i
PEMODELAN AUTOREGRESSIVE (AR) PADA DATA HILANG
Skripsi
Disusun oleh :
FITRIANI H12109267
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
2013
ii
“ PEMODELAN AUTOREGRESSIVE (AR) PADA DATA HILANG ”
S K R I P S I
Diajukan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Hasanuddin Makassar
Oleh:
FITRIANI H 121 09 267
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
MAKASSAR 2013
iii
P E R N Y A T A A N
Saya yang bertanda tangan di bawah ini menyatakan dengan sesungguh-sungguhnya bahwa skripsi yang saya buat dengan judul:
“ PEMODELAN AUTOREGRESSIVE (AR) PADA DATA HILANG ”
adalah benar hasil kerja saya sendiri, bukan hasil plagiat dan belum pernah dipublikasikan dalam bentuk apapun.
Makassar, 17 Mei 2013
FITRIANI NIM : H 121 09 267
iv
“ PEMODELAN AUTOREGRESSIVE (AR) PADA DATA HILANG ”
Disetujui Oleh :
Pembimbing Utama Pembimbing Pertama
Dr. ERNA TRI HERDIANI, S.Si. M.Si Drs. M. SALEH AF., M. Si.
NIP. 19750429 200003 2 001 NIP. 19540804 197802 1 001
Pada tanggal : 17 Mei 2013
v JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HASANUDDIN
Pada hari ini, Jum’at tanggal 17 Mei 2013, Panitia Ujian Skripsi menerima dengan baik skripsi yang berjudul :
“PEMODELAN AUTOREGRESSIVE (AR) PADA DATA HILANG”
yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat guna memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Statistika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin.
Makassar, 17 Mei 2013 PANITIA UJIAN SKRIPSI
Tanda Tangan
1. Ketua : Prof. Dr. Syamsuddin Toaha, M.Sc (...)
2. Sekretaris : Dra. Nasrah Sirajang, M.Si (...)
3. Anggota : Prof. Dr. Moh. Ivan Aziz, M.Sc (...)
4. Anggota : Dr. Erna Tri Herdiani, S.Si, M.Si (...)
5. Anggota : Drs. M. Saleh AF., M. Si. (...)
vi KATA PENGANTAR
Alhamdulillah Rabbil Alamin merupakan suatu kalimat terindah yang patut penulis panjatkkan kehadirat Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat dan kasih-Nya kepada hamba-hambanya. Rasa syukur yang tak terkira atas segala nikmat kesehatan, kesabaran, dan kemudahan yang dikaruniakan kepada penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Shalawat dan salam senantiasa penulis kirimkan kepada Baginda Rasulullah SAW, Sang Pejuang Kebenaran, yang telah memperjuangkan agama Allah, mengajarkan kebenaran dan membimbing umat-umatnya ke arah yang benar. Sejuta do’a untuk para keluarga dan sahabat Rasulullah SAW.
Skripsi ini merupakan salah satu persyaratan dalam menyelesaikan pendidikan di Program Studi Statistika Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin Makassar. Dalam penyelesaian skripsi ini, penulis telah melewati perjuangan panjang dan pengorbanan yang tidak sedikit. Namun, berkat rahmat dan izin-Nya serta do’a dan bantuan dari berbagai pihak baik moril maupun materil, baik langsung maupun tidak langsung, sehingga akhirnya skripsi ini dapat terselesaikan. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih yang tulus dan penghargaan yang tak terhingga kepada kedua orang tuaku yang tercinta. Kepada Ibunda tercinta Salma dan Ayahanda Jamaluddin, yang telah membesarkan dan mendidik penulis dengan penuh kesabaran bertabur cinta, kasih sayang dan dengan penuh ketulusan hati. Mereka pula adalah penyemangat besar dalam
vii menggapai mimpi-mimpi besarku. Serta kepada saudara dan saudariku yang tersayang, Baharuddin, Fatmawati, Ratna Dewi, Kartini, Risna, Zulfikar, dan Adnan yang dengan kesungguhan dan ketulusan telah memberikan dukungan moril dan materil serta do’a yang tak ternilai. Untuk keponakanku tercinta, Muh.
Takbir, Muh. Imran, Nurfadila, Muh. Iksan Amri, Muh. Al Riyadi Amri, Khusnul Khatimah, Putri Pertiwi, Muh. Fadli dan Nuralfiah Atirah yang selalu memberi canda tawa dan semangat bagi penulis. Untuk tante Halifah dan tante Hasnah yang selalu memberikan kasih sayang tulus kepada penulis. Terima kasih atas kasih sayang dan dukungan yang telah kalian berikan kepada penulis.
Penghargaan yang tulus dan ucapan terima kasih yang sebesar-besarnya dengan penuh keikhlasan juga penulis ucapkan kepada :
1. Rektor Universitas Hasanuddin, Bapak Prof. Dr. dr. Idrus Patturusi, Sp.BO beserta jajarannya.
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Hasanuddin, Bapak Prof. Dr. Abd. Wahid Wahab, M. Sc, beserta jajarannya.
3. Ketua Jurusan Matematika, Ibu Dr. Hasmawati, M.Si.
4. Ibu Dr. Erna Tri Herdiani, S.Si. M.Si selaku pembimbing utama dan Bapak Drs. M. Saleh AF., M.Si. selaku pembimbing pertama. Terima kasih atas waktu dan kesediaannya untuk membimbing dan membagi ilmunya kepada penulis sehingga sangat membantu dalam penyusunan tugas akhir ini.
viii 5. Bapak Prof. Dr. Syamsuddin Toaha, M.Sc selaku ketua tim penguji,
ibu Dra. Nasrah Sirajang, M.Si selaku sekretaris tim penguji, dan Bapak Prof. Dr. Moh. Ivan Aziz, M.Sc selaku anggota tim penguji.
Terima kasih atas segala saran yang diberikan dalam penyusunan tugas akhir ini.
6. Para Dosen Jurusan Matematika yang telah membekali ilmu kepada penulis dalam berbagai hal selama menjadi mahasiswa di Jurusan Matematika hingga berhasil menyelesaikan studi.
7. Para Staf Jurusan Matematika, Pak Sutamin, S.Sos. dan Pak Nasir.
Terima kasih atas segala bantuan, pelayanan, dan kerjasama yang diberikan selama pengurusan administrasi di jurusan.
8. Sahabat-sahabatku tercinta, Statistika Angkatan 2009 : Uni, Ifa, Ipin, Kiki, Yuli, Yuni, Try, Iman, Isna, Hesty, Chimank, Jejen, Whay, Yanti, Mimi, Evi, Risma, Ayu, Ida, Anda, Ira, Hera, Irzan, Tenri, Naser, Fitrah, Jumi, Juned, Fahrun, Ume, Endy, Mirsam, Vinni, dan Niki. Terima kasih untuk semua canda tawa,suka duka, kebersamaan dan ikatan persaudaraan yang tulus serta pengalaman-pengalaman hidup yang akan terkenang abadi.
9. Sahabat-sahabatku, Dwi Tenri Ramadhanti, Muarifah Ibrahim, Indriyani Latif, dan Asti Gindasari Masse. Terima kasih untuk bantuan dan do’anya.
10. Teman-teman Himpunan Mahasiswa Matematika (Himatika) Unhas.
Bangga rasanya pernah berada di tengah-tengah kalian semua. Banyak
ix pengetahuan dan pengalaman berharga yang penulis peroleh ketika bersama kalian. “Bravo Himatika!”.
11. Kepala Kantor Pajak Pratama Maros (KPP Pratama Maros), Bapak Muhammad Sapir, dan seluruh karyawan KPP Pratama Maros atas sambutannya pada saat pelaksanaan Kerja Praktek.
12. Teman-teman KKN ku, kak Kamaruddin, Kak Muhammad, Kak Arpandi, kak Ahmad, Kak Yelvi, Anto, dan Aisyah. Terima kasih banyak atas kerjasama dan bantuannya serta kenangan yang indah yang pernah dilalui bersama.
13. Thank’s for teman-teman Fans Club Chelsea Olivia, makin jaya makin segalanya.
14. Semua pihak yang telah banyak berpartisipasi, baik secara langsung maupun tidak langsung, dalam pembuatan tugas akhir ini yang tak sempat penulis sebutkan satu per satu.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan tugas akhir ini masih memiliki banyak kekurangan. Untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna perbaikan lebih lanjut. Akhir kata, besar harapan agar tulisan ini dapat memberikan manfaat bagi semua yang membutuhkan terutama bagi penulis.
Amin Yaa Rabbal Alamin.
Makassar, 17 Mei 2013
Penulis
x ABSTRAK
Dalam analisis deret waktu terdapat model stasioner dan model nonstasioner.
Salah satu model deret waktu yang stasioner adalah model Autoregressive. Model Autoregressive adalah suatu model yang mengasumsikan bahwa data pada periode sekarang dipengaruhi oleh data pada periode sebelumnya. Dalam memodelkan suatu data deret waktu seringkali dijumpai adanya ketidaklengkapan data yang disebut data hilang. Data hilang disebabkan oleh beberapa faktor, antara lain karena informasi untuk sesuatu tentang objek tidak diberikan, sulit dicari, atau memang informasi tersebut tidak ada. Untuk itu perlu dilakukan penelitian lebih lanjut pada pendekatan model Autoregressive jika terdapat data hilang. Dalam menaksir parameter data hilang digunakan metode Ordinary Least Square (OLS).
Parameter model Autoregressive dengan data hilang yang signifikan akan digunakan dalam membangun model. Setelah mendapatkan model langkah selanjutnya adalah menguji kelayakan model yaitu uji asumsi White Noise dan uji kenormalan. Data yang digunakan sebagai aplikasi tulisan ini dibagi atas dua data yakni data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat dimulai tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009 dan data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat dimulai tanggal 2 September 2009 sampai tanggal 30 Nopember 2009.
Kata kunci : Deret waktu, Stasioner, nonstasioner, Autoregressive, data hilang, Ordinary Least Square (OLS).
xi ABSTRACT
In time series analysis there are stationary and nonstationary models. One of stationary model in time series analysis is Autoregressive. Autoregressive is a model with assumes that the data in the current period is affected by data in the previous period. In time series modelling usually found the incompleteness of data called missing data. Missing data caused by several factors, such as the information about the object is not given, difficult to found it, or really not had information. So, we need to do further research on autoregressive model if there is missing data. Ordinary Least Square (OLS) used in estimating parameters of missing data. Parameter Autoregressive model in significant missing data is used in building the model. After the model have been found, the next step is do the goodness of fit with White Noise and normality test. The data used in this paper is divided into two daily data of the rupiah against the U.S dollar began in 1st April 2009 until 30th April 2009, and data of rupiah against th U.S Dollar began in 2nd September 2009 until 30th November 2009.
Keywords : Time Series, stationary, nonstationary, Autoregressive, missing data, Ordinary Least Square (OLS).
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
LEMBAR KEOTENTIKAN ... ii
KATA PENGANTAR ... vi
ABSTRAK ... x
ABSTRACT ... xi
DAFTAR ISI ... xii
DAFTAR TABEL ... xv
DAFTAR GAMBAR ... xviii
DAFTAR SINGKATAN DAN DAFTAR SIMBOL ... xxi
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Rumusan Masalah ... 3
1.3 Batasan Masalah ... 3
1.4 Tujuan ... 3
1.5 Manfaat Penelitian ... 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ... 5
2.1 Konsep Dasar Time Series (Deret Waktu) ... 5
2.1.1 Proses Stokastik dan Stasioner ... 6
2.1.2 Fungsi Autokorelasi (ACF) ... 8
2.1.2 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF) ... 8
2.2 Model ARIMA Box Jenkins ... 9
2.3 Penentuan Orde untuk Model Autoregressive ... 12
xiii
2.4 Data Hilang (Missing data) ... 13
2.5 Model Box-Jenkins dan Data Hilang... 13
2.6 Pemeriksaan Diagnostik AR ... 14
2.6.1 Uji Signifikan Parameter Model ... 15
2.6.2 Uji Kesesuain Model ... 15
BAB III METODE PENELITIAN ... 17
3.1 Sumber Data ... 17
3.2 Identifikasi Variabel ... 17
3.3 Metode Analisis ... 18
3.4 Diagram Alur Kerja ... 20
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ... 21
4.1 Menaksir Parameter Autoregressive dengan Menggunakan Metode Ordinary Least Square ... 21
4.2 Pemodelan Data Hilang untuk Kasus Pertama ... 24
a. Menentukan Orde Model Autoregressive ... 25
b. Identifikasi Model ... 26
c. Menaksir Nilai-Nilai pada Data Hilang dengan Menggunakan Metode Ordinary Least Square ... 29
d. Perhitungan Nilai-Nilai Data Hilang ... 32
e. Identifikasi Model Data Hilang ... 34
f. Uji Signfikansi Parameter Autoregressive pada Data Hilang .... 40
g. Membangun Model Autoregressive pada Data Hilang ... 41
h. Uji Kelayakan Model ... 41
xiv
4.3 Pemodelan Data Hilang untuk Kasus Pertama ... 43
a. Menentukan Orde Model Autoregressive ... 44
b. Identifikasi Model ... 45
c. Menaksir Nilai-Nilai pada Data Hilang dengan Menggunakan Metode Ordinary Least Square ... 48
d. Perhitungan Nilai-Nilai Data Hilang ... 48
e. Identifikasi Model Data Hilang ... 52
f. Uji Signfikansi Parameter Autoregressive pada Data Hilang .... 59
g. Membangun Model Autoregressive pada Data Hilang ... 61
h. Uji Kelayakan Model ... 61
BAB V PENUTUP ... 64
5.1 Kesimpulan ... 64
5.2 Saran ... 65 DAFTAR PUSTAKA
xv DAFTAR TABEL
Tabel 1. Data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat dimulai tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009 ... 25 Tabel 2. Nilai Autokorelasi data nilai tukar rupiah terhadap dollar
Amerika dimulai tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009 ... 27 Tabel 3. Hasil differencing orde pertama (kasus pertama) ... 28 Tabel 4. Nilai autokorelasi setelah differencing orde pertama (kasus
pertama) ... 29 Tabel 5. Perhitungan untuk mencari nilai koefisien autokorelasi (kasus
pertama) ... 32 Tabel 6. Taksiran nilai-nilai data hilang pada waktu ke-t (kasus pertama) 34 Tabel 7. Nilai autokorelasi data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar
USA setelah ditaksir nilai data hilang (Kasus Pertama) ... 35 Tabel 8. Hasil differencing orde pertama setelah ditaksir nilai data hilang
(Kasus Pertama) ... 36 Tabel 9. Nilai autokorelasi setelah differencing orde pertama dan setelah
ditaksir nilai data hilang (Kasus Pertama) ... 37 Tabel 10. Hasil differencing orde kedua setelah ditaksir nilai data hilang
(Kasus Pertama)... 37 Tabel 11. Nilai autokorelasi setelah differencing orde kedua dan setelah
ditaksir nilai data hilang (Kasus Pertama) ... 38
xvi Tabel 12. Hasil differencing orde ketiga setelah ditaksir nilai data hilang
(Kasus Pertama) ... 38 Tabel 13. Nilai autokorelasi setelah differencing orde ketiga dan setelah
ditaksir nilai data hilang (Kasus Pertama) ... 39 Tabel 14. Hasil uji Ljung-Box untuk kasus pertama ... 42 Tabel 15. Data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat dimulai
tanggal 2 September 2009 sampai tanggal 30 Nopember 2009 ... 44 Tabel 16. Nilai Autokorelasi data nilai tukar rupiah terhadap dollar
Amerika dimulai tanggal 2 September 2009 sampai tanggal 30 Nopember 2009 ... 45 Tabel 17. Hasil differencing orde pertama (Kasus Kedua) ... 46 Tabel 18. Nilai autokorelasi setelah differencing orde pertama (kasus
Kedua) ... 48 Tabel 19. Perhitungan untuk mencari nilai koefisien autokorelasi (kasus
kedua) ... 49 Tabel 20. Taksiran nilai-nilai data hilang pada waktu ke-t (Kasus kedua) ... 52 Tabel 21. Nilai autokorelasi data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar
USA setelah ditaksir nilai data hilang (Kasus kedua) ... 53 Tabel 22. Hasil differencing orde pertama setelah ditaksir nilai data hilang
(Kasus kedua) ... 54 Tabel 23. Nilai autokorelasi setelah differencing orde pertama dan setelah
ditaksir nilai data hilang (Kasus kedua) ... 55
xvii Tabel 24. Hasil differencing orde kedua setelah ditaksir nilai data hilang
(Kasus kedua) ... 56 Tabel 25. Nilai autokorelasi setelah differencing orde kedua dan setelah
ditaksir nilai data hilang (Kasus kedua) ... 57 Tabel 26. Hasil differencing orde ketiga setelah ditaksir nilai data hilang
(Kasus kedua) ... 57 Tabel 27. Nilai autokorelasi setelah differencing orde ketiga dan setelah
ditaksir nilai data hilang (Kasus kedua) ... 58 Tabel 28. Hasil uji Ljung-Box untuk kasus kedua ... 62
xviii DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. Diagram alir pemodelan autoregressive pada data hilang ... 20 Gambar 2.a Plot ACF data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus Pertama) ... 26 Gambar 2.b Plot PACF data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus Pertama) ... 26 Gambar 3.a Scatterplot data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus Pertama) ... 27 Gambar 3.b Plot ACF data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus Pertama) ... 27 Gambar 4.a Scatterplot hasil differencing orde pertama (Kasus
Pertama) ... 29 Gambar 4.b Plot ACF hasil differencing orde pertama (Kasus
Pertama). ... 29 Gambar 5.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang (Kasus
Pertama) ... 35 Gambar 5.b Plot ACF setelah taksiran nilai data hilang (Kasus
Pertama) ... 35 Gambar 6.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde pertama (Kasus Pertama) ... 36 Gambar 6.b Plot ACF setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde pertama (Kasus Pertama) ... 36
xix Gambar 7.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde kedua (Kasus Pertama) ... 37 Gambar 7.b Plot ACF setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde kedua (Kasus Pertama) ... 37 Gambar 8.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde ketiga (Kasus Pertama) ... 39 Gambar 8.b Plot ACF setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde ketiga (Kasus Pertama) ... 39 Gambar 9. Plot uji kenormalan sisaan model autoregressive orde
pertama (kasus pertama) ... 43 Gambar 10.a Plot ACF data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus kedua) ... 45 Gambar 10.b Plot PACF data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus kedua) ... 45 Gambar 11.a Scatterplot data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus kedua) ... 45 Gambar 11.b Plot ACF data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika
Serikat (Kasus kedua) ... 45 Gambar 12.a Scatterplot hasil differencing orde pertama untuk Kasus
kedua ... 48 Gambar 12.b Plot ACF hasil differencing orde pertama untuk Kasus
kedua ... 48
xx Gambar 13.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang dan untuk
Kasus kedua ... 53 Gambar 13.b Plot ACF setelah taksiran data hilang dan setelah
differencing orde pertama untuk Kasus kedua ... 53 Gambar 14.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde pertama (Kasus kedua) ... 55 Gambar 14.b Plot ACF setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde pertama (Kasus kedua) ... 55 Gambar 15.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde kedua (Kasus kedua) ... 57 Gambar 15.b Plot ACF setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde kedua (Kasus kedua) ... 57 Gambar 16.a Scatterplot setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde ketiga (Kasus kedua) ... 58 Gambar 16.b Plot ACF setelah taksiran nilai data hilang dan setelah
differencing orde ketiga (Kasus kedua) ... 58 Gambar 17. Plot uji kenormalan sisaan model autoregressive orde
kedua (kasus kedua) ... 63
xxi DAFTAR SINGKATAN DAN DAFTAR SIMBOL
Simbol Keterangan
Variabel respon yaitu nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat
∆ Notasi differencing untuk variabel respon yaitu nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat
Fungsi autokorelasi
Taksiran fungsi autokorelasi Taksiran fungsi autokorelasi Fungsi autokorelasi parsial
Notasi untuk model autoregressive Notasi untuk model moving average Parameter model autoregressive Parameter model moving average
Operator backshift artinya menggeser data satu periode ke belakang
Operator backshift artinya menggeser data dua periode ke belakang
Operator fordward shift artinya menggeser data satu periode ke depan
Operator fordward shift artinya menggeser data dua periode ke depan
Differencing atau melakukan penyelisihan pada data Derajat bebas
Banyaknya data
Banyaknya parameter dalam model lag
− nilai kesalahan yang di dapat peneliti dari hasil perhitungan statistik
Taraf nyata atau tingkat kesalahan ( ) Nilai rata-rata (mean) dari variabel error
Variansi
1 BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Analisis deret waktu adalah salah satu analisis statistika yang mengalami kemajuan yang cukup pesat khususnya di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Seiring dengan perkembangan saat ini, bidang ilmu pengetahuan yang menggunakan analisis deret waktu di antaranya dalam bidang ekonomi, fisika, biomedis, dan bidang lainnya. Dalam bidang ilmu statistika, analisis deret waktu adalah serangkaian pengamatan terhadap suatu peristiwa, kejadian, gejala, atau variabel yang diambil dari waktu ke waktu, dicatat secara teliti menurut urutan waktu terjadinya dan kemudian disusun sebagai data statistika (Suyitno, 2011).
Dalam analisis deret waktu terdapat beberapa model. Pertama, model deret waktu berskala stasioner yang terdiri dari model Autoregressive (AR), Moving Average (MA), atau kombinasi keduanya Autoregressive Moving Average (ARMA). Kedua, model deret waktu berskala non- stasioner yang terdiri dari model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) yang merupakan pengembangan dari ARMA yang dikembangkan oleh Box dan Jenkins pada tahun 1970 (Wahyuni, 2003). Model Autoregressive (AR) merupakan salah satu model yang mengasumsikan bahwa data pada periode sekarang dipengaruhi oleh data pada periode sebelumnya.
Dalam suatu pengamatan yang melibatkan variabel waktu, sering ditemukan adanya ketidaklengkapan data yang biasa disebut data hilang atau
2 missing data. Hal ini disebabkan oleh beberapa hal di antaranya adalah tidak adanya respon, kelalaian saat melakukan perekaman data, cuaca, atau bahkan oleh hal lain yang tidak diketahui sebabnya. Jika data hilang dibiarkan begitu saja maka inferensi statistik dengan menggunakan metode standar untuk data lengkap tidak dapat dilakukan, terlebih lagi apabila jumlahnya banyak (Rubin, 1988).
Pengukuran data yang dilakukan dengan menggunakan alat terkadang tidak bisa mendapat hasil ukur, di antaranya disebabkan adanya kerusakan alat pada saat-saat tertentu dan memerlukan perbaikan sehingga pada saat yang sama tidak bisa dilakukan pengukuran nilai sangat kecil atau sangat besar.
Kejadian semacam ini bisa menjadi kendala untuk melakukan pemodelan ataupun estimasi, tetapi pemodelan deret waktu yang berkembang saat ini sudah memungkinkan analisis data dengan data tidak lengkap (Wahyuni, 2003).
Teknik peramalan dengan data hilang, misalnya hilang saat melakukan observasi akan tetapi hilang tidak dikarenakan adanya differencing sudah banyak dikembangkan di antaranya oleh Ansley dan Kohn (1986). Dalam penelitiannya, Ansley dan Kohn menganalisis data dengan model ARMA yang diterapkan pada data International Airlines Passanger dengan menghilangkan 54% data. Setelah data hilang ditaksir, Ansley dan Kohn mendapatkan bahwa dugaan data hilang adalah sama dengan data asli.
Berdasarkan uraian tersebut, maka dalam tugas akhir ini akan dibahas tentang “Pemodelan Autoregressive (AR) pada data hilang”.
3 1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian dan latar belakang di atas, dirumuskan permasalahan sebagai berikut:
1. Bagaimana estimasi nilai-nilai pada data hilang
2. Bagaimana langkah identifikasi dan model dari data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat yang mengandung data hilang.
1.3 Batasan Masalah
Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka batasan masalah yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah sebagai berikut:
1. Untuk memodelkan data deret waktu dengan menggunakan data hilang digunakan model Autoregressive orde pertama (AR(1)) dan Autoregressive orde kedua (AR(2)).
2. Metode penaksir parameter yang digunakan adalah Ordinary Least Square.
3. Data yang digunakan adalah data sekunder yaitu data harian nilai tukar mata uang rupiah terhadap dolar Amerika Serikat. Data terdiri dari dua kasus. Kasus pertama dimulai dari tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009 dan kasus kedua dimulai data tanggal 2 September 2009 sampai dengan tanggal 30 Nopember 2009.
4. Softwere yang digunakan adalah minitab 16 dan Ms. Excel.
1.4 Tujuan Penelitian
Berdasarkan rumusan masalah, maka tugas akhir ini memiliki tujuan sebagai berikut:
4 1. Menentukan taksiran nilai-nilai pada hilang untuk model
Autoregressive (AR).
2. Menetukan langkah identifikasi dan model dari data harian nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat yang mengandung data hilang.
3. Melakukan aplikasi pada data real dari teori yang sudah dipelajari.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat yang ingin dicapai dari penulisan ini adalah dapat mengetahui dan menambah wawasan mengenai cara pemodelan analisis deret waktu bila terdapat data yang hilang.
5 BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Konsep Dasar Time Series (Deret Waktu)
Analisis Time Series atau deret waktu diperkenalkan pada tahun 1970 oleh George E.P. Box dan Gwilym M. Jenkins melalui bukunya yang berjudul Time Series Analysis: Forecasting and control. Sejak saat itu, analisis deret waktu mulai banyak dikembangkan (Aswi dan Sukarna, 2006). Deret waktu merupakan serangkaian data pengamatan yang terjadi berdasarkan indeks waktu secara berurutan dengan interval waktu tetap. Metode deret waktu adalah metode peramalan dengan menggunakan analisa pola hubungan antara variabel yang akan diperkirakan dengan variabel waktu.
Peramalan suatu data deret waktu perlu memperhatikan tipe atau pola data.
Secara umum terdapat empat macam pola data deret waktu, yaitu horizontal, trend, musiman, dan siklis. Pola horizontal, terjadi bilamana data berfluktuasi di sekitar nilai rata-rata yang konstan (data seperti ini sering dikatakan stasioner terhadap rata-rata). Pola trend, terjadi bilamana kecenderungan arah data dalam jangka panjang, dapat berupa kenaikan maupun penurunan. Pola musiman, terjadi bilamana suatu deret data dipengaruhi oleh faktor musiman seperti triwulan, kuartalan, bulanan, mingguan, atau harian. Sedangkan pola siklis, terjadi bilamana data dipengaruhi oleh fluktuasi ekonomi jangka panjang seperti yang berhubungan dengan siklus bisnis.
6 2.1.1 Proses Stokastik dan Stasioner
Jika dari pengamalan yang lalu, keadaan yang akan datang suatu deret waktu dapat diramalkan secara pasti maka deret waktu itu dinamakan deterministik, dan tidak memerlukan penyelidikan lebih lanjut. Sebaliknya, jika pengalaman yang lalu hanya dapat menunjukkan struktur probabilistik keadaan yang akan datang suatu deret waktu, maka deret waktu semacam ini dinamakan stokastik (Aswi dan Sukarna, 2006).
Dalam analisis deret waktu diisyaratkan data yang sering disimbolkan mengikuti proses stokastik. Suatu urutan pengamatan dari peubah acak ( , ) dengan ruang sampel dan satuan waktu t dikatakan sebagai proses stokastik.
Ciri-ciri dalam pembentukan model analisis deret waktu adalah dengan mengasumsikan bahwa data dalam keadaan stasioner. Deret waktu dikatakan stasioner jika tidak ada perubahan kecenderungan dalam rata-rata dan perubahan variansi. Dengan kata lain, deret waktu yang stasioner adalah relatif tidak terjadi kenaikan ataupun penurunan nilai secara tajam pada data (fluktuasi data berada pada sekitar nilai rata-rata yang konstan).
Model stasioner adalah model yang semua sifat statistiknya tidak berubah dengan pergeseran waktu. Pada model stasioner, sifat-sifat statistiknya dimasa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data histori yang telah terjadi di masa yang lalu. Beberapa model deret
7 waktu stasioner adalah model White Noise, Moving Average, Autoregressive Moving Average (ARMA), dan model ARMA dengan variabel eksogen atau prediktor yang dikenal sebagai model ARMAX.
Adapun model non- stasioner, yaitu model yang tidak memenuhi sifat model stasioner. Beberapa model non- stasioner yaitu model trend, model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA), Seasonal ARIMA (SARIMA), model ARIMAX, dan model heteroskedastik ARCH atau GARCH.
Untuk memeriksa kestasioneran data dapat digunakan diagram deret waktu (time series plot) yaitu diagram pencar antar nilai peubah dengan waktu t. Apabila diagram deret waktu berfluktuasi di sekitar garis yang sejajar dengan sumbu waktu ( ) maka dikatakan deret tersebut stasioner dalam rata-rata. Bila kondisi stasioner dalam rata-rata tidak terpenuhi diperlukan proses transformasi pembedaan (differencing). Pembedaan orde pertama merupakan selisih antara data ke- dan ke- ( − 1), yaitu
∆ = − (1) untuk bentuk pembedaan orde kedua adalah
∆ = ∆ − ∆
proses pembedaan ini tidak merubah variansi data sehingga data tetap mempertahankan sifat-sifat statistiknya.
8 2.1.2 Fungsi autokorelasi (ACF)
Autokorelasi merupakan suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi atau hubungan linier antara pengamatan pada waktu ke- t ( ) dengan pengamatan pada waktu-waktu yang sebelumnya
( , , … , ).
Koefisien autokorelasi lag k sampel diberikan oleh:
= = = ∑ ( )( )
∑ ( ) (2) Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi yang diperoleh
signifikan atau tidak, dapat dilihat dari diagram ACF. Jika pada diagram ACF cenderung turun lambat atau turun secara linier, maka dapat disimpulkan data belum stasioner dalam rata-rata.
2.1.3 Fungsi Autokorelasi Parsial (PACF)
Autokorelasi parsial (PACF) digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara dan , apabila pengaruh dari lag 1,2, … , − 1 dianggap terpisah. Fungsi autokorelasi parsial adalah suatu fungsi yang menunjukkan besarnya korelasi parsial antara pengamatan pada waktu ke- t ( ) dengan pengamatan pada waktu-waktu yang sebelumnya ( , , … , ). Menurut Wei (1989), fungsi autokorelasi parsial (PACF) dapat dinyatakan sebagai
= ( , | , , … , ) (3)
9 2.2 Model ARIMA Box Jenskins
Model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA) merupakan model ARMA non- stasioner yang telah di differencing sehingga menjadi model stasioner. Model ARIMA dibagi kedalam 3 kelompok, yaitu model Autoregressive (AR), Moving Average (MA), dan model campuran Autoregresive Moving Average (ARMA).
1. Model Autoregressive (AR)
Bentuk umum model autoregressive dengan orde p (AR(p)) atau model ARIMA (p, 0, 0) dinyatakan sebagai berikut:
= + + ⋯ + + (4) di mana:
= nilai variabel pada waktu ke-t
= parameter model autoregressive, i = 1,2,3,...,p = nilai error pada waktu ke- t
p = orde AR
persamaan (4) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift) yang diberikan oleh:
1 − − − ⋯ − ̇ = (5) Orde AR yang sering digunakan dalam analisis deret waktu adalah
= 1 atau = 2, yaitu model AR(1) dan AR(2).
a. Model AR(1)
Bentuk umum model AR(1) adalah:
= + (6)
10 persamaan (6) dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi:
(1 − ) = (7) b. Model AR(2)
Bentuk umum model Autoregressive orde 2 atau AR(2), yaitu:
= + + (8) persamaan (8) dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi:
(1 − + ) = (9) 2. Moving Average Model (MA)
Bentuk umum model Moving Average orde q (MA(q)) atau ARIMA (0, 0, q) dinyatakan sebagai berikut:
= − − − ⋯ − (10) di mana:
= nilai variabel pada waktu ke-t
= parameter model Moving Average (MA) = nilai error pada waktu ke-t
= nilai error pada waktu ke t-q = orde MA
persamaan (10) dapat ditulis menggunakan operator backshift (B) menjadi:
1 − − − ⋯ − = (11) Secara umum, orde MA yang sering digunakan dalam analisis deret waktu adalah = 1 atau = 2, yaitu MA(1) dan MA(2).
11 Model Moving Average orde 1 atau MA(1) secara matematis didefinisikan menjadi:
= − (12) persamaan (12) dapat dituliskan dengan operator backshift (B), menjadi:
= (1 − ) (13) sedangkan model Moving Average orde 2 atau MA(2) secara matematis didefinisikan
= − − (14) persamaan (14) dapat dituliskan dengan operator backshift (B), menjadi:
= (1 − − ) (15) 3. Model campuran
a. Proses ARMA
Model umum untuk campuran proses AR(1) murni dan MA(1) murni, misal ARIMA (1,0,1) dinyatakan sebagai berikut:
= + − (16) atau
(1 − ) = (1 − ) (17) b. Proses ARIMA
Apabila non- stasioneritas ditambahkan pada campuran proses ARMA, maka model umum ARIMA (p,d,q) terpenuhi. Persamaan untuk kasus sederhana ARIMA (1,1,1) adalah sebagai berikut:
12 (1 − )(1 − ) = (1 − ) (18)
2.3 Penentuan Orde untuk Model Autoregressive
Bentuk umum dari proses AR tingkat p, ditulis AR (p) adalah:
= + + ⋯ + +
1. Model AR (1)
Bentuk umum dari proses AR (1) adalah = + . Adapun ciri dari proses AR (1) terdiri dari :
a. ACF untuk AR (1) adalah pada selang 0 < < 1, fak turun secara eksponensial menuju nol sedangkan pada selang −1 < < 0, fak turun secara eksponensial menuju nol sambil bergantian tanda.
b. PACF terputus setelah lag ke-1.
2. Model AR (2)
Bentuk umum dari proses AR (2) adalah = + + . Adapun ciri dari proses AR (2) terdiri dari :
a. ACF untuk proses AR (2) adalah = + , turun secara eksponensial menuju nol.
b. PACF terputus setelah lag ke-2
Secara umum, ciri teoretik proses AR (p) terdiri dari : a. Fak turun secara eksponensial menuju nol.
b. Fakp terputus setelah lag ke-p.
2.4 Data Hilang (Missing Data)
13 Data hilang adalah informasi yang tidak tersedia untuk sebuah objek atau kasus. Data hilang terjadi karena informasi untuk sesuatu tentang objek tidak diberikan, sulit dicari, atau memang informasi tersebut tidak ada. Data hilang pada dasarnya tidak bermasalah bagi keseluruhan data, apalagi jika jumlahnya sedikit, misal hanya 1 % dari seluruh data. Namun jika persentase data yang hilang tersebut cukup besar, maka perlu dilakukan pengujian apakah data yang mengandung data hilang tersebut masih layak diproses lebih lanjut atau tidak.
2.5 Model Box- Jenkins dan Data Hilang
Metode Box- Jenkins adalah metode analisis populer yang digunakan untuk pemodelan deret waktu karena metode ini memberikan beberapa keuntungan.
Pertama, model umum Box- Jenkins dapat memodelkan berbagai pola data deret waktu. Kedua, memiliki pendekatan yang sistematis untuk mengidentifikasi bentuk model yang benar. Ketiga, dapat menggunakan berbagai macam uji statistik untuk memverifikasi dan validitas model.
Keempat, dalam bidang statistik, metode Box- Jenkins juga memungkinkan penggunaan metode pengukuran statistik untuk mengukur keakuratan perkiraan atau peramalan.
Pada dasarnya pembentukan model analisis Box- Jenkins memiliki ciri-cri yaitu mengasumsikan bahwa data dalam keadaan stasioner. Untuk mengetahui model deret waktu stasioner atau tidak, seseorang dapat melihat dari diagram ACF dan PACF. Untuk menerapkan metode Box- Jenkins pada data deret
14 waktu dengan data hilang, seseorang harus mempertimbangkan beberapa hal.
Pertama, seberapa sering nilai-nilai data hilang terjadi. Kedua, nilai-nilai pada data hilang terletak dimana pada deret waktu. Ketiga, suatu data memiliki data sebelum, setelah atau antara nilai-nilai data hilang untuk menerapkan metode Box- Jenkins dengan data yang tersisa.
Dengan terpenuhinya pertimbangan di atas, maka dimungkinkan untuk menerapkan metode Box- Jenkins untuk deret waktu dengan data hilang. Untuk memperkirakan data hilang dalam deret waktu, keakuratan hasil terutama bergantung pada jenis deret waktu. Setelah data yang hilang telah diisi dan dengan memperkirakan nilai-nilainya, metode Box- Jenkins kemudian dapat diterapkan.
2.6 Pemeriksaan Diagnostik AR
Pemeriksaan diagnostik yang digunakan pada model AR dapat dibagi ke dalam dua bagian yaitu uji signifikansi parameter dan uji kesesuaian model.
2.6.1 Uji Signifikansi Parameter Model
Uji signifikansi parameter pada model autoregressive (AR), memiliki hipotesis sebagai berikut:
: = 0 (parameter tidak signifikan dalam model) : ≠ 0 (parameter signifikan dalam model)
dengan taraf signifikansi = 0,05. Statistik uji yang digunakan adalah uji t yaitu:
=
( ) (19)
15 Kriteria keputusan: tolak jika > , dengan derajat bebas db = n-m, dengan n banyaknya data dan m adalah banyaknya parameter dalam model.
2.6.2 Uji kesesuaian model
Uji kesesuaian model dilakukan untuk memeriksa apakah model sudah memenuhi asumsi yang diharuskan atau tidak. Asumsi- asumsi tersebut adalah residual model White Noise (tidak ada autokorelasi dan variansi konstan) serta berdistribusi normal.
Model dikatakan baik jika nilai error bersifat random, artinya sudah tidak mempunyai pola tertentu lagi. Dengan kata lain model yang diperoleh dapat menangkap dengan baik pola data yang ada.
Untuk melihat kerandoman nilai error dilakukan pengujian terhadap nilai koefisien autokorelasi dari error, dengan menggunakan uji statistik yaitu uji Ljung- Box atau Box- Pierre Modified dengan rumus:
Uji Ljung-Box
= ( + 2) ∑
( ) (20) di mana
=∑ ( )( )
∑ ( )
dengan:
̂ = taksiran sisa
̅ = rata-rata ̂
16 = banyaknya observasi
= banyaknya sisap
= autokorelasi dari ̂ pada lag k
Kriteria pengujian adalah jika Q ≤ ( , ), berarti nilai error bersifat random (model dapat diterima) dan Jika Q > ( , ), berarti nilai error tidak bersifat random (model tidak dapat diterima).
BAB III
17 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Sumber Data
Data yang digunakan merupakan data sekunder, dimana terdapat dua kasus data yang digunakan dalam tugas akhir ini yaitu kasus pertama data harian nilai tukar mata uang rupiah terhadap dolar Amerika Serikat dimulai dari tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009 dan kasus kedua pada tanggal 2 September 2009 sampai dengan tanggal 30 Nopember 2009.
3.2 Identifikasi Variabel
Variabel yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah:
1) Variabel respon ( ), yaitu nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat.
2) Variabel bebas ( ), yaitu nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat.
3) = waktu pengamata (hari).
4) Struktur data deret waktu pada data hilang yang digunakan:
Waktu t ( )
. . .
. . .
3.3 Metode Analisis
18 Pada tugas akhir ini akan dilakukan pemodelan Autoregressive (AR) pada data hilang dengan tahapan kerja sebagai berikut:
Tahap I : Identifikasi Data (Pengecekan Kestasioneran Data) 1-1 : Memplot data untuk mengetahui kestasionerannya.
1-2 : Menghitung nilai Autokorelasi dari data untuk lebih memperjelas apakah terdapat trend pada data atau tidak.
1-3 : Apabila terdapat trend dalam data, maka perlu dilakukan differencing untuk mendapatkan data yang stasioner, baik dalam rata-rata maupun dalam variansi.
Tahap II : Menentukan Model Autoregressive
2-1 : Menaksir parameter model Autoregressive pada data hilang dengan menggunakan metode Least Square.
2-2 : Menentukan model Autoregressive pada data hilang yang terlebih dahulu ditaksir nilai-nilai data hilangnya.
2-3 : Menentukan model Autoregressive dengan data lengkap.
Tahap III: Melakukan Pemeriksaan Diagnostik Model
3-1 : Melakukan uji signifikansi parameter model Autoregressive dalam hal ini uji t.
3-2 : Apabila terdapat parameter model Autoregressive yang tidak signifikan, maka kembali dilakukan pemilihan parameter model Autoregressive yang signifikan dengan mengidentifikasi kembali model Autoregressive (p) .
19 3-3 : Melakukan uji kesesuaian model yang meliputi: uji White
Noise dan distribusi normal.
Tahap IV : Aplikasi Data
4-1 : Kasus Pertama yaitu data harian nilai tukar mata uang rupiah terhadap dolar Amerika Serikat dimulai dari tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009.
4-2 : kasus kedua yaitu data harian nilai tukar mata uang rupiah terhadap dolar Amerika Serikat dimulai data tanggal 2 September 2009 sampai dengan tanggal 30 Nopember 2009.
Untuk lebih jelasnya langkah-langkah analisis data akan digambarkan dalam bentuk diagram alir sebagai berikut:
20 3.4 Diagram Alir Kerja
Tidak
Ya
Tidak
Ya
Gambar 1: Diagram Alir Pemodelan Autoregressive (AR) pada data hilang.
selesai
Differencing Mulai
Memodelkan AR (1) dan AR Data
stasioner?
Identifikasi Model ARMA (p,q)
Parameter AR Signifikan?
Uji Kesesuaian
Aplikasi
21 BAB IV
PEMBAHASAN
4.1 Menaksir Parameter Autoregressive dengan Menggunakan Metode Ordinary Least Square
Metode Ordinary Least Square (OLS) atau metode kuadrat terkecil adalah suatu metode penaksir parameter regresi dengan cara meminimumkan jumlah kuadrat galat (selisih antara nilai aktual dan ramalan). Dalam metode OLS, syarat error harus memenuhi asumsi-asumsi dasar berikut:
1. ( ) = 0 2. ( ) =
3. ( ) = 0, untuk ≠ 4. ( ) = 0
Jumlah kuadrat error pada regresi dalam model AR(p) pada persamaan (4) dinyatakan dalam fungsi , , … , dan didefinisikan sebagai:
, , … , = ∑
= ∑ ( − )− ( − ) − ⋯ − ( − ) −
⋯ − − (21) Berdasarkan prosedur OLS, maka langkah meminimumkan fungsi
, , … , pada persamaan (21) diperoleh dengan menurunkannya terhadap , , … , kemudian masing-masing disamakan dengan nol.
Penurunan fungsi , , … , terhadap adalah:
22 , , … , =
2 ∑ ( − )− ( − ) − ⋯ − ( −
) − ⋯ − − −1 + + ⋯ + (22)
setelah disederhanakan menghasilkan
= ∑ − ∑ − ⋯ − ∑ − ⋯ −
∑ − ( − )(1 − − ⋯ − ) = 0
̂ =∑ ∑ ⋯ ∑ ⋯ ∑
( )( ⋯ )
(23)
Karena untuk yang besar berlaku
∑ ≈ ∑ ≈ ⋯ ≈ ∑ ≈ ⋯ ≈
∑ ≈ ̅ (24) maka penaksir untuk parameter pada persamaan (23) dinyatakan sebagai berikut:
̂ =( ⋯ )
( ⋯ ) = ̅ (25)
Penaksiran parameter ; 1 ≤ ≤ , diperoleh dari penurunan , , … , = 0dari persamaan (21) sehingga,
, , … , = ∑ ( − ) − ( − ) − ⋯ −
( − ) − ⋯ − − [−( − )]
23
= ∑ ( − )(−( − )) − ( − )(−( − )) −
⋯ − ( − )(−( − )) − ⋯ − − (−( −
))
Diketahui bahwa = ̅, maka
, , … , = ∑ ( − ̅) ( − ̅) − ∑ ( −
̅) ( − ̅) − ⋯ − ∑ ( − ̅) −
⋯ − ∑ − ̅ ( − ̅) = 0
atau
∑ ( )( ) ∑ ( )( ) ⋯ ∑ ( ) ⋯ ∑ ( )
∑ ( ) = 0
di mana ∑ ( − ̅) = > 0 (26) Dengan menyederhanakan persamaan (26) menggunakan persamaan (2), diperoleh bentuk umum penaksir parameter yaitu:
+ + ⋯ + = . (27) Untuk = 1,2, … , persamaan (26) menghasilkan sistem persamaan Yule- Walker untuk sampel yaitu
+ + ⋯ + =
+ + ⋯ + =
⋮
+ + ⋯ + = (28) Dengan demikian, maka diperoleh penaksir parameter untuk ; 1 ≤ ≤ yaitu:
24
⎣⎢
⎢⎢
⎡
⋮
⎦⎥
⎥⎥
⎤
= 1
⋮ 1
⋮
… …
⋮ …
⋮ 1
⋮ (29)
Dengan menggunakan persamaan (29), untuk = 1 diperoleh penaksir parameter model AR(1) adalah = = . Untuk = 2 diperoleh penaksir parameter model AR(2) yaitu:
= ( ) dan = , (30) Dengan cara yang sama diperoleh penaksir parameter AR orde 3,4, … , − 1 menggunakan persamaaan (28).
4.2 Pemodelan Data Hilang Untuk Kasus Pertama
Data yang digunakan adalah data harian yang bersumber dari aktivitas perbankan dimulai dari hari senin sampai dengan hari jumat. Data untuk hari sabtu, minggu dan hari libur diasumsikan sama dengan data pada hari sebelumnya. Akan tetapi, dalam tugas akhir ini, data pada hari sabtu, minggu, dan hari libur tidak diasumsikan sama dengan data pada hari sebelumnya melainkan merupakan data hilang dimana nilainya tidak diberikan sehingga akan dilakukan penaksiran untuk memperoleh nilai-nilai pada hari tersebut.
Pada kasus pertama, digunakan data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat yang dimulai dari tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009.
Berikut data nilai tukar rupiah terhadap dollar Amerika Serikat yang dimulai dari tanggal 1 April 2009 sampai tanggal 30 April 2009 yang diperoleh dari situs website BI.
25 Tabel 1. Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar Amerika Serikat
Waktu Nilai Tukar Rupiah Waktu Nilai Tukar Rupiah Waktu Nilai Tukar Rupiah
01-Apr-09
11678 11-Apr-09 21-Apr-09
10904 02-Apr-09
11619 12-Apr-09 22-Apr-09
10892 03-Apr-09
11454 13-Apr-09
11181 23-Apr-09
10985
04-Apr-09 14-Apr-09
11036 24-Apr-09
10872
05-Apr-09 15-Apr-09
10934 25-Apr-09 06-Apr-09
11402 16-Apr-09
10748 26-Apr-09 07-Apr-09
11402 17-Apr-09
10754 27-Apr-09
10884 08-Apr-09
11437 18-Apr-09 28-Apr-09
10894
09-Apr-09 19-Apr-09 29-Apr-09
10913
10-Apr-09 20-Apr-09 10804 30-Apr-09
10767
Sumber : http://www.ortax.org/ortax/?mod=kursbi
a. Menentukan Orde Model Autoregressive (AR)
Langkah pertama yang dilakukan adalah menentukan orde Autoregressive (AR) yang sesuai. Hal ini dapat dilakukan dengan cara melihat plot Autocorrelation Function (ACF) dan Partial Autoregressive Function (PACF) dari data tersebut. Plot ACF dan PACF akan terpotong setelah proses pada orde ke-p atau lag-p. Proses ini disebut dengan identifikasi model tentatif.
Hasil dari plot ACF ditunjukkan pada gambar (2.a) yang menujukkan bahwa pada selang 0 < < 1, plot ACF turun secara eksponensial sedangkan pada selang −1 < < 0, plot ACF turun secara sinusoida.
Dan gambar (2.b), tampak bahwa plot PACF terpotong setelah lag ke-1.
Hal ini menunjukkan bahwa plot ACF dan plot PACF mengikuti
26 karakteristik dari model AR(1), dengan demikian data tersebut diperkirakan merupakan model AR(1).
18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
Lag
Autocorrelation
Autocorrelation Function for nilai tukar Rp trhdp dollar AS (with 5% significance limits for the autocorrelations)
18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
Lag
Partial Autocorrelation
Partial Autocorrelation Function for nilai tukar Rp trhdp dollar AS (with 5% significance limits for the partial autocorrelations)
Gambar (2.a) Gambar (2.b)
b. Identifikasi Model
Untuk memperoleh model yang baik, maka akan dilakukan identifikasi pada pola datanya, apakah sudah memenuhi syarat stasioner atau tidak.
Kestasioneran data dapat diketahui dengan melakukan plot data dan juga mengecek nilai autokorelasi data tersebut. Plot data dapat memberikan informasi secara visual mengenai kondisi data sedangkan nilai autokorelasi dapat memberikan informasi apakah data-data tersebut masih berautokorelasi secara signifikan atau tidak.
Scatter plot data dengan menggunakan minitab dapat dilihat pada gambar (3.a). Dari scatter plot-nya tampak bahwa data tersebut membentuk pola tren turun. Pada gambar (3.b) plot nilai autokorelasi data yang diolah hasilnya menggambarkan bahwa nilai autokorelasinya turun secara lambat.
Dengan menggunakan metode koreologram akan dihitung batas signifikansi dari nilai autokorelasi yang dibolehkan. Dengan mengambil
27
= 0,05 maka tingkat kepercayaannya sebesar 95%, dengan demikian
( ) = ( , ) = ( , ) = 1,96. Karena datanya sebanyak 20 maka diperoleh kesalahan standar sebesar
√ = 0,22, sehingga batas signifikansi koefisien autokorelasi berada di antara rentang:
(−1,96)(0,22) ≤ ≤ (1,96)(0,22)
−0,44 ≤ ≤ 0,44
Berdasarkan rentang seperti ini dapat dilihat pada tabel (2) bahwa masih banyak nilai autokorelasi dari data yang berada di luar batas signifikansinya.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa data tidak stasioner.
Day
Nilai Tukar Rp trhdp Dollar USA
01 28 25 22 19 16 13 11800
11600
11400
11200
11000
10800
Scatterplot
Lag
Autocorrelation
18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
Autocorrelation Function
Gambar (3.a) Gambar (3.b)
Tabel 2. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA
Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF
1 0,807813 6 -0,030706 11 -0,261687 16 -0,214425 2 0,623004 7 -0,139288 12 -0,248866 17 -0,179241 3 0,463295 8 -0,210761 13 -0,256523 18 -0,151302 4 0,309765 9 -0,259120 14 -0,263207 19 -0,105642 5 0,132210 10 -0,259446 15 -0,255874
Karena data belum stasioner, maka dilakukan transformasi data dalam hal ini melakukan differencing orde pertama.
28 Tabel 3. Hasil Differencing Orde Pertama
T ∆ T ∆ T ∆ T ∆
1 - 6 35 11 6 16 -113
2 -59 7 -256 12 50 17 12
3 -165 8 -145 13 100 18 10
4 -52 9 -102 14 -12 19 19
5 0 10 -186 15 93 20 -146
Data hasil differencing orde pertama ini diharapkan stasioner sehingga dapat digunakan untuk pemodelan data. Untuk itu, dengan cara yang sama akan dicek kembali kestasionerannya. Hasil plot data differencing orde pertama ditunjukkan pada gambar (4.a), tampak secara visual bahwa data sudah tidak menunjukkan pola tren namun dicoba menguji kestasioneran melalui plot autokorelasi. Plot autokorelasinya ditunjukkan pada gambar (4.b), hasilnya menunjukkan bahwa sudah tidak ada data pada time lag yang keluar dari batas signifikan.
Berdasarkan batas signifikansi koefisien autokorelasi yang berada diantara rentang −0,44 ≤ ≤ 0,44, dapat dilihat pada tabel (4) di atas menunjukkan bahwa sudah tidak ada nilai autokorelasi yang berada di luar batas signifikansi. Oleh karena itu, dapat disimpulkan bahwa data hasil differencing orde pertama sudah stasioner.
29
Day
differencing
28 25 22 19 16 13 100
0
-100
-200
-300
Scatterplot
Lag
Autocorrelation
18 16 14 12 10 8 6 4 2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 -0,2 -0,4 -0,6 -0,8 -1,0
Autocorrelation Function for differencing
Gambar (4.a) Gambar (4.b)
Tabel 4. Nilai Autokorelasi Data Nilai Tukar Rupiah terhadap Dollar USA
Lag ACF Lag ACF Lag ACF Lag ACF
1 0,177143 6 0,005895 11 -0,099780 16 -0,045254 2 0,096925 7 0,015489 12 -0,074850 17 0,060142 3 -0,081528 8 -0,198022 13 0,193494 18 0,006070 4 0,022943 9 -0,051496 14 -0,064167
5 -0,251390 10 -0,142057 15 -0,069556
Dengan demikian data hasil pembedaan pertama ini stasioner sehingga dapat digunakan untuk pemodelan data.
c. Menaksir Nilai-Nilai pada Data Hilang dengan Menggunakan Metode Ordinary Least Square
Menerapkan prinsip Ordinary Least Square (OLS) untuk deret waktu dengan nilai-nilai yang hilang adalah dasar pendekatan yang dapat dimasukkan ke dalam pemodelan ARIMA. Sebagaimana diuraikan di Ferreiro 1.987 dalam Sheung Chi Fung, metode ini dimaksudkan untuk menemukan nilai-nilai yang hilang untuk deret waktu yang stasioner.
Dengan melakukan differencing terlebih dahulu pada data yang tidak
30 stasioner, maka data tersebut dapat diterapkan pada deret waktu untuk memperoleh model ARIMA.
= + ⋯ + + + + ⋯ +
maka
− − ⋯ − = + + ⋯ + (31) Dengan menggunaka operator backward shift, diketahui bahwa
= , = . sehingga dapat dituliskan menjadi
− − − ⋯ − = + + + ⋯ +
(32)
1 − − − ⋯ − = (1 + + + ⋯ + )
maka
( ) = ( ) , (33) di mana:
( )= 1 − − ⋯ − ,
( )= 1 − − ⋯ − . Untuk persamaan (33) dapat disusun kembali menjadi
= ( )
( ) , (34) dimisalkan ( )
( )= Π( ) sehingga,
Π( ) = 1 − Π − Π − ⋯ = ∑ Π . (35) Diketahui Π = −1 maka, persamaan (34), dapat dituliskan menjadi
31
= (1 − Π − Π − ⋯ )
= − Π − Π − ⋯
= − Π − Π − ⋯ = − ∑ ∏ (36) Untuk menghitung jumlah kuadrat error dengan menggunakan metode OLS maka:
= ∑
= ∑ (− ∑ ∏ )
Kemudian akan diminimalkan SS dengan adanya data hilang.
Dimisalkan hilang maka,
= 2 ∑ Π (− ∑ Π )
∑ Π (− ∑ Π ) = 0
∑ Π (∑ Π ) = 0 (37) karena jumlahnya konvergen, maka memungkinkan L → ∞. Misalkan
= − maka diperoleh:
= ∏( ) , maka
= ∏( )
= − ∑ ∏
Diketahui bahwa ( )
( ) = Π( ) dan inversnya adalah ( )
( )= Π( ).
Sehingga persamaan (37) menjadi
∑ ∏ (∑ ∏ ) = − ∑ ∏ = 0 (38) ekivalen dengan persamaan di bawah ini:
− ∑ ∏ = ∏( ) (39)
