METODE KOMPUTASI DAN NUMERIK
PROGRAM STUDI TEKNIK MESIN FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS SEBELAS MARET 2017
METODE NUMERIK :
Metode numerik adalah teknik yang dengannya persoalan-persoalan matematika dirumuskan sedemikian sehingga persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan operasi arimatika, (Chapra, 2010)
Karakteristik metode numerik :
• (metode numeric) mengerjakan banyak kalkulasi aritmetika = (numerical method) invariably involve large numbers of tedious arithmetic calculations.
• Metode numerik dilaksanakan dengan komputer. Komputer dapat
mengerjakan perhitungan aritmetika secara cepat dan efisien.
Persoalan matematika :
1. Akar-akar persamaan
2. Sistem persamaan aljabar linier simultan
3. Optimisasi 4. Curve fiting
5. Integrasi dan diferensiasi numerik
6. Persamaan diferensial biasa
7. Persamaan diferensial
parsial
Bab 3
Pendekatan dan Error Pembulatan
• Angka penting / significant figures
• Akurasi dan presisi / Accuracy and precision
• Definisi error
• Error pembulatan / round-off error
ANGKA PENTING / SIGNIFICANT FIGURES
• Contoh : Bilangan irasional : e, , dll, hanya dapat dinyatakan dengan jumlah digit terbatas (oleh komputer)
• = 3.141592653589793238462643...
• e = 2.718281828459045...
• Konsep angka penting : berkaitan dengan banyaknya digit ditambah satu digit yang diestimasi. Contoh:
spedometer dan odometer.
• Spedometer : Gambar memberi pembacaan (read-ing) 3 angka penting. Pembacaan memberikan 2 digit pasti
(certain digit) yaitu 48. Selanjutnya : aturan umum (conventional) untuk menetapkan digit yang diestimasi adalah ½ dari skala terkecil alat pengukurannya. Maka pembacaan pada spedometer terdiri dari 3 angka
penting yaitu: 48.5.
• Odometer menghasilkan pembacaan 7-angka penting yaitu 87,324.45.
Istilah :
• Akurasi = berapa dekat suatu nilai yang diukur terhadap nilai sebenarnya
Istilah :
• Akurasi = berapa dekat suatu nilai yang diukur terhadap nilai sebenarnya
• Presisi = berapa dekat tiap-tiap nilai yang diukur / dihitung terhadap nilai- nilai tersebut satu sama lain
Konsep akurasi dan presisi dapat diilustrasikan secara grafis menggunakan analogi latihan menembak (target practice). Lubang-lubang bekas peluru pada tiap sasaran pada Gambar 3.2 dapat dianggap sebagai prediksi dari suatu teknik numerikal, sedangkan sasaran tengah menyatakan (angka) yang benar.
Gambar 3.2 Ilustrasi konsep akuras dan presisi.
(a) inaccurate and imprecise; (b) accurate and imprecise; (c) inacurate and precise; (d) accurate and precise.
Innacuracy / ketidakakuratan , juga disebut bias :
• didefinisikan sebagai simpangan sistematik dari nilai yang benar.
• Maka meskipun tembakan pada Gambar 3.2c lebih terkelompok / mengelompok daripada (tembakan) pada Gambar 3.2a, 2
kasus tersebut terbiaskan secara sama ? equally biased karena keduanya terpusah pada kuadrant kiri atas terhada target.
Selain itu ? on the other hand,
Imprecision / ketidak presisian, juga disebut uncertainty / ketidakpastian
• mengacu pada magnitude / besar sebaran / magnitude of the scatter.
• Maka dari itu, meskipun Gambar 3.2b dan d sama-sama akurat (yaitu, dipusatkan / terpusat di tengah / pada sasaran), tetapi Gambar 3.2b lebih tepat / precise karena tembakan-tembakan lebih mengelompok.
Metode numerik harus :
• cukup akurat atau tidak bias, supaya memenuhi syarat persoalan teknik tertentu.
• cukup presisi / precise untuk disain teknik yang memadai.
Dalam kuliah ini : (Buku Chapra, 6th edition) :
• Error menyatakan inaccuracy / ketidak akuratan dan the imprecision / ketidak-presisian dari suatu prediksi yang diperoleh dengan metode numerik.
Error definitions
• Error numerikal muncul karena digunakannya pendekatan untuk operasi dan kuantitas matematika yang eksak.
• Numerical error meliputi :
• truncation errors : muncul bila digunakan pendekatan untuk menyatakan prosedur matematika,
• round-off errors : muncul ketika bilangan dengan angka penting tertentu digunakan untuk menyatakan bilangan-bilangan eksak.
Relasi antara hasil yang benar atau eksak, dan hasil pendekatan dapat dirumuskan sebagai : Nilai benar = pendekatan + error ; Et = nilai benar – pendekatan, subskrip t = true
Maka :
• Error = nilai benar – pendekatan
• Error relatif / percent error relatif =
Round-off errors
Round off error = Perbedaan antara nilai benar dan nilai pendekatan yang disebabkan karena mengabaikan angka penting ini.
• Error pembulatan / round off error : disebabkan karena komputer menggunakan jumlah angka penting yang terhingga ( finite) ketika melakukan suatu kalkulasi, sehingga :
• Bilangan seperti , e tidak dapat dinyatakan dengan jumlah angka penting yang tertentu / fix, sehingga bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan secara eksak oleh komputer.
• karena komputer menggunakan representasi basis-2, maka komputer tidak dapat dengan tepat (cannot precisely) menyatakan bilangan basis 10 dengan tepat (precise).
• Perbedaan yang disebabkan karena mengabaikan angka penting ini disebut
round-off error.
Sub bab 3.4.2
Arithmetic Manipulations of Computer Numbers
• Komputer bekerja melakukan perhitungan menggunakan bilangan-bilangan
‘yang tidak dapat dinyatakan dengan tepat’ menggunakan sistem komputer (basis-2 / biner, karena digit terbatas, dll). Maka error pembulatan (bisa
saja) ditimbulkan oleh manipulasi aritmetika sebagai berikut:
• Common arithmetic operations
• Penjumlahan / Additional
• Pengurangan / Subtraction
• Perkalian / Multiplication
• Pembagian / Division
• Penjumlahan bilangan besar dengan bilangan kecil
• Subtractive cancellation
• Common arithmetic operations
• Penjumlahan / Additional
• Pengurangan / Subtraction
• Perkalian / Multiplication
• Pembagian / Division
Subtractive cancellation
• Subtractive cancellation : istilah yang menunjuk kepada pembulatan yang terjadi bila mengurangkan 2 bilangan floating-point yang hampir sama.
• Contoh : Pencarian akar dari persamaan kuadrat atau
parabola dengan
menggunakan rumus kuadratik,Contoh :
• Y = ax^2 + bx + c;
dengan
a = 1; b = 3000.001; c = 3
Bab 4
Error pemotongan dan Deret Taylor
Truncation error and the Taylor series Materi yang dibahas :
• Deret Taylor
• Perambatan error / Error propagation
• Error numerik total / Total numerical error
• Blunder, error perumusan dan ketidak pastian data
dengan t = variabel dummy.
The remainder of the Taylor series expansion
• Deret Taylor dapat dinyatakan sebagai
atau
Rn sebanding dengan step size h dengan pangkatnya (n+1).
Pendekatan untuk error ini berguna untuk membandingkan error dari metode-
metode numerik yang (sama-sama) berdasarkan deret Taylor. Contohnya: pendekatan turunan menggunakan forward, backward dan centered difference yang akan dibahas pada slide berikutnya.
• Finite divided difference :
• Cara -1 : First forward difference – first finite divided difference
• Cara ke-2 : Backward difference approximation of the first derivative
• First backward difference
• Cara ke-3 : Centered difference approximation of the first derivative Cara untuk mendekati turunan pertama adalah mengurangkan pers.
Backward difference dari pers. forward difference:
Error propagation:
• Functions of a single variables
Misalkan kita mempunyai fungsi f(x) yang bergantung pada satu variabel bebas x. Asumsikan bahwa
˜x merupakan pendekatan x. Maka dari itu, kami akan menduga efek dari beda antara x dan ˜x pada nilai dari fungsi tersebut. Yaitu, mengestimasi
Persoalan ketika menilai ∆f(˜x) adalah f(x) tidak diketahui. Kita dapat mengatasi kesulitan ini jika ˜x dekat dengan x dan f(˜x) adalah (fungsi) kontinyu dan dapat diturunkan. Jika syarat ini berlaku, maka deret Taylor dapat digunakan untuk menghitung f(x) dekat dengan f(˜x) sebagai berikut:
Setelah membuang suku order pertama dan order lebih tinggi, dan menyusun kembali menghasilkan atau
dengan ∆f(˜x) = |f(x) - f(˜x)| menyatakan estimasi dari error fungsinya dan ∆˜x = |x - ˜x| menyatakan estimasi dari error daripada x. Persamaan (4.25) memberikan kemampuan untuk mendekati error
dalam f(x) (jika) turunan dari suatu fungsi dan estimasi error variabel bebasnya diketahui. Gambar 4.7 merupakan ilustrasi grafis dari operasi tersebut.
Function of more than one variables
BAGIAN 2: AKAR-AKAR
PERSAMAAN
• BRACKETING METHOD:
• Graphical method
• The bisection method
• The false-position method
• Increment searches and determining initial guess
The bisection method
Pseudocode : metode bisection
xl = batas bawah domain fungsi xu = batas atas domain funsgi es = stopping criteria
imax = banyaknya iterasi maksimum xr = nilai dugaan awal
iter = iterasi ke-i.
ea = persen error relative = (xnew - xold)*100/xnew
Program :
MATLAB
Metode false position
• Pseudocode untuk modified false
position method
PROGRA
M MATLAB:
Kompara
• Penjelasan secara grafis beda
si
mendasar antara (a) metode
bracketing dan (b) dengan metode terbuka tentang lokasi akar. Pada Gambar (a) : metode bisection, akar dibatasi / berada dalam interval yang ditentukan sebagai x_i dan x_o.
Sebaliknya untuk metode terbuka yang ditunjukkan pada Gambar (b) dan (c), digunakan rumus untuk memproyeksikan dari x_i ke x_(i+1) secara iteratif. Maka metode terbuka ini bisa saja divergen atau (Gambar (c)) konvergem dengan cepat
tergantung pada nilai dugaan awalnya.
PROGRAM
MATLAB
PROGRAM
MATLAB
• Penjelasan grafis dari (a) dan (b) konvergensi, (c) dan (d) divergensi dari interasi titik tetap / fixed point sederhana. Grafik (a) dan (c) disebut pola monotone sedangkan (b) dan (d)
disebut pola berosilasi atau pola spiral. Perhatikan bahwa konvergensi terjadi jika |g’(x)|<1.
METODE NEWTON RAPHSON
METODE NEWTON RAPHSON
METODE SECANT
OPERASI MATRIK
• OPERASI PERKALIAN 2 MATRIK
Pseudocode :
OPERASI MATRIK : Pembagian, invers matrik, dll
OPERASI MATRIK : Pembagian, invers matrik, dll
