MODUL AJAR MATEMATIKA BARISAN DAN DERET

(1)

MODUL AJAR MATEMATIKA BARISAN DAN DERET

Disusun oleh:

KAMILUL MUTTAQIN

SMA NEGERI 8 PANDEGLANG

(2)

Mata Pelajaran : Matematika

Fase : Fase E

Nama Penyusun : MGMP Matematika

Instansi : SMA Negeri 8 Pandeglang

IDENTITAS

MODUL AJAR

BARISAN DAN DERET

(3)

Elemen Capaian Pembelajaran Tujuan Pembelajaran Alur Tujuan Pembelajaran

1. Bilangan Di akhir fase E, peserta didik dapat menggeneralisasi sifat-sifat bilangan berpangkat (termasuk bilangan pangkat pecahan).

Mereka dapat menerapkan barisan dan deret aritmetika dan geometri, termasuk masalah yang terkait bunga tunggal dan bunga majemuk.

1.1. Menggeneralisasi sifat-sifat bilangan berpangkat

1.2. Menerapkan barisan dan deret aritmetika dan geomet

Tahap 2 : Barisan dan deret 1.2. Menerapkan barisan dan

deret aritmetika dan geometri

1. Kreatif

2. Bernalar kritis

B. PETA KEDUDUKAN MODUL

A. ALUR TUJUAN PEMEBALAJARAN

C. PROFIL PELAJAR PANCASILA

Bilangan

1. Bilangan Berpangkat

1.1. Menentukan pola dari suatu barisan

1.2. Menjelaskan pengertian barisan aritmetika 2. Barisan dan Deret

(4)

1. Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian, dan Perpangkatan bilangan

Tujuan Pembelajaran

Kriteria Ketercapaian Tujuan Pembelajaran

(KKTP)

Asesmen Langkah Pembelajaran

1.2. Menentukan pola dari suatu barisan bilangan

1.1.1. Menyatakan beda (selisih yang konstan/tetap antar bilangan) dari pola barisan

bilangan aritmetika.

1.1.2. Menyatakan rasio (perbandingan yang konstan/tetap antar bilangan) dari

a. Asesmen awal

Apakah anda dapat Y T Menyatakan Penjumlahan,

Pengurangan, Perkalian, Pembagian, dan Perpangkatan bilangan

Menyatakan Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, Pembagian, dan Perpangkatan berulang sebagai pola bilangan

Pertemuan 1 (2 JP)

1. Guru mempersiapkan peserta didik untuk mengikuti pembelajaran

2. Guru memberikan penjelasan yang akan dipelajari dengan menayangkan video animasi serta penjelasan materi pembelajaran

3. Guru memberikan pretest

4. Peserta didik dibagi dalam beberapa kelompok

5. Peserta didik menyelesaikan tugas yang tertera dalam LKPD

D. PRASYARAT/KOMPETENSI AWAL

E. LANGKAH PEMBELAJARAN

(5)

pola barisan bilangan geometri

b. Asesmen proses

Apakah anda dapat Y T Menentukan pola dari suatu barisan

bilangan

Menjelaskan pengertian barisan aritmetika

Menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmetika

Menyelesaikan masalah

kontekstual yang terkait dengan barisan aritmetika

6. Guru memberikan bimbingan dalam menyelesaikan LKPD

7. Peserta didik mempresentasikan hasil diskusi kelompok secara bergiliran, secara random.

8. Peserta didik dan guru membuat kesimpulan hasil pembelajaran

9. Peserta didik mengerjakan latihan soal asesmen mandiri

10. Peserta didik dan guru melakukan refleksi pembelajaran

11. Peserta didik dan guru menutup pembelajaran

Tujuan Pembelajaran Kriteria Ketercapaian

Tujuan Pembelajaran (KKTP) Ceklist

1.2. Menentukan pola dari suatu barisan bilangan

2.2.1 Menyatakan beda (selisih yang konstan/tetap antar bilangan) dari pola barisan bilangan aritmetika.

2.2.2 Menyatakan rasio (perbandingan yang konstan/tetap antar bilangan) dari pola barisan bilangan geometri

F. ASESMEN AKHIR

(6)

a. Remidial

Memberikan pembelajaran tambahan/pengulangan peserta didik yang memiliki kemampuan di bawah rata-rata.

b. Pengayaan

Mengembangkan peserta didik yang memiliki kemampuan di atas rata-rata untuk membantu peserta didik lain sebagai tutor sebaya.

REFLEKSI GURU

 Apakah pembelajaran yang saya lakukan sudah sesuai dengan apa yang saya rencanakan?

 Bagian rencana pembelajaran manakah yang sulit dilakukan?

 Apa yang dapat saya lakukan untuk mengatasi hal tersebut?

 Berapa persen siswa yang berhasil mencapai tujuan pembelajaran?

 Apa kesulitan yang dialami oleh siswa yang belum mencapai tujuan pembelajaran?

 Apa yang akan saya lakukan untuk membantu mereka?

REFLEKSI SISWA



Apakah kalian memahami konsep materi yang dipelajari hari ini?



Pada bagian mana yang belum kalian pahami?



Apakah LKPD membantu kalian memahami materi hari ini?

□ Kegiatan Pendahuluan

• Salah satu siswa (ketua kelas) memimpin berdoa untuk menumbuhkan perilaku religius

• Salah satu siswa (ketua kelas) melaporkan kehadiran siswa lain sebagai pembiasaan perilaku jujur dan disiplin

• Siswa mencermati informasi tentang manfaat mempelajari barisan bilangan contohnya soal TPS pada UTBK untuk seleksi masuk perguruan tinggi negeri

• Siswa diberikan beberapa soal sederhana tentang fungsi linear dan fungsi kuadrat sebagai materi prasyarat mempelajari barisan bilangan.

10 menit

H. REFLEKSI

I. RENCANA DETAIL LANGKAH PEMBELAJARAN

G. PENGAYAAN DAN REMEDIAL

(7)

• Siswa mencermati informasi tentang tujuan pembelajaran yang akan dicapai yaitu menentukan pola dari suatu barisan bilangan

• Siswa mencermati informasi tentang asesmen yang dilakukan yaitu asesmen kelompok dan asesmen individu

• Siswa mencermati informasi tentang prosedur pembelajaran, yaitu :

o Memperhatikan penjelasan awal dari guru tentang barisan bilangan o Membentuk kelompok diskusi @ 2 - 4 orang

o Mendiskusikan masalah yang ada pada LKPD-1 o Menyiapkan laporan hasil diskusi

o Perwakilan kelompok mempresentasikan hasil diskusi dan siswa lain menanggapi

o Menyimpulkan pengertian barisan bilangan o Mengerjakan latihan soal

• Mengerjakan kuis

□ Kegiatan inti

Fase 1:

Orientasi siswa pada masalah

• Siswa memperhatikan beberapa contoh masalah tentang barisan bilangan yang disajikan guru menggunakan bantuan power point dan menonton video pembelajaran

• siswa mengamati dan memahami masalah secara individu dan dipersilakan mengajukan pertanyaan terkait hal-hal yang belum dipahami terkait masalah yang disajikan.

60 menit Fase 2:

Mengorganisasi kan siswa belajar

• Siswa dikelompokkan dengan anggota 2 – 4 siswa dengan mempertimbangkan sisi kemampuan, gender, budaya, maupun agama sesuai pembagian kelompok yang telah direncanakan oleh guru.

• Siswa menerima Lembar Kegiatan Siswa (LKPD) yang dibagikan oleh guru

Siswa diminta berdiskusi dalam kelompok untuk menyelesaikan masalah 1 s.d. masalah 5 pola barisan bilangan yang ada di dalam LKPD-1

Siswa yang mengalami kesulitan dalam memahami materi diberi kesempatan bertanya pada guru.

Siswa diberi bantuan berkaitan dengan kesulitan yang dialami siswa secara individu, kelompok, atau klasikal.

Siswa diminta bekerja sama untuk mencari pola barisan bilangan dari masalah 1-5 dan strategi pemecahan masalah.

Fase 3:

Membimbing penyebatangkan individu dan kelompok

• siswa diminta mengamati hubungan/ pola/ aturan tertentu pada setiap masalah yang diajukan, jika perlu diberikan stimulasi pertanyaan, contoh pertanyaan :

▪ Pada masalah-4 setiap berapa kali terjadi perulangan?

▪ Pada masalah-5 jika kita akan menghitung suku ke 2000 terdiri dari kelompok bilangan apa saja?

▪ Hanya satuankah?

▪ Apakah cukup satuan dan puluhan?

(8)

• Siswa diminta mendiskusikan cara yang digunakan untuk menemukan semua kemungkinan dari masalah yang ada dalam lembar kegiatan siswa.

Fase 4:

Mengembangkan dan menyajikan hasil karya

Siswa diminta menyiapkan laporan hasil diskusi kelompok (Guru berkeliling mencermati siswa bekerja menyusun laporan hasil diskusi, dan memberi bantuan, bila diperlukan)

Siswa diminta menentukan perwakilan kelompok secara musyawarah untuk menyajikan (mempresentasikan) laporan di depan kelas.

Fase 5:

Menganalisa dan mengevaluasi proses pemecahan masalah

• Siswa yang lain didorong untuk responsif dengan memberikan tanggapan secara kritis.

• Siswa dilibatkan untuk mengevaluasi laporan kelompok penyaji serta masukan dari siswa yang lain dan membuat kesepakatan, bila jawaban yang disampaikan siswa sudah benar

• Siswa dari kelompok lain yang mempunyai jawaban berbeda dari kelompok penyaji diberi kesempatan untuk mengkomunikasikan hasil diskusi kelompoknya secara runtut, dan sopan. Apabila ada lebih dari satu kelompok, maka siswa diminta bermusyawarah untuk menentukan urutan penyajian

• Siswa diminta membuat kesimpulan tentang pengertian barisan bilangan

• Siswa diminta mengerjakan latihan soal

□ Kegiatan Penutup

• Guru bersama siswa melakukan refleksi untuk mengidentifikasi kelebihan dan kekurangan kegiatan pembelajaran serta manfaat baik secara langsung maupun tidak langsung

• Siswa mengerjakan kuis

• Siswa diberikan tugas terstruktur untuk membuat 3 soal dan solusi tentang pola bilangan

• Siswa mendengarkan arahan guru untuk tetap semangat dalam belajar serta membaca materi pada pertemuan berikutnya, yaitu barisan aritmetika

• Guru dan siswa menutup pembelajaran

20 menit

(9)

Lembar Kerja Siswa (LKPD)-1

Kelompok :

Barisan Bilangan

1.

2.

3.

4.

Pengertian barisan bilangan

Apabila kalian perhatikan nomor-nomor rumah pada suatu perumahan bahwa nomor rumah sebelah kanan jalan bernomor genap dan sebelah kiri jalan bernomor ganjil. Akan tetapi ada juga yang sebaliknya nomor rumah sebelah kanan jalan bernomor ganjil dan sebelah kiri jalan bernomor genap. Nomor- nomor rumah tersebut adalah salah satu contoh barisan bilangan.

Agar lebih memahami apa itu barisan bilangan, silahkan kalian diskusikan masalah-masalah berikut Ini :

Masalah-1

Siapkan batang korek api. Susunlah batang korek api tersebut menjadi bangun segitiga-segitiga sama sisi seperti pada tabel di bawah ini.

1. Lengkapi tabel berikut ini.

Gambar susunan

Banyak S egitiga sama

sisi

Banyak atang korek

api

Pola hubungan antara banyak segitiga dengan banyak batang korek api 1

2 3

4

5

6

Lampiran Lembar Kerja Peserta Didik

B.9 Menentukan pola dari suatu barisan

(10)

Siapkan batang korek api. Susun batang korek api tersebut menjadi bangun-bangun persegi seperti dalam tabel di bawah. Kemudian lengkapi tabel berikut ini.

2. Pola apakah yang kalian temukan dari tabel di atas?

3. Tanpa mengkonstruksi/menggambar, tentukan berapa banyak batang korek api yang diperlukan untuk mengkonstruksi :

a. 8 buah persegi ? b. 10 buah persegi ? c. 15 buah persegi ? d. n buah persegi ?

Masalah-2

Gambar susunan Banyak

persegi

Banyak batang korek api

pola hubungan antara banyak persegi

dengan banyak batang korek api

1 2 3 4 5 6

2.

Pola apakah yang kalian temukan dari tabel di atas?

3.

Tanpa menggambar, tentukan berapa banyak batang korek api yang diperlukan untuk mengkonstruksi :

a.

10 buah segitiga sama sisi?

b.

12 buah segitiga sama sisi?

c.

20 buah segitiga sama sisi?

d.

n buah segitiga sama sisi?

(11)

Masalah-3

Siapkan batang korek api. Susun batang korek api tersebut menjadi bangun-bangun persegi seperti dalam tabel di bawah.

1. Lengkapi tabel berikut ini.

Gambar susunan

Banya k perseg i

Banyak batang korek api

pola hubungan antara banyak persegi

dengan

banyak batang korek api 1

2

3

4

5 6

2. Pola apakah yang kalian temukan pada tabel di atas.

3. Tanpa mengkonstruksi/menggambar, tentukan berapa banyak batang korek api yang diperlukan untuk mengkonstruksi :

a. 8 buah persegi ? b. 10 buah persegi ? c. 15 buah persegi ? d. n buah persegi ?

(12)

Solusi :

Masalah-4

Andi menuliskan kata MATEMATIKA berulang-ulang sebagai berikut : MATEMATIKAMATEMATIKAMATEMATIKA…

Amati barisan huruf di atas. Tentukan huruf ke-2020

Masalah-5

Nakula menuliskan barisan bilangan asli sebagai berikut : 12345678910111213141516171819202122 . . .

Sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11= 0 dan suku ke-12 = 1 dan seterusnya.

Dapatkah kalian menemukan suku ke-2000?

Kesimpulan

Barisan bilangan adalah

(13)

Asesmen Mandiri

1. Tulislah dua suku berikutnya dalam setiap barisan berikut ini dan berikan alasannya.

a.

b.

c.

1, 3, 5, … 3, 9, 27, …

e.

2. Tentukan tiga suku pertama dari barisan yang diketahui dengan rumus berikut ini . (Un : adalah rumus suku ke-n)

a. Un = 3n + 1 b. Un = n² + n

c. Un=

n + 2 n +1

3. a. Tulislah tiga suku pertama dari barisan yang ditentukan oleh Un = 4n – 3 b. Suku berapaka dari barisan itu yang besarnya 157?

4. a. Tentukan pola barisan dari b. Tentukan banyak suku dari barisan di atas.

(14)

BAHAN AJAR

BARISAN DAN DERET

ARITMETIKA

BY : KAMILUL MUTTAQIN

(15)

PENGERTIAN

Pola bilangan adalah aturan yang

digunakan untuk membentuk kelompok bilangan

Contoh :

1, 3, 6, 10 , .... → n(n+1)/2 1, 4, 9, 16 , .... → n ²

POLA BILANGAN

(16)

A. Barisan Aritmetika

Definisi

Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b.

Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini.

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 2, 8, 14, 20, ... Barisan

c. 30, 25, 20, 15, ... Aritmetika

Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu

merupakan bilangan tetap (konstan).

(17)

Contoh :

a. 1, 4, 7, 10, 13, ... , ………

+3 +3 +3 +3

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3.

b. 2, 8, 14, 20, ...

+6 +6 +6

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari

suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan

bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

(18)

c. 30, 25, 20, 15, ...

–5 –5 –5

Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah –5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya –5 atau b = –5.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un – 1.

1

(19)

U = a

U = U + b = a + b

U = U + b = (a + b) + b = a + 2b U = U + b = (a + 2b) + b = a + 3b U = U + b = (a + 3b) + b = a + 4b

. . .

U = U + b = a + (n – 1)b

Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n

a = suku pertama b = beda

n = banyak suku

U = a + (n – 1)b

1 2 1

3 2 4 3

5 4

n

− 1

n

(20)

Contoh 1 :

Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan –3, 2, 7, 12, ....

Jawab:

–3, 2, 7, 12, …

Suku pertama adalah a = –3 dan bedanya b = 2 – (–3) = 5.

Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : U = –3 + (n – 1)5.

Suku ke-8 : U = –3 + (8 – 1)5 = 32.

Suku ke-20 : U = –3 + (20 – 1)5 = 92.

n

8

20

(21)

Contoh 2 :

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Tentukan banyak suku barisan tersebut.

Jawab:

Diketahui barisan aritmetika –2, 1, 4, 7, ..., 40.

Dari barisan tersebut, diperoleh a = –2, b = 1 – (–2) = 3,dan

U = 40.

Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga;

40 = –2 + (n – 1)3 40 = 3n – 5

3n = 45

Karena 3n = 45, diperoleh n = 15.

Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

n

(22)

B. Deret Aritmetika

Definisi

Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S .

Dengan demikian, S = U1 + U2 + U3 + ... + U .

Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut :

Misalkan U1, U2, U3, ..., Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U1 + U2 + U3 + ... + U disebut deret aritmetika, dengan U = a + (n – 1)b. n

n

(23)

Contoh 1 :

Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14.

Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut.

Jawab:

Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut.

S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2

2S = 16 + 16 + 16 + 16 + 16 2S = 5 x 16

S = S = 40

Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

5 5

5 5 ⁵

5

2

16 5 

(24)

Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah

U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu,

U = a = a

U = a + b = U – (a – 2)b U = a + 2b = U – (n – 3)b

. . .

U = a + (n – 1)b = U

n

1 2 3

n n

(25)

Dengan demikian, diperoleh ;

S = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b)

= a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) + ... + U

... (1) Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya.

U = U – b

U = U – b = U – 2b U = U – b = U – 3b

Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan

S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2b) + (U – b) + U ... (2)

n

n n n

− 1 n

− 1 2 n

n −

− 2 n

− 3 n

n

n n

n n n n n

(26)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ;

S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) + ... +U S = U + (U – b) + (U – 2b) + ... + a

2S = (a + U ) + (a + U )+ (a + U ) + ... + (a + U )

n suku

Dengan demikian, 2S = n(a + U ) S = n(a + U )

S = n(a + (a + (n – 1)b)) S = n(2a + (n – 1)b)

n n ⁿ n

n n n ⁿ

n n n n n

n n

n

2 1

n

(27)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah

Keterangan:

S = jumlah n suku pertama a = suku pertama

b = beda

U = suku ke-n n = banyak suku Sn = (a + U) atau

Sn = [2a + (n – 1)b]

(28)

Contoh 2:

Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +....

Jawab:

Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100.

S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2}

= 50 {4 + 198}

= 50 (202)

= 10.100

Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10.100.

100

2

1

(29)