w Contoh: y x y x ,,..., f x z f f x

A. Pendahuluan

Dalarn kehidupan nyata, suatu variabel terikat tidak hanya dipengaruhi oleh satu variabel bebas saja, akan tetapi dapat dipengaruhi oleh beberapa variabel bebas. Pada bagian ini merupakan kelanjutan dari fungsi dengan satu variabel bebas yang telah dipelajari sebelumnya. Fungsi dengan lebih dari satu variabel bebas sering kita jumpai dalam bidang ekonomi dan bisnis. Diantara variabel-vartabel bebas ini ada yang saling mempenqaruhi (tidak bebas) satu sama lainnya, tetapi ada pula yang tidak saling rnempenqaruh (bebas satu sama lainnya)

Pada bagian ini dibahas mengenai konsep tentang derivatif parsial, diferensiasi total, derivatif total, dan derivatif total parsial, dan derivatif fungsi implisit untuk mengukur tingkat perubahan dari variabel terikat (dependent variable) yang diakibatkan oleh perubahan satu (parsial) atau keseluruhan (total) dari variabel-variabel bebas (independent variable).

Jika y=f(x1,x2,…,xn), dimana x1,x2,…,xn tidak saling mempengaruhi, maka derivatif parsial (tingkat perubahan seketika variable terikat y yang diakibatkan oleh perubahan salah satu dari variable bebas xi dimana variable bebas xi lainnya dianggap konstan) adalah:

n x y x y x y       ,..., , 2 1 atau n f f f₁ , ₂,...,

Jika fungsi dalam bentuk y=f(u,v,w), maka derivatif parsialnya adalah fu, fv, fw atau

w

y

v

y

u

y













,...,

,

Contoh:

Carilah derivatif parsial dari fungsi y f(x₁,x₂)5x₁2 4x₁x₂ 3x₂2 Jawab: 2 1 1 1 10x 4x dx y f     2 1 2 2 4x 6x dx y f     Jika z=f(x,y) xx xx x z x f x z f x z f            2₂ 2 ₂

xy xy z y f x y x f y x z f               ( ) 2 2 yx yx z x f y x y f x y z f               ( ) 2 2 Contoh: 3 3 3 9xy y x z   , maka

y

x

x

z

f

_x



3

2



9







2 9 9x y y z f_y      9 ) ( 2            y z x y x z f_xy x x z x x x z f_xx ( ) 6 2           y y z y y z f_{yy 2} ( ) 18 2           Jika y=f(x)

)

(

' x

f

dx

dy

_

, atau

Jika z=f(x,y), maka: dy y z dx x z dz       dimana: dz= diferensial total yy yy y z y f y z f y z f            2₂ 2₂ Disebut derivatif Parsial Silang

x

z





dan y z  

= derivatif parsial dari x dan y dx dan dy = diferensial x dan diferensial y

Jika z=f(x1,x2,….,xn), maka diferensia totalnya adalah: n n dx x z dx x z dx x z dz           ₂ ... 2 1 1 a/

dz



z

₁

dx

₁



z

₂

dx

₂



...



z

_n

dx

_n a/



  n i i idx z dz 1 , dimana i=1,2,…,n Contoh:

Hitung diferensial total dari z=5x3 -12xy-6y6 Penyelesaian

Derivatif parsial dari x dan y adalah: y

x

z_x 15 2 12 dan z_y 12x36y5

Jadi diferensial total adalah :



15 2 12



dx ( 12 36 5)dy y x y

x

dz    

 Konsep derivative parsial hanya dapat digunakan pada fungsi dua atau lebih varibel bebas, dimana diantara variable-variabel bebas tersebut tidak saling mempengaruhi.  Jika diantara variable-variabel bebas saling mempengaruhi satu sama lain, harus

digunakan derivative total. Misal : y=f(x,w)

dimana : x = g(w)

Jadi: variable bebas w merupakan sumber perubahan utama, dimana w mempengaruhi y melalui 2 saluran, yaitu:

a) Secara tidak langsung melalui fungsi g kemudian fungsi f b) Secara langsung melalui fungsi f

diferensial total : dy=fx dx + fw dw

dw

dw

f

dw

dx

f

dw

dy

w x





w x

f

dw

dx

f





, atau :

Bentuk umum fungsi implisit : f(x,y)=0

Contoh:

Jika y=7x2 – y =0, maka turunan fungsi implisitnya:

y x

f

f

dx

dy

_



x

x

f

f

_x



14







dan 1    y f f_y Jadi :

x

x

dx

dy

14

1

14

_







SOAL LATIHAN.

1. Carilah fx dan fy dari fungsi beikut ini: a. f(x,y) = 3x2 – 10y3

b. f(x,y) = 10 x2 + 2xy – 6y2 c. f(x,y) = 6x2 –xy+30y2 d. f(x,y) = (x2 – 5y)(2x+4y5) e. f(x,y)=(4x+3)/(y-2)

2. Carilah derivatif parsial kedua dari fungsi-fungsi beriku ini: a. f(x,y) = 3x2 + 5y2 + 10

b. f(x,y) = 5x3 + 3xy +3y2 c. f(x,y) = -20x5 + 10xy + 6y3

3. Carilah diferensial



y

, untuk masing-masing fungsi berikut ini: a. y= -x(x2 +3) b. y=7x3 – 5x2 + 6x -3 c. y = (x-8)(7x + 5) y x

f

f

dx

dy

_



x y

f

f

dy

dx

_



d. ) 1 ( 2   x x y e. y(9x8)3

4. Carilah diferensial total jika diketahui fungsi: a. z=3x2+xy-2y3 b. u = 2x + 9xy +y2 c. y x xy z   2

5. Carilah derivatif total, jika diketahui: a. z=2x + xy – y2, dimana x=3y2 b. z = 6x2 +15xy+3y2, dimana y=7x2 c. z=(13x-18y)2, dimana y = x+6

A. Pendahuluan.

Seperti telah diketahui bahwa diferensial membahas tentang tingkat perubahan sehubungan dengan perubahan kecil dalam variable bebas fungsi bersangkutan. Dengan diferensial dapat diketahui kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti titik maksimum, titik belok, titik pelana dan titik minimumnya jika ada.

Berdasarkan manfaat-manfaat inilah konsep diferensila menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting dalam bisnis dan ekonomi. Sebagaimana diketahui, analisis dalam bisnis dan ekonomi sangat akrab dengan masalah perubahan, penentuan tingkat maksimum dan tingkat minimum. Dalam hal fungsi dengan satu variable bebaspun dapat diturunkan lagi. Turunan berikut dari turunan parsial tadi sudah barang tentu bias sangat bervariasi, tergantung dari bentuk turunan parsial tersebut. Apabila suatu turunan parsial berbentuk suatu fungsi yang terdiri dari satu variable bebas, maka turunan berikutnya hanya ada satu macam. Konsep derivatif parsial hanya dapat digunakan pada fungsi dengan 2 atau lebih variable bebas dimana variable-variabel bebas itu seringkali mempengaruhi satu sama lain.

B. Aplikasi Ekonomi untuk Derivatif Lebih dari Satu Variable. 1. Biaya Marginal

Jika fungsi biaya untuk menghasilkan dua produk x dan y adalah : C=f(Qx,Qy), maka derivatif parsial dari C terhadap Qx dan Qy disebut sebagai fungsi biaya marginal; jadi :

x Q

C

 

adalah biaya marginal dari C terhadap Qx

y Q

C

 

adalah biaya marginal dari C terhadap Qy Umumnya biaya marginal adalah positif

( 0   x Q C dan 0   y Q C ) Contoh:

Jika biaya gabungan untuk menghasilkan produk X dan Y berbentuk 2 2 4 3 25 Q_x Q_xQ_y Q_y C    , maka : y x x Q Q Q C _{ }   6 y x y Q Q Q C 8    

Seandainya Qx=2 dan Qy = 5, maka 17   x Q C dan 42   y Q C ; 17    x Q C

artinya, dengan nilai Qy dianggap konstan yaitu 5. Maka setiap tambahan satu

unit produksi Qx akan meningkatkan (menambah) biaya sebesar 17.

42    y Q C , artinya..?

2. Permintaan Marginal dan Elastisitas Permintaan Parsial

Jika dua macam barang mempunyai hubungan dalam penggunaannya maka permintaan akan masing-masing barang akan fungsional terhadap harga kedua macam barang tersebut.

Qda = f(Pa,Pb) dan Qdb = f(Pa,Pb)

Derivatif parsial dari fungsi tersebut dinamakan permintaan marginal. Derivatif dari fungsi-fungsi tersebut ada 4 macam.

a da P Q  

adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan

P

_a

b da P Q  

adalah marginal permintaan akan barang A berkenaan dengan

P

_b

a db P Q  

adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan

P

_a

b db P Q  

adalah marginal permintaan akan barang B berkenaan dengan

P

_b

Elastisitas Permintaan Parsial

 Elastisitas harga permintaan : Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang itu sendiri

da a a da a da a da da Q P P Q EP EQ P Q * % %       



db b b db b db b db db Q P P Q EP EQ P Q * % %       



 Elastisitas Silang permintaan: Elastisitas yang mengukur kepekaan perubahan permintaan suatu barang berkenaan perubahan harga barang lain.

da b b da b da b da ab Q P P Q EP EQ P Q * % %       



db a a db a db a db ba Q P P Q EP EQ P Q * % %       



Jika



_ab



0

dan



_ba



0

 A dan B saling melengkapi (komplementer), artinya jika harga salah satu barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap keduanya.

Jika



_ab



0

dan



_ba



0

 A dan B kompetitif (substitutif), artinya jika harga salah satu

barang turun, akan mengakibatkan kenaikan permintaan terhadap barang tersebut dan penurunan permintaan atas barang lainnya

Contoh 1:

Fungsi permintaan akan barang A dan B masing-masing adalah sebagai berikut: A:  2 310 b a da P P Q B:  3 10 b a db P P Q

Tentukan elastisitas masing-masing barang dan hubungannya. Jawab. 0 1 3 2    _{a b} da P P Q Q_dbP_a3P_b10 3 2 3 2 1 _  _    _{a b} b a da P P P P Q ₃1  3 1   _{a b} b a db P P P P Q 3 3 2        b a a da _{P P} P Q  3 2   b a b db _{P P} P Q 4 2 3        b a b da _{P P} P Q 3 4 1   b a a da _{P P} P Q Maka: 3 2 3 3 2 *   _{ }         b a a b a da a a da da P P P P P Q P P Q



=-2 1 * 3 2 _{3 1}            _{ } b a b b a db b b db db P P P P P Q P P Q



3 3 *  2 4 _{2 3}       _{ } b a b b a da b b da ab P P P P P Q P P Q



3 3 *  4 1 _{3 1}       _{ } b a a b a db a a db ba P P P P P Q P P Q







1

|

|



_da Barang A adalah elastis





1

|

|



_db Barang B adalah unitary elastis

0



ab



dan



_ba



0

 Barang A dan B bersifat komplementer. Contoh 2:

Fungsi permintaan dari 2 macam produk adalah: y x x P P Q 172  y x y P P Q 14 2

Maka fungsi permintaan marjinalnya adalah: 0 2      x x P Q

0

1











y x

P

Q

0

1











x y

P

Q

0

2











y y

P

Q

Karena



0





x y

P

Q

dan



0





y x

P

Q

, maka kedua produk bersifat komplementer.

3. Produktivitas Marginal (MP)

Produk marjinal adalah produk tambahan yang dihasilkan dari satu unit tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marginal rnerupakan derivatif pertarna dari fungsi produk total. Beberapa faktor produksi untuk memproduksi barang Antara lain misalnya tanah, bahan baku, modal, mesin-mesin, dan sebagainya.

)

,....,

,

(

x

₁

x

₂

x

_n

f

P



, dimana : P =Jumlah keluaran i

x

= masukan yang digunakan (i = 1,2,…,n)

Produk Marjinal Parsial :

k

P





= Produk marjinal berkaitan dengan k

l

P





= Produk marjinal berkaitan dengan l Contoh.

Fungsi Produksi suatu barang dinyatakan dengan

P



6

k

2/3

l

1/3

a>. Bentuklah fungsi produksi marjinal untuk masing-masing faktor produksi b>. Berapa produk marjinal tersebut jika digunakan 8 unit k dan 27 unit l Jawab. a.>

4

k

1/3

l

1/3

k

P

MP

_k











3 / 2 3 / 2

2











k

l

l

P

MP

_l

b.> Jika k=8 dan l=27, maka 6 8 ) 27 ( 4 4 3 / 1 3 / 1 3 / 1 3 / 1    k l MP_k 9 8 8 . 2 3 / 2 3 / 2   l MP_l

4. Utilitas Marginal Parsial & Keseimbangan Konsumsi Jika U = kepuasan konsumsi

xi = Barang-barang yang diproduksi

maka fungsi utilitas : u =f(x1,x2,…,xn) untuk 2 macam barang konsumsi : u=f(x,y)

x

u





= utilitas marjinal berkenaan dengan x

y u

 

= utilitas marjinal berkenaan dengan y Contoh:

Kepuasan konsumsi untuk 2 barang yang dikonsumsi x dan y : ux2y3 a> Bentuklah fungsi utilitas marginal untuk masing-masing barang

b> Berapa utilitas marjinal jika konsumen mengkonsumsi 14 unit x dan 13 unit y Jawab.

a> ux2y3

Marjinal Utilitas terhadap x =

2xy

3

x

U

MU

_x









Marjinal Utilitas terhadap y = 3x2y2 y U MU_y    

b> Jika x=14 dan y=13, maka

MU_x 2xy3 214133 61.516 372 . 99 13 14 3 3 2 2   2 2   x y MU_y Latihan:

1. Diketahui pasangan fungsi permintaan berikut. Tentukan fungsi permintaan marjinal, sifat hubungan diantara kedua barang dan elastisitas permintaan parsial.

a.

Q

_da



20



2

P

_a



P

_b dan

Q

_db



9



P

_a



2

P

_b b. y x y dx

P

P

P

Q



₂ dan 2 2 y x x dy

P

P

P

Q



2. Untuk setiap fungsi produksi Q=f(K,L) berikut ini, carilah produktivitas marjinal terhadap k dan l a. Q5KL2K2 2L2 pada K=1 dan L=1 b. 0.03 3 0.4 0.5 1/2 L KL K Q   pada K=8 dan L=4