A
B C
h
PROGRAM LINIER
DISUSUN OLEH :
Febriantoni, dkk
NAMA SISWA
: ………
KELAS
: ………
STANDAR KOMPETENSI
MENYELESAIKAN PERMASALAHAN PROGRAM LINIER
Program linier adalah metode matematika untuk menyelesaikan suatu masalah dengan tujuan memperolehhasil yang optimum(maksimum atau minimum).
Masalah tersebut disajikan dalam bentuk model matematika pembatasan (kendala/ syarat/
constrain), sehingga permasalahan berupa sistem pertidaksamaan linier.
Hasil yang optimum ditentukan dengan terlebih dahulu membuat model matematika sasaran programberupa sebuah fungsi linier yang disebut fungsi sasaran (obyektif).
1. Kompetensi dasar 1 : Membuat grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier Menggambar daerah himpunan penyelesaiaan merupakan salah satu bagian penting dalam menyelesaikan masalah program linier.
Cara 1
Daerah penyelesaiaan pertidaksamaan linierAx + By – C0atauAx + By – C0dapat ditentukan dengan langkah:
1) Tentukan titik potong garisAx + By = Cterhadap sumbu x dan y serta buat gambarnya, sehingga menjadikan koordinat kartesianterbagi menjadi dua bagian.
2) Uji dengan sebaua titik yang tidak dilalui garis untuk memastikan daerah penyelesaian. Bila titik tersebut memenuhi pertidaksamaan yang diminta, maka disitulah daerah yang diarsir sebagai daerah penyelesaian (Hp) dan bila tidak maka sebaliknya.
Cara 2
Daerah penyelesaian pertidaksamaan linierAx + By – C0atauAx + By – C0dapat ditentukan dengan langkah:
Persamaan garis :Ax + By = C
Nilai A Tanda pertidaksamaan Daerah penyelesaian Positif (+) > atau
< atau
di kanan garis di kiri garis Negatif (-) > atau
< atau
di kiri garis di kanan garis
Latihan:
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≤
3. Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan + ≤ 4. Tentukan himpunan penyelesaian daripertidaksamaan + ≥
5. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≤
6. Tentukanhimpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≤
7. Tentukandaerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≥ , + ≤
8. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≤ , + ≥
9. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≥ , + ≤
10. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≤ , + ≥
11. Tentukan daerah himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan + ≥ , + ≤
Latihan : Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah himpunan penyelesaian suatu program linear. Himpunan penyelesaian itu adalah …
1. 8
5 4
0 4 5
2.
Y
12
5
0 2 4 X
3.
6
3 A
0 2 6
4.
4
2
0 2 3
5.
4
2
2. Kompetensi dasar : Menentukan model matematika dari soal ceritera (kalimat verbal)
Latihan :
1. Suatu pabrik roti memproduksi 120 kaleng setiap hari. Roti terdiri dari dua jenis, roti asin dan roti manis. Setiap hari roti asin diproduksi paling sedikit 30 kaleng dan roti manis 50 kaleng. Susunlah model matematika soal ini, misalkan roti asin sebanyakxkaleng dan roti manis y kaleng.
2. Seorang wiraswasta membuat dua macam ember yang setiap harinya menghasilkan tidak lebih dari 18 buah. Harga bahan untuk jenis pertama Rp. 500,00 dan untuk ember jenis kedua Rp. 1000,00. Ia tidak akan berbelanja lebih dari Rp. 13.000,00 setiap harinya. Jika jenis ember pertama dibuah sebanyakxbuah dan jenis kedua seba-nyak y buah, Susunlah model matematika soal ini
3. Seorang pemborong pengecatan rumah mempunyai persediaan 80 kaleng cat warna putih dan 60 kaleng cat warna merah, pemborng tersebut mendapat tawaran untuk mengecat ruang tamu dan ruang tidur, setelah dihitung ternyata 1 ruang tamu menghabiskan 2 kaleng cat putih dan 1 kaleng cat
merah,sedangkan ruang tidur menghabiskan masing masing 1 kaleng, misalnya banyak ruang tamu dinyatakan dengan x dan ruang tidur dinyatakan y , Susunlah model matematika soal ini
4. Seorang pedagang kaki lima mempunyai modal sebesar Rp1.000.000,00 untuk membeli 2 macam celana. Celana panjang seharga Rp25.000,00 per potong dan celana pendek seharga Rp20.000,00 per potong. Tas untuk menjajakan maksimal memuat 45 potong celana. Jika banyaknya celana panjang dimisalkan x dan banyaknya celana pendek adalah y, maka system pertidaksamaan yang memenuhi adalah …
5. Perusahaan pengiriman barang mempunyai dua jenis mobil yaitu jenis I dan II. Mobil jenis I daya muatnya 12 m3, sedangkan mobil jenis II daya muatnya 36 m3. Order tiap bulan rata–rata mencapai lebih dari 7.200 m3, sedangkan biaya per pengiriman untuk mobil jenis I Rp400.000,00 dan mobil jenis II Rp600.000,00. Dari biaya yang telah ditetapkan tersebut pendapatan rata–rata sebulan tidak kurang dari Rp200.000.000,00. model matematika yang tepat dari masalah tersebut adalah …
7. Seorang peternak ikan hias memiliki 20 kolam untuk memelihara ikan koki dan ikan koi. Setiap kolam dapat menampung ikan koki saja sebanyak 24 ekor, atau ikan koi saja sebanyak 36 ekor. Jumlah ikan yang direncanakan akan dipelihara tidak lebih dari 600 ekor. Jika banyak berisi ikan koki adalah x, dan banyak kolam berisi ikan koi adalah y, maka model matematika untuk masalah ini adalah
8. Ani ingin membuat 2 jenis kartu undangan. Kartu undangan jenis I memerlukan 30 m2karton warna
biru dan 25 m2karton warna kuning, sedangk
untuk jenis II memerlukan 45 m2karton warna biru
dan 35 m2karton warna kuning. Banyak karton
warna biru dan kuning yang dimiliki masing– masing 200 m2dan 300 m2. Model matematika
yang sesuai dari masalah tersebut adalah …
9. Rudi seorang pedagang roti keliling. Ia akan membeli roti jenis A dan jenis B. Harga sepotong roti jenis A adalah Rp3.000,00 dan harga sepotong roti B adalah Rp3.500,00. Rudi mempunyai keranjang dengan kapasitas 100 potong roti dan memiliki modal sebesar Rp300.000,00. Jika x menyatakan jumlah roti jenis A dan y menyatakan jumlah roti jenis B yang dibeli, maka sistem pertidaksamaan yang memenuhi adalah …
10. Seorang pedagang buah mempunyai tempat yang cukup untuk menyimpan 40kg buah. Jeruk dibeli dengan harga Rp12.000,00 per kg dan jambu dibeli dengan harga Rp10.000,00 per kg. Pedagang tersebut mempunyai modal
Rp450.000,00 untuk membeli x kg jeruk dan y kg jambu. Model matematika dari masalah tersebut adalah …
Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum
Latihan :
1. Nilai maksimum dari
( , ) = 300 + 500 yang memenuhi system pertidaksamaan + 2 ≤ 4; + ≤ 3; ≥ 0dan ≥ 0adalah …
2. Diketahui system pertidaksamaan
3. Himpunan penyelesaian dari system pertidaksamaan linear + ≤ 6;
2 + ≤ 8; ≥ 0; ≥ 0akan mempunyai nilai maksimum pada fungsi obyektif ( , ) = 3 + 5 adalah …
4. Nilai maksimum fungsi obyektif
( , ) = 2 + yang memenuhi system pertidaksamaan + 3 ≤ 6;
4 + 3 ≤ 12; ≥ 0; ≥ 0dengan , ∈ adalah …
5. Nilai maksimum fungsi obyektif
f(x,y) = 2x + 3y pada daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x + 2y8,
3x + 2y12, dan x0; y0 adalah
6. Nilai minimum fungsi obyektif
f(x,y) = 3x + 2y yang memenuhi system pertidaksamaan:4x + 3y ≥ 24, 2x + 3y ≥ 18 x ≥ 0, y ≥ 0, adalah …
7. Nilai minimum fungsi obyektif
( , ) = 6 + 5 yang memenuhi sistem pertidaksamaan:2 + ≥ 8;
2 + 3 ≥ 12; ≥ 0; ≥ 0; , ∈ adalah …
8. Nilai minimum dari ( , ) = 4 + 5 yang memenuhi pertidaksamaan
9. Nilai minimum fungsi f(x,y) = 2x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear 4x + y8, x + y5, x0, dan y0 adalah
10. Nilai minimum f(x,y) = 5x + 4y yang memenuhi pertidaksamaan
x + y8, x + 2y12 ,x ≥ 0 dan y ≥ 0 adalah…
11. Perhatikan gambar!
Nilai minimum fungsi obyektif
f(x,y) = 3x + 2y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah …
12. Nilai minimum dari f(x,y) = 6x +5y yang memenuhi daerah yang diarsir adalah …
13. Perhatikan gambar!
Nilai minimum fungsi obyektif
f(x,y) = 3x + 4y dari daerah yang diarsir pada gambar adalah …
X Y
0 8
4
8 12
0 Y
X
2 3
3 4
Y
X
0 12 16
14. Nilai maksimum dari
f
x
,
y
2
x
5
y
yang memenuhi daerah yang diarsir adalah …15. Perhatikan gambar!
Nilai maksimum dari bentuk obyektif z = 2x + 3y dari daerah yang diarsir adalah
16. Perhatikan gambar!
Nilai maksimum f(x,y) = 60x + 30y untuk (x, y) pada daerah yang diarsir adalah …
17. Perhatikan gambar :
Nilai maksimum f(x, y) = 4x + 6y yang memenuhi daerah yang diarsir pada gambar adalah …
18. Perhatikan gambar :
Daerah yang diarsir merupakan himpunan penyelesaian suatu system pertidaksamaan. Nilai maksimum bentuk obyektif
19. Daerah yang di aksir pada gambar di bawah ini merupakan penyelesaian sistem
pertidaksamaan.Nilai maksimum dari bentuk obyektif f(x,y) = 5x + 4y adalah ….
20. Perhatikan gambar
Nilai maksimum fungsi obyektif
f(x,y) = x + 3y untuk himpunan penyelesaian seperti pada grafik di atas adalah …
Menyelesaikan masalah program linear
Latihan :
1. Sebuah pesawat dengan rute Jakarta – Surabaya dalam satu kali pemberangkatan dapat mengangkut penumpang paling banyak 90 penumpang yang terdiri dari kelas bisnis dan kelas ekonomi. Penumpang kelas bisnis boleh membawa bagasi 12 kg dan kelas ekonomi 10 kg, daya angkut bagasi 1.000 kg. Harga tiket kelas bisnis Rp800.000,00 dan kelas ekonomi Rp700.000,00. Pendapatan maksimal maskapai tersebut adalah …
2. Seorang pedangan gorengan menjual pisang goreng dan bakwan. Harga pembelian untuk satu pisang goreng Rp1.000,00 dan satu bakwan Rp400,00. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika pisang goreng dijual Rp1.300,00/biji dan bakwan dijual
Rp600,00/biji, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang adalah …
3. Seorang pedagang makanan menggunakan gerobak menjual pisang coklat dan pisang goreng. Harga pembelian untuk pisang coklat Rp1.000,00/biji dan pisang goreng
Rp400,00/biji. Modalnya hanya Rp250.000,00 dan muatan gerobak tidak melebihi 400 biji. Jika keuntungan dari pisang coklat
Rp500,00/biji dan pisang goreng
Rp300,00/biji, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang tersebut adalah …
4 4
8
6 0
4. Seorang pedagang dengan modal Rp400.000 membeli tomat dan semangka yang akan diangkut dengan mobil angkutan barang. Daya angkut mobil hanya 300 kg, tomat dibeli dengan harga Rp2.000,00 per kg dan
semangka Rp1.000,00 per kg. Apabila tomat dan semangka dijual dengan harga berturut– turut Rp4.000,00 per kg dan Rp2.500,00 per kg, maka keuntungan maksimum adalah … 5. Harga bawang merah Rp25.000,00 per kg dan
harga bawang putih Rp50.000,00 per kg. Seorang pedagang hanya mempunyai modal Rp20.000.000,00 dan kiosnya hanya dapat memuat tidak lebih dari 600 kg dengan keuntungan bawang merah Rp5.000,00 per kg dan bawang putih Rp9.000,00 per kg,
keuntungan maksimum yang diperoleh pedangang tersebut adalah …
6. Seorang pedagang mempunyai modal
Rp620.000,00 akan membawa tomat dan cabe yang dibelinya dengan menggunakan mobil angkutan barang, dengan daya angkut mobil hanya 100 kg. Jika tomat dibeli dengan harga Rp4.000,00/kg dan cabe dengan harga Rp15.000,00/kg, serta tomat dan cabe di jual dengan harga berturut–turut masing–masing Rp10.000,00/kg dan Rp20.000,00/kg, keuntungan maksimum yang diperoleh pedagang adalah …
7. Seorang pemilik toko sandal memiliki modal Rp4.000.000,00. Ia membeli setiap pasang sandal A Rp10.000,00 dan sandal B Rp8.000,00. Setiap pasang sandal A dan sandal B masing–masing memberi keuntungan Rp5.000,00 dan Rp4.000,00. Kapasitas tempat penjualan yang tersedia tidak lebih dari 450 pasang. Keuntungan maksimum yang diperoleh pemiliki toko tersebut jika semua sandal habis terjual adalah …
8. Tempat parkir seluas 600 m2hanya mampu menampung 58 bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6 m2dan bus 24 m2. biaya parkir tiap mobil Rp.2.000,00 dan bus Rp.3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum,jika tempat parkir penuh?
9. Tempat parkir seluas 600m2hanya mampu menampung 58 kendaraan jenis bus dan mobil. Tiap mobil membutuhkan tempat seluas 6m2dan bus 24m2. Biaya parkir tiap mobil Rp2.000,00 dan bus Rp3.500,00. Berapa hasil dari biaya parkir maksimum, jika tempat parkir penuh?
Seorang ibu memproduksi dua jenis keripik pisang, yaitu rasa coklat dan rasa keju. Setiap kilogram keripik rasa coklat membutuhkan modal Rp10.000,00, sedangkan keripik rasa keju membutuhkan modal Rp15.000,00 perkilogram. Modal yang dimiliki ibu tersebut Rp500.000,00. tiap hari hanya bisa
