1 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
SOLUSI PREDIKSI UJIAN NASIONAL
MATEMATIKA IPA 2015
Paket 1
Pilihlah jawaban yang paling tepat!1. Diberikan premis-premis berikut!
1. Jika n bilangan prima ganjil maka n2. 2. Jika n2maka n2 4.
Ingkaran dari kesimpulan tersebut adalah ….. A. Jika n bilangan prima ganjil maka n2 4. B. Jika n bilangan prima ganjil maka n2 4. C. n bilangan prima ganjil dan n2 4. D. n bilangan prima ganjil dan n2 4. E. n bilangan prima ganjil atau n2 4.
Solusi:
Ingkaran dari pernyataan “Jika n bilangan prima ganjil maka n2 4” adalah “ n bilangan prima ganjil dan n2 4”.
D2. Anggaplah bahwa 60a 3dan 60b 5. Nilai dari 122 2 ....
1 b b a A. 8 D. 4 B. 7 E. 2 C. 6 Solusi: 5 60 12 dan 60b 5 Sehingga p q q r p r (p q) p q
Jika n bilangan prima ganjil maka n2 Jika n2maka n2 4
Jika n bilangan prima ganjil maka n2 4
2 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 b b 1 60 60 60 12
b b a b b b a 2 2 1 1 2 2 1 60 12 2 1 60 b a 601ab b a 60 60 60 5 3 60 42 3. Diberikan 3 2 3 2 a dan 3 2 3 2 b . Jika hasil dari a2 b2dinyatakan dalam bentuk pq 3, maka nilai dari pq....
A. 152 D. 42 B. 112 E. 18 C. 54 Solusi: 7 4 3 3 2 3 2 3 2 3 2 a 7 4 3 3 2 3 2 3 2 3 2 b a2 b2
ab
ab
74 374 3
74 374 3
8 3
14 112 3 pq 3 p0dan q112 Jadi, nilai pq0112112. [B]4. Jika akar-akar persamaan
2log 1 1 log log 1 2 6 x x x x
x adalah x dan 1 x . Nilai 2
2 2 1 x x adalah …. A. 5 D. 2 B. 4 E. 1 C. 3 Solusi:
2 log 1 1 log log 1 2 6 x x x x xxlog
x6
xlog
x1
xlog22
log 2 2 1 6 log x x x x x
2 2 1 6 x x x x2 5x62x2 x2 5x60
x2
x3
0 x12atau x2 23 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
5. Garis h melalui titik (2,0) menyinggung parabola yx2 6x. Jika titik singgungnya terletak pada parabola di kuadran kedua, maka persamaan garis h adalah ….
A. 18x y360 D. 2xy40 B. 18x y360 E. 2xy40 C. 2xy40
Solusi:
Ambillah persamaan garis singgungnya adalah ymxn
(2,0) ymxn
02mn
n2m
Persamaan garis singgungnya menjadi ymx2m m
mx
y 2 yx2 6x
mx2mx2 6x
x2
m6
x2m0Syarat yang harus dipenuhi agar garis menyinggung parabola adalah D0, sehingga
m6
2 41
2m
0 0 8 36 12 2 m m m 0 36 20 2 m m
m2
m18
0 2 m atau m18 2 m x2
m6
x2m0 x2 4x40
x2
2 0 x2 x2 yx2 6x
2 2 6
2 8Koordinat titik singgungnya
2,8
yang terletak di kuadran II. 18 m x2
m6
x2m0 x2 12x360
x6
2 0 x6 x6 yx2 6x
6 2 6
6 72Koordinat titik singgungnya
6,72
yang terletak di kuadran IV. Jadi, persamaan garis singgung yang diminta adalah2
m ymx2m 2x4 2xy40 [D]
4 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
6. Diberikan persamaan kuadrat 2x2 xk0mempunyai akar-akar p dan q. Jika
4 5 2 2 q p ,
maka nilai k adalah ….
A. 7 D. 1
B. 5 E. 2
C. 3
Solusi:
2x2 xk0akar-akarnya adalah p dan q. 2 1 q p …………. (1) 2 k pq ……….. (2) 4 5 2 2 q p
4 5 q p q p
4 5 2 1 p q 2 5 q p …………... (3)Jumlah persamaan (1) dan (3) menghasilkan: 2p3 2 3 p 2 3 p 2 1 q p 2 1 2 3 q q1 2 12 3 k pq q p
2 1 2 3 k k3 [C]7. Jika dan adalah akar-akar persamaan x2 4x20, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 52dan 5 2adalah ….
A. x2 16x680 D. x2 86x160 B. x2 16x860 E. x2 16x160 C. x2 16x860
5 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 Solusi: Alternatif 1: 0 2 4 2 x
x akar-akarnya adalah dan . 4
dan 2
Akar-akar persamaan kuadrat baru adalah 52dan 5 2. Jumlah akar-akarnya:
4 5
4 4 16 5 2 5 2 5 Hasil kali akar-akarnya:
52
52
25
10
4 25
2 10
4 486 Persamaan kuadrat yang diminta adalah
1 2
1 2 0 2 x x x x x x
16 86
0 2 x x 0 86 16 2 x x [C] Alternatif 2: x 2 5 5 2 x 5 2 x x2 4x20 2 0 5 2 4 5 2 2 x x x2 4x420x40500 x2 16x860 [C]8. Garis g adalah garis singgung pada lingkaran x2 y2 10di titik A(3,1). Salah satu garis h menyinggung lingkaran itu dan tegak lurus pada garis g adalah ….
A. x3y100 D. 3xy100 B. x3y100 E. 3x3y100 C. x3y100
Solusi:
Gradien garis OA adalah
3 1 0 3 0 1 OA m .
Gradien garis g adalah mg
mg mOA 1 1 3 1 g m mg 3
Gradien garis h adalah mh
mhmg 1 mh31 X Y O A(3,1) g
6 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 3 1 h m
Persamaan garis singgungnya: ymxr m2 1 1 3 1 10 3 1 2 x y 3 10 3 1 x y x3y100dan x3y100
Jadi, salah satu garis h menyinggung lingkaran itu dan tegak lurus pada garis g adalah 0
10
3
y
x
A9. Diberikan fungsi f dan g yang didefinisikan sebagai
b x x f 5, b0dan
2 x ax x g , x2, 0 a . Jika
fog 4 f 8 dan
go f1
1 12, maka nilai ab.... A. 10 D. 6 B. 9 E. 5 C. 8 Solusi:
b x x f 5 b y x 5 ybx5 f1
x bx5
fog 4 f 8
b g f 4 3 b a f 3 2 4 4
b a f 2 3 b b a 5 3 2 2a53 a4 10. Jika
x x x f 2 4 3 2 , x2dan f 1adalah invers dari fungsi f, maka f1
1 .... A. 10 D. 6 B. 9 E. 7 C. 8 Solusi:
go f1
1 12
f11
12 g
b5
12 g
12 2 5 5 b b a
12 3 5 4 b b 9 3 5 b b 4 2b 2 b Jadi, nilai 6 ) 2 ( 4 b a [D]7 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 Ambillah x2t xt2
x x x f 2 4 3 2
2 2 4 3 2 t t t f t t 2 8 1
x x x f 2 8 1 , dengan x4 Alternatif 1:
x x x f 2 8 1 y y x 2 8 1 1 2 8x xyy
2x1
8x1 y 1 2 1 8 x x y
1 2 1 8 1 x x x f , dengan 2 1 x
9 1 1 2 1 1 8 1 1 f [B]11. Diberikan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga x2 x1 merupakan faktor dari 1 2 3 bx ax . Nilai abadalah …. A. 3 D. 1 B. 2 E. 2 C. 1 Solusi:
Membagi ax3 bx2 1dengan x2 x1 menghasilkan: ax3 bx2 1
x2 x1
ax1
ax3 x2 ax2 xax1 ax3
1a
x2
1a
x1 Sehingga 1a0 a1 b1a112 Jadi, ab121 [C]12. Lima belas tahun yang lalu umur Mathman adalah 2 kali umur Martha; 15 tahun yang akan datang umurnya
3
4 kali umur Martha. Jumlah umur mereka sekarang adalah …. A. 80 tahun D. 65 tahun B. 75 tahun E. 60 tahun Alternatif 2:
d cx b ax x f
a cx b dx x f 1
x x x f 2 8 1
1 2 1 8 1 2 1 8 1 x x x x x f , 2 1 x
9 1 1 2 1 1 8 1 1 f [B]8 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 C. 70 tahun
Solusi:
Ambillah sekarang umur Mathman x tahun dan umur Martha y tahun. x152
y15
x2y15……….. (1)
15
3 4 15 y x 3x454y60 3x4y15……….. (2)Persamaan (2) – 2 Persamaan (1) menghasilkan: x45
x45 x2y15 452y15 y30
Jadi, jumlah umur mereka sekarang adalah (45 + 30) tahun = 75 tahun. [B]
13. Sebuah perusahaan memproduksi 2 jenis pencukur. Sebuah pencukur tanpa kabel listrik membutuhkan waktu 4 jam untuk membuatnya dan dijual seharga $40. Pencukur yang lainnya dengan kabel listrik membutuhkan waktu 2 jam untuk membuatnya dan dijual seharga $30. Perusahaan itu hanya menpunyai waktu kerja 800 jam untuk digunakan memproduksi pencukur per harinya dan departemen pengiriman dapat membungkus 300 pencukur per hari. Banyak masing-masing jenis pencukur yang diproduksi oleh perusahaan itu per harinya agar diperoleh pendapatan maksimimum adalah ….
A. 300 pencukur dengan kabel listrik saja B. 200 pencukur tanpa kabel listrik saja
C. 150 pencukur tanpa kabel listrik dan 150 pencukur dengan kabel listrik D. 100 pencukur tanpa kabel listrik dan 200 pencukur dengan kabel listrik E. 200 pencukur tanpa kabel listrik dan 200 pencukur dengan kabel listrik
Solusi:
Ambillah banyak pencukur tanpa kabel listrik = x buah dan banyak pencukur dengan kabel listrik = y buah. 0 0 300 800 2 4 y x y x y x Fungsi objektif f
x 40x30y 4x2y800 2xy400………….. (1) x y300………..….. (2)Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan: x100 x100 x y300 O 400 300 300 (100,200) 300 y x X Y 800 2 4x y 200
9 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 100 y300
y200
Koordinat titik potongnya adalah (100,200) Titik f
x 40x30y (0,0) 4003000 (200,0) 402003008.000 (100,200) 401003020010.000 (maksimum) (0,300) 400303009000Jadi, banyak masing-masing jenis pencukur yang diproduksi oleh perusahaan itu per harinya agar diperoleh pendapatan maksimimum adalah 100 buah pencukur tanpa kabel listrik dan 200 buah pencukur dengan kabel listrik. [D]
14. Diberikan persamaan matriks
3 0 1 2 1 2 4 2 1 0 1 1 1 2 1 2 2 3 A , dengan matriks A
berordo 22, At adalah transpos matriks A, dan I adalah matriks identitas berordo 22. Nilai determinan matriks AtI A2 adalah ….
A. 16 D. 216 B. 184 E. 232 C. 200 Solusi: 3 0 1 2 1 2 4 2 1 0 1 1 1 2 1 2 2 3 A 2 2 1 2 2 5 0 6 1 0 2 1
1 2 0 1 3 2 2 1 2 2 1 3 1 A 3 8 2 5 3 2 8 5 t A 3 8 2 5 3 8 2 5 2 A A A 7 16 4 9 7 16 4 9 1 0 0 1 3 2 8 5 2 A I At 7 16 4 9 3 2 8 5 4 18 12 4 Det
A2 AtI
4 4 12
18
200 4 18 12 4 [C]15. Diberikan vektor-vektor a2i j2kdan b4i10j8k. Sudut antara vektor
a b 2 1 dan a adalah …. A. 150o D. 60o
10 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 B. 120o E. 45o C. 90o Solusi: a b i j k
4i 10j 8k
2 1 2 2 2 1 4i4j2kSudut antara vektor
a b 2 1 dan a adalah . Rumus: b a b a cos
2 2
2 2 2 2 2 1 2 2 4 4 2 1 2 2 4 4 cos 0 4 1 4 4 16 16 4 4 8 90Jadi, sudut antara vektor
a b 2 1 dan a adalah 90o. [C]
16. Diberikan vektor a3i4j6kdan b2i3j6k. Panjang proyeksi vektor a pada vektor b
adalah ….
A. 10 D. 6 B. 8 E. 5 C. 7
Solusi:
Rumus: Panjang proyeksi vektor a pada b adalah
b b a c
2 2 2 6 3 2 6 3 2 6 4 3 c 36 9 4 36 12 6 49 42 6 7 42 Jadi, panjang proyeksi vektor a pada vektor b adalah 6.
17. Garis 2x3y60adalah peta dari garis yang ditranformasikan oleh matriks
3 2 1 1
dilanjutkan dengan dilatasi
O,2 . Persamaan garis semula adalah …. A. 8xy80 D. 8x11y30B. 3x3y30 E. 3x11y30 C. 8x11y30
Solusi: Alternatif 1:
11 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 y x y x 3 2 1 1 2 0 0 2 ' ' y x 6 4 2 2
' ' 2 4 2 6 4 2 6 2 1 y x y x ' ' 2 4 2 6 4 1 y x ' ' 2 1 1 2 1 2 3 y x ' 2 1 ' ' 2 1 ' 2 3 y x y x ' 2 1 ' 2 3 y x x ………. (1) ' 2 1 ' y x y …………(2)Selisih persamaan (1) dan (2) menghasilkan:
' 2 1 x y x x'2x2y x'2x2y ' 2 1 ' y x y ' 2 1 2 2x y y y 2y4x4yy' y'4x6y 2x3y60 2
2x2y
34x6y
60 4x4y12x18y60 16x22y60 8x11y30Jadi, garis semula adalah 8x11y30. [C]
Alternatif 2:
Ambillah garis semula adalah axbyc0.
y x y x 3 2 1 1 2 0 0 2 ' ' y x 6 4 2 2
' ' 2 4 2 6 4 2 6 2 1 y x y x ' ' 2 4 2 6 4 1 y x ' ' 2 1 1 2 1 2 3 y x ' 2 1 ' ' 2 1 ' 2 3 y x y x ' 2 1 ' 2 3 y x x ' 2 1 ' y x y axbyc012 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 ' 0 2 1 ' ' 2 1 ' 2 3 c y x b y x a
0 2 1 ' 2 3 c b a x b a 2x3y60 c6 2 2 3 b a …..……(1) 3 2 1 2 1 b a ……. (2)Persamaan (1) – 2 Persamaan (2) menghasilkan: 8 2 1 a a16 a16 2 2 3 b a
16 2 2 3 b b22 16x22y60 8x11y30Jadi, garis semula adalah 8x11y30. [C]
18. Diberikan fungsi eksponen f
x a2x byang ditunjukkan pada gambar berikut ini. Jika
xf1 adalah invers dari fungsi eksponen f , maka f1
x ....A. 1 4 1 log 2 x B. 1 4 1 log 2 x C. log
4
4 12 x D. 22log
x4
E. 1 2 4 1 log 2 x Solusi: ) 8 , 0 ( f
x a2xb 8a20 b ab8…….. (1) ) 20 , 2 ( f
x a2x b 20a22 b 4ab20…….. (2) O X Y (2,20)
x f y (0,8)13 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 Selisih persamaan (2) dan (1) menghasilkan:
12 3a 4 a 4 a ab8 4b8 b4
Persamaan fungsi eksponen adalah f
x 42x 42x2 4
x 2x2 4 f 4 2 2 y x 4 2y2 x
4
log 2 log y2 x
y2
log2log
x4
4
log 22 x y
4
2 log 2 x y
4
log4 log 2 2 x y 1 4 1 log 2 x yJadi, fungsi inversnya adalah
1 4 1 log 2 1 x x f [A]
19. Diberikan barisan aritmetika dengan suku ke-5 adalah 20 dan suku ke-12 adalah 41. Jumlah 20 suku ganjil pertama dari barisan tersebut adalah …..
A. 900 D. 1.200 B. 1.000 E. 1.300 C. 1.100 Solusi: u5 20 a4b20……….. (1) u12 41 a11b41……... (2) Selisih persamaan (2) dan (2) adalah 7b21 b3 b3 a4b20 a4
3 20 a8 Barisan aritmetika: 8, 11, 14, 17, 20, …Barisan aritmetika suku ganjil: 8, 14, 20, …, dengan suku pertama a = 8 dan beda b = 14 – 8 = 6 Sn n
2a
n 1
b
2
2 8
20 1
6
1.300 2 20 20 S14 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
Jadi, jumlah 20 suku ganjil pertama dari barisan tersebut adalah 1.300. [E]
20. Tiga buah bilangan membentuk barisan geometri dan jumlahnya 26. Jika bilangan ke-2 ditambah 4 menghasilkan sebuah barisan aritmetika, maka nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah …. A. 6 D. 14 B. 8 E. 16 C. 12 Solusi: Barisan geometri: a ar r a , , 26 a ar r a r ar ar a 2 26 ar r a ar2 26 ………. (1) Barisan aritmetika: a ar r a , 4 , 4 4 ar a r a a r ar ar a r ar4 2 4 0 8 2 2 ar ra ar ……… (2)
Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh: 0 8 2 26rar ar r 0 3 18r ar
6
0 3r a 0 r (ditolak) atau a6Jadi, nilai bilangan ke-2 dari barisan semula adalah 6.
21. Diberikan balok ABCD.EFGH, dengan AB = 40 cm, BC = 30 cm, dan CG = 18 cm. Jarak dari titik
C ke bidang BDG adalah …. A. 706 3 1 cm D. 5 3 14 cm B. 706 3 2 cm E. 14 cm C. 5 2 14 cm Solusi: BD BC2 CD2 302402 50cm Luas BCD BCCD BDCP 2 1 2 1 24 50 40 30 BD CD BC CP cm PG CG2 CP2 182 242 30cm A B C D E F G H P Q 40 30 18
15 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 Luas GCP CGCP PGCQ 2 1 2 1 5 2 14 30 24 18 PG CP CG CQ cm
Jadi, jarak dari titik C ke bidang BDG adalah 5 2 14 cm.
22. Dari prisma segitiga tegak ABC.DEF diketahui ABC adalah siku-siku di A, AB = 6 cm, luas
ABC = 24 cm2, dan jumlah luas bidang sisi tegak = 96 cm2. Sudut yang dibentuk antara bidang
BCD dan bidang alas adalah . Nilai cos adalah …. A. 61 5 D. 61 10 B. 61 6 E. 61 12 C. 61 8 Solusi: Luas ABC ABAC 2 1 6AC 2 1 24 AC8cm BC AB2AC2 6282 10cm Luas ABC ABAC BCAP 2 1 2 1 4,8 10 8 6 BC AC AB AP cm
Jumlah luas bidang sisi tegak = 96 6h8h10h96 24h96 h4cm BD AB2 AD2 62 42 52cm CD AC2AD2 8242 80cm Pandanglah BCD: CD BD BC CD BD D 2 cos 2 2 2
80 52 2 10 80 52 2 2 5 4 13 2 2 100 80 52 5 4 13 2 2 32 65 2 65 61 sinD B A C E D F P 6 h 2 D 65
61 2 65 2 2 16 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 Luas BCD BDCD D BCDP 2 1 sin 2 1 10 65 61 80 52 sin BC D CD BD DP 10 65 61 5 4 13 2 61 5 4 61 5 4 8 , 4 cos DP AP 61 6 [B]
23. Keliling segi-12 beraturan yang mempunyai luas 588 cm2 adalah …. A. 7
6 2
cm D. 84
6 1
cmB. 14
6 2
cm E. 84
6 2
cm C. 84
21
cmSolusi:
Luas segi-n beraturan
n R n sin360 2 1 2
Luas segi-12 beraturan
12 360 sin 2 1 12 2 R 5886R2sin30 2 1 6 588 R2 R2 196 R14
Menurut aturan Kosinus:
p2 R2 R2 2RRcos30 196 196 2 14 14 1 3 2
2 196 196 3
p 2196196 3 7 84 3 7 82 12 7
6 2
Jadi, keliling segi-12 beraturan itu adalah 87
6 2
84 6 2
cm.
E24. Diberikan limas segitiga beraturan T .ABC, dengan TA4 3dm dan AB6dm. Volume limas tersebut adalah ….
A. 18 3liter D. 12 3liter B. 18 liter E. 8 liter C. 16 3liter
Solusi:
Lihat APB siku-siku di P:
3 3 60 sin 6 sin AB B AP dm Lihat TPB siku-siku di P: 2 2 2 BP TB TP
4 3 2 32 48939 Lihat TAP: R R p 30o A B C T T1 h P 6 6 3 3 3 4 17 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 TA AP TP TA AP 2 cos 2 2 2
3 4 3 3 2 39 3 4 3 3 2 2 72 39 48 27 72 36 2 1 60 Luas TAP sin
2 1 AP TA 4 33 3sin60 2 1 3 2 1 18 9 3cm2 3 9 2 1 1 TT AP 3 9 3 3 2 1 h 6 h cm
volume limas itu adalah 3 1
Luas ABC h 6 6 sin60 6 2
1 3
1
18 3liter
A25. Jika dan , dengan adalah solusi dari persamaan 2sinxtanx54secx0, dengan π
2
0x , maka nilai cos
.... A. 1 D. 0 B. 3 2 1 E. 1 C. 2 1 Solusi:2sinxtanx54secx0
0 cos 1 4 5 cos sin sin 2 x x x x 2sin2 x5cosx40 2
1cos2 x
5cosx40 22cos2 x5cosx40 2cos2 x5cosx20
2cosx1
cosx2
0 2 1cosx (diterima) atau cosx2(ditolak) 3 π cos 2 1 cosx 2 π 3 π k x , dengan kB 3 π x atau 3 5π x Jadi,
2 1 3 π 4 cos 3 π 3 π 5 cos cos [C]26. Sinus-sinus dari tiga buah sudut dalam suatu segitiga berbanding sebagai 3 : 4 : 5. Jika A adalah sudut dalam terkecil dan C adalah sudut terbesar dari segitiga itu, maka nilai tan
AB
adalah ….18 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 A. 3 4 D. 24 7 B. 1 E. 1 C. 24 7 Solusi:
Menurut aturan Sinus dalam ABC : R C c B b A a 2 sin sin sin 5 : 4 : 3 sin : sin : sinA B C 5 : 4 : 3 sin : sin : sin sin 2 : sin 2 : sin 2 : :b c R A R B R C A B C a
Ambillah a3k, b4k, dan c5k , dengan k0 Menurut aturan Kosinus dalam ABC :
A bc c b a2 2 2 2 cos bc a c b A 2 cos 2 2 2
5 4 5 4 2 3 5 4 2 2 2 k k k k k 5 3 5 4 1 sin 2 A 4 3 cos sin tan A A A B ac c a b2 2 2 2 cos ac b c a B 2 cos 2 2 2
5 3 5 3 2 4 5 3 2 2 2 k k k k k 5 4 5 3 1 sin 2 B 3 4 cos sin tan B B B Jadi, nilai
B A B A B A cos tan 1 tan tan tan 24 7 3 4 4 3 1 3 4 4 3 [C] 27. Jika 3 5 cossinx x , dengan 0x90, maka nilai cosxsinxadalah ….
A. 3 15 D. 3 8 B. 3 13 E. 3 7 C. 3 11 Solusi:
19 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 3 5 cos sinx x
2 2 3 5 cos sin x x 9 5 cos sin 2 cos sin2 x 2 x x x 9 5 2 sin 1 x 9 4 2 sin x 9 65 9 4 1 2 cos 2 x 3 13 3 5 9 65 sin cos 2 cos sin cos sin cos sin cos 2 2 x x x x x x x x x
B 28. Nilai 4 12 2010 5 2009 2008 lim x2 x x2 x x2 x x adalah …. A. 2 D. 5 B. 3 E. 8 C. 4 Solusi: Alternatif 1:Anda harus ingat rumus:
a p b q px ax c bx ax x 2 lim 2 2 4 12 2010 5 2009 2008 lim x2 x x2 x x2 x x 4 5 2009 2008 2010 3 2 lim x2 x x2 x x2 x x 4 2008 2010 3 2009 5 4 2010 3 lim x2 x x2 x x2 x x2 x x
5 1 4 1 2 1 3 1 2 5 3 Alternatif 2:Anda tidak harus ingat rumus:
a p b q px ax c bx ax x 2 lim 2 2 4 12 2010 5 2009 2008 lim x2 x x2 x x2 x x
20 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
2 2 2 2 1 2 5 3 2 lim x x x x
2 1 2 5 3 2 lim x x x x 2 1 2 5 3 2 lim x x x x 5
C 29. Nilai .... tan sin 8 cos 1 lim 2 0 x x x x x A. 64 D. 8 B. 32 E. 4 C. 16 Solusi: Alternatif 1: x x x x x x x x x x sin tan 4 sin 2 lim tan sin 8 cos 1 lim 2 2 0 2 0 x x x x x x 4 sin tan sin 4 sin 2 lim 2 2 2 0 x x x x x x x x x x x 4 sin 4 sin tan 4 4 sin 16 1 4 sin 4 16 1 2 lim 2 0 16 1 16 1 2 16
C Alternatif 2:
x x x x x x x x x x 2 2 0 2 0 8 2 1 lim tan sin 8 cos 1 lim 16 2 32 lim 2 2 0 x x x
C30. Diberikan kurva fungsi yx3 ax2 b, dengan a0, a dan b adalah konstanta. Garis singgung kurva pada titik
0 , 3 1 a
P dan (3,4) adalah sejajar. Nilai a2 2abb2 .... A. 49 D. 1 B. 7 E. 49 C. 1 Solusi: yx3ax2 b x ax dx dy 2 3 2
Gradien garis singgung adalah
a x x dx dy dx dy m 3 1 3
a a a a 3 1 2 3 1 3 3 2 3 3 2 2
3 2 3 3 2 3 3 2 2 2 a a a 276aa221 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 a2 6a270
a9
a3
0a9(ditolak) atau a3(diterima) a
yx ax b 3 2 4 , 3 3 4
3 3 3 3 2 b b4 Jadi, nilai a2 2abb2
ab
2
34
2 131. Keuntungan maksimum jika persamaan permintaan (demand equation) p364xdan biaya total (total cost) C2x2 6adalah ….
A. $96 D. $32 B. $64 E. $28 C. $48 Solusi: Keuntungan pxC
364x
x
2x2 6
6x2 36x6 6x2 36x6 '12x36 "12Nilai stasioner (titik kritis) dicapai untuk '0, sehingga 12x360
x3
Karena "120, maka fungsi keuntungan dicapai pada x3. 6
3 2 36
3 648Jadi, keuntungan maksimumnya adalah $48. [C] 32. Jika
a a dt t dx x 4 0 1 2 18 313 , maka nilai a adalah ….
A. 6 D. 2 B. 4 E. 1 C. 3 Solusi:
a a dt t dx x 4 0 1 2 18 3 13
4 0 2 1 2 1 2 9 39 2 13 t d t x x a a
4 0 2 2 1 2 6 39 2 13 39 2 13 t a a a a
2 3 2 3 1 0 2 6 1 4 2 6 78a 6 162 78a 22 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 2 78 156 a
Jadi, nilai a adalah 2. [D] 33. Hasil dari
8 3 1 3 x x adalah …. A. 64 D. 32 B. 48 E. 12 C. 36 Solusi:Alternatif 1: Metode Substitusi:
Ambillah u x1 1 2 x dx du u x1 xu2 1 x3 u x1 312 x8 u x1 813
8 3 1 3 x x
3 2 2 1 6u du
32 3 6 2u u 5418161232 [D]Alternatif 2: Metode Integral Parsial:
Ambillah u3x du3dx dx x dv 1 1
dx x x d v 1 1 1 2 x
udvuv vdu
dx x x 1 3 dx x x x 2 1 2 1 3 3
6x x1
6 x1d
x1
x
x C x x 6 1 4 1 1
8 3 1 3 x x
8 3 1 1 4 1 6 x x x x 48 94
9 918 44
4 4 144108183232 [D]34. Hasil integral dari 16cos ....
2 0 4
xdx A. 16π D. π3 B. 13π E. π2 C. π6 Solusi:
2 π 0 4 cos 16 xdx
2 π 0 2 2 cos 16 x dx
2 π 0 2 2 2 cos 1 16 x dx
2 π 0 2 4 2 cos 2 cos 2 1 16 x x dx23 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015
2 π 0 2 2 cos 2 cos 2 1 4 x xdx
2 π 0 2 4 cos 1 2 cos 2 1 4 x x dx
2 π 0 4 cos 2 2 2 cos 8 4 x x dx 2 π 0 4 sin 2 1 2 sin 4 6 x x x sin0 2 1 0 sin 4 0 π 2 sin 2 1 sinπ 4 π 3 3π [D]35. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva fungsi y2x2, y2, dan 6xy200adalah …. A. 5 D. 3 2 7 B. 3 1 5 E. 3 2 17 C. 3 2 5 Solusi: Batas-batas integral: Kurvay2x2dan y2. 2x2 2 x1 Kurvay2x2dan 6x y200. 2x2 6x200 x2 3x100
x2
x5
0 x2atau x5 Kurva6xy200dan y2. 6x2200 x3 Luas
b a dx x f LLuas daerah yang diarsir adalah
3 2 2 1 2 2 20 6 2 2x dx x dx L
32 2 2 1 3 18 3 2 3 2 x x x x 2 27 54 12 36 3 2 4 3 16 3 2 5 1 3 14 . [D]36. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y4x2, garis y3x, dan garis x2 yang diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360o adalah ….
A. π 15 262 D. π 15 160 O X Y 1 2 3 (3,2) (2,8) 8 2 2 2x y 2 y 0 20 6x y
24 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 B. π 15 260 E. π 15 120 C. π 15 162 Solusi: Batas-batas integral:
Kurva y4x2dan garis y3x 2 4 3x x 0 4 3 2 x x
x4
x1
0 4 x atau x1
f x g x
dx V b a
π 2 2 , f
x g x
x x
dx V
2 1 2 2 2 4 3 π
x x x
dx 2 1 4 2 2 8 16 9 π
x x
dx 2 1 4 2 16 17 π 2 1 5 3 5 16 3 17 π x x x 5 1 16 3 17 5 32 32 3 136 π 5 31 16 3 119 π π 15 262 [A]37. Data yang disajikan pada berikut adalah tinggi badan sekelompok siswa . Tinggi Badan (cm) Frekuensi
151 155 5
156 160 20
161 165 a
166 170 28
171 175 7
Jika modus pada tabel tersebut adalah 163,625, maka nilai a adalah …. A. 48 D. 42 B. 46 E. 40 C. 44 Solusi: p d d d L Mo 2 1 1 dengan: Mo = modus
L = tepi bawah kelas modus ( yang memiliki frekuensi tertinggi) p = panjang kelas atau interval kelas
d1 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sebelumnya
d2 = selisih frekuensi kelas modus dengan kelas sesudahnya
Nilai modus pada tabel tersebut adalah 163,625 menunjukkan bahwa kelas modus terletak pada interval kelas 161 165 dengan frekuensi a.
O X Y 2 4 x y x2 x y3 1
25 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 Mo = 163,625; L = 160,5; p = 5; d1a20; dan d2 a28 5 28 20 20 5 , 160 625 , 163 a a a 5 28 20 20 125 , 3 a a a 48 2 20 625 , 0 a a 1,25a30a20 0,25a10 a40
Jadi, nilai a dalah 40. [E]
38. Banyaknya bilangan 8 angka berbeda yang dapat dibentuk dengan cara mengubah susunan angka dari 91909595 adalah ….
A. 840 D. 325 B. 735 E. 105 C. 420
Solusi:
Bilangan 91909595 terdiri dari 8 angka, dengan dua angka 5 dan empat angka 9 yang sama,
sehingga banyaknya susunan 8 angka adalah 840
! 4 1 2 ! 4 5 6 7 8 ! 4 ! 2 ! 8 .
Perlu dipahami bahwa banyaknya bilangan 840 buah ini termasuk bilangan dengan angka pertama 0 (misalnya 01559999 artinya 1559999 bukan bilangan 8 angka yang dimaksud)
Sehingga banyak bilangan dengan 0 yang bertindak sebagai angka pertama adalah 105 ! 4 1 2 ! 4 5 6 7 ! 4 ! 2 ! 7
Jadi, banyaknya bilangan yang dapat dibentuk tersebut adalah 840 – 105 = 735. [C]
39. Dari 12 siswa yang terdiri dari 7 laki-laki dan sisanya perempuan akan dibentuk kelompok belajar yang beranggotakan 6 orang. Jika dalam kelompok belajar itu terdapat paling sedikit 3 laki-laki, maka banyaknya cara membentuk kelompok belajar tersebut adalah ….
A. 812 D. 352 B. 800 E. 112 C. 720
Solusi:
Ada 7 siswa laki-laki dan 5 siswa perempuan.
Kelompok belajar yang akan dibentuk beranggotakan 6 siswa, dengan paling sedikit ada 3 orang laki-laki.
Kemungkinannya adalah (3L, 3P), (4L, 2P), (5L, P), (6L, 0P) Jadi, banyaknya cara membentuk kelompok belajar tersebut adalah 7 C35 C3 7 C45 C2 7 C5 5 C17 C65C0 ! 5 ! 0 ! 5 ! 1 ! 6 ! 7 ! 4 ! 1 ! 5 ! 2 ! 5 ! 7 ! 3 ! 2 ! 5 ! 3 ! 4 ! 7 ! 2 ! 3 ! 5 ! 4 ! 3 ! 7
26 | Husein Tampomas, Prediksi Ujian Nasional Matematika IPA, 2015 ! 5 1 ! 5 1 ! 6 ! 6 7 ! 4 1 ! 4 5 1 2 ! 5 ! 5 6 7 ! 3 1 2 ! 3 4 5 1 2 3 ! 4 ! 4 5 6 7 1 2 ! 3 ! 3 4 5 ! 4 1 2 3 ! 4 5 6 7 3510351021571 3503501057 812 [A]
40. Dalam sebuah kantong terdapat 10 butir kelereng yang terdiri dari 6 butir kelereng berwarna hijau dan sisanya kelereng berwarna putih. Jika dari kantong itu diambil secara acak (random) 3 butir kelereng sekaligus, maka peluang yang terambil kelereng berawarna sama adalah ….
A. 15 7 D. 5 3 B. 5 1 E. 21 5 C. 5 2 Solusi:
Kelereng berwarna hijau = 6 butir
Kelereng berwarna putih = 10 – 6 = 4 butir
P(kelereng berwarna sama)
3 10 3 4 3 6 C C C