Bangun Datar

BAB 7 GEOMETRI

7.1 Bangun Datar

Segitiga adalah bidang datar yang dibentuk oleh tiga buah garis lurus yang bertemu pada tiga titik sudut serta tidak ada garis yang sejajar.

Segitiga Lancip Segitiga Tumpul Segitia Siku-siku Diberikan sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, dan C.

• Garis tinggi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan tegak lurus terhadap sisi di hadapan titik sudut tersebut.

• Garis bagi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sudut sama besar.

• Garis bagi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sisi di hadapan titik sudut sama panjang.

Jika ABC sebuah segitiga yang panjang alas a dan tinggi t, maka luas daerah segitiga dapat dinyatakan dengan:

𝐿 =1 2 𝑎 ∙ 𝑡

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi a , b dan c, maka keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 𝐾 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi 𝑎 , 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐, maka keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah:

𝐿 = √𝑆(𝑆 − 𝑎)(𝑆 − 𝑏)(𝑆 − 𝑐) 𝑆 = 1

2𝐾 S = Panjang setengah keliling

BAB 7

Contoh :

Suatu segitiga sama sisi memiliki panjang alas 20 cm dan tinggi 10 cm. Hitunglah keliling dan luas segitiga tersebut!

Karena segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi, sehingga ketiga sisinya sama panjang.

𝑎 = 20 𝑐𝑚 𝑡 = 10 𝑐𝑚

rumus keliling segitiga = 𝑠 + 𝑠 + 𝑠

= 20 + 20 + 20

= 60 𝑐𝑚

rumus luas segitiga= ½ 𝑎 × 𝑡

= ½ 20 × 10

= 100 𝑐𝑚² b. Persegi Panjang

Untuk semua persegipanjang berlaku:

• Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Pada persegipanjang ABCD, sisi AB dan CD sejajar dan sama panjang.

Demikian juga sisi AD dan BC sejajar dan sama panjang.

• Semua sudutnya sama besar dan besar setiap sudutnya 90⁰. Pada persegipanjang ABCD,sudut A,B,C,D = 90⁰.

• Memiliki dua diagonal yang sama panjang. Pada persegipanjang ABCD, AC = BD

Misalkan ABCD sebuah persegipanjang dengan AB adalah panjang (p) dan BC adalah lebar (l). Luas (L) dan Keliling

(K) persegipanjang dinyatakan dengan:

𝐿 = 𝑝 𝑥 𝑙

𝐾 = 2(𝑝 + 𝑙) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐾 = 2𝑝 + 2𝑙 Contoh :

Sebuah Persegi Panjang memiliki panjang 8 cm dan lebar 5, maka luas dan keliling Persegi Panjang tersebut adalah

Diketahui :

p = 8 cm, menyatakan panjangnya.

l = 5 cm, menyatakan lebarnya.

𝐿 = 8 × 5 = 40𝑐𝑚²

𝐾 = 2(𝑝 + 𝑙) = 2(8 + 5) = 26

Persegipanjang besar berukuran 9 𝑐𝑚 × 5 𝑐𝑚. Daerah yang diarsir adalah satu-satunya bangun di dalam persegipanjang yang bukan persegi. Berapakah luas daerah yang diarsir.

Jawab :

Diketahui ukuran persegipanjang besar:

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 9 𝑐𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 = 5 𝑐𝑚

Karena hanya daerah arsiran yang bukan merupakan persegi, berarti bidang datar lainnya merupakan persegi (bidang yang berwarna).

Misal:

Persegi A bidang berwarna merah: panjang sisi persegi A = 5 cm Persegi B bidang berwarna kuning: panjang sisi persegi B = 4 cm Persegi C bidang berwarna biru: panjang sisi persegi C = 1 cm

Panjang persegipanjang = panjang sisi persegi B – panjang sisi persegi C= 4 – 1 = 3

Lebar persegi panjang = panjang sisi persegi A – panjang sisi persegi B= 5 – 4 = 1

Sehingga, luas persegipanjang arsiran = 3 × 1 = 3 𝑐𝑚².

c. Persegi

Misalkan ABCD sebuah persegi dengan panjang sisinya s. Luas (L) dan Keliling (K) persegi dinyatakan dengan:

𝐿 = 𝑠 𝑥 𝑠 = 𝑠² 𝐾 = 4𝑠 Untuk semua persegi berlaku:

• Mempunyai empat sisi yang sama panjang. Pada persegi ABCD, panjang sisi AB sejajar dengan CD, sisi BC sejajar dengan AD.

• Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang. Pada persegi ABCD, sisi AB dan CD sejajar dan sama panjang.

Demikian juga sisi AD dan BC sejajar dan sama panjang.

• Mempunyai empat sudut siku-siku. Pada persegi ABCD, Sudut A,B,C,D = 90⁰Karena terdapat empat sudut dan tiap sudut besarnya 90⁰ maka jumlah keempat sudut dalam persegi adalah 360⁰.

• Memiliki dua diagonal yang sama panjang. Pada persegi ABCD, AC = BD.

Contoh :

Reni mempunyai satu lembar karton bermotif berbentuk persegi dengan panjang sisinya 25 cm. Reni akan membuat mainan yang berbentuk seperti pada gambar di bawah. Berapakah luas karton yang tidak terpakai?

Jawab :

Perhatikan gambar berikut

Perhatikan persegipanjang ABFB dan EFCD, EB merupakan diagonal persegipanjang ABFB yang mengakibatkan daerah arsiran ABE samadengan setengah dari persegipanjang ABFB. Kemudian, EC merupakan diagonal persegipanjang EFCD yang mengakibatkan daerah arsiran EDC samadengan setengah dari persegipanjang EFCD.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa luas arsiran keseluruhan samadengan setengah dari persegi ABCD, arti lainnya bahwa luas daerah karton yang terpakai samadengan luas karton yang tidak terpakai Sehingga:

𝐿. 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 =1

2𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐿. 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 =1

225² 𝐿. 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 312,5 𝑐𝑚²

d. Trapezium

Sifat-sifat pada trapezium:

• Trapezium memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

• Jumlah sudut-sudut berdekatan pada garis sejajar suatu trapezium adalah 180⁰.

Trapezium samakaki memiliki sifat berikut.

• Memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

• Memiliki dua diagonal bidang yang sama Panjang

• Sudut-sudut alasnya sama besar. Trapezium samakaki memiliki sifat berikut.

• Memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

• Memiliki dua sudut siku-siku

Sebuah trapesium ABCD samakaki, dengan panjang alas b, sisi atas a, dan tingginya t, luas dan kelilingnya adalah :

𝐿 = (𝑎 + 𝑏)𝑥 𝑡 𝐾 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 2 Contoh :

Sebuah trapesium memiliki sisi sejajar masing-masing 12 cm dan 14 cm serta memiliki tinggi 10 cm. Hitunglah Luas trapesium tersebut ?

𝐿 = (12 + 14)𝑥 10 2 𝐿 =(16)𝑥 10

𝐿 = 80 2 Contoh 2 :

Pada trapesium ABCD di atas, diketahui AB=22 cm, CD=10 cm, DE

= 8 cm. Hitunglah : a. Keliling ABCD b. Luas ABCD

Dari gambar tersebut, dapat dicari :

𝐴𝐷² = 𝐷𝐸²+ 𝐴𝐸² 𝐴𝐷 = √8²+ 6²

𝐴𝐷 = √100 𝐴𝐷 = 10

𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 22 + 10 + 10 + 10

𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 52 𝑐𝑚 𝐿 = (22 + 10)𝑥 8

2 𝐿 =(32)𝑥 8

2 𝐿 = 128𝑐𝑚²

e. Jajar Genjang

Ciri-ciri jajargenjang antara lain:

• Memiliki dua pasang sisi sejajar.

• Jumlah sudut yang berhadapan adalah 180⁰.

• Memiliki dua pasang sudut yang sama besar.

Misalkan ABCD adalah jajargenjang dengan panjang alas a, tinggi t, dan l adalah panjang sisi yang lain, maka:

𝐿 = 𝑎 𝑥 𝑡 𝐾 = 2𝑎 + 2𝑙

Contoh :

Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC

= 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm2. Maka panjang BQ adalah ... cm

Diketahui:

AD = BC = 13 cm AC = 25 cm

Luas jajargenjang = 125 𝑐𝑚² Perhatikan segitiga ACD:

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐶𝐷 =1

2𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 1

2 𝐴𝐶. 𝐷𝑃 =1 2 125 1

2 25. 𝐷𝑃 =1 2 125 𝐷𝑃 = 5

∆𝐴𝑃𝐷 merupakan segitiga siku-siku (siku-siku di P):

𝐵𝐸 = √𝐴𝐷²− 𝐷𝑃² 𝐵𝐸 = √13² − 5² 𝐵𝐸 = √169 − 25

𝐵𝐸 = √144 𝐵𝐸 = 12 Sehingga:

𝑃𝑄 = 𝐴𝐶 – (𝐴𝑃 + 𝐶𝑄)

= 25 – (12 + 12)

= 25 – 24 = 1

Jadi, panjang PQ adalah 1 cm.

f. Belah ketupat

Sifat-sifat belahketupat:

• Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang.

• Semua sisi belahketupat adalah sama panjang.

• Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus.

• Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar

Sebuah belahketupat dengan panjang sisinya a, maka luas dan keliling belahketupat adalah:

𝐿 = 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂ 𝐾 = 4𝑠 2

𝑑₁ = panjang diagonal pertama 𝑑₂ = panjangn diagonal kedua Contoh 1:

Tentukanlah keliling belah ketupat yang memiliki panjang sisi sebesar 10 cm

𝐾 = 4 𝑥 𝑠 𝐾 = 4 𝑥 10 𝐾 = 40 𝑐𝑚 Contoh 2

Diketahui panjang diagonal-diagonal sebuah belah ketupat berturut- turut 12 dan 9 cm. Tentukan luas belah ketupat tersebut ?

𝐿 = 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂ 2 𝐿 =12 𝑥 9

2 𝐿 = 54𝑐𝑚²

g. Layang-layang

Sebuah layang-layang dengan panjang sisi s1 dan s2 , maka luas dan keliling belahketupat adalah:

𝐿 = 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂

𝐾 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 2 Contoh :

Perhatikan gambar layang ABCD di bawah ini.

Jika panjang AC = 24 cm, panjang BC = 20 cm dan luas ABCD = 300 𝑐𝑚², maka tentukanlah panjang AD dan keliling layang-layang ABCD.

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang AD terlebih dahulu cari panjang BD dengan menggunkan rumus luas layang-layang yaitu:

𝐿 =1

2 𝑥 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂ 𝐿 =1

2 𝑥 𝐵𝐷 𝑥 𝐴𝐶

300 𝑐𝑚² =1

2 𝑥 𝐵𝐷 𝑥 24 𝑐𝑚 𝐵𝐷 =300 𝑐𝑚²

12 𝑐𝑚 𝐵𝐷 = 25 𝑐𝑚

Sekarang cari panjang BO dengan rumus teorema Pythagoras yaitu:

𝐵𝑂 = √𝐵𝐶² − 𝐶𝑂² 𝐵𝑂 = √20² − 12² 𝐵𝑂 = √400 − 144

𝐵𝑂 = √256 𝐵𝑂 = 16 𝑐𝑚 Sekarang cari panjang DO yaitu:

𝐷𝑂 = 𝐵𝐷 – 𝐵𝑂 𝐷𝑂 = 25 𝑐𝑚 – 16 𝑐𝑚

𝐷𝑂 = 9 𝑐𝑚

Dengan menggunkan rumus Phytagoras maka panjang AD dapat dicari yaitu:

𝐴𝐷 = √𝐴𝑂² + 𝐷𝑂² 𝐴𝐷 = √12² + 9² 𝐴𝐷 = √144 + 81

𝐴𝐷 = √225 𝐴𝐷 = 15 𝑐𝑚

Keliling bangun layang-layang ABCD dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang tersebut.

𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2 (𝐴𝐷 + 𝐵𝐶)

𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2 (15 𝑐𝑚 + 20 𝑐𝑚) 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2 (35 𝑐𝑚)

𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 70 𝑐𝑚

7.2 Bangun Ruang