a. Pengajuan H0 dan H1dalam uji satu arah adalah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda
“ = ”)
H1 : ditulis dalam bentuk lebih besar “ > ” atau lebih kecil “ <
“
b. Nilai α tidak dibagi dua, karena seluruh α diletakkan hanya di salah satu sisi selang.
Contoh 5.3 uji satu arah H0 : μ = 50 menit H1 : μ< 50 menit
dan H0 : μ = 3 juta H1 : μ> 3 juta Misalkan:
H0 : μ = μ0
H1 : μ<μ0
Daerah penolakan H0 : z<-zα atau t<t(dk;α)
μ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0
Penggunaan z atau t tergantung ukuran sampel. Sampel besar menggunakan z; sampel kecil menggunakan t.
Naskah program MATLAB
X=-5:0.09:5;
x=-5:0.09:-2;
F=pdf('normal',X,0,1);
f=pdf('normal',x,0,1);
plot(X,F,'k') for i=1:length(x) hold on
plot([x(i) x(i)],[0 f(i)],'k') end
hold on
plot([0 0],[0 pdf('normal',0,0,1)],'--k') text(mean(X),mean(F),['Daerah Penerimaan Ho'])
text(-5,pdf('normal',-2,0,1),['Daerah Penolakan Ho'])
Gambar 5.1 Kurva Normal Uji Pihak Kiri
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Daerah Penerimaan Ho
Daerah Penolakan Ho
Misalkan:
H0 : μ = μ0
H1 : μ>μ0
Daerah penolakan H0 : z>zα atau t>t(dk;α)
Naskah program MATLAB
X=-5:0.09:5;
x=2:0.09:5;
F=pdf('normal',X,0,1);
f=pdf('normal',x,0,1);
plot(X,F,'k') for i=1:length(x) hold on
plot([x(i) x(i)],[0 f(i)],'k') end
hold on
plot([0 0],[0 pdf('normal',0,0,1)],'--k') text(mean(X),mean(F),['Daerah Penerimaan Ho']) text(2,pdf('normal',2,0,1),['Daerah Penolakan Ho'])
Gambar 5.2 Kurva Normal Uji Pihak Kanan
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Daerah Penerimaan Ho
Daerah Penolakan Ho
2. Uji Dua Arah
a. Pengajuan H0 dan H1 dalam uji dua arah sebagai berikut:
H0 : ditulis dalam bentuk persamaan (menggunakan tanda “ =
“)
H1 : ditulis dengan menggunakan tanda “ ≠ “ Contoh 5.4 uji dua arah
H0 : μ = 50 menit H1 : μ ≠ 50 menit
dan H0 : μ = 3 juta H1 : μ ≠ 3 juta
b. Nilai α dibagi 2, karena α diletakkan di kedua sisi selang Misalkan:
H0 : μ = μ0
H1 : μ ≠ μ0
Daerah penolakan H0 :
2
z
z dan
2
z
z atau
;2 dk
t
t dan
;2 dk
t t
μ0 adalah suatu rata-rata yang diajukan dalam H0
Penggunaan z atau t tergantung ukuran sampel. Sampel besar mengguanakan z; sampel kecil menggunakan t.
Beberapa nilai z penting 576 .
005 2
. 0
% 5 .
0 z
z
960 .
025 1
. 0
% 5 .
2 z
z
326 .
01 2
. 0
%
1 z
z
645 .
05 1
. 0
%
5 z
z
Pembaca dapat juga menemukannya di Ms. Excel dengan fungsi =NORMSINV(probability).
Naskah program MATLAB
X=-5:0.09:5;
x1=-5:0.09:-2;
x2=2:0.09:5;
F=pdf('normal',X,0,1);
f1=pdf('normal',x1,0,1);
f2=pdf('normal',x2,0,1);
plot(X,F,'k') for i=1:length(x1) hold on
plot([x1(i) x1(i)],[0 f1(i)],'k') hold on
plot([x2(i) x2(i)],[0 f2(i)],'k') end
hold on
plot([0 0],[0 pdf('normal',0,0,1)],'--k') text(mean(X),mean(F),['Daerah Penerimaan Ho'])
text(-5,pdf('normal',2,0,1),['Daerah Penolakan Ho']) text(2,pdf('normal',2,0,1),['Daerah Penolakan Ho'])
Gambar 5.3 Kurva Normal Uji Pihak Kiri-Kanan 3. Pengerjaan Uji Hipotesis
a. Uji Hipotesis 1 Nilai Rata-rata dari Sampel Besar
H0 : Nilai Uji Statistik H1 : Daerah Penolakan H0 μ = μ0
sampel besar n ≥ 30
n z X
0
σ dapat diganti dengan s
μ<μ0 → μ>μ0 →
0
z
z z
z
2
z
z
dan
2
z
z
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
Daerah Penerimaan Ho
Daerah Penolakan Ho Daerah Penolakan Ho
Contoh 5.5
Dari 100 nasabah bank rata-rata melakukan penarikan $ 495 per bulan melalui ATM, dengan simpangan baku = $ 45. Dengan taraf signifikansi 1%, ujilah:
1) Apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM kurang dari $ 500 per bulan?
2) Apakah rata-rata nasabah menarik melalui ATM tidak sama dengan $ 500? (Uji dua arah, 2 0.5%
dan statistik uji = z) Jawab :
Diketahui
495
X s45 n100 0 500 1% 1) H0 : μ = 500
H1 : μ ≠ 500
2) Statistik uji: z (karena sampel besar).
3) Arah pengujian: 1 arah.
4) Taraf signifikansi pengujian = α = 1% = 0.01.
5) Daerah penolakan H0 : z< - z0.01 atau z = - 2.3263 Naskah program MATLAB
X=-4:0.05:4;
x=-4:0.05:-2.3263;
F=pdf('normal',X,0,1);
f=pdf('normal',x,0,1);
plot(X,F,'k') for i=1:length(x) hold on
plot([x(i) x(i)],[0 f(i)],'k') end
hold on
plot([0 0],[0 pdf('normal',0,0,1)],'--k') hold on
plot([-2.3263 -2.3263],...
[0 pdf('normal',0,0,1)],'--k') hold on
plot(-4.5,0.5)
text(mean(X),mean(F),['Daerah Penerimaan Ho']) text(-4,pdf('normal',-2.3263,0,1),...
['Daerah Penolakan Ho'])
Gambar 5.4 Kurva Normal Uji Pihak Kiri 6) Statistik hitung
1111 . 5 1 . 4
5 100
45 500
0 495
n z X
7) Kesimpulan: z hitung = - 1.1111 ada di daerah peneriamaan H0.
H0 diterima, rata-rata pengambilan uang di ATM masih = $ 500
Ditinggalkan sebagai latihan (H1≠ 500; uji 2 arah 0.5% 2
;
statistik uji = z).
b. Uji Hipotesis 1 Nilai Rata-rata dari Sampel Kecil
H0 : Nilai Uji Statistik H1 : Daerah Penolakan H0
0
Sampel kecil
n< 30 n
s t X 0
0
0
0
dk;
t t
dk;
t t
;2 dk
t
t dan
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Daerah Penerimaan Ho
Daerah Penolakan Ho
;2 dk
t t
dk = n – 1 Contoh 5.6
Seorang ahli Sumber Daya Manusia menguji 25 karyawan dan mendapatkan bahwa rata-rata penguasaan pekerjaan kesekretarisan adalah 22 bulan dengan simpangan baku = 4 bulan. Dengan taraf signifikansi 5%, ujilah:
1) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan lebih dari 20 bulan?
2) Apakah rata-rata penguasaan kerja kesekretarisan tidak sama dengan 20 bulan?
Jawab Diketahui
22
X s4 n25 0 20 5% 1) H0 : μ = 20
H1 : μ≠ 20
2) Statistik uji: t (karena sampel kecil).
3) Arah pengujian: 2 arah.
4) Taraf signifikansi pengujian.
025 . 0
% 5 . 2 2
05 . 0
% 5
5) Daerah penolakan H0
;2 dk
t
t dan
;2 dk
t t dk = 25 – 1 = 24
t<-t(24;2.5%) → t< -2.3909 dan t>t(24;2.5%) → t> 2.3909 Naskah program MATLAB
hold off
ba=tinv(0.9999,24);
bb=-ba;
d=bb:0.04:ba;
f=tpdf(d,24);
plot(d,f,'k');
t1=-tinv(1-0.05/2,24);
t2=tinv(1-0.05/2,24);
d1=bb:0.04:t1;f1=tpdf(d1,24);
d2=t2:0.04:ba;f2=tpdf(d2,24);
for i=1:length(d1) hold on
plot([d1(i) d1(i)],[0 f1(i)],'k') hold on
plot([d2(i) d2(i)],[0 f2(i)],'k') end
hold on
plot([0 0],[0 tpdf(0,24)],'--k') hold on
plot(-5,0.5)
text(0,tpdf(0,24)/2,...
['Ho : ',num2str((1-0.05)*100),' %']) text(-t1,tpdf(t1,24),['Daerah Penolakan Ho'])
text(bb,tpdf(t1,24),['Daerah Penolakan Ho'])
Gambar 5.5 Kurva Student’s t Uji Pihak Kiri-Kanan
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Ho : 95 %
Daerah Penolakan Ho Daerah Penolakan Ho
6) Statistik hitung
5 . 2 25 4
20
0 22
n s
t X
7) Kesimpulan : t hitung = 2.5 ada di daerah penolakan H0.
H0 ditolak, H1 diterima, rata-rata penguasaan kesekretarian ≠ 20 bulan.
Ditinggalkan sebagai latihan (H : μ> 20; uji 1 arah; α = 5%; statistik uji = t; dk = 24)
c. Uji Hipotesis Beda 2 Nilai Rata-rata dari Sampel Besar
H0 : Nilai Uji Statistik H1 : Daerah
Penolakan H0
| | Sampel besar
1 30 n
2 30
n 2
2 2 1
2 1
0 2 1
n n
d X X
z
Jika σ12 dan σ22 tidak diketahui, gunakan s12
dan s22 2
1 X
X
| |
| |
| |
z
z z
z
dan
Contoh 5.7
Berikut adalah data nilai prestasi karyawan yang mendapat training dengan yang tidak mendapat training.
Tabel 5.3 Tabulasi Data
Statistik Dengan Training Tanpa Training
Rata-rata X1 302 X1 300
Ragam s12 4.5 s22 4
Ukuran Sampel n1 30 n2 40
Dengan taraf signifikansi 5% ujilah apakah ada perbedaan rata-rata prestasi kerja di kedua kelompok karyawan?
Jawab
α = 5% dan d0 = 0 1) H0 : |μ1 – μ2| = 0
H1 : |μ1 – μ2| ≠ 0
2) Statistik uji: z (karena sampel besar).
3) Arah pengujian: 2 arah 4) Taraf signifikansi pengujian
05 . 0
% 5
025 . 0
% 5 . 2 2
5) Daerah penolakan
2
z
z
025 .
z0
z 96 .
1
z
dan
2
z
z
025 .
z0
z 96 .
1 z
Naskah program MATLAB
a=0.05;
z1=norminv(a/2,0,1);
z2=norminv(a/2+0.95,0,1);
ba=norminv(0.9999,0,1);
Z=-ba:0.00001:ba;
fZ=normpdf(Z,0,1);
plot(Z,fZ,'k')
d1=-ba:0.00001:z1;fd1=normpdf(d1,0,1);
d2=z2:0.00001:ba;fd2=normpdf(d2,0,1);
hold on
plot([0 0],[0 normpdf(0,0,1)],'--k') legend('pdf normal baku','Garis Uji') hold on
area(d1,fd1);colormap summer hold on
area(d2,fd2);colormap summer
Gambar 5.6 Kurva Normal Uji Pihak Kiri-Kanan
6) Statistik hitung
5 4 . 0
2 25 . 0
2 15 . 0 1 . 0
2 30
5 . 4 40
4 0 302 300
2 2 2 1 2 1
0 2
1
n s n s
d X X z
7) Kesimpulan:
z hitung = 4 ada di daerah penolakan H0
H0 ditolak. H1 diterima atau beda rata-rata prestasi kerja ≠ 0
d. Uji Hipotesis Beda 2 Rata-rata dari Sampel-sampel Kecil Asumsi ragam kedua populasi tidak sama (σ12 ≠ σ22) dan nilainya tidak diketahui.
H0 : Nilai Uji Statistik H1 : Daerah Penolakan H0 0
2 1 d
Sampel kecil n1< 30
n2< 30 2
2 2 1 2 1
0 2 1
n s n s
d X X t
2
1 X
X
2 0
1 d
2 0
1 d
2 0
1 d
dk;
t t
dk;
t t
( ) dan ( )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
pdf normal baku Garis Uji
derajat kebebasan
1
1 2
2
2 2 2
1 2
1 2 1
2
2 2 2 1 2 1
n n s n
n s
n s n s dk
Contoh 5.8
Berikut adalah data rata-rata banyak hari membolos karyawan (hari/tahun) di dua divisi yang berbeda.
Tabel 5.4 Tabulasi Data
Statistik Divisi Administrasi Divisi Produksi
Rata-rata X1 17 X2 10
Ragam s12 1.54 s22 1.35 Ukuran sampel n1 7 n2 5
Diasumsikan kedua sampel diambil dari kedua populasi yang ragamnya tidak sama dan nilainya tidak diketahui.
Dengan taraf signifikansi 5%, apakah perbedaan rata-rata banyak membolos di kedua divisi 12 lebih dari 5 hari per tahun?
10 1322 . 9
1 5
5 35 . 1 1 7
7 54 . 1
5 35 . 1 7 54 . 1
1 1
2 2
2 2
2 2 2
1 2
1 2 1
2
2 2 2 1 2 1
n n s n
n s
n s n s dk
Jawab
5
%;
5 0
d
1) H0 : 12 5 H1 : 12 5
2) Statistik uji: t (karena sampel kecil) 3) Arah pengujian: 1 arah
4) Taraf signifikansi pengujian = α = 5% = 0.05 5) Daerah penolakan H0
dk;
t t
10;0.05
t t
2281 .
2 t
Naskah program MATLAB
hold off
ba=tinv(0.9999,10);
bb=-ba;
d=bb:0.04:ba;
f=tpdf(d,10);
plot(d,f,'k') t=tinv(1-0.05,10);
e=t:0.04:ba;g=tpdf(e,10);
for i=1:length(e) hold on
plot([e(i) e(i)],[0 g(i)],'k') end
hold on
plot([0 0],[0 tpdf(0,10)],'--k') hold on
plot(-5,0.5)
text(0,tpdf(0,24)/2,...
['Ho : ',num2str((1-0.05)*100),' %']) text(t,tpdf(t,10),['Daerah Penolakan Ho'])
Gambar 5.7 Kurva Student’s t Uji Pihak Kiri 6) Statistik hitung
8571 . 7 2 . 0
2 49 . 0
2 5
35 . 1 7
54 . 1
5 10 17
2 2 2 1 2 1
0 2
1
n s n s
d X X t
7) Kesimpulan: t = 2.8571 ada di daerah penolakan H0
H0 ditolak. H1 diterima, perbedaan rata-rata membolos di kedua divisi ternyata lebih dari 5 hari.
e. Uji Hipotesis Beda 2 Rata-rata dari Sampel-sampel Kecil Asumsi ragam kedua populasi sama
22
2
1
dannilainya tidak diketahui.
H0 : Nilai Uji Statistik H1 : Daerah
Penolakan H0
-6 -4 -2 0 2 4 6
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Ho : 95 %
Daerah Penolakan Ho
0 2
1 d
Sampel kecil
1 30 n
2 30
n 1 2
0 2 1
1 1
n s n
d X X t
gab
2
1 X
X
2 0
1 d
2 0
1 d
2 0
1 d
dk;
t t
dk;
t t
;2 dk
t t
dan
;2 dk
t t
2 1 1
2 1
2 2 2 2 1 2 1
n n
s n s
sgab n dansgab s2gab Derajat kebebasan (dk) = n1 + n2 – 2
f. Uji Hipotesis 2 Rata-rata dari Sampel-sampel Kecil Berpasangan
H0 : Nilai Uji Statistik H1 : Daerah
Penolakan H0 0
2
1 d
Sampel kecil
1 30 n
2 30 n
n s
d t d
d
i 0
12 d0
2 0
1 d
2 0
1 d
dk;
t t
dk;
t t
;2 dk
t t
dan
;2 dk
t t n : banyak pasangan data
di : |x1i– x2i| selisih pasangan data ke-i untuk i = 1, 2, 3,…n
di : rata-rata di
n
d
di
1
2 2
nd sd di
2 d
d s
s
Derajat kebebasan (dk) = n – 1
g. Uji Hipotesis 1 Nilai Proporsi dari Sampel Besar
H0 : Nilai Uji H1 : Daerah
Statistik Penolakan H0
p0
Sampel besar
30
n 0 0
0
q np
np z x
p0
p0
p0
z
z z
z
2
z
z dan
2
z
z
Sukses adalah kejadian yang ditanyakan/diujikan x : Banyak anggota sukses dalam sampel n : Ukuran sampel
p0 : Proporsi sukses dalam H0 dan q0 = 1 –p0
Contoh 5.9
Dari 330 mahasiswa yang dijadikan sampel, hanya 30 orang yang setuju kenaikan SPP. Dengan taraf signifikansi 1%, ujilah apakah proporsi mahasiswa yang setuju kenaikan tidak sama dengan 10%?
30
x n330 1% p0 0.10 q0 0.90 Jawab:
1) H0 : π = 0.10 H1 : π≠ 0.10 2) Statistik uji: z 3) Uji 1 arah
4) Taraf signifikansi pengujian 01
. 0
% 1
005 . 0
% 5 . 2 0
5) Daerah penolakan H0
5758 .
005 2
.
0
z z
z dan z z0.005 z2.5758
Naskah program MATLAB
a=0.05;
z1=norminv(a/2,0,1);
z2=norminv(a/2+0.95,0,1);
ba=norminv(0.9999,0,1);
Z=-ba:0.00001:ba;
fZ=normpdf(Z,0,1);
plot(Z,fZ,'k')
d1=-ba:0.00001:z1;fd1=normpdf(d1,0,1);
d2=z2:0.00001:ba;fd2=normpdf(d2,0,1);
hold on
plot([0 0],[0 normpdf(0,0,1)],'--k') legend('pdf normal baku','Garis Uji') hold on
area(d1,fd1);colormap summer hold on
area(d2,fd2);colormap summer
Gambar 5.8 Kurva Normal Uji Pihak Kiri-Kanan 6) Nilai statistik uji
29.7 5.44983 0.5505 3330 90 . 0 10 . 0 330
10 . 0 330 30
0 0
0
q np
np z x
7) Kesimpulan: z = -0.5505 ada didaerah penerimaan H0
Proporsi mahasiswa yang setuju kenaikan SPP masih
= 0.10
h. Uji Hipotesis Beda 2 Proporsi dari Sampel-sampel Besar
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
pdf normal baku Garis Uji
H0 : Nilai Uji Statistik H1 : Daerah Penolakan
H0 0
2
1 d
Sampel besar
130 n
2 30 n
2 2 2 1
1 1
0 2 1
n q p n
q p
d p p z
2
1 p
p
2 0
1 d
2 0
1 d
2 0
1 d
z
z z
z
2
z
z
dan
2
z
z
p1 = Proporsi sukses dalam sampel 1 q1 1p1 n1 = Ukuran sampel 1
p2 = Proporsi sukses dalam sampel 2 q2 1 p2 n2 = Ukuran sampel 2
Contoh 5.10
Berikut adalah data banyak mahasiswa yang aktif berorganisasi di dua Fakultas.
Tabel 5.5 Tabulasi Data
Statistik Fakultas
Ekonomi Fakultas Ilmu Komputer Banyak mahasiswa yang
aktif berorganisasi 325 240
Banyak mahasiswa (ukuran
sampel) 500 600
Dengan taraf signifikansi 5%, ujilah apakah perbedaan proporsi mahasiswa yang aktif berorganisasi di kedua fakultas kurang dari 30%?
Jawab
6500 . 500 0 325
1
p q1 1 p1 10.65000.3500 n1 500
4000 . 600 0 240
2
p q2 1 p2 10.40000.6000 n2 600 30
. 0
%
0 30
d
1) H0 : 12 0.30 H1 : 12 0.30 2) Statistik uji: z 3) Uji 1 arah
4) Taraf signifikansi α = 5% = 0.05 5) Daerah penolakan H0 :
z< -z0.05 → z< 1.6449 Naskah Program MATLAB
Z=norminv(0.9999,0,1);
d=-Z:0.05:Z;
fZ=normpdf(d,0,1);
plot(d,fZ,'k') hold on
z=-Z:0.05:norminv(0.05,0,1);
fz=normpdf(z,0,1);
for i=1:length(z) hold on
plot([z(i) z(i)],[0 fz(i)],'k') end
hold on
plot([0 0],[0 pdf('normal',0,0,1)],'--k') hold on
plot([norminv(0.05,0,1) norminv(0.05,0,1)],...
[0 pdf('normal',0,0,1)],'--k') hold on
plot(-4.5,0.5)
text(-Z,mean(fZ),['Daerah Penolakan Ho']) text(0,normpdf(0,0,1)/2,...
['Daerah Peneriamaan Ho'])
Gambar 5.9 Kurva Normal Uji Pihak Kiri 6) Nilai statistik uji
1.70996600 60 . 0 40 . 0 500
35 . 0 65 . 0
30 . 0 40 . 0 65 . 0
2 2 2 1
1 1
0 2
1
n q p n
q p
d p p z
7) Kesimpulan: z = - 1.70996 ada di daerah penolakan H0
H0 ditolak, H1 diterima: beda proporsi populasi mahasiswa yang aktif berorganisasi di kedua fakultas ternyata kurang dari 30%
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Daerah Penolakan Ho
Daerah Peneriamaan Ho