MODUL
BARISAN DAN DERET
KELAS XII. IPA
SEMESTER I
Oleh : Drs. Pundjul Prijono
( http://vidya gata.wordpress.com )
SMA NEGERI 6
BAB I. PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Dalam modul ini, anda akan mempelajari pola bilangan, barisan, dan
deret diidentifikasi berdasarkan ciri-cirinya. Notasi sigma dan penggunaannya
dalam menyederhanakan penulisan suatu deret. Barisan dan deret aritmatika
diidentifikasikan berdasarkan ciri-cirinya, nilai unsur ke n suatu barisan
aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku pertama
suatu deret aritmatika ditentukan dengan menggunakan rumus. Barisan dan
deret geometri diidentifikasikan berdasarkan ciri-cirinya, nilai unsur ke n suatu
barisan geometri ditentukan dengan menggunakan rumus, jumlah n suku
pertama suatu deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus,
jumlah takhingga deret geometri ditentukan dengan menggunakan rumus.
B. Prasyarat
Agar dapat mempelajari modul ini anda harus telah memahami operasi
pada bilangan real.
C. Petunjuk Penggunaan Modul
1. Perhatikan langkah-langkah dalam setiap contoh sehingga mempermudah
dalam memahami konsep pola bilangan, barisan maupun deret.
2. Apabila ada soal latihan, kerjakanlah soal-soal tersebut sebagai latihan
untuk persiapan evaluasi.
3. Jawablah tes formatif dengan jelas sesuai dengan kemampuan Anda. Jika
Anda masih ragu-ragu dengan jawaban yang Anda peroleh, Anda bisa
melihat kunci jawaban formatif yang sesuai.
4. Kerjakan soal-soal yang ada pada evaluasi.
D. Tujuan Akhir
Setelah mempelajari modul ini diharapkan Anda dapat:
1. memahami pola bilangan, barisan, dan deret.
penulisan suatu deret.
3. memahami barisan dan deret aritmatika.
4. menentukan unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan menggunakan
rumus.
5. menentukan jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dengan
menggunakan rumus.
6. memahami barisan dan deret geometri.
7. menentukan unsur ke n suatu barisan geometri dengan menggunakan
rumus.
8. menentukan jumlah n suku pertama suatu deret geometri dengan
menggunakan rumus.
9. menentukan jumlah takhingga deret geometri dengan menggunakan
BAB II.PEMBELAJARAN
Kompetensi : Menerapkan konsep baris dan deret.
Sub Kompetensi : - Mengidentifikasi pola bilangan, barisan dan deret. - Menerapkan konsep barisan dan deret aritmatika. - Menerapkan konsep barisan dan deret geometri.
A. KEGIATAN BELAJAR
1. Kegiatan Belajar 1
Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi Sigma a. Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar ini, diharapkan anda dapat:
menentukan pola suatu deretan bilangan,
menentukan unsur ke n suatu barisan berdasarkan sifat/pola yang dimiliki,
menentukan n unsur pertama suatu barisan jika rumus unsur ke n barisan itu
diketahui,
menentukan suku ke n suatu barisan berdasarkan sifat/pola yang dimiliki oleh barisan yang terkait,
menentukan n suku pertama suatu deret jika rumus suku ke n deret itu
diketahui,
menyatakan suatu penjumlahan dengan menggunakan notasi sigma,
menentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma,
memahami beberapa sifat pada notasi sigma.
b.
Uraian Materi
Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut:
a. 1 2 3 ...
b. 4 9 16 ...
c. 31 40 21 30 16 ...
Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda
menentukan bilangan yang belum diketahui sesuai dengan aturan yang
Pada a, bilangan ke 4 adalah 4, sebab deretan bilangan nomor 1, mempunyai aturan: bilangan ke 2 = 1 + 1 = 2, bilangan ke 3 = bilangan ke 2 + 1 = 2 +
1 = 3. Jadi bilangan ke 4 = bilangan ke 3 + 1 = 3 + 1 = 4.
Pada b, bilangan ke 4 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 2, mempunyai aturan: bilangan ke 1 = (1 + 1)2 = 22 = 4, bilangan ke 2 = (2 +
1)2 = 32 = 9, bilangan ke 3 = (3 + 1)2 = 42 = 16. Jadi bilangan ke 4 = (4 +
1)2 = 52 = 25.
Pada c, bilangan ke 6 adalah 25, sebab deretan bilangan nomor 3, mempunyai aturan: bilangan ke 3 = bilangan pertama - 10 = 31 - 10 = 21,
bilangan ke 4 = bilangan ke 2 - 10 = 40 - 10 = 30, bilangan ke 5 = bilangan
ke 3 - 5 = 21 - 5 = 16,. Jadi bilangan ke 6 = bilangan ke 4 - 5 = 30 - 5 = 25.
Aturan yang dimiliki oleh deretan bilangan di atas disebut pola bilangan
pada deretan itu. Pola sebuah deretan bilangan tidak tunggal. Sebagai
contoh, pada deretan bilangan nomor 2, bilangan ke n = (n + 1)2 dengan n
= 1, 2, 3, 4.
Selanjutnya kita akan membicarakan deretan bilangan dengan pola
khusus yang disebut barisan dan deret.
Definisi
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dengan domain himpunan semua bilangan asli ( ) dan kodomain himpunan semua bilangan real (). Jika U merupakan fungsi dari ke , maka barisannya sering ditulis dengan U1,
U2, U3, ..., Un, .... Pada barisan U1, U2, U3, ..., Un, ... , Un disebut unsur ke
n atau elemen ke n dari barisan itu.
Contoh 1.1
1. 1, 2, 3,... merupakan barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah Un
= n.
2. 1, -1, 1, -1,.... adalah barisan dengan unsur ke n dari barisan itu adalah Un = (-1)
n
.
Definisi
Jika U1, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan bilangan real, maka
U1 + U2 + U3,... + Un +...
Perhatikan jumlahan bilangan-bilangan berikut.
1. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7.
2. 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12.
3. 1 + 1 + 1 .
3 9 27
4. 1 + 3 + 5 + 7 + 9.
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi
(dibaca: sigma), Sehingga jumlahan bilangan diatas dapat ditulis kembali :1.
Beberapa sifat notasi sigma
c.
Rangkuman 1
Jumlahan bilangan-bilangan dari deretan bilangan yang mempunyai pola dapat dituliskan dengan notasi
(dibaca: sigma).
d.
Kegiatan 1
Agar mempunyai wawasan tentang Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi
Sigma dengan baik , kerjakan soal dibawah ini dengan baik.
1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ke-n dari setiap barisan berikut:
a. 13, 9, 5, ...., U31
b. 25, 21, 17, 13, ..., U20
c. -10, -8, -6, -4, ..., U100
2. Tentukan bentuk notasi sigma dari setiap deret berikut : a. 2 + 5 + 8 + ... + 119
3. Hitunglah deret-deret berikut :
a.
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang Pola Bilangan, Barisan, Deret dan Notasi Sigma maka anda harus mengulang kembali
membaca dan memahami konsep tentang Integral sebagai anti turunan.
Jika nilai perolehan maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini.
2. Kegiatan Belajar 2:
Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika a.
Tujuan Kegiatan pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 2, diharapkan Anda dapat:
memahami barisan aritmatika,
menentukan unsur ke n suatu barisan aritmatika,
memahami deret aritmatika,
menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika.
b.
Uraian Materi
Kadang-kadang, suatu barisan mempunyai pola khusus. Pada barisan
1, 2, 3, 4, …, selisih antara unsur yang berurutan, yaitu: ke 1 dengan ke 2,
ke 2 dengan ke 3, ke n dengan ke n + 1, dan seterusnya adalah tetap, yaitu
sama dengan 1. Barisan semacam ini disebut barisan aritmatika. Secara matematik, pengertian barisan arimatika dapat dituliskan sebagai berikut.
Definisi
Barisan U1, U2, U3,..., Un,... disebut barisan aritmatika jika Un - Un-1 =
konstan, dengan n = 2, 3, 4,.... Konstanta pada barisan aritmatika di atas disebut beda dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan b, dan U1
sering dinotasikan dengan a.
Contoh 2.1
1. 1, 2, 3,... merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 1.
2. 1, 3, 5, … merupakan barisan aritmatika dengan beda, b = 2.
3. 1, -1, 1, -1,.... bukan barisan aritmatika sebab
Menurunkan Rumus Unsur ke n Barisan Aritmatika
Jika U1 = a, U2, U3,..., Un,... merupakan barisan aritmatika, maka unsur
ke n dari barisan itu dapat diturunkan dengan cara berikut.
U1 = a
U2 = a + b
U3 = U2 + b = (a + b) + b = a + 2b U4 =
U3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b U5 = U4
+ b = (a + 3b) + b = a + 4b
. . .
Un = a + (n -1)b
Jadi rumus umum unsur ke n suatu barisan aritmatika dengan unsur pertama a dan beda b adalah:
Un = a + (n -1)b
Contoh 2.2
Diketahui barisan aritmatika dengan unsur ke 2 adalah 10 dan beda = 2.
Tentukan unsur ke 7 barisan itu.
Penyelesaian:
Diketahui U2 = 10, b = 2. Dengan menggunakan rumus Un = a + (n -1)b,
diperoleh
U2 = a + (2-1)b
U2 = a + b a
= U2 - b
= 10 - 2
= 8
U7 = a + (7-1) b
= a + 6 b
= 8 + 6 (2)
= 8 + 12
= 20.
Jadi unsur ke 7 dari barisan adalah 20.
Contoh 2.3
Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun tebu
Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun
Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya
naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada
akhir tahun 2005?
Penyelesaian:
Misalkan:
a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.
b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir
tahun.
P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005. Jadi
a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.
Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap
akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak
Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari
barisan aritmatika dengan
U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.
Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005
adalah Rp 8.500.000,-
Dengan adanya deret aritmatika, kita dapat membentuk barisan yang
terkait dengan deret tersebut. Barisan demikian disebut barisan aritmatika.
Definisi
Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka, maka
U1 + U2 + U3 + ... + Un, ....
disebut deret aritmatika. Un disebut suku ke n dari deret itu.
Jika Sn menyatakan jumlah n suku pertama deret aritmatika U1 + U2 +
U3 + ... + Un, ...., maka Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un dapat diturunkan
dengan cara sebagai berikut.
Sn = Un + (Un - b) + (Un - 2b) + ... + a
Sn = a + (a - b) + (a + 2b) +... + Un
2Sn = (a + Un) + (a + Un) + (a + Un) +... + (a + Un), sebanyak n suku.
beda, yang dinotasikan dengan b.
Jika U1, U2, U3, ..., Un, .... merupakan barisan aritmatka dengan beda b
Agar mempunyai wawasan tentang Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika
dengan baik , kerjakan soal dibawah ini dengan baik.
1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan aritmatika dibawah ini : a. 3, 6, 9, 12, ...
b. 1, 6, 11, 16, ... c. -15, -8, -1, 6, ...
2. Carilah suku yang diminta dalam setiap barisan aritmatika berikut : a. 1, 4, 7, 10, ..., suku ke-50
b. 25, 21, 17, 13, ..., suku ke-20 c. -10, -8, -1, 6, ..., suku ke-50 3. Tentukan nilai dari:
a. 2 + 7 + 12 +.... + 297
b. 30 + 26 + 22 + ... + 2.
4. Tentukan x jika:
a. 100 + 96 + 92 + … + x = 0.
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 1 cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan modul 2
Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang Barisan Aritmatika dan Deret Aritmatika maka anda harus mengulang kembali
membaca dan memahami konsep tentang Barisan Aritmatika dan Deret
Aritmatika.
Jika nilai perolehan maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang
telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan
dari hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke
topik/modul berikutnya.
e.
Tes Formatif 1
Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmatika?
1. - 1 , 3, -12, 48, ...
2
2. a, a + x2, a + 2x2, a + 3x2, ...
Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui.
3. 1, -1, -3, -5,....; n = 15.
4. 4, 8, 12,....; n = 50.
Hitunglah:
5. 30 + 25 + 20 + ... + (-40).
6. 2 + 10 + 18 +... + 72.
7. Suku ke 5 suatu deret aritmatika adalah 22, jumlah suku ke 7 dengan suku
ke 2 adalah 39. Tentukan jumlah 5 suku pertamanya.
Tentukan suku pertama dan beda dari barisan aritmatika yang mempunyai:
8. U6 = 5; U12 = -13.
9. U13 = 8; U17 = 48.
3. Kegiatan Belajar 3
Barisan Geometri dan Deret Geometri a.
Tujuan Kegiatan Pembelajaran
Setelah mempelajari kegiatan belajar 3, diharapkan Anda dapat:
memahami barisan geometri,
menentukan unsur ke n suatu barisan geometri,
memahami deret geometri,
menentukan jumlah n suku pertama deret geometri,
menentukan jumlah deret geometri tak hingga.
b.
Uraian Materi
Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan U1
= a dan rasio r dapat diturunkan dengan cara berikut.
U1 = a
U2 = a r
U3 = U2 r = (a r)r = ar 2
U4 = U3 r = (a r 2
)r = ar3
. . .
Un = Un-1 r = ar n-1
Jadi rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
U1 = a dan rasio r adalah:
Un = ar n- 1
Definisi
Jika U1, U2, U3, ..., Un,.... merupakan barisan geometri dengan unsur
pertama adalah a = U1 dan rasio r, maka U1 + U2 + U3 + ... + Un + .... disebut
deret geometri dengan Un = ar n-1
Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a
dan rasio r, dapat diturunkan dengan cara sebagai berikut.
Misalkan Sn = U1 + U2 + U3 + ... + Un, maka
Sn = a + ar 2
+ ar3 + ... + arn-1
r Sn = ar + ar 3
Modul Matema tika SMA Negeri 6 Ma lang
Jadi rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama
a dan rasio r adalah
Deret geometri tak hingga adalah deret geometri dengan | r | < 1 Jumlah deret geomatri tak hingga adalah :
r
Rumus pada deret geometri berlaku juga untuk n tak terhingga. Adapun untuk n tak terhingga ada dua kasus :
1.Jika -1 < r < 1, maka rn menuju 0 akibatnya
Deret geometri dengan -1 < r < 1 ini disebut deret geometri konvergen (memusat)
Deret geometri dengan r < -1 atau r > 1 disebut deret geometri divergen (memencar)
Contoh 3.1
Diketahui barisan 27, 9, 3, 1, .... Tentukanlah :
a. Rumus suku ke-n
b. Suku ke-8 Jawab :
a. Rasio pada barisan tersebut adalah tetap yaitu r =
3 1
sehingga barisan tersebut
adalah barisan geometri.
Rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah
1
Suatu deret geometri mempunyai suku ke-5 sama dengan 64 dan suku ke-2 sama dengan 8. Tentukanlah jumlah 10 suku pertama dan jumlah n suku pertama deret geometri tersebut.
U2 = 8, berarti ar = 8
dengan mensubstitusikan r = 2 ke persamaan ar = 8, akan didapatkan a.2 = 8 sehingga a= 4.
Jumlah n suku pertama deret ini adalah
2
rasio dari barisan itu dan sering dinotasikan dengan r.
2. Rumus unsur ke n barisan geometri U1, U2, U3, U4,..., Un,.... dengan
4. Rumus jumlah n suku pertama deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r adalah:
r
Jika n menuju tak hingga Sn berhingga, maka deret yang bersangkutan
disebut deret konvergen, dan jika tidak demikian disebut deret divergen. 5. Jumlah tak hingga suatu deret geometri dengan suku pertama a dan rasio r
adalah Sn = r a
Modul Matema tika SMA Negeri 6 Ma lang
d. Kegiatan 3
Agar mempunyai wawasan tentang Barisan Geometri dan Deret Geometri dengan
baik , kerjakan soal dibawah ini dengan baik.
1. Tentukan suku yang diminta dari barisan geometri pada setiap soal berikut : a. 2, 4, 8, 16, ..., U12
b. 3, -9, 27, -81, ..., U10
c. 2, 3,3 2,3 6,...,U5
2. Tulislah rumus suku ke-n dari barisan berikut : a. 1, 2, 4, ...
b. ,....
8 1 , 4 1 , 2 1
c. 2,2,2 2,...
3. Diketahui deret geometri : ...
9 1 3 1 1
3
Tentukan : a. Rasio
b. Suku ke-10
c. Jumlah 10 suku pertama
4. Diketahui deret geometri suku ke-3 adalah 16 dan suku ke-5 sama dengan 64. Tentukan :
a. rasio
b. rumus jumlah n suku pertama
Jika anda sudah menyelesaikan kegiatan 3 cocokkan jawaban anda pada kunci
jawaban yang berada dibelakang modul ini. Setelah anda cocokkan berilah nilai
kegiatan anda didalam mengerjakan kegiatan modul 3
Jika nilai perolehan < 75 , artinya anda belum paham tentang Barisan Geometri dan Deret Geometri maka anda harus mengulang kembali
membaca dan memahami konsep tentang Barisan Geometri dan Deret
Geometri.
Jika nilai perolehan maka anda boleh meneruskan pada kegiatan modul
berikut ini anda berhak untuk mengikuti tes untuk menguji kompetensi yang
telah anda pelajari. Apabila anda dinyatakan memenuhi syarat ketuntasan dari
hasil evaluasi dalam modul ini, maka anda berhak untuk melanjutkan ke
e. Tes Formatif 3
Selidiki, apakah barisan-barisan berikut merupakan barisan aritmatika? 1. 1,3,9,27,...
2. ,...
16 1 , 8 1 , 4 1
Tentukan unsur ke n dari barisan berikut untuk n yang diketahui. 3. 2, -4, 8, ..., n = 10
4. 3,3,3 3,...n10
Hitunglah:
5. 2 – 6 + 18 .... sampai 10 suku
6. 3 + 1 +
3 1
+
9 1
+ ... sampai tak hingga
7. Dari ketinggian 2 m sebuah bola dijatuhkan ke lantai. Setiap kali memantul ketinggian bola tersebut tinggal 3/5 dari tinggi sebelumnya. Berapakah jarak yang yang ditempuh bola selama 10 kali pantulan 8. Diketahui jumlah n suku pertama deret geometri adalah Sn=5(2n– 1)
Tentukan :
a. Suku pertama dan rasio
Modul Matema tika SMA Negeri 6 Ma lang
BAB III. EVALUASI
1.Banyaknya suku suatu deret aritmatika adalah 15. Suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret tersebut 285. Tentukan suku pertama deret tersebut.
2.Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 1 sampai 50 yang tidak habis dibagi 3.
3.Suku kedua deret geometri adalah 12, dan suku ke-8 adalah 96, dan suku ke-n adalah 160. Jika suku-suku deret geometri tersebut merupakan suku positif, tentukan jumlah n suku pertama deret tersebut.
4.Pada barisan bilangan 4, x, y, z diketahui tiga suku pertama membentuk barisan geometri dan tiga suku terakhir membentuk barisan aritmatika. Tentukan nilai x + y.
5.Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 1 meter. Setiap kali sesudah jatuh mengenai lantai, bola itu dipantulkan lagi dan mencapai ¾ dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang seluruh jalan yang dilalui bola itu sampai berhenti.
