BAB 5 PROGRAM LINIER A. Pengertian Program Linier - Modul Siap UN Matematika SMK Kelompok TKP

5 3,5 7

x + y = 5 2x+y = 7

5 (2 , 3)

x y

x y

a b

bx + ay = ab x + y = p

p

p

BAB 5

PROGRAM LINIER

A. Pengertian Program Linier

Program linier adalah suatu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan yang berhubungan dengan optimasi linier (nilai maksimum atau nilai minimum).

B. Grafik Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linier Dua Variabel

Contoh:

Gambarlah grafik x3y3, x0, dan y0 ! Jawab:

3 3 

 y

x

x y ( x , y )

0 1 ( 0 , 1 )

3 0 ( 3 , 0 )

Titik uji (0,0): x3y  3 0 + 3 (0)  3 0  3 Benar

Sehingga titik (0,0) termasuk daerah penyelesaian.

Jadi, daerah penyelesaiannya adalah sebelah bawah garis x3y3

Contoh:

1. Nilai minimal dari f(x,y)4x5y yang memenuhi pertidaksamaan 2x y7, x y5, x0, dan y0 adalah ....

Pembahasan:

Menentukan titik potong: 7

2xy xy5 x  2

Sehingga:

5  y x

5 )

2 ( y

2 5  y

3 

y , titik potongnya (2 , 3)

Titik Pojok Fungsi objektif

x y

3 1

90

2. Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari penumpang kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa barang seberat 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg dengan daya angkut maksimal bagasi adalah 1.000 kg. Harga tiket penumpang kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah .... Pembahasan:

Jika: banyak penumpang kelas bisnis = x banyak penumpang kelas ekonomi = y

maka, model matematikanya:

tentang banyak penumpang : x y90... (1) jumlah penumpang paling banyak 90 orang tentang daya angkut bagasi : 12x10y1.000... (2) maksimal bagasi menampung 1.000 kg

disederhanakan menjadi 6x5y500 syarat mutlak: x0 dan y0

Grafik daerah penyelesaian:

Titik potong kedua garis: 90

Sehingga titik potong kedua garis tersebut (50 , 40) Rp80.000,00 setiap pasang. Jika pedagang tersebut mempunyai modal sebesar Rp3.000.000,00 untuk membeli sepatu jenis I dan jenis II, maka model matematika dari permasalahan di atas adalah …. Pembahasan:

Jika: banyak sepatu jenis I = x banyak sepatu jenis II = y

maka, model matematikanya:

tentang daya tampung : x y40... (1) hanya cukup 40 berarti 

tentang modal : 60.000x80.000y3.000.000... (2) uang modal berarti  disederhanakan menjadi 3x4y150

x y

3 6

3 I II

III _IV

V

5 _{3x + 5y =15} 6x + 3y =18

2x + y =6

x y

2 3

2 4

2x + 4y = 8 x + 2y = 4 3x + 2y = 6

2. Daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linier

      



 

  

0 0

6 2

15 5 3

y x

y x

y x

ditunjukkan pada gambar di

bawah ini dengan nomor daerah ….

Pembahasan:

Untuk menentukan  atau , kita lihat dari posisi daerah penyelesaiannya. Jika daerah penyelesaiannya di sebelah kiri atau bawah, maka . Sedangkan jika daerah penyelesaiannya di sebelah kanan atau atas, maka . Berarti daerah yang memenuhi:

15 5

3x y , 2x y6, x0, dan y0 adalah daerah I

3. Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah ….

Pembahasan:

Karena daerah penyelesaiannya di bawah berarti sama-sama . Jadi sistem pertidaksamaan atau model matematika yang benar adalah x2y4, 3x2y6, x0, y0 (E)

4. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini merupakan daerah penyelesaian suatu sistem pertidaksamaan linier. Nilai maksimal dari fungsi objektif f(x,y)5x6y adalah ....

x y

3 6

3 I II

III _IV

V

5

x y

2 3

2 4

x

5. Seorang penjahit membuat dua jenis pakaian untuk dijual. Pakaian jenis I memerlukan 2 m kain katun dan 4 m kain sutera, sedangkan pakaian jenis II memerlukan 5 m kain katun dan 3 m kain sutera. Bahan kain katun dan kain sutera yang tersedia masing-masing adalah 70 m dan 84 m. Pakaian jenis I dijual dengan laba Rp25.000,00 per pakaian, sedangkan pakaian jenis II Rp50.000,00 per pakaian. Agar ia memperoleh laba sebesar-besarnya, maka banyaknya pakaian jenis I dan jenis II masing-masing dibuat sebanyak ....

Pembahasan:

Jika: banyak pakaian jenis I = x banyak pakaian jenis II = y maka, model matematikanya:

Pakaian

Sehingga diperoleh sistem pertidaksamaan/model matematika: Kain katun: 2x5y70 .... (1)

Kain sutera: 4x3y84 .... (2)

Banyak pakaian jenis I dan II tidak mungkin negatif, berarti: 0 Grafik daerah penyelesaian:

x y

10 3

2 9 I

II III

IV V

15  x

Sehingga titik potong kedua garis tersebut (15 , 8)

Titik Pojok (x , y)

Fungsi objektif y x

y x

f( , )25.000 50.000 (21 , 0) f(21,0)25.000(21)50.000(0)525.000

(15 , 8) f(15,8)25.000(15)50.000(8)375.000400.000775.000 (0 , 14) f(0,14)25.000(0)50.000(14)700.000

Laba terbesar Rp775.000,00 dengan membuat 15 pakaian jenis I dan 8 pakaian jenis II.

LATIHAN UN:

1. Harga 1 kg pupuk jenis A Rp4.000,00, sedangkan harga 1 kg pupuk jenis B Rp2.000,00. Seorang petani mempunyai modal Rp800.000,00 untuk membeli pupuk. Jika gudang beliau hanya dapat menampung 500 kg pupuk (misal pupuk A = x dan pupuk B = y), maka model matematika dari permasalahan di atas adalah ….

A. xy500, 2xy400, x0, y0 B. xy500, 2xy400, x0, y0 C. xy500, 2xy400, x0, y0 D. xy500, 2xy400, x0, y0 E. xy500, 2xy400, x0, y0

2. Daerah yang memenuhi sistem pertidaksaman linier 3xy9; x5y10; x0; y0; x,yR adalah ....

A. I B. II C. III D. IV E. V

3. Sistem pertidaksamaan linier yang memenuhi daerah penyelesaian (daerah yang diarsir) pada grafik di bawah ini adalah ….

A. 5x6y30, xy1, x4, y0 B. 5x6y30, xy1, x4, y0 C. 5x6y30, xy1, x4, y0

x y

1

–1 4 6

4. Diketahui sistem pertidaksamaan 2x3y24, xy10, x10, dan y0. Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y)2.000x1.000y adalah ….

A. 8.000 B. 10.000 C. 16.000 D. 20.000 E. 24.000

5. Pada grafik di bawah ini, daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaiaan program linier.

Nilai maksimum dari fungsi objektif f(x,y)2x5y pada grafik di atas adalah …. A. 15

B. 20 C. 25 D. 26 E. 30

6. Pada grafik di bawah ini, daerah yang diarsir adalah penyelesaiaan dari program linier. Nilai maksimum f(x,y)8x2y adalah ….

A. 4 B. 8 C. 9 D. 14 E. 16

7. Seorang penjahit mempunyai persediaan kain putih 10 m dan kain berwarna 15 m. Ia ingin membuat dua model pakaian, yaitu pakaian model I dan model II. Untuk pakaian model I memerlukan 1 m kain putih dan 3 m kain berwana, sedangkan pakaian model II memerlukan 2 m kain putih dan 1 m kain berwarna. Sebuah pakaian model I dijual dengan harga Rp75.000,00, sedangkan sebuah pakaian model II dijual dengan harga Rp60.000,00. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut apabila semua pakaian yang dibuat terjual habis adalah ….

A. Rp300.000,00 B. Rp375.000,00 C. Rp480.000,00 D. Rp750.000,00 E. Rp900.000,00

x y

2

2 3 4

y = 2 1 1

x y

5

15 10

8. Sebuah pesawat terbang komersil memiliki tempat duduk tak lebih dari 30 orang untuk kelas utama dan kelas ekonomi. Setiap penumpang kelas utama hanya boleh membawa barang seberat 90 kg, sedangkan penumpang kelas ekonomi hanya boleh membawa barang seberat 45 kg. Kapasitas barang di bagasi pesawat hanya 1.800 kg. Harga tiket penumpang kelas utama dan kelas ekonomi berturut-turut adalah Rp800.000,00 dan Rp600.000,00. Pendapatan maksimum yang dapat diperoleh perusahaan penerbangan tersebut dari penjualan tiket adalah ….