dan batas bawah (BB) $950. Batas bawah adalah nilai Z untuk solusi bilangan bulat 𝑥₁ = 2 dan 𝑥₂ = 5. Sedangkan batas atas adalah nilai Z untuk solusi biasa, 𝑥₁ = 2,22 dan 𝑥₂ = 5,56. Solusi bilangan bulat optimal akan berada di antara dua batas ini. Pembulatan ke bawah dapat menghasilkan solusi sub-optimal. Dengan kata lain, kita berharap bahwa nilai Z lebih besar dari

$950, dan itu sangat dimungkinkan. Kita tidak perlu khawatir bahwa nilai optimumnya akan lebih rendah dari $950 karena itu akan terbantahkan oleh sub- solusi Z = $950 ini. Dengan demikian, $950 mewakili batas bawah untuk solusi kita. Dikarenakan Z = $1055,56 mencerminkan titik solusi optimal pada ruang solusi layak, nilai Z yang lebih besar tidak mungkin diperoleh. Karenanya Z =

$1055,56 adalah yang teratas pada solusi kita.

(10)

Sekarang, solusi optimum telah dipersempit ke nilai antara batas atas dan batas bawah, untuk itu kita harus menguji solusi dalam batas ini untuk menentukan yang terbaik. Langkah pertama dalam metode branch and bound adalah membuat dua himpunan bagian solusi dari solusi sederhana pada simpul pertama tersebut. Perhatikan solusi pada simpul pertama yaitu :

Pilihlah bilangan yang memiliki pecahan terbesar, yaitu 0,56 pada 𝑥₂ = 5,56 sedemikian sehingga 𝑥₂ akan menjadi variabel yang kita cabangkan.

Karena 𝑥₂ haruslah berupa bilangan bulat, maka kita harus membuat batasan baru agar solusi optimal tidak berada di antara 5 dan 6 seperti berikut :

Dengan kata lain, 𝑥₂ dapat saja bernilai positif berapapun selama lebih kecil dari 5 dan lebih besar dari 6. Pembatas tersebut membatasi solusi 𝑥₂ untuk menghasilkan bilangan pecahan antara 5 dan 6, sehingga otomatis akan menghasilkan solusi optimum alternatif yang lain. Setiap kendala tersebut akan ditambahkan ke model program linear yang sebelumnya telah dibuat dan diselesaikan, untuk kemudian akan dipecahkan secara normal untuk menentukan solusi alternatif. Urutan kejadian tersebut ditunjukkan pada cabang dan simpul berupa diagram pada Gambar 2. Solusi pada simpul 2 dan 3 akan menjadi solusi alternatif yang diperoleh dengan memecahkan model dengan kendala yang telah ditambahkan.

𝑥₁ = 2,22 𝑥₂ = 5,56

𝑥₂ ≤ 5 𝑥₂ ≥ 6

(11)

7

Gambar 2 Solusi dan Sub-solusi untuk Cabang Pertama

Apabila kita buat model program linear tersebut untuk simpul kedua, maka akan diperoleh sebagai berikut.

15𝑥₁+ 30𝑥₂ ≤ 200 𝑥₂ ≤ 5

𝑥₁, 𝑥₂ ≥ 0 dan bilangan bulat

Untuk lebih memudahkan, kita dapat menggunakan POM-QM dalam menyelesaikan masalah untuk tiap cabang pada proses metode branch and bound.

Pada simpul kedua tersebut didapatkan 𝑥₁ = 2,5 dan 𝑥₂ = 5 dengan 𝑍 = 1000.

Sedangkan untuk simpul ketiga, model matematika yang telah ditambahkan kendala baru tersebut adalah sebagai berikut.

15𝑥₁+ 30𝑥₂ ≤ 200 𝑥₂ ≥ 6

Simpul ketiga tersebut didapatkan sub-solusi 𝑥₁ = 1,33 dan 𝑥₂ = 6 dengan 𝑍 = 1033,33.

(12)

Gambar 3 Solusi dan Sub-solusi pada Grafik Masalah Contoh 1

Kedua simpul itu tetap menghasilkan 𝑥₁ dan 𝑥₂ yang bukan bilangan bulat, sehingga perlu dilakukan pencabangan ulang untuk kedua simpul tersebut. Untuk lebih jelas mengenai daerah penyelesaian dalam masalah tersebut dapat diperhatikan Gambar 2.

Namun, sub-solusi untuk simpul 2 dan simpul 3 masih bukan berupa bilangan bulat, sehingga masih perlu untuk membuat cabang berikutnya. Agar lebih memudahkan pembahasan, perhatukan Gambar 4.

(13)

9

Gambar 4 Solusi dan Sub-solusi pada Grafik Masalah Contoh 1

Karena belum memiliki solusi bilangan bulat yang optimal dan layak, harus terus membuat cabang (misal partisi) pada model tersebut, yaitu dari simpul 2 atau simpul 3. Perhatikan Gambar 4 mengungkapkan bahwa jika bercabang dari simpul 2, nilai maksimum yang mungkin dapat dicapai adalah $1000 (batas atas).

Namun, jika bercabang dari simpul 3, nilai maksimum yang lebih tinggi dari

$1033 mungkin dapat diraih. Jadi, kita membuat cabang dari simpul 3.

Batas bawah pada masing-masing simpul adalah solusi integer maksimum.

Karena tak satu pun dari solusi santai ini benar-benar bilangan bulat, batas bawah tetap $950, nilai solusi integer sudah diperoleh pada simpul 1 untuk solusi bilangannya. Diagram pada Gambar 4 mencerminkan penambahan cabang dari batas atas dan bawah di setiap simpul.

Dikarenakan pada simpul ketiga ini didapatkan nilai solusi optimum berupa 𝑥₁ = 1,33 dan 𝑥₂ = 6 dengan 𝑍 = 1033, maka akan membuat cabang dengan batasan baru dari nilai 𝑥₁ yang bukan merupakan bilangan bulat. Batasan baru ini akan membatasi solusi yang dihasilkan bukan berupa bilangan antara 1 sampai 2

(14)

(bukan 1,33) sehingga diharapkan nilai 𝑥₁ yang dihasilkan bilangan bulat (meskipun tidak ada jaminan). Berdasarkan analisis tersebut, maka model matematika pada percabangan dari simpul ketiga ini adalah sebagai berikut.

Untuk simpul keempat, akan menambahkan batasan 𝑥₁ ≤ 1 sehingga didapatkan model matemaika sebagai berikut.

Maksimumkan Z = 100𝑥₁+ 150𝑥₂ dp. 8000𝑥₁+ 4000𝑥₂ ≤ $40000

15𝑥₁+ 30𝑥₂ ≤ 200 𝑥₂ ≥ 6

𝑥₁ ≤ 1

Pada simpul keempat ini, dengan model di atas dengan metode simpleks didapatkan solusi 𝑥₁ = 1 dan 𝑥₂ = 6,17 dengan 𝑍 = 1025. Hasil pada simpul keempat ini masih juga tidak keduanya (𝑥₁ dan 𝑥₂) berupa bilangan bulat.

Untuk simpul kelima, akan ditambah batasan 𝑥₁ > 2 sehingga didapatka model seperti berikut :

Maksimumkan 𝑍 = 100𝑥₁+ 150𝑥₂ dp. 8000𝑥₁+4000𝑥₂ ≤ $40000

15𝑥₁+ 30𝑥₂ ≤ 200 𝑥₂ ≤ 6

𝑥₁ ≥ 2

Pada simpul kelima ini, dengan menggunakan metode simpleks didapatkan tidak ada solusi yang layak untuk model tersebut. Hasil simpul kelima dapat dipahami melalui Gambar 5 berikut :

(15)

11

Gambar 5 Tidak Ada Penyelesaian yang Layak untuk Simpul Kelima Dikarenakan simpul keempat dan kelima masih belum mendapatkan solusi bilangan bulat, maka diperlukan proses pencabangan. Proses pencabangan akan dibuat dari simpul keempat karena pada simpul kelima tidak didapatkan solusi yang layak.

Pada simpul keempat, kita mendapatkan solusi 𝑥₁ = 1 dan 𝑥₂ = 6,17 dengan Z = 1025. Oleh karena itu, kita akan membatasi agar nilai 𝑥₂ tidak berupa bilangan diatara 6 dan 7 dengan pertidaksamaan 𝑥₂ ≤ 6 dan 𝑥₂ ≥ 7.

Sesuai dengan analisis diatas, untuk simpul keenam kita akan menambahkan batasan 𝑥₂ ≤ 6 sehingga didapatkan model matematika sebagai berikut.

15𝑥₁+ 30𝑥₂ ≤ 200 𝑥₂ ≥ 6

𝑥₁ ≤ 1 𝑥₂ ≤ 6

(16)

Gambar 6 Pembuatan Simpul 6 dan 7 dari Simpul 4

Dapat diperhatikan bahwa pada model matematika di atas, terdapat dua pertidaksamaan untuk 𝑥₂ yaitu 𝑥₂ ≥ 6 dan 𝑥₂ ≤ 6. Kedua pertidaksamaan ini berakibat 𝑥₂ = 6 yang merupakan bilangan bulat, digabungkan dengan 𝑥₁ yang memang sudah bernilai bulat. Model matematika pada simpul keenam ini

“memaksa” agar solusi yang dihasilkan berupa bilangan bulat. Jadi, Anda tidak perlu khawatir dengan tidak adanya bilangan bulat yang memenuhi. Selama model tersebut memiliki penyelesaian, maka akan selalu ditemukan solusi bilangan bulatnya. Pada simpul keenam ini, didapatkan solusi 𝑥₁ = 1 dan 𝑥₂ = 6 dengan Z = 1000.

Sedangkan untuk simpul ketujuh, kita akan menambahkan batasan 𝑥₂ ≥ 7 sehingga didapatkan model matematika sebagai berikut.

15𝑥₁+ 30𝑥₂ ≤ 200 𝑥₂ ≥ 6

𝑥₁ ≤ 1 𝑥₂ ≤ 6 𝑥₂ ≥ 7

(17)

13

Pada simpul ketujuh ini juga tidak didapatkan solusi yang layak.

Gambar 7 Grafik Titik Optimum dan Daerah Penyelesaian

Dari hasil penyelesaian simpul keenam dan ketujuh, kita telah mendapatkan solusi bilangan bulat yang layak. Kita dapat mengambil kesimpulan solusi bilangan bulat untuk Contoh 1 tersebut adalah 𝑥₁ = 1 dan 𝑥₂ = 6 dengan Z = 1000. Hasil ini lebih baik apabila dibandingkan dengan hasil pembulatan 𝑥₁ = 2 dan 𝑥₂ = 5 dengan Z = 950.

(18)

Gambar 8 Grafik Solusi Metode Branch and Bound

(19)

15

BAB III PENUTUP

3.1. Kesimpulan

Metode branch and bound adalah pendekatan solusi yang dapat diterapkan pada sejumlah jenis masalah. Cabang dan pendekatan metode ini didasarkan pada prinsip bahwa total set solusi yang layak dapat dipartisi menjadi himpunan bagian solusi yang lebih kecil. Himpunan bagian yang lebih kecil itu kemudian dapat dievaluasi secara sistematis sampai solusi terbaik ditemukan.

Langkah – langkah metode branch and bound :

1. Selesaikan masalah program linier dengan metode biasa (simpleks) yaitu dengan bilangan real (biasa).

2. Teliti solusi optimumnya. Apabila variabel basis yang diharapkan berbentuk bilangan bulat, maka pekerjaan telah selesai. Solusi itu adalah solusi optimum. Tetapi bila solusinya bukan bilangan bulat, maka lakukan langkah selanjutnya.

3. Nilai solusi yang tidak bulat yang layak dicabangkan ke dalam sub-sub masalah, dengan tujuan untuk menghilangkan solusi yang tidak memenuhi persyaratan bilangan bulat. Pencabangan ini dilakukan dengan kendala-kendala mutually exclusive yang perlu untuk memenuhi persyaratan bulat.

4. Untuk setiap sub masalah, nilai solusi optimum kontinu (tak bulat) fungsi tujuan dijadikan sebagai batas atas. Solusi bulat terbaik menjadi batas bawah (pada awalnya ini adalah solusi kontinu yang dibulatkan ke bawah). Sub-sub masalah yang mempunyai batas atas kurang dari batas bawah yang ada tida diikutsertakan dalam analisis selanjutnya. Suatu solusi bulat, layak adalah sama baik atau lebih baik dari batas atas untuk semua sub masalah yang dicari. Jika solusi demikian ada, suatu sub masalah dengan batas atas terbaik dipilih untuk dicabangkan, kemudian kembali ke langkah 3.

(20)

16

DAFTAR PUSTAKA

Darta, S.Pd., M.Pd., Thesa Kandaga, S.Si., M.Pd. (2019). Program Linear dan Aplikasinya . Bandung : PT Refika Aditama.

Sari Devi Purba, Faiz Ahyaningsih. (2020). Integer Programming dengan Metode Branch and Bound dalam Optimasi Jumlah Produksi Setiap Jenis Roti pada PT. Arma Anugerah Abadi. Karismatika, 21-22.

Wahyudin Nur, Nurul Mukhlis Abdal. (2016). Penggunaan Metode Branch and Bound dan Gomory Cut dalam Menentukan Solusi Integer Linear Programing. Jurnal Saintifik, 9-10.