METODE NONPARAMETRIK UNTUK REGRESI MONOTONIK (NONPARAMETRIC METHOD FOR MONOTONIC REGRESSION) Suyitno

METODE NONPARAMETRIK UNTUK REGRESI MONOTONIK (NONPARAMETRIC METHOD FOR MONOTONIC REGRESSION)

Suyitno

Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman

ABSTRACT

The regression is monotonically increasing if E(Y|X) increases or at least it does not decrease as X increases, and if E(Y|X) becomes smaller as X increases the regression is monotonically decreasing. Generally, the problem of the monotonic regression is how to find the certain models, that is to determine the estimation of the regression curve. The procedures for monotonic regression are based on the fact that if two variables have a monotonic relationship, their ranks will have a linear relationship. A scattering of the observations around the monotonic regression line should correspond to a scattering of the ranks around their linear regression line. The ranks serve as transformed variables, where the transformation seeks to convert the monotonic regression function to linear regression function. In this article discussed how to find the estimation of regression curve for monotonic regression. According to the data points, the regression curve consisting of line segments joining successive of (

X ˆ

_i

,

Y

_i) and (

X ,

ˆ

_i

Y

_i), where the regression curve obviously nonlinear, is converted to ranks that have a regression curve that seems to be linear.

Key words :Monotonic regression, rank, ordinary least squares method, regression curve.

PENDAHULUAN

Analisis regresi adalah suatu metode untuk menganalisis suatu data yang terdiri dari lebih dari satu variabel. Analisis regresi mempelajari cara bagaimana variabel-variabel itu berhubungan dan menyelidiki hubungan antara dua atau lebih variabel secara mendalam. Hubungan yang didapat, dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang menyatakan hubungan fungsional antara variabel-variabel itu. Hubungan fungsional yang dinyatakan dalam bentuk persamaan matematika yang dinamakan persamaan regresi atau fungsi regresi yaitu menyatakan hubungan antara satu atau lebih variabel bebas atau variabel prediktor dengan variabel tak bebas atau variabel respon. Metode regresi juga digunakan untuk memprediksi nilai varibel tak bebas jika harga variabel bebas diketahui.Sedangkan studi tentang derajat hubungan antara variabel-variabel dibahas pada analisis korelasi. (Sudjana, 2002. p-130,367).

Secara formal regresi Y terhadap X didefinisikan oleh E(Y|X  x) dan Y E(Y |X x) dinamakan persamaan regresinya. Suatu regresi yang terdiri dari satu variabel bebas dan satu variabel tak bebas dinamakan regresi linear sederhana. Model regresi linear sederhana dinyatakan dalam

bentuk persamaan garis E(Y|X  )x 







x , dimana



adalah konstanta yang dinamakan

intersep Y dan



dinamakan gradien atau slope, dan selanjutnya



dan



dinamakan parameter

regresi. Jika diasumsikan bahwa fungsi regresinya adalah garis lurus, suatu regresi dikatakan monoton naik jika untuk setiap

X

₁



X

₂ maka

E

(

Y

|

X



X

₁

)



E

(

Y

|

X



X

₂

)

, dan dinamakan regresi

monoton turun jika untuk setiap

X

₁



X

₂ maka

)

|

(

)

|

(

Y

X

X

₁

E

Y

X

X

₂

E







.

Menurut Conover, jika dua variabel mempunyai sebuah hubungan monotonik, maka peringkat kedua variabel itu juga mempunyai hubungan linear (monotonik). Pada regresi monotonik, perpencaran (penyebaran) data pengamatan di sekitar garis regresi berkorespondensi dengan pepencaran dari peringkat data pengamatan di sekitar garis regresinya. Dalam hal ini nilai peringkat dari suatu variabel ditransformasikan menjadi variabel baru, dimana transformasi ini untuk mencari dan mengkoversikan fungsi regresi monotonik ke sebuah fungsi regresi linear.

Mengingat studi tentang regresi monotonik belum pernah dibahas di lingkungan FMIPA Unmul, maka pada artikel ini dibahas metode nonparametrik untuk regresi monotonik, yaitu menentukan estimasi kurva regresi monotonik dimana estimasi kurva regresi ditentukan berdasarkan peringkat dari data pengamatan.

REGRESI MONOTONIK

Pada pendahuluan telah disinggung bahwa model regresi linear sederhana dinyatakan dalam

bentuk persamaan garis E(Y |X  )x 







x, dimana



dan



dinamakan parameter regresi.

Harga parameter ini tidak diketahui dan harus diestimasi melalui data pengamatan. Metode umum untuk menentukan estimasi parameter regresi adalah metode kuadrat terkecil atau least squares

method. Metode kuadrat terkecil dalam menentukan a dan b pengestimasi dari parameter



dan



pada persamaan regresi y







x adalah suatu metode yang meminimumkan jumlah kuadrat dari

galat yaitu 2 1

]

)

(

[











n i i i

a

bX

Y

SS

berdasarkan data pengamatan

(

X

₁

,

Y

₁

),



,

(

X

_n

,

Y

_n

)

. Harga

minimum SS didapat melalui penurunan SS terhadap a dan b kemudian disamakan dengan nol, dan setelah diselesaikan didapat :











        _n i n i i n i n i i n i i i i X X n Y X Y X n b 1 1 2 2 1 1 1 1 ) ( ) )( ( danaY bX, (1)

dimana

Y

dan

X

adalah masing-masing mean pengamatan (X , Y).

Berdasarkan harga a dan b pada persamaan (1) diperoleh persamaan estimasi garis regresi :

y = a + bx , (2)

yang merupakan estimasi dari garis regresi yang sebenarnya yaitu y







x. (Conover. 1999). Persamaan regresi (2) merupakan fungsi monoton, tetapi data pengamatan (Xi,Yi) tidak terletak pada garis regresi atau belum tentu merupakan fungsi monoton. Suatu fungsi f terdefinisi pada interval

I dikatakan monoton naik jika untuk setiap

x

₁dan

x

₂ dalam inverval I, berlaku

x

₁



x

₂



y

₁



y

₂,

dan dikatakan monoton turun jika untuk setiap

x

₁ dan

x

₂ dalam inverval I, berlaku

2 1 2

1

x

y

y

x







. (Purcell.E.J.1984,p-182).

Seperti pada fungsi monoton, jika diasumsikan bahwa fungsi regresinya adalah garis lurus

maka suatu regresi dinamakan monoton naik atau monotonically increasing jika untuk setiap

X

₁ dan

2

X

berlaku

X

₁



X

₂



Y

₁



Y

₂, dan dikatakan monoton turun atau monotonically decreasing jika

untuk setiap

X

₁ dan

X

₂ berlaku

X

₁



X

₂



Y

₁



Y

₂ , dimana (X,Y) adalah suatu pasangan

pengamatan. (Conover .1999, p-344).

Bertolak dari pengertian regresi monotonik, jika suatu pengamatan menunjukkan suatu kecenderungan (trend) dan diasumsikan bahwa kurva regresinya adalah garis lurus maka memenuhi regresi monotonik. Oleh karena itu sebelum menentukan kurva regresi monotonik diperlukan suatu uji pendeteksian kecenderungan (trend). Menurut Ribut Alam Malau dkk 2007, terdapat dua macam kecenderungan yaitu kecenduran naik (upward trend) dan kecenderungan menurun (downward trend). Dikatakan kecenderungan naik jika nilai karakteristik yang diamati pada pengamatan terakhir cenderung lebih besar dari pengamatan sebelumnya. Sebaliknya data pengamatan menunjukkan kecenderungan menurun bila hasil pengamatan terdahulu cenderung lebih besar dari pengamatan yang terakhir. Untuk pendeteksian adanya trend digunakan uji Cox-Stuart atau Cox-Stuart test for trend, dimana uji ini merupakan modifikasi uji tanda. Uji Cox-Stuart jugadapat digunakan untuk menguji apakah terdapat korelasi antara dua variabel acak, yani dikatakan ada korelasi positif jika Xisemakin besar maka pasangannya (Yi) juga semakin besar, dan dikatakan berkorelasi negatif jika variabel acak

yani dikatakan ada korelasi postif jika Xi semakin besar maka pasangannya (Yi) semakin kecil.

Prosedur uji adanya korelasi sebagai berikut : (1) data terdiri dari pengamatan sampel acak bivariat (Xi,Yi); i = 1, 2, . . . , n; (2) data tersebut diurutkan menurut besarnya variabel acak X ; (3) setelah X diurutkan, kemudian pasangan Y diambil dan dilakukan pemasangan dengan format pemasangannya adalah (Y1,Y1+c), (Y2,Y2+c), (Y3,Y3+c), . . . , (Yn-c,Yn), dimana :

        ganjil bilangan jika , 2 1 genap bilangan jika , 2 n n n n c ,

dan jika n ganjil maka pengamatan yang ditengah dihilangkan; (4) setiap pasangan (Yi,Yi+c) diberi tanda ” + ” jika Yi< Yi+cdan diberi tanda ” – ” jika Yi>Yi+c dan pasangan yang tie (Yi= Yi+c) dihilangkan, sehingga banyaknya pengamatan adalah n’_{; (6) bentuk umum hipotesis dua sisi untuk uji} ini adalah H0: tidak ada korelasi antara variabel X dan Y dan H1: ada korelasi antara variabel X dan Y; (7) Statistik ujinya adalah T yaitu banyaknya tanda ” + ” dimana T ~ B(n’, ½) dan (8) daerah kritis ditentukan sebagai berikut : untuk n’< 20 , daerah kritis uji ini adalah menolak H0 jika T<t atau T>n’–

t, dimana harga t ditentukan oleh

2 ) (T  t 



P . Untuk n’> 20 harga t ditentukan oleh

)

(

2

1

2

n

Z

n

t





_



dimana Z ~ N(0,1).

Setelah dilakukan inferensi bahwa data pengamatan menunjukkan kecenderungan, maka tahap berikutnya adalah menentukan estimasi kurva regresi.

ESTIMASI KURVA REGRESI

Menurut Conover, prosedur untuk regresi monotonik berdasarkan realitas bahwa jika dua variabel mempunyai sebuah hubungan monotonik, maka variabel peringkat kedua variabel itu juga mempunyai hubungan linear (monotonik), sehingga perpencaran data pengamatan disekitar garis regresi mononik berkorespondensi dengan pepencaran dari peringkat data pengamatan di sekitar garis regresinya. Dalam hal ini peringkat dari suatu variabel ditransformasikan menjadi variabel baru, dimana transformasi ini untuk mencari dan mengkoversikan fungsi regresi monotonik ke sebuah fungsi regresi linear. Adapun prosedur estimasi kurva regresi monotonik adalah sebagai berikut :

Data terdiri dari sebuah sampel acak

(

X

₁

,

Y

₁

),

(

X

₂

,

Y

₂

),



,

(

X

_n

,

Y

_n

)

dari sebarang distribusi bivariat. Asumsi pada metode regresi motonik adalah : (1) sampel merupakan sampel acak, (2) regresi dari Y terhadap X adalah monoton. Untuk menentukan estimasi kurva regresi Y terhadap X pada sebuah harga X tertentu (parikuler) yakni pada

X



x

₀, mengikuti tahapan sebagai berikut :

1. Menenentukan

R

(

X

_i

)

yaitu peringkat (rank) dari pengamatan variabel bebas X, dan

R

(

Y

_i

)

adalah peringkat dari pengamatan varibel tak bebas Y. Peringkat kasus pengamatan tie, adalah rata-rata dari peringkat yang bersesuaian.

2. Menentukan persamaan garis regresi pada peringkat R(Y) terhadap R(X) , yaitu :

x

b

a

y



₂



₂ , (3)

dimana harga

a

₂ dan

b

₂ ditentukan dengan menggunakan metode kuadrat terkecil, dengan

menganti

X

_i dengan

R

(

X

_i

)

, dan

Y

_i dengan

R

(

Y

_i

)

pada formula (1), dan didapat:











                n i n i i i n i n i i n i i i i X R X R n Y R X R Y R X R n b 1 2 1 2 1 1 1 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( atau 2 1 2 2 1 2

)

1

(

4

1

)

(

)

1

(

4

1

)

(

)

(















 

n

n

X

R

n

n

n

Y

R

X

R

n

b

_n i i n i i i . (4)

Substitusi (4) ke (1) didapat harga

a

₂ = R(Y_i)b₂R(X_i) =

n

n

n

b

n

n

n

(



1

)

/

2

_

₂

(



1

)

/

2

=

(

1



b

₂

)(

n



1

)

/

2

. (5)

3. Menentukan

R

(

x

₀

)

yaitu peringkat untuk

x

₀ sebagai berikut :

(a) jika

x

₀sama dengan salah satu dari pengamatan, maka

R

(

x

₀

)

sama dengan peringkat dari

i

X

;

(b) jika

x

₀ berada diantara dua pengamatan yang berdekatan

X

_i dan X _j yakni X_i x₀  X_j,

maka

R

(

x

₀

)

ditentukan secara interpolasi dengan menggunakan formula:





(

)

)

(

x

₀

R

X

_i

R

0 [ ( _j) ( _i)] i j i _{R X R X} X X x x _   _{, (6)}

dimana

R

(

x

₀

)

tidak perlu sebuah integer;

(c) jika

x

₀ kurang dari pengamatan terkecil atau lebih dari pengamatan terbesar dari X, maka

)

(

x

₀

R

tidak ada (tidak dapat ditentukan), dan

R

(

x

₀

)

tidak boleh ditentukan melalui

ekstrapolasi, karenaregresi Y terhadap X berlaku hanya didalam interval pengamatan X, yakni

]

,

[

_min

0

X

X

mak

x



.

4. Menentukan estimasi peringkat

y

₀ atau

R

ˆ

(

y

₀

)

dengan cara substitusi

R

(

x

₀

)

ke dalam

persamaan (3) untuk nilai yang bersesuaian dengan

E

(

Y

|

X



x

₀

)

yaitu :

)

(

)

(

ˆ

0 2 2 0

a

b

R

x

y

R





. (7)

5. Mengkonversikan

R

(

y

₀

)

ke dalam

E

ˆ

(

Y

|

X



x

₀

)

untuk menentukan Yˆ yaitu estimasi

)

|

(

Y

X

x

₀

E



, dengan cara sebagai berikut :

(a) jika

R

(

y

₀

)

sama dengan peringkat dari satu diantara pengamatan

Y

_i , maka

i

Y

x

X

Y

E

ˆ

(

|



₀

)



;

(b) jika

R

(

y

₀

)

berada di antara peringkat dari dua pengamatan yang berdekatan

Y

_i dan Y_j, sedemikian hingga Y_i  y₀ Y_j, maka harga

E

ˆ

(

Y

|

X



x

₀

)

ditentukan melalui interpolasi antara

Y

_i dan Y_j :







x

Y

_i

X

Y

E

ˆ

(

|

₀

)

[ )] ) ( ) ( ) ( ) ( ₀ i j i j i _{Y Y} Y R Y R Y R y R _   ; (8)

(c) jika

R

(

y

₀

)

kurang dari peringkat terkecil dari pengamatan

R

(

Y

_i

)

maka

)

min(

)

|

(

ˆ

0

Y

i

x

X

Y

E





, dan jika

R

(

y

₀

)

lebih dari peringkat terbesar pengamatan, maka

)

(

)

|

(

ˆ

0

mak

Y

i

x

X

Y

E





.

Sedangkan estimasi garis regresinya adalah merupakan kurva regresi yang memuat semua titik pengamatan dan ditentukan mengikuti prosedur berikut :

(1). Menentukan

R

(

X

_i

)

untuk setiap

X

_i dari

X

(1) sampai dengan

X

(n) dan

R

(

Y

_i

)

untuk setiap

i

Y

dari

Y

(1) sampai dengan

Y

(n), seperti prosedur awal dalam menentukan estimasi E(Y |X); (2). Menentukan

R

ˆ

(

X

_i

)

yaitu estimasi peringkat dari

X

_i, dengan cara mensubstitusikan

R

(

Y

_i

)

pada persamaan (3) yaitu : 2 2

]

/

)

(

[

)

(

ˆ

_X

_R

_Y

_a

_b

R

_i



_i



. (9)

(3). Mengkonversikan setiap

R

(

X

ˆ

_i

)

dalam menentukan

Xˆ

_i yaitu estimasi dari

X

_i dengan cara

seperti pada tahap 5 , yakni :

(b) jika

R

ˆ

(

X

_i

)

berada di antara peringkat dari dua pengamatan X_jdan

X

_k yang berdekatan,

dimana X_j  X_k , maka

Xˆ

_i dihitung melalui interpolasi:

Xˆ

_i



X

_j



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( j k j k j i X X X R X R X R X R    . (10)

(c) jika

R

ˆ

(

X

_i

)

kurang dari pengamatan terkecil dari observasi atau lebih dari rangking

terbesar dari observasi X , maka tidak ada estimasi untuk

Xˆ

_i

(4). Mengambar grafik setiap titik yang didapat pada tahap (1) dan (3), yaitu grafik setiap titik

)

ˆ

,

(

X

_i

Y

_i dan setiap titik

(

X

ˆ

_i

,

Y

)

. Titik-titik ini akan menjadi monoton naik jika

b

₂



0

, dan monoton turun jika

b

₂



0

.

(5). Menghubungkan garis lurus pada setiap dua titik yang berdekatan pada tahap (4). Ruas garis – ruas garis (segmen garis) yang didapat merupakan estimasi kurva regresi monotonik Y terhadap

X.

Ukuran kebaikan estimasi kurva regresi monotonik pada pembahasan ini adalah rata-rata kuadrat galat atau mean square error (MSE) yang diberikan oleh









n i i i

y

y

n

MSE

1 2

)

ˆ

(

1

, (11)

dimana

y

_i adalah harga pengamatan,

yˆ

_i adalah estimasinya dan n adalah banyaknya pengamatan.

APLIKASI DAN PEMBAHASAN

Sebagai aplikasi dari metode regresi monotonik, berikut ini dibahas bagaimana menentukan estimasi kurva regresi monotonik yang menyatakan hubungan antara usia dan tekanan darah seorang wanita. Untuk maksud ini diambil sampel 15 wanita dan hasilnya pengamatan disajikan pada tabel 1 berikut :

Tabel 1 : Usia dan tekanan darah 15 wanita

Responden Usia (th) Tekanan darah

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 48 60 35 38 55 51 49 38 54 56 31 24 77 63 67 144 168 135 125 159 148 128 134 151 152 141 144 170 157 162 Sumber : Conover p-473

Sebelum menentukan estimasi kurva regresi, terlebih dahulu dilakukan pengujian apakah data pengamatan memenuhi asumsi regresi monotonik dengan melihat apakah data pengamatan

menunjukan adanya korelasi atau trend dengan menggunakan uji Cox-Stuart sebagai berikut : H0 :

terdapat korelasi antara usia dan tekanan darah, H1: tidak ada korelasi antara usia dan tekanan darah. Setelah data pengamatan diurutkan berdasarkan urutan nilai variabel bebas (X) dan kemudian pengamatan Y dipasangkan menurut aturan (Yi,Yi+8) , i = 1,2, 3, . . . , 7 didapat pasangan : (144, 151); (141, 159); (135, 152); (125, 168); (134,157); (144, 162); (128, 170). Berdasarkan pasangan ini

didapat

n





7

, dan T = 7. Dari tabel binomial dengan parameter p = 0,50 dan

n





7

didapat 0078 , 0 ) 1 (Y  

P dan P(Y 1)0,0625 . Sehingga didapat

t



0

dan

n

 t





7

. Karena

7

7

0



T





n





t



maka H0diterima yang berarti terdapat korelasi antara usia dan tekanan darah

yakni tekanan darah wanita (Y) meningkat seiring bertambahnya usia (X).

Tahap berikutnya adalah menentukan estimasi kurva regresi monotonik berdasarkan data

pengamatan pada tabel 1. Untuk itu berdasarkan pengamatan

(

X

_i

,

Y

_i

)

dicari peringkatnya yaitu

)

(

X

_i

R

dan

R

(

Y

_i

)

, serta harga-harga dari

R

ˆ

(

Y

_i

)

,

Y

ˆ



E

ˆ

(

Y

|

X

_i

)

,

R

ˆ

(

X

_i

)

dan

Xˆ

_i, yang dihitung berdasarkan tahapan 1, 2, 3, 4 dan hasil perhitungannya disajikan pada tabel 2 .

Berdasarkan data pada tabel 1, diperoleh persamaan regresi dengan metode kuadrat terkecil

adalah yˆ111,3460,7343x dengan mean square error (MSE) adalah 85,21 dan koefesien

determinasi R2_{= 0,587.Sedangkan koefesien persamaan regresi pada data peringkat, yaitu regresi R(Y} i)

terhadap R(Xi) adalah a = 1.345 dan b = 0,8318 atau persamaan regresinya adalah

) ( ~ 8318 , 0 345 , 1 ) ( ~_{Y R X}

R   , dengan MSE = 6,62 dan R2 _{= 0,692, (grafik garis regresi}

masing-masing pada gambar 1).

Tabel 2 : Perhitungan untuk menentukan estimasi kurva regresi monotoni

Xi Y_i R(Xi) R(Yi) 24 31 35 38 38 48 49 51 54 55 56 60 63 67 77 144 141 135 125 134 144 128 148 151 159 152 168 157 162 170 1 2 3 4.5 4.5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.5 5 4 1 3 6.5 2 8 9 12 10 14 11 13 15

)

(

ˆ

_Y

_i

R

Yˆ

_i

R

ˆ

(

X

_i

)

Xˆ

_i 2.1768 3.0086 3.8404 5.0881 5.0881 6.3358 7.1676 7.9994 8.8312 9.663 10.4948 11.3266 12.1584 12.9902 13.822 144.1169 134 135 141 141 144.1169 145.2650 147.7123 150.2858 153.2542 156.0823 156.7758 159.1947 163.4681 170 6.1974 4.3941 3.1919 -0.4148 1.9897 6.1974 0.7874 8.0007 9.2029 12.8096 10.4051 15.2140 11.6074 14.0118 16.4162 44.3046 38 35 -21.2647 44.3046 24.2103 52.0014 53.4058 63.9050 57.1615 -58.2271 72.6519

Berdasarkan perhitungan pada tabel 2, estimasi kurva regresi monotonik adalah merupakan segmen garis-segmen garis yang menghubungkan semua titik

(

X

_i

,

Y

ˆ

_i

)

dan setiap titik

(

X

ˆ

_i

,

Y

)

yang berdekatan (bersebelahan), dimana

Xˆ

_i dan

Yˆ

_i masing-masing adalah estimasi dari pasangan

pengamatan

(

X

_i

,

Y

_i

)

yang dintentukan berdasarkan transformasi peringkat dari dua variabel X dan Y yakni

Xˆ

_i merupakan hasil konversi atau transformasi dari R(Xi) dan

Yˆ

i adalah hasil transformasi

dari R(Yi).

Berdasarkan data hasil perhitungan pada tabel 2, estimasi kurva regresi dengan metode kuadrat terkecil dan dengan metode monotonik dapat dilihat pada gambar 2a,b, dimana estimasi kurva regresi monotonik ditunjukkan pada gambar 2(b). Pada gambar 2(a), dapat dilihat bahwa estimasi kurva regresi dengan metode kuadrat terkecil (putus-putus) dan estimasi kurva regresi monotonik hampir berimpit. Pada gambar 2(b) merupakan estimasi kurva regresi monotonik, dimana sesungguhnya adalah nonlinear (bukan merupakan garis lurus). Melalui transformasi peringkat data pengamatan mengkonversikan dari regresi monotonik ke kurva regresi yang nampak linear. Kurva regresi

monotonik adalah merupakan gabungan segmen-segmen garis yang menghubungkan titik-titik

terdekat dari semua pasangan

(

X

_i

,

Y

ˆ

_i

)

dan

(

X

ˆ

_i

,

Y

_i

)

. dimana

Xˆ

_i dan

Yˆ

_i berturut turut adalah estimasi

dari pasangan pengamatan

(

X

_i

,

Y

_i

)

yang yang dintentukan berdasarkan transformasi (konversi)

peringkat dari dua pengamatan pada variabel X dan Y.

Berdasarkan nilai rata-rata kuadrat galat (MSE) bahwa, metode regresi monotonik mempunyai

MSE lebih kecil dari metode lebih kuadrat terkecil, dimana MSE metode kuadrat terkecil 85,21, dan MSE metode regresi monotonik adalah 55,69.

Gambar 1a : Regresi Y terhadap X

Gambar 1b : Regresi R(Y) terhadap R(X).

0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 (a) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 (b)

Gambar 2a : Grafik estimasi kurva regresi kuadrat terkecil (putus-putus) dan estimasi kurva regresi monotonik berupa gabungan segmen-segmen garis.

Gambar 2b : Estimasi kurva regresi monotonik berupa gabungan segmen garis dan (*) adalah diagram pencar data pengamatan 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 80 100 120 140 160 180 (a) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 60 80 100 120 140 160 180 200 (b)

KESIMPULAN DAN SARAN

Prosedur untuk regresi monotonik didasarkan pada fakta bahwa jika dua variabel mempunyai hubungan linear monoton maka peringkat kedua variabel tersebut juga mempunyai hubungan linear monoton. Estimasi kurva regresi monotonik adalah merupakan gabungan segmen-segmen garis yang menghubungkan titik-titik terdekat dari pasangan

(

X

_i

,

Y

ˆ

_i

)

dan

(

X

ˆ

_i

,

Y

_i

)

, dimana

Xˆ

_i dan

Yˆ

_i berturut turut adalah estimasi dari pasangan pengamatan

(

X

_i

,

Y

_i

)

yang dintentukan berdasarkan transformasi (konversi) peringkat dari dua pengamatan pada variabel X dan Y. Estimasi kurva regresi monotonik adalah nonlinear yakni bukan berupa garis lurus, tetapi tampak seperti fungís regresi linear.

Berdasarkan hasil analisis dengan menggunakan data contoh, disimpulkan bahwa estimasi kurva regresi monotonik mempunyai MSE lebih lebih kecil jika dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil.

Penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan artikel ini, untuk itu penulis

mengharapkan saran dan kritik yang konstruktif untuk penyempurnaan artikel ini. Dan untuk

penyempurnaan penulisan artikel ini diperlukan penelitian lanjutan, dimana penulis menduga masih

terdapat metode lain yang lebih akurat dalam menentukan estimasi kurva regresi monotonik. DAFTAR PUSTAKA

Conover.W.J. 1999.Practical Nonparametric Statistics.John Wiley & Sons, Inc. Malau Ribut Alam dkk. 2007. Metode Satatistika Nonparametrik. Universitas Terbuka Praptono, Drs. MA. 1986. Metode Satatistika Nonparametrik. Karunika Jakarta.

Puccell, E.J & Varberg.D.1984.Calculus With Analytic Geometry, 4th Edition. Prentice-Hall, Inc. Sudjana . 2002. Metode Statistika. Tarsito Bandung .