a. t-test
Terdapat dua rumus t-test yang dapat digunakan untuk menguji hipotesis komparatif dua sampel independen. Rumus tersebut ditunjukkan pada rumus berikut.
Separeted Varians
2 2 2 1 2 1
2 1
n s n s
X t X
Polled Varians
2 1 2
1
2 2 2 2 1 1
2 1
1 1 2
1 1
n n n
n
s n s n
X t X
Terdapat beberapa pertimbangan dalam memilih rumus t-test yaitu:
1) Apakah dua rata-rata itu berasal dari dua sampel yang jumlahnya sama atau tidak?
2) Apakah varians data dari dua sampel itu homogen atau tidak.
Untuk menjawab itu perlu pengujian homogenitas varians.
Berdasarkan dua hal di atas, berikut ini diberikan petunjuk untuk memilih rumus t-test.
1) Bila jumlah anggota sampel n1 = n2dan varians homogen (σ12 = σ22), maka dapat digunakan rumus t-test, baik untuk separated maupun polled varians dengan dk = n1 + n2 – 2.
2) Bila n1 ≠ n2, varians homogen (σ12 = σ22) dapat digunakan t-test dengan polled varians dengan dk = n1 + n2 – 2.
3) Bila n1 = n2, varians tidak homogen (σ12 ≠ σ22) dapat digunakan rumus separated atau polled varians dengan dk = n1 – 1 atau n2 – 1.
4) Bila n1 ≠ n2, varians tidak homogen (σ12 ≠ σ22). Untuk itu digunakan t-test dengan separated varians. Harga t sebagai pengganti t tabel dihitung dari selisih harga t tabel dengan dk1 = n1 – 1 dan dk2 = n2 – 1 dibagi dua, dan kemudian ditambahkan dengan harga t terkecil.
Contoh 7.4
Dilakukan penelitian untuk menguji hipotesis bahwa tidak terdapat perbedaan kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika. Berdasarkan sampel yang diambil secara acak, dan setelah di tes diperoleh kemampuan pegawai pria (X1) dan wanita (X2) sebagai berikut:
X1 : 77 64 90 66 70 88 74 67 62 68 66 82 50 X2 : 72 67 75 85 72 81 65 77 66 64 62 59 Gunakan taraf signifikansi α = 0.05!
Jawab
Langkah-langkah penyelesaian dengan bantuan program Ms. Excel adalah sebagai berikut
Sajikan lembar kerja dengan format seperti berikut
Perhatikan area data X1 adalah =B1:N1 dan area data X2 adalah
=B2:M2.
Menghitung banyak data (X2) fungsinya =COUNTA(B1:N1) hasilnya adalah 13 dan banyaknya data (X2) fungsinya
=COUNTA(B2:M2) hasilnya adalah 12.
Menghitung rata-rata data X1 fungsinya =AVERAGE(B1:N1) hasilnya adalah 71.0769 dan rata-rata data X2 fungsinya
=AVERAGE(B2:M2) hasilnya adalah 70.4167.
Menghitung simpangan baku (s) data X1 fungsinya
=STDEV(B1:N1) hasilnya adalah 11.0413 dan data X2 fungsinya
=STDEV(B2:M2) hasilnya adalah 7.9597.
Menghitung varians (s2) data X1 fungsinya =VAR(B1:N1) hasilnya adalah 121.9103 dan data X2 fungsinya =VAR(B2:M2) hasilnya adalah 63.3561.
1) Hipotesis penelitian
H0 : Tidak terdapat perbedaan kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika
H1 : Terdapat perbedaan kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika
2) Statistik uji:
Kriteria data 12
2 13
1 n
n
2.7876
9242 . 3561 1 . 63
9103 . 121
1 12
; 1 13
; 05 .
0
F
F
Di Ms. Excel fungsinya =FINV(0.05,12,11). Maka data X1 dan X2
homogen (σ12 = σ22). Maka statistik uji yang digunakanpolled varians.
3) Arah pengujian: 2 arah
4) Taraf signifikansi pengujian α = 5% = 0.05 5) Daerah penolakan H0:
2 2, 2
2,n1 n2 n1 n2
t t dan t
t
2 12 13 2 , 05 . 2 0
12 13 2 , 05 .
0 dan t t
t t
0687 . 2 0687
.
2
dan t
t
Naskah program MATLAB
n1=13;n2=12;
dk=n1+n2-2;
a=0.05;
ba=tinv(0.9999,dk);
d=-ba:0.04:ba;
f=tpdf(d,dk);
plot(d,f,'r')
t1=-ba:0.04:-tinv(1-a/2,dk);
t2=tinv(1-a/2,dk):0.04:ba;
ft1=tpdf(t1,dk);
ft2=tpdf(t2,dk);
for i=1:length(t1) hold on
plot([t1(i) t1(i)],[0 ft1(i)],'g') hold on
plot([t2(i) t2(i)],[0 ft2(i)],'g') end
hold on
plot([0 0],[0 tpdf(0,dk)],'--g') hold on
plot(-4,0.5)
text(0,tpdf(0,dk)/2,...
['Ho : ',num2str((1-a)*100),'%']) text(t1(end),ft1(end),...
['t1 = ',num2str(-tinv(1-a/2,dk))]) text(t2(1),ft2(1),...
['t2 = ',num2str(tinv(1-a/2,dk))])
Gambar 7.3 Kurva Student’s t Uji Pihak Kiri-Kanan
6) Statistik hitung
2 1 2
1
2 2 2 2 1 1
2 1
1 1 2
1 1
n n n
n
s n s n
X t X
12 1 13
1 2
12 13
3561 . 63 1 12 9103 . 121 1 13
4167 . 70 0769 . t 71
1702 .
0 t
7) Kesimpulan: t hitung = 0.1702 <t tabel = 2.0687 sehingga ada di daerah penerimaan H0, maka H0 diterima karena tidak cukup bukti untuk menolak H0 tersebut dan bukan karena H0 itu benar.
Jadi, tidak terdapat perbedaan kemampuan pegawai pria dan wanita dalam bidang elektronika.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Ho : 95%
t1 = -2.0687 t2 = 2.0687
2. Statistik Nonparametris
Statistik nonparametris yang digunakan untuk menguji hipotesis komparatif dua sampel independen antara lain adalah: χ2 Fisher ExactProbability; Median Test.
a. Chi-kuadrat (χ2) dua sampel
Chi-kuadrat digunakan untuk menguji hipotesis komparatif dua sampel bila datanya berbentuk nominal dan sampelnya besar. Cara perhitungan dapat menggunakan rumus yang telah ada, atau dapat menggunakan tabel kontigensi 2 × 2.
Kelompok Tingkat pengaruh perlakuan Jumlah sampel Berpengaruh Tidak berpengaruh
Eksperimen a b a + b
Kontrol c d c + d
Jumlah a + c b + d n
n = jumlah sampel
Dengan memperhatikan korekasi Yates, rumus yang digunakan untuk menguji hipotesis adalah sebagai berikut.
a b
a c
b d
c d
n bc ad n
2
2 2
1
Contoh 7.5
Penelitian dilakukan untuk mengetahui pengaruh diklat terhadap prestasi kerja karyawan di PT. Minandau. Kelompok yang diberi diklat sebanyak 80 orang, dan yang tidak diberi diklat sebanyak 70 orang. Setelah diklat berakhir, dan mereka kembali berkerja, maka dari 80 orang itu yang berprestasi bertambah sebanyak 60 orang, yang tidak bertambah sebanyak 20 orang. Selanjutnya dari kelompok kontrol yang tidak mendapat diklat, dari 70 orang itu yang berprestasi kerjanya bertambah sebanyak 30 orang dan yang tidak 40 orang.
Apakah diklat itu berpengaruh secara signifikan? Gunakan taraf signifikansi 5% (Sugiyono, 143-144).
Tabel 7.5 Tingkat Prestasi Kerja Karyawan Kelompok Tingkat pengaruh perlakuan Jumlah
sampel Berpengaruh Tidak berpengaruh
Eksperimen 60 20 80
Kontrol 30 40 70
Jumlah 90 60 150
Jawab
1) Hipotesis penelitian
H0 : Diklat tidak berpengaruh terhadap prestasi kerja
H1 : Diklat berpengaruh terhadap prestasi kerja
2) Statistik uji:
a b
a c
b d
c d
n bc ad n
2
2 2
1
3) Arah pengujian: 1 arah
4) Taraf signifikansi pengujian = α = 5% = 0.05.
5) Daerah penolakan H0:
2;1 2 20.05;1 3.8415
2
Fungsi pada Ms.Excel =CHIINV(0.05,1).
6) Statistik hitung
a b
a c
b d
c d
n bc ad n
2
2 2
1
60 2060 3020 4030 40
2 150 30 1 20 40 60 150
2
2
7600 .
2 14
7) Kesimpulan: χ2 hitung = 14.7600 >χ2 tabel = 3.8415 sehingga ada di daerah penolakan H0, maka H0 ditolak karena tidak cukup bukti untuk menerima H0 tersebut dan bukan karena H0
itu salah. Jadi dapat disimpulkan bahwa ada perbedaan prestasi kerja sebelum dan sesudah mengikuti diklat, di mana setelah mengikuti diklat banyak yang berprestasi.
b. Fisher ExactProbability Test
Tes ini digunakan untuk menguji signifikansi hipotesis komparatif dua sampel kecil independen bila datanya berbentuk nominal. Untuk sampel yang besar digunakan χ2.
Untuk memudahkan perhitungan dalam pengujian hipotesis, maka data hasil pengamatan perlu disusun ke dalam tabel kontigensi 2 × 2 seperti berikut.
Kelompok Klasifikasi I Klasifikasi II Jumlah I
II
A C
B D
A + B C + D
Jumlah n
Kelompok I = sampel I Kelompok
II
= sampel II
Rumus dasar yang digunakan untuk pengujian Fisher ditunjukkan pada rumus berikut.
!
!
!
!
!
!
!
!
!
D C B A N
D B C A D C B
p A
Contoh 7.6
Disinyalir adanya kecenderungan para birokrat lebih menyukai mobil berwarna gelap, dan para akademisi lebih menyukai warna terang.
Untuk membuktikan hal tersebut telah dilakukan pengumpulan data dengan menggunakan sampel yang diambil secara acak. Dari 8 orang birokrat yang diamati, 5 orang bermobil warna gelap dan 3 orang
berwarna terang. Selanjutnya dari 7 orang akademis yang diamati, 5 orang menggunakan mobil warna terang dan 2 orang warna gelap.
Data yang diperoleh selanjutnya disusun seperti dalam tabel Tabel 7.6 Kesukaan Warna Mobil antara Birokrat dan Akademisi
Kelompok Gelap Terang Jumlah
Birokrat Akademis
5 2
3 5
8 7
Jumlah 7 8 15
Jawab
1) Hipotesis penelitian
H0 : Tidak terdapat perbedaan antara birokrat dan akademis dalam menyukai warna mobil
H1 : Terdapat perbedaan antara birokrat dan akademis dalam menyukai warna mobil
2) Statistik uji:
!
!
!
!
!
!
!
!
!
D C B A N
D B C A D C B
p A
3) Arah pengujian: 1 arah
4) Taraf signifikansi pengujian = α = 5% = 0.05 5) Daerah penolakan H0: p<α
6) Statistik hitung
!
!
!
!
!
!
!
!
!
D C B A N
D B C A D C B
p A
! 5
! 2
! 3
! 5
! 15
! 5 3
! 2 5
! 5 2
! 3
5
p
! 5
! 2
! 3
! 5
! 15
! 8
! 7
! 7
! 8
p
1828 .
0 p
7) Kesimpulan: p = 0.1828 >α = 0.05 sehingga ada di daerah penerimaan H0, maka H0 diterima karena tidak cukup bukti untuk menolak H0 tersebut dan bukan karena H0 itu benar.
Maka dapat dinyatakan bahwa tidak terdapat perbedaan antara birokrat dan akademis dalam menyenangi warna mobil.
c. Uji Jumlah Rang
Bila kita ingin menguji kesamaan rataan dua distribusi yang kontinu yang jelas tidak normal, dan sampelnya bebas (yakni, tidak ada pengamatan berpasangan), uji jumlah rang Wilcoxon atau uji dwisampel Wilcoxon merupakan pilihan yang wajar sebagai pengganti uji-t dwisampel.
Hipotesis nol (H0) bahwa μ1 = μ2akan diuji suatu tandingan yang sesuai. Pertama-tama ambillah sampel acak dari tiap populasi.
Misalkan n1 banyaknya pengamatan dalam sampel yang lebih kecil, dan n2 pengamatan sampel yang lebih besar. Bila sampelnya berukuran sama, maka n1 dan n2 dapat dipertukarkan. Urutkanlah semua n1 + n2pengamatan membesar dan diberikan rang 1, 2, 3,…,n1
+ n2 pada tiap pengamatan. Bila terdapat pengamatan yang seri (pengamatan yang besarnya sama), maka pengamatan tersebut diganti dengan rataan rangnya. Sebagai contoh, bila pengamatan yang ketujuh dan kedelapan sama maka keduanya akan diberi rang yang sama, yaitu 7.5.
Jumlah rang yang berasal dari n1 pengamatan dalam sampel yang lebih kecil akan dinyatakan dengan w1. Begitu juga w2 menyatakan jumlah rang yang berasal dari n2pengamatan dalam sampel yang lebih besar. Jumlah n1 + n2 tergantung pada banyaknya pengamatan dalam kedua sampel dan sama sekali tidak dipengaruhi oleh hasil percobaan.
Jadi, bila n1 = 3 dan n2 = 4, maka w1 + w2 = 1 + 2 + …7 = 28, terlepas dari
2
2 1
1 2 1 2 1
n n n n
w w
jumlah bilangan bulat 1, 2,…,n1 + n2. Begitu w1 ditentukan, maka akan dengan mudah menentukan w2 dari rumus
1 2
1 2 1
2 2
1 w
n n n
w n
Bila sampel ukuran n1 dan n2 diambil beberapa kali, maka dapat diharapkan bahwa w1 dan w2 akan berubah. Jadi w1 dan w2 masing- masing dapat dipandang sebagai nilai peubah acak W1 dan W2. Hipotesis nol μ1 = μ2 akan ditolak dan diterima tandingan μ1<μ2
hanya jika w1 kecil dan w2 besar. Begitu pula, tandingan μ1>μ2 dapat diterima hanya jika w1 besar dan w2 kecil. Untuk uji dwisisi, H0 dapat ditolak dan H1 diterima bila w1 kecil sedangkan w2 besar atau w1 besar sedangkan w2kecil. Dengan kata lain, tandingan μ1<μ2 diterima diterima bila w1 cukup kecil; tandingan μ1>μ2 diterima bila w2 cukup kecil; dan tandingan μ1≠μ2 diterima bila minimum dari w1 dan w2
cukup kecil. Dalam praktek sesungguhnya biasanya keputusan didasarkan pada nilai
2
1 1
1 1 1
n n
w u atau
2
2 1
2 2 2
n n
w u Contoh 7.7
Sebuah perusahaan ingin mengetahui apakah dengan penggantian mesin dapat meningkatkan jumlah produksi barang. Dilakukan pengamatan dengan data sebagai berikut:
Tabel 7.7 Barang Produksi dengan Mesin Lama dan Produksi dengan Mesin Baru
Barang
Produksi dengan mesin lama (X1)
Produksi dengan mesin baru (X2)
1 343 329
2 328 356
3 203 244
4 333 340
5 296 269
6 234 340
7 351 203
8 372 371
9 202 222
10 373 247
11 356 259
12 328 398
13 223 231
14 306 340
15 375 219
16 239 332
17 234 333
Dari data tersebut ingin diketahui apakah perubahan mesin dapat meningkatkan produksi barang?
Jawab
Sajikan lembar kerja dengan format seperti berikut
Data pada kolom G adalah gabungan data pada kolom B dan D.
Urutkan data pada kolom G blok pilih Sort & Filter kemudian pilih Sort Z to A maka akan didapatkan hasil seperti di atas.
Tahap selanjutnya membuat ranking data pada kolom G. Jika frekuensi datanya hanya 1 maka rangkingnya adalah nomor data tersebut, akan tetapi jika frekuensi data lebih dari 1 maka ranking adalah rata-rata dari nomor data tersebut. Sebagai contoh, data 356 ada di nomor 6 dan 7 maka rangkingnya adalah rata-rata dari 6 dan 7.
Mengisi rank pada kolom Cdengan mengambil data pada kolom H fungsinya =VLOOKUP(B3,$G$2:$H$35,2,FALSE) hasilnya sebagai berikut.
Tarik ke bawah cell C2 untuk mendapatkan hasil di atas.
Mengisi rank pada kolom E dengan mengambil data pada kolom H fungsinya =VLOOKUP(D2,$G$2:$H$35,2,FALSE) hasilnya sebagai berikut.
Tarik ke bawah cell E2 untuk mendapatkan hasil di atas.
Menjumlahkan rank data X1 (w1) fungsinya =SUM(C2:C18) hasilnya adalah 293.5 dan jumlah rank data X2 (w2) fungsinya
=SUM(E2:E18)hasilnya adalah 301.5
Didapatkan w1 = 293.5; n1 = 17; w2 = 301.5; n2 = 17 1) Hipotesis penelitian
H0 : Kedua rata-rata adalah identik H1 : Kedua rata-rata adalah tidak identik 2) Statistik uji: z (karena n1 + n2> 20)
3) Arah pengujian: 1 arah
4) Taraf signifikansi pengujian α = 5% = 0.05 5) Daerah penolakan H0:
6449 .
05 1
.
0
z z
z
Naskah Program MATLAB
a=0.05;
z=norminv(a,0,1);
ba=norminv(0.9999,0,1);
d=-ba:0.0005:ba;
fd=normpdf(d,0,1);
plot(d,fd,'k') hold on
plot([z z],[0 normpdf(z,0,1)],'k') text(z,normpdf(z,0,1),...
['z = ',num2str(z)]) text(0,normpdf(0,0,1)/2,...
['Ho: ',num2str((1-a)*100),'%'])
Gambar 7.4 Kurva Normal Uji Pihak Kiri
6) Statistik hitung 5 .
1 293 w
2 595 1 17 17 17 17 2
2 1
1 2 1 2
1 n n n n
w w
5 . 301 5 . 293
2 595
w
5 . 2 140
1 17 5 17 . 2 293
1 1
1 1
1 n n
w u atau
Sehingga u = 148.5
5 . 2 144
17 17 2
2
1
nn
0330 . 12 29
1 17 17 17 17 12
2 1
1 2
1
nn n n
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4
z = -1.6449
Ho: 95%
1378 . 0330 0 . 29
5 . 144 5 .
148
z u
7) Kesimpulan: z hitung = 0.1378 <z tabel = 1.6449 sehingga ada di daerah penolakan H0, maka H0 ditolak karena tidak cukup bukti untuk menerima H0 tersebut dan bukan karena H0 itu salah. Jadi kedua rata-rata tidak identik.
C. Komparatif k Sampel