Sifat-sifat Super Matriks dan Super Ruang Vektor
Caturiyati
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY wcaturiyati@yahoo.com
Abstrak
Suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan bilangan disebut dengan matriks sederhana atau lebih dikenal dengan matriks. Sedangkan supermatriks adalah suatu matriks yang elemen-elemennya bisa berupa skalar atau matriks. Pada aljabar linear, supermatriks disebut juga dengan matriks blok. Beberapa sifat yang ada pada matriks, muncul sebagai sifat pada supermatriks, seperti super matriks simetris dan super matriks transpos. Suatu abelian super grup atas suatu lapangan F yang memenuhi syarat-syarat super ruang vektor disebut super ruang vektor atas lapangan F. Elemen pada super ruang vektor disebut supervektor.
Kata kunci : super matriks, super ruang vektor, super vektor
I. Pendahuluan
Sebuah matriks adalah suatu kumpulan bilangan dalam susunan array persegi. Contoh-contoh matriks:
8
7
0
5
4
1
3
2
A
,
11
8
7
6
5
4
3
2
1
B
,A
3
1
0
1
2
,Matriks-matriks tersebut disebut dengan matriks sederhana. Dari definisi tersebut, maka matriks sederhana dapat didefinisikan sebagai suatu matriks yang setiap elemen-elemennya adalah bilangan atau huruf yang bertindak sebagai bilangan. Dengan kata lain, elemen-elemen dari suatu matriks sederhana adalah skalar-skalar atau besaran skalar.
Suatu matriks dengan banyaknya kolom adalah 1, sering disebut dengan vektor. Secara geometri di dan , vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Dalam aljabar, elemen dari suatu himpunan tak kosong yang memenuhi syarat-syarat struktur ruang vektor disebut vektor.
II. Pembahasan
Supermatriks didefinisikan sebagai suatu matriks dengan elemen-elemennya berupa skalar-skalar atau matriks-matriks. (Kandasamy and Smarandache, 2008)
1
0
4
2
11
a
,
12
21
40
0
12
a
,
9
2
7
5
1
3
21
a
, dan
11
3
6
17
12
4
22
a
.dengan asumsi
a
ij,1
i
,
j
2
, menotasikan matriks, bukan skalar elemen suatu matriks. Jika ke-empat matriks disusun dalam matriks berikut:
22 21
12 11
a
a
a
a
a
;Secara lengkap ditulis sebagai
11
3
9
2
6
17
7
5
12
4
1
3
12
21
1
0
40
0
4
2
a
.Maka a disebut supermatriks berukuran . Pada aljabar linear, supermatriks disebut dengan matriks blok.
Cara membentuk supermatriks: (Yost, 1991)
a. Partisi simetri
Partisi simetri merupakan suatu cara mempartisi suatu matriks sederhana baris dan kolomnya dengan cara yang sama.
Aturan partisi simetri suatu matriks sederhana simetri adalah:
(1) Subsubmatriks penyusun elemen diagonal super matriks adalah matriks-matriks simetri.
(2) Elemen-elemen di bawah dan di atas elemen diagonal saling transpos.
Contoh:
5
1
1
5
9
1
6
0
2
9
6
5
1
4
3
2
s
a
. Matriksa
sdipartisi antara kolom 1 dan 2 serta kolom 3 dan 4,
7
2
4
7
2
5
1
2
4
1
6
3
7
2
3
4
a
, matriks partisi simetris tersebut merupakan suatu super matriksdengan
6
3
3
4
11
a
,
4
1
7
2
12
a
,
4
7
1
2
21
a
, dan
7
2
2
5
22
a
, sehinggasupermatriks
22 21
12 11
a
a
a
a
a
.a
11 dana
22 adalah matriks-matriks simetri danmerupakan elemen-elemen diagonal supermatriks
a
.a
12 adalah matriks transpos dari 21a
, dana
12 dana
21 merupakan elemen-elemen non diagonal supermatriksa
.b. Supermatriks orde empat yang diperoleh melalui partisi simetri matriks sederhana simetri didefinisikan sebagai berikut:
44 34 24 14
34 33 23 13
24 23 22 12
14 13 12 11
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
T T T
T T T
dengan
(i)
a
11 =a
11T .(ii)
a
Tij (i
j
);a
Tij =a
ji dana
Tji =a
ij,i
,
j
1
,
2
,
3
,
4
. (Varadarajan, 2004)c. Secara umum, supermatriks hasil dari partisi simetri matriks sederhana simetri didefinisikan sebagai berikut:
nn T
n T
n
n T
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1
2 22
12
1 12
11
.
n T T T D D D D 0 0 0 0 0 0 2 1
. Selanjutnya D disebut super diagonal matriks.
Contoh:
Diberikan matriks D sebagai berikut:
10
9
0
0
0
3
1
0
0
0
5
2
0
0
0
0
0
0
6
5
0
0
2
1
3
1D
, atau dalam notasi super diagonal matriks
2 1 10
0
m
m
D
.Matriks identitas super dinyatakan sebagai
[
]
dengan dan menotasikan banyaknya baris dan kolom matriks identitas pertama, kedua dan ketiga, nol menotasikan matriks nol.
e. Transpos super matriks
Diberikan suatu supermatriks berorde n x m,
nm n n m ma
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1 2 22 21 1 12 11. Transpos
dari supermatriks a dinotasikan dengan aT adalah supermatriks berorde m x n dengan definisi sebagai berikut:
T nm T m T m T n T T T n T T Ta
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2 1 2 22 12 1 21 11 . Contoh:
5
1
1
0
1
4
0
0
0
2
1
0
1
6
5
1
1
0
2
2
2
0
1
1
1
1
1
0
2
0
6
5
3
1
2
a
=
32 31 22 21 12 11a
a
a
a
a
a
, dengan
1
1
1
0
2
0
3
1
2
11a
,
2
0
1
1
6
5
12a
,
1
6
5
0
2
2
21a
,
1
1
1
0
2
0
3
1
2
11a
,
1
1
1
0
2
0
3
1
2
11a
, dan
1
1
1
0
2
0
3
1
2
11a
.matriks segitiga atas parsial dipartisi menjadi supermatriks, dengan
' a T dengan
submatriks segitiga bawah.
Supervektor
Suatu vektor sederhana adalah suatu vektor dengan setiap elemennya adalah skalar disebut supervektor kolom tipe I yaitu
n v v v 2 1
dengan setiap adalah subvektor kolom dari vektor kolom .
Definisi 1. (Kandasamy and Smarandache, 2008) Misalkan
yaitu
m n
a a a
1 1 2 1 1
didefinisikan sebagai supervektor kolom tipe II. Secara sama jika
1 21 11
n
a a a
2 22 12
n
a a a
nm m m
a a a
2 1
Sehingga
a1 a2 am
ndidefinisikan sebagai supervektor baris tipe II. Jelaslah
m n
a a a
1 1 2 1 1
nm a a
a1 2
merupakan kesamaan supermatriks.
Berikut ini diberikan contoh supervektor tipe III,
2 1 5 0 0
9 6 1 2 0
8 7 1 2 3
T T
a T
dan
3 7 4
9 2 5
6 3 8
0 4 9
0 0 2
T
b T
adalah supervektor tipe III.
nm n
n
m m
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
Transpos Supermatriks
Transpos supermatriks adalah
T nm T
m T
m
T n T
T
T n T
T
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
12
1 21
11
adalah supermatriks diperoleh dengan mengambil transpos dari setiap elemen yaitu submatriks dari .
Selanjutnya diberikan matriks sederhana simetri dipartisi secara simetri, akan ditentukan transposnya.
Diberikan matriks supermatriks simetri
mm m
m
m m
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
transpos dari supermatriks adalah
T mm T
m T
m
T T
m T
T
T T
m T
T T
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
12
1 12
11
Matriks diagonal adalah matriks simetri sehingga tidak berubah karena transposisi. Sehingga diperoleh
Karena transpos dari transpos matriks orisinal,yaitu
( )
T mm T
m T
m
m T
m
a a
a
a a
a
a a
a
2 1
2 22
21
1 12
11
dan .
Secara sama transpos dari matriks diagonal dipartisi secara simetri adalah supermatriks diagonal orisinal itu sendiri, yaitu jika
n
d d
d
2 1
dan
T n T
T
d d
d
2 1
dan seterusnya. Sehingga .
Super Ruang Vektor dan Sifat-sifatnya
Diberikan field secara umum. field bilangan real, field rasional dan field bilangan bulat modulo , prima. Field-field tersebut real, kecuali field bilangan kompleks. (Deligne and Morgan, 1999)
Sebagai ilustrasi diberikan
x1 x2 x3 x4 x5 x6
supervektor baris denganfield, dan . Misalkan
y1 y2 y3 y4 y5 y6
dengan ,. dan supervektor bertipe sama. Selanjutnya, jika
z1 z2 z3 z4 z5 z6
, , dan . supervektor, namun tidak mempunyai tipe yang sama dengan dan . Lebih lanjut, supervektor bertipe sama dan atas field yang sama dikatakan sama jika dan hanya jika untuk . Supervektor bertipe sama dapat dijumlahkan yang hasilnya supervektor bertipe sama. Hasil tentang supervektor yang penting diuraikan pada teorema berikut:{
x1 x2 ... xr xr1 ... xi xi1 ... xt1 xt2 ... xn
| }, field,. pada tipe ini suatu grup abelian terhadap penjumlahan per komponennya.
Bukti:
Diberikan
x1 x2 ... xr xr1 ... xi xi1 ... xt1 xt2 ... xn
dan
y1 y2 ... yr yr1 ... yi yi1 ... yt1 yt2 ... yn
x1y1 x2y2 ... xr yr xr1yr1 ... xi yi xi1 yi1 ...
n n t
t t
t y x y x y x1 1 2 2 ...
merupakan super vektor bertipe sama dengan dan dan berada di sebagai
.
Jelaslah
0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0
untuk . Selanjutnya jika
x1 x2 ... xr xr1 ... xi xi1 ... xt1 xt2 ... xn
maka
x1 x2 ... xr xr1 ... xi xi1 ... xt1 xt2 ... xn
dengan
0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0 0 ... 0
juga .
Sehingga grup abelian atas penjumlahan.
Contoh:
Diberikan field bilangan rasional. Diberikan | | . Jelaslah grup abelian atas penjumlahan per komponen super vektor . Ambil sebarang dua supervektor, katakan
3 2 1 5 3
dan
0 2 4 1 2
di .
0 0 0 0 0
. Sehingga grup abelian atas penjumlahan per komponen dari super vektor.Jika
3 1 1 4 5 6 2
suatu supervektor. Jelaslah , karena mempunyai tipe berbeda dengan .Definisi 2. (Kandasamy and Smarandache, 2008)
Diberikan super grup abelian yaitu suatu grup terpartisi abelian atas penjumlahan, field. disebut super ruang vektor atas jika dipenuhi syarat-syarat berikut ini:
(i) Untuk semua dan dan di . Selanjutnya .
(ii) Untuk semua dan untuk semua maka . (iii) .
(iv) Untuk dan maka dan . (v) Untuk setiap dan , .
(vi) untuk dan .
Elemen disebut super vektor dan elemen disebut skalar.
Contoh:
Diberikan {
x1 x2 x3 x4
| }. super grup abelian atas penjumlahan. field rasional, super vektor atas . Untuk jika dan
2 5 1 3
10 2 50 10 30
.Definisi 3. (Kandasamy and Smarandache, 2008)
Diberikan super ruang vektor atas field . Suatu super vektor di dikatakan kombinasi linear supervektor-supervektor di dengan skalar di sehingga
∑ .
Contoh:
1 1 2 0 1 1
5 3 1 2 5 5
dan
0 7 3 1 2 8
supervektor di . Dapat ditemukan di sehingga .Kesimpulan
1. Suatu supermatriks merupakan suatu matriks yang elemen-elemennya merupakan matriks-matriks sederhana.
2. Suatu supervektor dapat didefinisikan sebagai supermatriks dengan kolomnya 1. Namun dapat juga didefinisikan sebagai elemen suatu super ruang vektor. Dengan definisi super ruang vektor merupakan himpunan tak kosong yang memenuhi syarat-syarat ruang vektor atas penjumlahan perkomponen dan perkalian dengan skalar.
3. Transpos dari transpos supermatriks simetri adalah supermatriks orisinalnya.
4. Suatu supervektor dikatakan merupakan kombinasi linear supervektor-supervektor dari super ruang vektor jika dapat ditemukan skalar di fieldnya sehingga memenuhi persamaan
∑ .
Daftar Pustaka
Deligne, P. and Morgan, J.W.1999. Notes on supersymmetry following Bernstein. Quantum fields and strings; a course for mathematicians, Vol. 1, Amer. Math. Soc.
Kandasamy, W.B.V. and Smarandache, F. 2008. Super Linear Algebra. InfoLearnQuest Ann Arbor.
Varadarajan, V.S. 2004. Supersymmetry for mathematicians: an introduction. Courant Lecture Notes. Courant Lecture Notes Series, New York.
