MATRIKS KUASIDEFINIT SUGENG MULYADI

(1)

MATRIKS KUASIDEFINIT

SUGENG MULYADI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(2)

SUGENG MULYADI. Matriks Kuasidefinit. Dibimbing oleh FARIDA HANUM dan SISWANDI.

Matriks kuasidefinit adalah matriks simetrik yang dipartisi menjadi empat blok dan memuat matriks definit positif. Matriks ini, mempunyai sifat-sifat yang dapat diterapkan untuk menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika, khususnya pada bidang riset operasi. Sifat-sifat yang dibuktikan adalah: pertama, matriks kuasidefinit merupakan matriks taksingular; kedua, invers dari matriks kuasidefinit merupakan matriks kuasidefinit; dan ketiga, matriks kuasidefinit merupakan matriks strongly factorizable.

(3)

ii

ABSTRACT

SUGENG MULYADI. Quasidefinite Matrices. Supervised by FARIDA HANUM and SISWANDI.

Quasidefinite matrix is a symmetric matrix partitioned into four blocks, which contain positive definite matrices. The matrix has properties which are applicable to solve mathematical problems, especially in operations research. There are three proven properties, i.e. quasidefinite matrix is a nonsingular matrix, the inverse of quasidefinite matrix is also a quasidefinite matrix, and quasidefinite matrix is a strongly factorizable matrix.

(4)

MATRIKS KUASIDEFINIT

SUGENG MULYADI

G5410130

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar

Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(5)

iv

Judul : Matriks Kuasidefinit

Nama : Sugeng Mulyadi

Nrp :

G54101030

Menyetujui,

Pembimbing I,

Dra. Farida Hanum, M.Si.

NIP. 19651019 199103 2 002

Pembimbing

II,

Drs. Siswandi, M.Si.

NIP. 19640629 199103 1 001

Mengetahui,

Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Institut Pertanian Bogor

Dr.Drh. Hasim, DEA

NIP. 19610328 198601 1 002

(6)

merupakan putra pertama dari tiga bersaudara.

Pada tahun 2001, penulis lulus dari SMU Negeri I Cibinong dan pada tahun yang sama diterima di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI-IPB). Penulis terdaftar sebagai mahasiswa Departemen Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor.

Selama mengikuti perkuliahan, penulis pernah menjadi pengurus Gugus Mahasiswa Matematika. Selain itu, penulis pernah menjadi Ketua Masa Perkenalan Jurusan (MPJ) Departemen Matematika tahun 2003.

(7)

vi

PRAKATA

Alhamdulillahirobbil a’lamin, puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT atas segala nikmat, rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam semoga tercurah untuk nabi akhir zaman, yaitu Nabi Muhammad SAW, keluarga, sahabat dan umatnya hingga akhir zaman.

Penulis menyadari bahwa terselesaikannya skripsi ini tidak terlepas dari doa, dukungan, bimbingan, arahan dan bantuan dari berbagai pihak baik langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan rasa hormat dan ucapan terima kasih kepada kedua orang tua, Bapak, Ibu yang selalu mengawasi anaknya dari atas sana, Mama dan Adik-adik tersayang (Ayit dan Ie-ie) atas doa yang tidak pernah putus, lautan kasih sayang yang tidak pernah kering, perhatian dan dukungan baik materiil maupun spiritual.

Kepada Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku Dosen Pembimbing I penulis mengucapkan terima kasih atas doa, kesabaran, saran dan dukungan yang diberikan. Kepada Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku Dosen Pembimbing II atas saran, kritik, motivasi dan bimbingan kepada penulis. Serta Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, MS. selaku Penguji atas saran, kritik dan motivasinya.

Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada Ibu Susi, Ibu Ade, Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri dan semua staf Departemen Matematika. Teman-teman Matematika angkatan 38: Hasif, Helmi, Firman, Ratna, Gresi, Linda, Yana, Isdad, Devi, Evi, Atin, Jati, Meryaldi dkk. Adik-adik kelas Matematika: Yusuf, Amin, Lela, Fitri, Rangga, Idris dkk. atas dukungan, motivasi, saran dan kritik kepada penulis.

Terima kasih juga penulis ucapkan kepada Lina Muryani dan keluarga Citeureup atas kesabaran, semangat, saran dan bantuan yang diberikan selama ini. Dan semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, penulis menerima segala bentuk kritik dan saran yang membangun dari pembaca untuk perbaikan di masa yang akan datang.

Bogor, Agustus 2009

(8)

Halaman

Daftar Lampiran ... viii

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Tujuan ... 1

II LANDASAN TEORI 2.1 Matriks dan Determinan ... 1

2.2 Submatriks ... 3

2.3 Partisi Matriks dan Operasi-Operasinya ... 5

2.4 Matriks Definit dan Semidefinit Positif ... 5

III PEMBAHASAN 3.1 Matriks Kuasidefinit ... 8

3.2 Sifat-sifat Matriks Kuasidefinit ... 8

3.3 Faktorisasi Matriks Kuasidefinit ... 10

IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan ... 13

4.2 Saran ... 13

DAFTAR PUSTAKA ... 14

(9)

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1 Pembuktian Teorema 2.3 ... 16 2 Pembuktian Teorema 2.5 ... 18 3 Pembuktian Teorema 2.6 ... 20 4 Pembuktian Teorema 2.7 ... 20 5 Pembuktian Teorema 2.8 ... 23 6 Pembuktian Teorema 2.9 ... 24 7 Tambahan Contoh 2.14 ... 25

8 Tambahan Bukti Teorema 3.1 ... 26

9 Tambahan Bukti Teorema 3.2 ... 27

(10)

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Matriks merupakan istilah yang digunakan untuk menunjukkan jajaran persegi panjang dari bilangan-bilangan dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Salah satu jenis matriks yang banyak digunakan adalah matriks simetrik. Matriks simetrik adalah matriks yang sama dengan transposnya yaitu matriks yang kolom-kolomnya adalah baris-baris matriks itu sendiri.

Matriks yang dibahas pada tulisan ini adalah matriks kuasidefinit yang dipartisi menjadi empat blok dan memuat matriks definit positif. Matriks ini mempunyai sifat-sifat yang dapat diterapkan untuk

menyelesaikan permasalahan-permasalahan matematika khususnya pada bidang riset operasi, salah satunya adalah mengaplikasikan sifat-sifat matriks kuasidefinit pada metode titik interior (interior-point method).

Semua bahasan materi tentang matriks kuasidefinit pada karya ilmiah ini direkonstruksi dari tulisan Robert J. Vanderbei (1995) yang berjudul Symmetric Quasidefinite Matrices.

1.2 Tujuan

Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk membuktikan beberapa sifat dari matriks kuasidefinit.

II LANDASAN TEORI

Maksud dari bab ini adalah mengingatkan

kembali tentang pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan memberikan penjelasan tentang matriks definit positif dan semidefinit positif serta beberapa sifatnya yang akan berguna dalam memahami tulisan ini secara keseluruhan.

2.1 Matriks dan Determinan Definisi 2.1 (Matriks)

Matriks merupakan kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau bujur sangkar dan setiap matriks akan mempunyai baris dan kolom. Secara umum

matriks yang berukuran dapat ditulis

dengan dengan adalah unsur

matriks pada baris ke- dan kolom ke- , dan 1,2, … , ; 1,2, … , . Matriks dapat ditulis dalam bentuk:

[Leon 2001] Definisi 2.2 (Determinan)

Determinan dari suatu matriks

berukuran , dinyatakan sebagai det

adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks dan didefinisikan sebagai berikut:

det , jika _{, jika}1 ₁

dengan

1 det , 1, … ,

adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari .

[Leon 2001] Berikut ini akan diberikan pengertian beberapa jenis matriks dan sifat-sifatnya yang berhubungan dengan tulisan ini.

Definisi 2.3 (Matriks Transpos)

Transpos dari suatu matriks berukuran

, ditulis adalah matriks berukuran

yang diperoleh dengan mengganti setiap baris dari menjadi kolom dan

sebaliknya, sehingga jika ,

maka .

[Leon 2001] Teorema 2.1 (Beberapa Aturan Aljabar pada Matriks Transpos)

1. 2. 3.

(11)

2

Definisi 2.4 (Matriks Simetrik)

Suatu matriks berukuran disebut

simetrik jika .

[Leon 2001] Contoh 2.1:

Misalkan matriks 4 2 10 22 2 2 2 5 .

Karena matriks , maka matriks

disebut matriks simetrik. Definisi 2.5 (Matriks Satuan) Matriks satuan adalah matriks

berukuran dengan,

1, jika 0, jika

dan berlaku untuk sembarang

matriks berukuran .

[Leon 2001] Definisi 2.6 (Matriks Permutasi)

matriks permutasi, jika pada setiap baris dan kolomnya mempunyai tepat satu entri yang benilai 1 (satu) dan entri yang lainnya bernilai 0 (nol).

[Horn & Johnson 1985] Contoh 2.2:

Matriks 0 1 01 0 0

0 0 1 adalah suatu matriks permutasi dan

1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 21 1 1 3 3 3

adalah suatu permutasi dari baris matriks 1 1 1

2 2 2 3 3 3 .

Definisi 2.7 (Matriks Taksingular dan Matriks Invers)

Suatu matriks berukuran dikatakan taksingular atau mempunyai invers (invertible) jika terdapat matriks sehingga . Matriks disebut sebagai invers perkalian dari .

[Leon 2001]

Contoh 2.3:

Matriks

adalah

invers dari 2 4_{3 1} karena

2 4 3 1 2 4 3 1 1 00 1 . Teorema 2.2 (Sifat Matriks Invers)

Jika adalah suatu matriks yang mempunyai invers (invertible), maka untuk sembarang skalar taknol k, matriks

.

[Anton 2000] Bukti:

Jika k adalah sembarang skalar taknol,

maka untuk membuktikan teorema di atas, sesuai dengan Definisi 2.7 akan ditunjukkan bahwa: . a. . . b. . .

Jadi terbukti bahwa . ■

Teorema 2.3

Suatu matriks berukuran adalah

singular, jika dan hanya jika det 0. [Leon 2001] (bukti di Lampiran 1)

Karena implikasi suatu pernyataan setara dengan kontraposisinya,

~ ~ dan ~ ~

maka ~ ~ . Jadi pernyataan

pada Teorema 2.3 setara dengan pernyataan:

Suatu matriks berukuran adalah

(12)

Teorema 2.4

Jika adalah matriks taksingular, maka merupakan matriks taksingular dan

.

[Anton 2000] Bukti:

Sesuai dengan Definisi 2.7 akan

ditunjukkan . Dari

Teorema 2.1 diperoleh:

• •

Jadi terbukti bahwa . ■

Definisi 2.8 (Matriks Segitiga)

matriks segitiga atas (upper triangular) jika

0 untuk dan matriks segitiga

bawah (lower triangular) jika 0 untuk

. disebut juga matriks segitiga

(triangular) jika matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah.

[Leon 2001] Contoh 2.4: 3 2 1 0 2 0 0 0 1 dan 1 0 0 6 2 0 0 5 0

keduanya adalah matriks segitiga. Yang pertama adalah matriks segitiga atas dan yang kedua adalah matriks segitiga bawah.

Definisi 2.9 (Matriks Diagonal)

matriks diagonal jika 0 untuk .

[Leon 2001] Contoh 2.5: 1 0 0 1 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 semuanya adalah matriks diagonal. Suatu matriks diagonal adalah matriks segitiga atas juga matriks segitiga bawah.

2.2 Submatriks

Berikut ini akan diberikan pengertian tentang submatriks dan jenis-jenisnya yang berhubungan dengan tulisan ini.

Definisi 2.10 (Submatriks)

Suatu submatriks dari matriks adalah matriks yang diperoleh dengan meng-hilangkan baris dan/atau kolom dari . Perlu diketahui bahwa sembarang matriks adalah submatriks dari matriks itu sendiri, yaitu dengan menghilangkan 0 (nol) baris dan 0 (nol) kolom.

[Harville 2008] Contoh 2.6:

Misalkan diberikan matriks 2 1 2 3 1 2 0 6

1 3 6 9 .

Jika baris kedua dari matriks dihilangkan, maka diperoleh submatriks

2 1 2 3 1 3 6 9 .

Jika baris kedua, kolom pertama dan kolom ketiga dari matriks dihilangkan, maka akan diperoleh submatriks

1 3 3 9 . Definisi 2.11 (Submatriks Utama)

Misalkan himpunan bagian dari 1, 2, … , dan didefinisikan sebagai matriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom dari matriks

berukuran yang letaknya merupakan

komplemen dari himpunan pada . Maka disebut submatriks utama (principal submatrix) dari matriks . Jadi submatriks

utama diperoleh dengan menghilangkan

| | baris dan kolom yang bersesuaian,

dengan | | adalah banyaknya elemen dari . [Horn & Johnson 1985] Contoh 2.7:

Misalkan matriks

4 2 2

2 10 2 2 2 5 .

Beberapa submatriks utama yang dimiliki matriks adalah:

(13)

4

i) 2 10 merupakan submatriks

utama yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom pertama dan ketiga;

ii) 1,3 4_{2 5}2 merupakan submatriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom kedua; dan

iii) 1,2,3 4 2 10 22 2

2 2 5 merupakan

submatriks utama yang diperoleh dengan menghilangkan 0 (nol) baris dan 0 (nol) kolom.

Definisi 2.12 (Submatriks Utama yang Pertama)

Diberikan suatu matriks berukuran . Misalkan adalah matriks yang

terbentuk dengan menghilangkan baris

terakhir dan kolom terakhir dari ,

maka disebut submatriks utama yang

pertama (leading principal submatrix) dari

dengan yang berukuran 1 ).

[Leon 2001] Contoh 2.8:

Dari Contoh 2.7, submatriks utama yang

pertama dari matriks adalah 4;

4 2 2 10 ; dan 4 2 2 2 10 2 2 2 5 . Teorema 2.5

Jika semua submatriks utama yang

pertama dari matriks adalah matriks

taksingular, maka terdapat matriks segitiga bawah dan dengan entri-entri 1 pada diagonal utama (unit lower triangular matrix) dan matriks diagonal yang memenuhi

.

[Golub & van Loan 1985] (bukti di Lampiran 2)

Contoh 2.9:

Misalkan diberikan matriks 10 10 20 20 25 40 30 50 61 .

Karena determinan submatriks utama yang pertama dari matriks adalah

det |10| 10 0;

det 10 10_{20 25} 50 0; dan det 10 10 2020 25 40

30 50 61

50 0, maka semua submatriks utama yang pertama dari matriks merupakan matriks taksingular. Jadi matriks dapat difaktorisasi ke dalam bentuk

perkalian sebagai berikut:

10 10 20 20 25 40 30 50 61 1 0 02 1 0 3 4 1 10 0 0 0 5 0 0 0 1 1 1 2 0 1 0 0 0 1 dengan 1 0 0 2 1 0 3 4 1 , 10 0 0 0 5 0 0 0 1 dan 1 0 0 1 1 0 2 0 1 .

Unsur-unsur matriks , dan ditentukan dengan eliminasi Gauss (Golub & van Loan 1985).

Matriks pada Contoh 2.9 bukan matriks simetrik. Jika matriks simetrik (dan taksingular), maka Teorema 2.6 menjamin

bahwa matriks .

Teorema 2.6

Jika adalah matriks taksingular dan

simetrik yang memenuhi , maka

.

[Golub & van Loan 1985] (bukti di Lampiran 3)

Contoh 2.10:

Misalkan diberikan matriks simetrik

10 20 30

20 45 80

(14)

Karena det 50 0, maka dapat difaktorisasi ke dalam bentuk perkalian sebagai berikut: 10 20 30 20 45 80 30 80 171 1 0 02 1 0 3 4 1 10 0 0 0 5 0 0 0 1 1 2 3 0 1 4 0 0 1 .

2.3 Partisi Matriks dan Operasi- Operasinya

Berikut ini akan dijelaskan tentang partisi suatu matriks dan invers dari matriks yang dipartisi.

Definisi 2.13 (Partisi Matriks)

Matriks dapat dipartisi menjadi matriks-matriks yang lebih kecil dengan cara menggambar garis-garis horizontal antara baris-baris dan garis-garis vertikal antara kolom-kolom. Matriks-matriks yang lebih kecil seringkali disebut blok.

[Leon 2001] Contoh 2.11: Misalkan matriks 1 2 4 1 2 2 1 1 3 4 4 2 1 1 3 2 1 1 4 2

Jika garis-garis digambarkan antara baris kedua dan baris ketiga, serta antara kolom ketiga dan keempat, maka akan terbagi

menjadi empat blok, yaitu , , ,

dan . 1 2 4 1 2 2 1 1 3 4 4 2 1 1 3 2 1 1 4 2 dengan 1 2 4 2 1 1 , 1 2 3 4 , 4 2 1 2 1 1 , dan _{4 2}1 3

Teorema 2.7 (Determinan Matriks yang Dipartisi)

Misalkan adalah matriks segi yang

dipartisi menjadi dengan

matriks berukuran dan matriks

berukuran . Jika matriks taksingular,

maka

det det det .

[Zhang 1999] (bukti lihat Lampiran 4)

Teorema 2.8 (Invers Matriks yang Dipartisi)

Misalkan merupakan

matriks yang dipartisi dan mempunyai invers

matriks yang juga merupakan matriks

yang dipartisi dengan bentuk

dengan , , dan adalah matriks segi. Jika adalah submatriks utama dari matriks

, maka diperoleh: , , , . [Zhang 1999] (bukti di Lampiran 5) Teorema 2.9 Misalkan dan

adalah matriks taksingular, serta dan berturut-turut adalah matriks berukuran

dan . Jika matriks

taksingular, maka

dengan adalah himpunan matriks

bernilai real dan berukuran .

[Zhang 1999] (bukti di Lampiran 6)

2.4 Matriks Definit Positif dan Semidefinit Positif

Berikut ini akan diberikan pengertian tentang matriks definit positif dan semidefinit positif serta beberapa sifatnya. Terlebih dahulu akan dibahas pengertian bentuk kuadrat.

(15)

6

Definisi 2.14 (Bentuk Kuadrat)

Suatu persamaan kuadrat dengan dua variabel dan adalah suatu persamaan berbentuk:

2 0. (1)

Persamaan (1) dapat ditulis ulang dalam bentuk: 0. (2) Misalkan dan maka bentuk 2

dinamakan bentuk kuadrat yang berhubungan dengan persamaan (1).

[Leon 2001] Definisi 2.15 (Matriks Definit Positif dan Semidefinit Positif)

Suatu matriks simetrik berukuran disebut matriks definit positif, jika bentuk

kuadrat 0 untuk semua taknol

dalam . Jika bentuk kuadrat 0,

maka disebut matriks semidefinit positif. [Leon 2001] Contoh 2.12:

Matriks 2_{1 2}1 merupakan

matriks definit positif karena bentuk kuadrat 2 1

1 2

2 2 2

0

untuk 0 0.

Matriks 1_{1 1}1 adalah matriks

semidefinit positif karena bentuk kuadrat 1 1

1 1

2

0.

Matriks 1_{3 1}3 bukan matriks

definit atau semidefinit positif karena bentuk

kuadrat 1 3

3 1 6

4

dapat bernilai positif atau negatif.

Teorema 2.10

Misalkan matriks simetrik berukuran dan adalah submatriks utama yang

pertama dari matriks dengan 1,2, … , ,

maka adalah matriks definit positif jika dan

hanya jika det 0.

[bukti lihat Horn & Johnson 1985] Contoh 2.13:

Misalkan diberikan matriks simetrik

4 2 2

2 10 2 2 2 5

dan submatriks utama yang pertama dari matriks seperti pada Contoh 2.8. Karena determinan submatriks utama yang pertama dari matriks adalah:

i) det |4| 4 0;

ii) det 4_{2 10}2 36 0; dan

iii) det 4 2 10 22 2

2 2 5 108 0

maka sesuai dengan Teorema 2.10, matriks adalah matriks definit positif.

Matriks-matriks definit positif mempunyai beberapa sifat, di antaranya:

Teorema 2.11

1. Jika adalah matriks definit positif, maka det 0.

2. Jika adalah matriks definit positif, maka matriks taksingular.

[Leon 2001] Bukti:

1. Jika adalah matriks definit positif maka

sesuai dengan Teorema 2.10, det 0

dengan 1,2, … , . Karena

maka det det , jadi det 0.

2. Karena det 0, maka terbukti matriks

definit positif adalah matriks taksingular.

■

Teorema 2.12 (Invers Matriks Definit Positif)

Jika adalah matriks definit positif, maka matriks definit positif.

(16)

Bukti:

Perhatikan persamaan . Karena

matriks definit positif, maka taksingular.

Jadi terdapat yang merupakan

solusi persamaan tersebut. Maka bentuk kuadrat

. Karena adalah matriks definit

positif, maka 0 untuk

semua di . Jadi 0, untuk

semua di .

Untuk membuktikan bahwa juga

matriks simetrik, maka akan ditunjukkan .

Dari Teorema 2.4, dan

karena adalah matriks definit positif, maka adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh

.

Jadi terbukti bahwa matriks simetrik.

Oleh karena itu, terbukti bahwa adalah

matriks definit positif. ■

Teorema 2.13

Jika matriks merupakan matriks definit

positif berukuran dan matriks adalah

sembarang matriks berukuran , maka

matriks adalah matriks semidefinit

positif.

[Horn & Johnson 1985] Bukti:

Karena matriks definit positif, maka

0 untuk semua di .

Misalkan matriks sembarang. Bentuk

kuadrat matriks adalah

0 untuk

semua di .

Karena dan sembarang maka terdapat

kemungkinan . Oleh karena itu,

bentuk kuadrat

0 untuk semua di .

Untuk membuktikan bahwa

juga matriks simetrik, maka akan ditunjukkan . Dari Teorema 2.1 diperoleh

, dan

karena adalah matriks definit positif, maka adalah matriks simetrik. Sehingga diperoleh

dan terbukti matriks merupakan matriks simetrik.

Jadi sesuai dengan Definisi 2.15, adalah matriks semidefinit positif. ■

Teorema 2.14

Semua submatriks utama dari matriks definit positif adalah matriks definit positif.

[Horn & Johnson 1985]

Bukti:

Misalkan adalah submatriks utama

dari matriks definit positif (Definisi 2.11) dan misalkan adalah vektor dengan entri taknol yang berubah posisi menyesuaikan

pada dan mempunyai entri nol

selainnya. Didefinisikan sebagai vektor

yang diperoleh dari dengan menghilangkan

entri nol yang dimiliki oleh .

Untuk membuktikan submatriks utama dari matriks definit positif juga merupakan matriks definit positif, sesuai dengan Definisi 2.15 akan diperlihatkan

bahwa 0 untuk semua

taknol dalam .

Menurut definisi , , dan

diperoleh 0

untuk taknol dalam . Jadi terbukti bahwa

submatriks utama dari matriks definit

positif juga merupakan matriks definit

positif. ■

Contoh 2.14:

Misalkan diberikan matriks definit positif 4 2 10 22 2

2 2 5 dan submatriks

utama matriks pada Contoh 2.7, maka akan diperlihatkan bahwa semua submatriks utama juga merupakan matriks definit positif.

i) Submatriks utama berukuran 1 1

1 4 , 0

0 dan 1 ,

maka 1 1 1

4 4 0

dengan 0.

Terbukti 1 adalah matriks definit

positif. Dengan cara yang sama dapat

ditunjukkan bahwa 2 dan 3 juga

matriks definit positif (Lampiran 7).

ii) Submatriks utama berukuran 2 2

1,2 4_{2 10}2 ,

0 dan

1,2 ,

(17)

8 4 2 2 10 4 4 10 2 9 0 dengan 0 dan 0.

Terbukti 1,2 adalah matriks definit

positif. Dengan cara yang sama dapat

ditunjukkan bahwa 1,3 dan 2,3

juga matriks definit positif (Lampiran 7).

iii)Submatriks utama berukuran 3 3

Karena 1,2,3 4 2 10 22 2

2 2 5 ,

dan diketahui adalah matriks definit

positif, maka 1,2,3 juga merupakan

matriks definit positif.

III PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai

matriks kuasidefinit dan beberapa sifatnya antara lain: matriks kuasidefinit merupakan matriks taksingular; invers dari matriks kuasidefinit merupakan matriks kuasidefinit; dan matriks kuasidefinit merupakan matriks strongly factorizable; yang merupakan inti dari tulisan ini.

3.1 Matriks Kuasidefinit Definisi 3.1

Suatu matriks simetrik dikatakan kuasidefinit jika mempunyai bentuk:

(3)

dengan dan adalah

matriks definit positif dengan , 0. [Vanderbei 1995] Contoh 3.1:

Misalkan diberikan matriks

2 1 2 4 2 1 2 2 5 7 2 2 4 2 2 4 5 2 10 2 2 7 2 2 5 . merupakan matriks kuasidefinit dengan

matriks 2_{1 2}1 matriks definit

positif (Contoh 2.12) dan

4 2 2

2 10 2 2 2 5

juga matriks definit positif (Contoh 2.13). Sedangkan matriks

1 3 2 5 3 1 1 2 2 1 2 1 5 2 1 2

bukan merupakan matriks kuasidefinit karena matriks 1_{3 1}3 bukan matriks definit positif (Contoh 2.12).

3.2 Sifat-sifat Matriks Kuasidefinit

Berikut ini akan dijelaskan sifat-sifat dari matriks kuasidefinit.

Teorema 3.1

Matriks kuasidefinit merupakan matriks taksingular.

[Vanderbei 1995] Bukti:

Menurut Teorema 2.3, untuk membuktikan

bahwa merupakan matriks taksingular

adalah dengan menunjukkan bahwa det 0.

Karena adalah matriks definit positif

(oleh karena itu taksingular), maka –

matriks taksingular (Teorema 2.2). Sesuai dengan Teorema 2.7 didapat

det det det . (4)

Karena – matriks taksingular, maka

sesuai dengan Teorema 2.3, det 0.

Begitu pula karena matriks

merupakan matriks definit positif (bukti lihat

Lampiran 8), maka det 0 (Teorema

(18)

Jadi det 0. Dengan demikian, terbukti bahwa matriks merupakan matriks taksingular. ■

Teorema 3.2

Invers dari matriks kuasidefinit

adalah ,

dengan:

(6) (7) , (8) dari Teorema 2.9, Persamaan (6) akan menjadi:

. (9)

Dan merupakan matriks kuasidefinit.

Sesuai dengan Teorema 2.8 bahwa

, (10)

dengan:

(11) (12) , (13) dari Teorema 2.9, Persamaan (11) akan menjadi:

. (14) (bukti perhitungan di atas pada Lampiran 9) Untuk membuktikan bahwa

merupakan matriks kuasidefinit, berdasarkan Definisi 3.1 akan ditunjukkan bahwa dan adalah matriks definit positif sebagai berikut:

i) Matriks merupakan

invers dari matriks

(Sifat 3.1). Karena matriks adalah matriks definit positif dan sesuai dengan Teorema 2.12, maka matriks

adalah matriks definit positif.

ii) Akan dibuktikan

merupakan matriks definit positif.

a. Karena matriks definit positif

berukuran , maka matriks

definit positif berukuran

(Teorema 2.12).

b. Karena matriks definit positif

berukuran dan sembarang

matriks berukuran , maka

matriks semidefinit positif

berukuran (Teorema 2.13).

c. Misalkan adalah vektor taknol

sembarang di .

Maka

.

Karena matriks semidefinit

positif berukuran , maka

0 dan karena

matriks definit positif berukuran ,

maka 0, sehingga bentuk

kuadrat 0 untuk

sembarang vektor taknol di . Jadi

terbukti bahwa matriks

merupakan matriks definit positif.

d. Untuk membuktikan

matriks simetrik akan ditunjukkan: . Dari Teorema 2.1, didapat

. Karena matriks definit positif, maka

matriks simetrik, jadi .

Sedangkan sesuai dengan Teorema 2.1, matriks

. Karena matriks

definit positif, maka matriks

simetrik, jadi .

Jadi .

Sehingga terbukti bahwa matriks merupakan matriks simetrik. Jadi terbukti bahwa matriks

adalah matriks definit positif.

e. Karena matriks

adalah invers dari maka

menurut Teorema 2.12, maka matriks adalah matriks definit positif.

(19)

10

Dengan demikian terbukti bahwa matriks merupakan matriks kuasidefinit. ■

3.3 Faktorisasi Matriks Kuasidefinit

Setelah dibahas mengenai definisi dan beberapa sifat matriks kuasidefinit, berikutnya akan dibahas mengenai sifat matriks kuasidefinit yang berhubungan dengan faktorisasi. Terlebih dahulu akan diberikan definisi faktorisasi.

Definisi 3.2

Matriks simetrik taksingular dikatakan dapat difaktorisasi (factorizable) jika terdapat matriks diagonal dan matriks segitiga

bawah dengan elemen-elemen 1 pada

diagonal utamanya (unit lower triangular matrix) yang memenuhi .

Pasangan matriks , disebut faktorisasi

dari matriks .

[Vanderbei 1995]

Contoh 3.2:

Misalkan matriks kuasidefinit

2 1 2 4 2 1 2 2 5 7 2 2 4 2 2 4 5 2 10 2 2 7 2 2 5 .

Dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali sebagai berikut: 2 1 2 4 2 1 2 2 5 7 2 2 4 2 2 4 5 2 10 2 2 7 2 2 5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 1 0 0 2 2 0 1 0 1 4 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0 0 0 0 0 24 0 0 0 0 0 1 1 2 1 0 1 2 2 4 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ,

maka sesuai dengan Definisi 3.2 matriks dikatakan dapat difaktorisasi (factorizable).

Definisi 3.3

Matriks simetrik taksingular dikatakan

strongly factorizable jika terdapat faktorisasi

untuk setiap matriks permutasi dengan adalah matriks diagonal dan adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonal utamanya (unit lower triangular matrix).

[Vanderbei 1995] Contoh 3.3:

Misalkan matriks simetrik 4 2 14 4 8 8 1 2

,

karena det 108 0, maka matriks

taksingular.

Untuk menunjukkan bahwa matriks strongly factorizable, maka faktorisasi

harus berlaku untuk semua matriks permutasi . Karena matriks

berukuran 3 3, maka terdapat 3! 6

matriks permutasi berukuran 3 3.

Akan ditunjukkan untuk setiap matriks

permutasi terdapat faktorisasi

, dengan adalah matriks diagonal dan adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonal utamanya, sebagai berikut:

(20)

1. Matriks permutasi 1 0 00 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 4 8 4 2 1 8 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 4 4 8 4 2 1 8 1 2 . Dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali sebagai berikut:

4 4 8 4 2 1 8 1 2 1 0 0 1 1 0 2 1 4 0 0 0 6 0 0 0 1 1 2 0 1 0 0 1 . 2. Matriks permutasi 1 0 00 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 4 4 8 4 2 1 8 1 2 1 0 0 0 0 1 0 1 0 4 8 4 8 2 1 4 1 2 . Dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali sebagai berikut:

2 4 1 4 4 8 1 8 2 1 0 0 2 1 0 1 2 0 0 0 12 0 0 0 1 2 0 1 0 0 1 . 4. Matriks permutasi 0 1 00 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 4 4 8 4 2 1 8 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 4 1 2 8 4 8 4 . Dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali sebagai berikut:

(21)

12 2 8 1 8 4 4 1 4 2 1 0 0 4 1 0 0 1 2 0 0 0 36 0 0 0 1 4 0 1 0 0 0 1 . 6. Matriks permutasi 0 0 10 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 4 4 8 4 2 1 8 1 2 0 0 1 0 1 0 1 0 0 2 1 8 1 2 4 8 4 4 . Dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali sebagai berikut:

2 1 8 1 2 4 8 4 4 1 0 0 1 0 4 0 1 2 0 0 0 0 0 0 36 1 4 0 1 0 0 0 1 .

Karena untuk semua matriks permutasi ,

terbukti matriks , maka sesuai

dengan Definisi 3.3, maka matriks strongly factorizable.

Dari Contoh 3.3 di atas, untuk membuktikan suatu matriks simetrik taksingular strongly factorizable, dengan menggunakan Definisi 3.3 terlalu banyak faktorisasi yang harus diperiksa yaitu sebanyak !, sehingga diperlukan cara yang lebih praktis.

Berikut ini akan dijelaskan sifat matriks kuasidefinit yang berhubungan dengan faktorisasi dan pembuktiannya menggunakan Teorema 2.5 dan Teorema 2.6.

Teorema 3.3

Matriks kuasidefinit merupakan matriks

strongly factorizable.

Misalkan adalah submatriks utama

yang pertama dari dan adalah

matriks permutasi berukuran dengan

1 .

Untuk membuktikan teorema di atas, akan ditunjukkan bahwa semua merupakan matriks taksingular.

Submatriks utama yang pertama dari

mempunyai persamaan ,

dengan adalah submatriks utama dari

matriks kuasidefinit dan himpunan

bagian dari 1, 2, … , .

Submatriks utama mempunyai

bentuk , dengan

dan adalah submatriks utama dari

matriks dan (Ilustrasi diberikan pada Lampiran 10).

Karena dan adalah submatriks

utama dari matriks dan , sesuai dengan

Teorema 2.14, maka dan adalah

matriks definit positif.

Jadi adalah

matriks kuasidefinit (Definisi 3.1). Oleh karena itu, sesuai dengan Teorema 3.1

terbukti bahwa adalah matriks

taksingular.

Karena dan semua matriks

permutasi merupakan matriks taksingular

maka taksingular. Sesuai dengan Teorema

2.5 dan Teorema 2.6 maka matriks

dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali .

Jadi sesuai dengan Definisi 3.3 dapat dinyatakan bahwa matriks kuasidefinit

merupakan matriks strongly factorizable.

■

Selanjutnya, dari Contoh 3.2 dan Contoh 3.3 dapat dibuat suatu teorema tentang hubungan antara matriks yang dapat difaktorisasi (factorizable) dengan matriks strongly factorizable.

(22)

Teorema 3.4

Jika suatu matriks strongly factorizable, maka matriks tersebut dapat difaktorisasi (factorizable).

Bukti:

Misalkan matriks (berukuran )

strongly factorizable. Sesuai dengan Definisi

3.3, terdapat faktorisasi untuk

setiap matriks permutasi . Jika dipilih

matriks permutasi , maka terdapat

faktorisasi

. Sesuai dengan Definisi 3.2, maka matriks dapat difaktorisasi (factorizable). ■

Dari Contoh 3.3 bagian 1, terlihat apabila suatu matriks strongly factorizable, maka

matriks factorizable (pada saat matriks

permutasi ). Berikut ini diberikan

contoh suatu matriks simetrik taksingular factorizable tapi tidak strongly factorizable.

Contoh 3.4:

Misalkan matriks 2 1_{1 0} , karena

det 1 0, maka matriks taksingular. Oleh karena itu, matriks dapat

difaktorisasi ke dalam hasil kali sebagai berikut: 2 1 1 0 1 0 1 2 0 0 1_{0 1} .

Dari Definisi 3.2, terbukti matriks factorizable.

Namun jika dipilih matriks permutasi 0 1

1 0 , maka diperoleh matriks 0 1

1 0 2 11 0 0 11 0 0 11 2 .

Matriks tidak dapat difaktorisasi ke

dalam hasil kali , karena bila dilihat

bentuk umum perkalian pada matriks

berukuran 2 2 sebagai berikut: 1

1 0 0 1 1

.

Karena pada matriks elemen pada baris

dan kolom pertama bernilai nol (0),

maka akan mengakibatkan nilai 0, oleh

karena itu 0₀ 0 untuk semua

matriks segitiga bawah dengan elemen 1 pada

diagonal utamanya. Jadi matriks tidak

dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali .

Oleh karena itu, matriks bukan matriks strongly factorizable.

IV SIMPULAN DAN SARAN

4.1 Simpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan di atas, diperoleh beberapa simpulan sebagai berikut:

i) Matriks kuasidefinit merupakan matriks

taksingular.

ii) Invers dari matriks kuasidefinit

merupakan matriks kuasidefinit.

iii)Matriks kuasidefinit merupakan matriks

strongly factorizable.

4.2Saran

Bagi yang beminat mengembangkan tulisan ini, dapat menggunakan hasil pada tulisan ini untuk diaplikasikan pada metode titik interior (interior-point method) untuk pemrograman linear dan kuadratik.

(23)

DAFTAR PUSTAKA

Anton H. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linear.

Ed. Ke-7. Hari Suminto, alih bahasa. Batam: Interaksara. Terjemahan dari: Elementary Linear Algebra.

Golub GH, van Loan CF. 1985. Matrix Computations. Maryland: The Johns Hopkins University Press.

Harville DA. 2008. Matrix Algebra from a Statistician's Perspective, 2nd printing. http://www.springer.com/978-0-387- 7835 6-7. 28-03-2009.

Horn RA, Johnson CR. 1985. Matrix Analysis. New York: Cambridge University Press.

Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed. ke-5. Bondan A, alih bahasa. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications. Vanderbei RJ. 1995. Symmetric quasi-definite

matrices. SIAM J. Optimization 5(1): 100-113.

Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York: Springer-Verlag.

(24)

(25)

16

Lampiran 1 Pembuktian Teorema 2.3

Sebelum membuktikan Teorema 2.3, terlebih dahulu diberikan beberapa definisi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.3.

Definisi 1 (Matriks Eselon Baris)

Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris jika: i) Entri bukan nol pertama setiap baris adalah 1.

ii) Jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di bagian depan pada baris k + 1 lebih besar dari banyaknya entri nol di bagian depan pada baris k.

iii)Jika terdapat baris-baris yang entrinya semua adalah nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol.

[Leon 2001] Contoh 1:

1. Matriks-matriks berikut memiliki bentuk eselon baris, 1 4 2 0 1 3 0 0 1 , 1 2 3 0 0 1 0 0 0 , 1 3 1 0 0 0 1 3 0 0 0 0 .

2. Matriks-matriks berikut tidak memiliki bentuk eselon baris, 2 4 6

0 3 5 0 0 4

, 0 0 0_{0 1 0} , 0 1_{1 0} .

Matriks pertama tidak memenuhi syarat (i), matriks kedua gagal memenuhi syarat (iii) dan matriks ketiga gagal memenuhi syarat (ii).

Definisi 2 (Matriks Elementer)

Suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer.

Jenis I. Matriks elementer jenis I adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan dua baris dari I.

Contoh 2: Misalkan

0 1 0 1 0 0

0 0 1 adalah matriks elementer jenis I, karena diperoleh dengan

mempertukarkan kedua baris yang pertama dari I. Misalkan matriks 3 3, 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 .

Mengalikan di sebelah kiri dengan akan mempertukarkan baris pertama dan kedua dari . Mengalikan di sebelah kanan dengan adalah ekuivalen dengan operasi kolom elementer yang mempertukarkan kolom pertama dan kedua dari .

(26)

Jenis II. Matriks elementer jenis II adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan satu baris dari I dengan konstanta taknol.

1 0 0 0 1 0

0 0 3 adalah matriks elementer jenis II, dan misalkan matriks 3 3 maka

1 0 0 0 1 0 0 0 3 3 3 3 1 0 0 0 1 0 0 0 3 3 3 3 .

Perkalian di sebelah kiri oleh akan melakukan operasi baris elementer dengan mengalikan baris ketiga dari oleh 3. Sedangkan perkalian di sebelah kanan oleh akan melakukan operasi kolom elementer dengan mengalikan kolom ketiga dari oleh 3.

Jenis III. Matriks elementer jenis III adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain.

1 0 3 0 1 0 0 0 1

adalah satu matriks elementer jenis III. Jika matriks 3 3 maka 1 0 3 0 1 0 0 0 1 3 3 3 1 0 3 0 1 0 0 0 1 3 3 3 .

Perkalian di sebelah kiri oleh akan menjumlahkan 3 kali baris ketiga pada baris pertama dari , sedangkan perkalian di sebelah kanan oleh akan menjumlahkan 3 kali kolom pertama pada kolom ketiga dari .

[Leon 2001] Teorema 1

Jika dan adalah matriks-matriks berukuran , maka det det det .

[bukti lihat Leon 2001] Bukti Teorema 2.3

Matriks dapat direduksi menjadi bentuk eselon baris dengan operasi-operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi

. . .

dengan berbentuk eselon baris dan semua adalah ,,matriks elementer.

det det . . .

det det . . . det det .

Karena determinan-determinan dari semuanya taknol, maka det 0 jika dan hanya jika

det 0.

Jika matriks singular, maka matriks memiliki baris dengan seluruh elemen bernilai nol dan dengan demikian det 0. Jika matriks taksingular, maka matriks segitiga yang elemen-elemen diagonalnya bernilai 1 sehingga det 1 0.

(27)

18

Lampiran 2 Pembuktian Teorema 2.5

Sebelum membuktikan Teorema 2.5, diberikan teorema yang berhubungan dengan pembuktian teorema tersebut.

Teorema 2

Jika adalah matriks berukuran dengan submatriks utama yang pertama semuanya taksingular, maka matriks dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali dengan adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonalnya dan adalah matriks segitiga atas. Bukti:

Misalkan adalah matriks berukuran dengan submatriks utama yang pertama semuanya taksingular, maka dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dengan hanya menggunakan operasi baris III (Definisi 2 di Lampiran 1); dengan elemen-elemen diagonal tidak akan pernah menjadi nol pada proses eliminasi, sehingga reduksi dapat berlangsung sempurna tanpa mempertukarkan baris. Proses reduksi berlangsung sebagai berikut:

. . . .

Jika matriks dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas tanpa melakukan pertukaran baris, maka dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali sebagai berikut:

. . .

dengan . . . dan adalah matriks segitiga atas.

[Leon 2001] Untuk memperjelas pembuktian teorema di atas, diberikan contoh berikut.

Contoh 5: Misalkan matriks

4 2 2

2 10 2

2 2 5 . Karena determinan submatriks utama yang pertama dari matriks adalah:

• det |4| 4 0;

• det 4_{2 10}2 36 0; dan

• det 4 2 10 22 2

2 2 5 108 0.

Maka semua submatriks utama yang pertama dari matriks merupakan matriks taksingular, jadi matriks dapat direduksi menjadi matriks segitiga atas dengan cara matriks dikalikan (dari kiri) dengan serangkaian matriks elementer jenis III sebagai berikut:

• 1 0 0 1 0 0 0 1 , sehingga diperoleh: 1 0 0 1 0 0 0 1 4 2 2 2 10 2 2 2 5 4 2 2 0 9 3 2 2 5 ;

(28)

• 1 0 0 0 1 0 0 1 , sehingga diperoleh: 1 0 0 0 1 0 0 1 4 2 2 0 9 3 2 2 5 4 2 2 0 9 3 0 3 4 ; • 1 0 0 0 1 0 0 1 , sehingga diperoleh: 1 0 0 0 1 0 0 1 4 2 2 0 9 3 0 3 4 4 2 2 0 9 3 0 0 3 .

Matriks dinyatakan sebagai: 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 .

Bila diujikan kembali, diperoleh: 1 0 0 1₂ 1 0 1 2 1 3 1 4 2 2 0 9 3 0 0 3 4 2 2 2 10 2 2 2 5 .

Jadi terbukti bahwa matriks dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali . Bukti Teorema 2.5:

Teorema 2 telah menunjukkan bahwa matriks dengan submatriks utama yang pertama semuanya taksingular, maka matriks dapat difaktorisasi ke dalam hasil kali dengan adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonalnya dan adalah matriks segitiga

atas. Definisikan matriks diagonal

0 0

dengan untuk 1 .

Diketahui bahwa matriks taksingular, maka terdapat matriks yang merupakan matriks segitiga atas dengan elemen-elemen 1 pada diagonalnya. Karena

. Jadi terbukti bahwa matriks dapat difaktorisasi ke dalam bentuk perkalian . [Golub & van Loan 1985]

(29)

20

Lampiran 3 Pembuktian Teorema 2.6

Bukti Teorema 2.6:

Misalkan matriks simetrik, taksingular dan memenuhi faktorisasi dengan dan adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonalnya dan adalah matriks diagonal.

Jika adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonalnya, maka juga merupakan matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonalnya (seperti pada Contoh 5 di Lampiran 2). Oleh karena itu, bila matriks simetrik dikalikan dari kiri dan kanan oleh matriks akan dan akan diperoleh matriks yang merupakan matriks diagonal.

Karena , maka merupakan matriks diagonal juga. Karena adalah matriks diagonal dan taksingular, maka adalah matriks diagonal. Namun karena matriks adalah matriks segitiga bawah dengan elemen-elemen 1 pada diagonalnya, maka haruslah . Hal ini membuktikan bahwa matriks .

[Golub & van Loan 1985]

Lampiran 4 Pembuktian Teorema 2.7

Terlebih dahulu diberikan definisi dan teorema yang berhubungan dengan pembuktian Teorema 2.7.

Definisi 3 (Perkalian Blok)

Misalkan matriks berukuran dan matriks berukuran . Perkalian blok matriks dan dapat dibedakan menjadi 4 kasus, yaitu:

Kasus 1

, dengan matriks dan matriks , maka

Kasus 2

, dengan matriks dan matriks , maka

Kasus 3

dan ,

dengan matriks dan matriks , matriks dan matriks , maka

Kasus 4

Misalkan dan keduanya dipartisi sebagai berikut:

dan

maka,

(30)

[Leon 2001] Contoh 6: Misalkan 1 1 1 1 2 2 3 3 1 12 2 dan 1 1 1 2 1 11 1 3 1 3 2 1 11 2 maka 1 1 1 1 2 2 3 3 1 12 2 1 1 1 2 1 11 1 3 1 3 2 1 11 2 1.1 1.1 1.3 1.3 1.1 1.2 1.1 1.2 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.2 2.1 2.1 1.3 1.3 2.1 2.2 1.1 1.2 3.1 3.1 2.3 2.3 3.1 3.2 2.1 2.2 2.1 2.1 1.1 1.1 2.1 2.1 1.1 1.2 3.1 3.1 2.1 2.1 3.1 3.1 2.1 2.2 8 6 4 5 10 9 6 7 18 15 10 12

Definisi 4 (Operasi Dasar pada Matriks Dipartisi)

Operasi baris dasar atau operasi kolom dasar pada matriks yang dipartisi dibedakan menjadi tiga operasi, yaitu:

I. Penukaran dua (blok) baris (kolom)

II. Mengalikan (blok) baris (kolom) dari kiri (kanan) dengan suatu matriks taksingular yang berukuran tepat

III.Mengalikan (blok) baris (kolom) dengan suatu matriks dari kiri (kanan), lalu menambahkan pada baris (kolom) yang lain.

[Zhang 1999] Contoh 7: Misalkan 1 1 1 1 2 2 3 3 1 12 2

I. Jika dilakukan penukaran antara baris pertama dan kedua, maka matriks menjadi: 2 2 1 1

3 3

1 1 2 21 1

II. Jika baris pertama dikalikan dengan matriks 2 1₁ ₃ dari kanan, maka matriks A menjadi:

1 2 1 2

2 2 1 1 3 3 2 2

(31)

22

III.Jika baris kedua dikalikan dengan matriks 1 1 dari kiri, lalu ditambahkan pada baris pertama, maka matriks menjadi:

0 0 0 0 2 2

3 3 1 12 2

Teorema 3

Jika adalah matriks segitiga atas atau bawah yang berukuran , maka determinan dari sama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal matriks .

[bukti lihat Leon 2001] Definisi 5 (Pengaruh Operasi Baris pada Nilai Determinan )

Pengaruh-pengaruh dari operasi-operasi baris atau kolom pada nilai determinan suatu matriks adalah sebagai berikut:

I. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda dari determinan. II. Mengalikan satu baris (atau kolom) dari suatu matriks dengan suatu skalar sama akibatnya

dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skala r tersebut.

III.Menjumlahkan perkalian dari satu baris (atau kolom) pada baris lain (atau kolom lain) tidak akan mengubah nilai dari determinan.

[Leon 2001] Bukti Teorema 2.7

Jika matriks taksingular maka terdapat matriks sebagai invers dari . Dengan melakukan operasi baris dasar jenis III (Definisi 4) pada matriks , yaitu baris pertama dikalikan dengan matriks (dari kiri) lalu menambahkannya pada baris kedua sehingga diperoleh

0 .

Sesuai dengan Definisi 5, maka det det , lalu dari Teorema 3 diketahui

det det

dengan Teorema 1 (di Lampiran 1), terbukti bahwa

(32)

Lampiran 5 Pembuktian Teorema 2.8

Akan dibuktikan invers dari matriks adalah dengan ,

, , . Bukti Teorema 2.8:

Dari setiap matriks yang mempunyai invers dapat dituliskan sebagai perkalian dari matriks elementer, sehingga dapat ditulis:

| ~ | ,

yang berarti dengan menerapkan operasi baris pada | akan diperoleh melalui matriks

| .

Diberikan matriks perluasan berikut:

| ₀ 0

lalu dilakukan operasi baris dasar (Definisi 4 di Lampiran 4),

1. Baris pertama dikalikan dengan matriks (dari kiri), sehingga diperoleh: 0

0

2. Baris pertama dikalikan dengan matriks (dari kiri), lalu ditambahkan pada baris kedua diperoleh:

0 0

3. Baris kedua dapat dikalikan dengan (dari kiri) untuk memperoleh: 0

0

4. Dengan mengalikan (dari kiri) baris kedua dengan matriks , lalu menambahkannya pada baris pertama diperoleh:

0 0

Jadi terbukti bahwa invers matriks yang dipartisi adalah dengan ,

, , .

(33)

24

Lampiran 6 Pembuktian Teorema 2.9

Akan dibuktikan bahwa dengan

dan adalah matriks taksingular, serta dan berturut-turut adalah matriks berukuran dan .

Bukti Teorema 2.9:

Menurut Definisi 2.6, akan ditunjukkan bahwa

. • . • .

(34)

Lampiran 7 Tambahan Contoh 2.14

Dengan cara yang sama pada Contoh 2.14 dapat ditunjukkan bahwa 2 dan 3 juga matriks definit positif sebagai berikut:

• 2 10, 0 0 dan 2 , maka 2 2 2 10 10 0 dengan 0. • 3 5, 0 0 dan 3 , maka 3 3 3 5 5 0 dengan 0.

Begitu pula dapat ditunjukkan bahwa 1,3 dan 2,3 juga matriks definit positif sebagai berikut: • 1,3 4_{2 5}2 , 0 dan 1,3 , maka 1,3 1,3 1,3 4_{2 5}2 4 4 5 2 4 0 dengan 0 dan 0. • 2,3 10 2₂ ₅ , 0 dan 2,3 , maka 2,3 2,3 2,3 10 2₂ ₅ 10 4 5 2 6 4 0 dengan 0 dan 0.

(35)

26

Lampiran 8 Tambahan Bukti Teorema 3.1

Akan dibuktikan merupakan matriks definit positif. Bukti:

a. Karena matriks definit positif berukuran , maka matriks definit positif berukuran (Teorema 2.12)

b. Karena matriks definit positif berukuran dan sembarang matriks berukuran , maka matriks semidefinit positif berukuran (Teorema 2.13)

c. Misalkan adalah vektor taknol sembarang di .

Maka .

Karena matriks semidefinit positif berukuran , maka 0 dan karena matriks definit positif berukuran , maka 0, sehingga bentuk kuadrat

0 untuk sembarang vektor taknol di . d. Untuk membuktikan matriks simetrik, akan ditunjukkan:

.

Dari Teorema 2.1, didapat .

Karena matriks definit positif, maka matriks simetrik, jadi . Sedangkan sesuai

Teorema 2.1, matriks . Karena matriks

definit positif, maka matriks simetrik, jadi . Jadi

. Terbukti bahwa matriks merupakan matriks simetrik. Jadi terbukti bahwa matriks merupakan matriks definit positif.

(36)

Lampiran 9 Tambahan Bukti Teorema 3.2

Akan dibuktikan invers matriks adalah matriks dengan

• ,

• .

Bukti:

Sesuai dengan Teorema 2.8, invers matriks yang dipartisi adalah , dengan

, ,

, .

Jadi untuk matriks akan diperoleh invers matriks yaitu dengan

•

Dengan demikian diperoleh . Sesuai Teorema 2.9,

matriks . • • • . Jika , , , , Maka terbukti .

(37)

28

Lampiran 10 Tambahan Bukti Teorema 3.3

Akan diperlihatkan untuk beberapa matriks permutasi bahwa submatriks utama yang pertama dari yaitu dengan adalah matriks permutasi berukuran dengan 1 dan adalah submatriks utama dari matriks kuasidefinit dengan himpunan bagian dari 1, 2, … , . Submatriks utama mempunyai bentuk

, dengan dan adalah submatriks utama dari matriks dan .

Dengan menggunakan matriks kuasidefinit pada Contoh 3.3, yaitu

2 1 2 4 2 1 2 2 5 7 2 2 4 2 2 4 5 2 10 2 2 7 2 2 5 dengan 2 1 1 2 dan 4 2 2 2 10 2 2 2 5 .

Misalkan diberikan beberapa matriks permutasi sebagai berikut:

1) 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 , maka 2 4 1 2 2 4 10 5 2 2 1 5 2 7 2 2 2 7 5 2 2 2 2 2 4 .

Submatriks utama yang pertama dari adalah:

• 2 4

4 10 , merupakan 1,4 , 1 dan 2 , dengan 1 00 1 ;

• 4 102 4 15

1 5 2 , merupakan 1,2,4 , 1,2 dan 2 , dengan

1 0 0 0 0 1 0 1 0 ; • 2 4 1 2 4 10 5 2 1 5 2 7 2 2 7 5

, merupakan 1,2,4,5, 1,2 dan 2,3, dengan 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 ; dan • 2 4 1 2 2 4 10 5 2 2 1 5 2 7 2 2 2 7 5 2 2 2 2 2 4 , merupakan 1,2,3,4,5 , 1,2 dan 1,2,3 , dengan .

(38)

2) 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 , maka 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 5 2 7 2 4 2 10 5 2 1 7 5 2 .

• 4 2

• 4 2 2 2 22

2 2 5

, merupakan 1,3,5 , 1 dan 1.3 , dengan

0 1 0 1 0 0 0 0 1 ; • 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 5 2 2 4 2 10

, merupakan 1,3,4,5, 1 dan 1,2,3 , dengan 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 ; dan • 4 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 2 5 2 7 2 4 2 10 5 2 1 7 5 2 , merupakan 1,2,3,4,5 , 1,2 dan 1,2,3 , dengan . 3) 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 , maka 5 7 2 2 2 7 2 5 1 2 2 5 10 4 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 4 .

• 5 7

• 5 7 2 7 2 5

2 5 10 , merupakan 2,4,5 , 2 dan 2.3 , dengan

0 1 0 0 0 1 1 0 0 ; • 5 7 2 2 7 2 5 1 2 5 10 4 2 1 4 2

, merupakan 1,2,4,5 , 1,2 dan 2,3, dengan 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 ; dan • 5 7 2 2 2 7 2 5 1 2 2 5 10 4 2 2 1 4 2 2 2 2 2 2 4 , merupakan 1,2,3,4,5 , 1,2 dan 1,2,3 , dengan .