Pertidaksamaan Mutlak

BAB 4 FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN

4.9 Pertidaksamaan Mutlak

a. Bentuk Umum Persamaan Nilai Mutlak Untuk 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) fungsi dalam variabel x

|𝑓 (𝑥)| = 𝑐 dengan syarat 𝑐 ≥ 0

|𝑓 (𝑥)| = |𝑔 (𝑥)|

|𝑓 (𝑥)| = |𝑔 (𝑥)| dengan syarat |𝑔 (𝑥)| ≥ 0

b. Penyelesaian persamaan Linear Nilai Mutlak

Persamaan Nilai Mutlak yaitu suatu nilai mutlak dari sebuah bilangan yang dapat didefinisikan sebagai jarak bilangan tersebut terhadap titik 0 pada garis bilangan tanpa memperhatikan arahnya.

Contoh

Tentukanlah himpunan penyelesaian |2𝑥 – 7| = 3 Jawaban :

|2𝑥 – 7| = 3

( 2𝑥 – 7 = 3 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 2𝑥 – 7 = −3) ( 2𝑥 = 10 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 2𝑥 = 4)

( 𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 𝑥 = 2) Maka, 𝐻𝑃 = {2, 5}

Tentukanlah 𝐻𝑃 |2𝑥 – 1| = |𝑥 + 4|

Jawaban :

|2𝑥 – 1| = |𝑥 + 4|

2𝑥 – 1 = 𝑥 + 4 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 2𝑥 – 1 = −(𝑥 + 4) 𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 3𝑥 = −3

𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢𝑝𝑢𝑛 𝑥 = −1 Maka, 𝐻𝑃 = (−1, 5)

c. Pertidaksamaan Linear Nilai Mutlak

Pertidaksamaan nilai mutlak merupakan jenis pertidaksamaan yang mengandung nilai mutlak.

Misalkan |𝑥| adalah nilai mutlak x dan a suatu bilangan real.

𝑎. 𝐽𝑖𝑘𝑎 |𝑥| ≤ 𝑎 𝑚𝑎𝑘𝑎 – 𝑎 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑎 𝑏. 𝐽𝑖𝑘𝑎 |𝑥| ≥ 𝑎 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 ≤ – 𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑢 ≥ 𝑎

Contoh

• |𝑥 + 7| < 9

−9 < 𝑥 + 7 < 9

−16 < 𝑥 < 2

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {𝑥| − 16 < 𝑥 < 2}

• |2𝑥 − 1| ≥ 7 2𝑥 − 1 ≥ 7 2𝑥 ≥ 8 𝑥 ≥ 4 2𝑥 − 1 ≤ 7 2𝑥 ≤ 8 𝑥 ≤ 4

Jadi himpunan penyelesaian adalah {𝑥|𝑥 ≤ 4 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 4}

𝑗𝑖𝑘𝑎 ≤, < → 𝑑𝑖𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑓 𝑗𝑖𝑘𝑎 >, ≥ → 𝑑𝑖𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑓

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. |𝑥 + 3| ≤ |2𝑥 − 3|

Kalau dalam bentuk soal ini, langkah menyelesaikan pertidaksamaannya dengan mengkuadratkan kedua ruas.

(𝑥 + 3)² ≤ (2𝑥 − 3)² (𝑥 + 3)²− (2𝑥 − 3)² = 0

(𝑥 + 3 + 2𝑥 – 3)(𝑥 + 3 – 2𝑥 + 3) = 0 (𝑎² – 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏))

(3𝑥)(−𝑥 + 6) = 0 𝑥(6 − 𝑥) = 0 𝑥 = 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 6

Pembuat nol adalah x = 0 dan x = 6 Mari selidiki menggunakan garis bilangan. Untuk menentukan batasnya kita ambil salah satu titik yaitu 1 yang terletak diantara 0 dan 6

Kita masukkan kedalam persamaan 𝑥 = 1 → (𝑥 + 3)²− (2𝑥 − 3)² maka :

(1 + 3)²− (2 − 3)² → 15. Karena nilai positif maka kita beri tanda positif diantara 0 sampai 6. Sedangkan, untuk 𝑥 ≤ 0 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ≥ 6 kita beri tanda negatif.

Kembali lagi kesoal karena tanda pertidaksamaan ≤ maka kita aksir tanda negatif

Jadi kita dapatkan 𝐻𝑃 = {𝑥|𝑥 ≤ 0 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 ≥ 6}

2. Fungsi f didefinisikan oleh 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. jika bayangan dari –3 adalah –15 dan bayangan dari 3 adalah 9. Tentukan nilai dari 𝑓(– 2) + 𝑓(2).

𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = – 3 𝑓(– 3) = – 3𝑎 + 𝑏 – 3𝑎 + 𝑏 = – 15 (1) 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 3

𝑓(3) = 3𝑎 + 𝑏

3𝑎 + 𝑏 = 9 (2) 𝐸𝑙𝑒𝑚𝑖𝑛𝑎𝑠𝑖 (1) 𝑑𝑎𝑛 (2) – 3𝑎 + 𝑏 = – 15 3𝑎 + 𝑏 = 9 + 2𝑏 = – 6

𝑏 = – 3

𝑆𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑠𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑏 = – 3 𝑘𝑒 3𝑎 + 𝑏 = 9. 3𝑎 + 𝑏 = 9 3𝑎 + (– 3) = 9

3𝑎 = 12 𝑎 = 4

Dari hasil pengerjaan di atas diperoleh rumus fungsi yaitu 𝑓(𝑥) = 4𝑥 – 3.

𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = – 2 → 𝑓(– 2) = 4 (– 2) – 3 = – 11 𝑈𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 = 2 → 𝑓(2) = 4 (2) – 3 = 5

𝑓(– 2) + 𝑓(2) = – 11 + 5 = – 6 𝐽𝑎𝑑𝑖, 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑓(– 2) + 𝑓(2) = – 6.

3. Tentukan semua penyelesaian dari sistem persamaan {𝑥²− 6𝑦²− 𝑥𝑦 − 𝑥 + 3𝑦 = 0

𝑥²− 5𝑥 − 3𝑦²− 𝑦 + 10 = 0

𝑥² − 6𝑦²− 𝑥𝑦 − 𝑥 + 3𝑦 = 0→(𝑥²− 6𝑦² − 𝑥𝑦) − (𝑥 − 3𝑦) = 0

→(𝑥 − 3𝑦)(𝑥 + 2𝑦) − (𝑥 − 3𝑦) = 0

→(𝑥 − 3𝑦)[(𝑥 + 2𝑦) − 1] = 0

→(𝑥 − 3𝑦)[𝑥 + 2𝑦 − 1] = 0

→𝑥 = 3𝑦 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 1 − 2𝑦 Untuk 𝑥 = 3𝑦 →𝑥²− 5𝑥 − 3𝑦²− 𝑦 + 10 = 0

→9𝑦²− 15𝑦 + 3𝑦²− 𝑦 + 10 = 0

→6𝑦²– 16𝑦 + 10 = 0

→3𝑦²– 8𝑦 + 5 = 0

→(3𝑦 – 5)(𝑦 – 1) = 0

→𝑦 =⁵

3 atau 𝑦 = 1 sehingga didapat 𝑥 = 5 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑥 = 3

pasangan (𝑥, 𝑦) didapat (5,⁵

3) ; (3, 1) Untuk 𝑥 = 1 – 2𝑦 → 𝑥²– 5𝑥 – 3𝑦²– 𝑦 + 10 = 0

→ (1 – 2𝑦)²– 5(1 – 2𝑦) – 3𝑦²– 𝑦 + 10 = 0

→ 4𝑦²– 4𝑦 + 1 – 5 + 10𝑦 – 3𝑦²– 𝑦 + 10 = 0

→ 𝑦²+ 5𝑦 + 6 = 0

→ (𝑦 + 3)(𝑦 + 2) = 0

y = –3 atau y = –2 sehingga didapat x = 7 atau x = 5

pasangan (x,y) didapat (7, –3); (5, –2)

Jadi, semua penyelesaian yang memenuhi adalah (5,⁵

3 ); (3, 1); (7, – 3); (5, – 2)

4. Umur ayah 4 tahun yang lalu adalah 2/3 kali umur ayah pada c tahun yang akan datang, (c adalah bilangan bulat positif). Sekarang, umur ayah adalah 27 tahun lebihnya dari 1/5 umurnya pada 7 tahun yang lalu. Tentukan nilai c

Misalkan umur ayah sekarang adalah x tahun.

Berdasarkan informasi masalah di atas, dapat dituliskan 𝑥 − 4 =2

3(𝑥 + 𝑐) → 𝑥 = 2𝑥 + 12 𝑥 =1

5(𝑥 − 7) + 27 → 4𝑥 − 128 = 0 → 𝑥 = 32

Substitusikan 𝑥 = 32 𝑘𝑒 𝑥 = 2𝑐 + 12 diperoleh 32 = 2𝑐 + 12 atau 𝑐 = 10 Jadi, umur ayah saat ini adalah 32 tahun.

5. Suatu yayasan menyumbang 144 buku Sekolah A menerima buku paling sedikit dibandingkan dengan yang diterima sekolah lain, sehingga 𝐵 – 𝐴 = 16. Sekolah D menerima buku 2 kali lebih banyak daripada buku yang diterima sekolah A sehingga 𝐷 = 2𝐴 Dari uraian di atas terdapat 4 kemungkinan yang terbentuk, yaitu:

Kemungkinan I:

𝐵 – 𝐴 = 16 (1) 𝐶 – 𝐵 = 12 (2) 𝐷 – 𝐶 = 8 (3) Eleminasi (2) dengan (3)

𝐶 – 𝐵 = 12 𝐷 – 𝐶 = 8 + 𝐷 – 𝐵 = 20 (4) Eleminasi (4) dengan (1) 𝐷 – 𝐵 = 20

𝐵 – 𝐴 = 16 + 𝐷 – 𝐴 = 36

Karena 𝐷 = 2𝐴, maka 𝐴 = 36 sehingga 𝐷 = 72, 𝐵 = 52, 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = 64

Karena 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 224 𝑑𝑎𝑛 224 > 144, maka kemungkinan ini tidak memenuhi

Kemungkinan II:

𝐵 – 𝐴 = 16 (1) 𝐵 – 𝐶 = 12 (2) 𝐶 – 𝐷 = 8 (3) Eleminasi (2) dengan (3)

𝐵 – 𝐶 = 12 𝐶 – 𝐷 = 8 + 𝐵 – 𝐷 = 20 (4) Eleminasi (4) dengan (1) 𝐵 – 𝐷 = 20

𝐵 – 𝐴 = 16 𝐴 – 𝐷 = 4

Karena 𝐷 = 2𝐴, maka 𝐴 = – 4, hal ini tidak mungkin terjadi sehingga tidak memenuhi

Kemungkinan III:

𝐵 – 𝐴 = 16 (1) 𝐵 – 𝐶 = 12 (2)

𝐷 – 𝐶 = 8 (3) Eleminasi (2) dengan (3)

𝐵 – 𝐶 = 12 𝐷 – 𝐶 = 8 𝐵 – 𝐷 = 4 (4)

Eleminasi (4) dengan (1) 𝐵 – 𝐷 = 4

𝐵 – 𝐴 = 16 + 𝐴 – 𝐷 = – 12

Karena 𝐷 = 2𝐴, maka 𝐴 = 12 sehingga 𝐷 = 24, 𝐵 = 28, 𝑑𝑎𝑛 𝐶 = 16

Karena 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 80 𝑑𝑎𝑛 80 > 144, maka kemungkinan ini tidak memenuhi

Kemungkinan IV:

𝐵 – 𝐴 = 16 (1) 𝐶 – 𝐵 = 12 (2) 𝐶 – 𝐷 = 8 (3) Eleminasi (2) dengan (3)

𝐶 – 𝐵 = 12 𝐶 – 𝐷 = 8 𝐷 – 𝐵 = 4 (4)

Eleminasi (4) dengan (1) 𝐷 – 𝐵 = 4

𝐵 – 𝐴 = 16 + 𝐷 – 𝐴 = 20

Karena 𝐷 = 2𝐴, maka 𝐴 = 20 sehingga 𝐷 = 40, 𝐵 = 36, dan 𝐶 = 48 Karena 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 + 𝐷 = 144, maka kemungkinan ini memenuhi Jadi, banyak buku yang diterima masing-masing sekolah adalah Sekolah 𝐴 = 20 buku

Sekolah 𝐵 = 36 buku Sekolah 𝐶 = 48 buku Sekolah 𝐷 = 40 buku

LATIHAN SOAL

1. Tiga T-shirt dan empat topi dijual seharga Rp 960.000,00. Dua T-shirt dan lima topi dijual Rp 990.000,00. Berapakah harga setiap T-shirt?

Berapakah harga setiap topi?

2. Diketahui 𝑓 adalah suatu fungsi sehingga 𝑓(𝑥) + 2𝑓 (¹

𝑥) = 3𝑥 untuk setiap 𝑥 ≠ 0 Carilah nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓(𝑥) = 𝑓(– 𝑥)?

3. Tino sedang memanjat tangga dan sekarang dia berada tepat di tengah tangga. Jika ia naik 3 anak tangga ke atas, kemudian turun 5 anak tangga, serta naik kembali 10 anak tangga, maka Tino akan sampai di puncak tangga. Banyak anak tangga yang dimiliki tangga tersebut adalah

4. Simbol |𝑎 𝑏

𝑐 𝑑| = 𝑘 maksudnya adalah 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 = 𝑘. Jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi |𝑥 − 2 −2

−𝑥 𝑥 + 4| = 2𝑥 adalah

5. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan di bawah adalah…(Soal Uraian Singkat Olimpiade Matematika 2013 Tingkat Kabupaten)

𝑥⁴ − 2𝑥³ − 2𝑥² − 1 𝑥² − 1 ≥ 1

5.1 Perbandingan

a. Perbandingan Senilai

Perbandingan senilai adalah perbandingan dari dua atau lebih besaran dimana suatu variabel bertambah , maka variabel yang lain bertambah pula atau disebut juga dengan perbandingan yang memiliki nilai yang sama.

Contoh kejadian yang termasuk dalam perbandingan senilai antaralain :

• Jumlah tabungan dengan waktu penyimpanan.

• Banyak barang dengan jumlah harga barang .

• Jumlah pekerja dengan jumlah upah yang dikeluarkan . Rumus perbandingan senilai :

𝑎₁ 𝑏₁ = 𝑎₂

𝑏₂

Suatu rumah dikerjakan oleh 6 pekerja ,menghabiskan biaya untuk menggajihnya sebesar Rp 300.000 ,00 . Akan tetapi , pemilik rumah akan mempercepat waktu penyelesaiannya maka pekerja ditambah menjadi 8 orang,berapakah jumlah uang yang dikeluarkan untuk menggajinya

𝑎₁ = 6

𝑏₁ = 300.000 𝑎₂ = 8

𝑏₂ =?

𝑎₁ 𝑏₁ = 𝑎₂

𝑏₂ 6

300.000= 8 𝑏₂ 𝑏₂ = 300.000 𝑥 8

6

𝑏₂ = 400.000

BAB 5

b. Perbandingan Berbalik Nilai

Perbandingan berbalik nilai adalah perbandingan dari dua atau lebih besaran dimana suatu variabel bertambah , maka variabel yang lain berkurang atau turun nilainya.

Contoh kejadian yang termasuk perbandingan berbalik nilai antaralain :

• Banyaknya pekerja dengan waktu penyelesaian.

• Banyaknya hewan dengan waktu penghabisan makanannya.

Rumus Perbandingan berbalik nilai 𝑎₁ 𝑏₂ = 𝑎₂

𝑏₁

Suatu rumah dikerjakan oleh 8 pekerja,dan diselesaikan selama 15 hari. Apabila dikerjakan oleh 10 pekerja , berapa hari yang di butuhkan untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut ?

𝑎₁ = 8 𝑏₁ = 15 𝑎₂ = 10 𝑏₂ =?

𝑎₁ 𝑏₂ = 𝑎₂

𝑏₁ 8 𝑏₂ = 10

15 𝑏₂ = 8 𝑥 15

10 𝑏₂ = 12 c. Skala

Skala adalah perbandingan jarak pada gambar dengan jarak aslinya.

Biasanya, ini dapat ditemui dalam gambar peta maupun denah, sehingga bisa mewakili keadaan sesungguhnya dari suatu daerah.

Skala = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎

Jarak sebenarnya = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎

Jarak pada peta = 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑥 𝐽𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎

Kota A dan B mempunyai jarak 600 km. Jarak kedua kota tersebut jika di dalam peta yaitu 12 cm. Maka berapa skala yang digunakan dalam peta tersebut

Diketahui :Jarak sebenarnya = 600 km = 60.000.000 cm Jarak pada peta = 12 cm

Ditanya : skala?

Jawab : Skala = 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑡𝑎 𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎

^{Skala =} 60000000 𝑐𝑚^{12 𝑐𝑚}

Skala = 1 ∶ 5000000 5.2 Barisan dan Deret

a. Barisan

Barisan Aritmatika (Un) adalah barisan bilangan yang memiliki pola yang tetap. Nah, polanya itu bisa berdasarkan operasi penjumlahan atau pengurangan. Jadi, setiap urutan suku memiliki selisih atau beda yang sama. Selisih inilah yang dinamakan beda.

Biasa disimbolkan dengan b.

Misalnya, di suatu barisan memiliki suku pertama, yaitu 2. Suku pertama disimbolkan dengan 𝑈₁ atau a. Lalu, di suku kedua 𝑈₂, yaitu 5. Suku ketiga 𝑈₃, yaitu 8, dan seterusnya. Berarti, barisan ini memiliki beda 3 pada setiap sukunya.

2, 5, 8, ...

Untuk mencari suku ke-n (𝑈_𝑛), kita bisa menggunakan rumus:

Untuk mencari beda barisan aritmatika :

𝑈_𝑛 = suku ke-n

𝑎 = Suku ke-1(pertama) barisan matematika 𝑈_𝑛−1 = Suku ke n-1

𝑏 = Beda

𝑛 = Bayaknya suku pada barisan matematika 𝑈_𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

𝑏 = 𝑈_𝑛 − 𝑈_𝑛−1

Contoh :

Diketahui barisan aritmatika berikut:

3,7,11,15,19,…

Tentukan suku ke-10 barisan tersebut 𝑎 = 3

𝑏 = 7 − 3 = 4 𝑛 = 10

𝑈_𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏 𝑈₁₀ = 3 + (10 − 1)4 𝑈₁₀ = 39

b. Barisan Geometri

Barisan dengan dua suku berurutan yang selalu mempunyai rasio yang tetap (konstan).

Perhatikan barisan 1, 2, 4, 8,…

𝑈₂ = 𝑈₁ 𝑥 2 = 1 𝑥 2 = 2 𝑈₃ = 𝑈₂ 𝑥 2 = 2 𝑥 2 = 4

, dan seterusnya

c. Deret Aritmatika

Deret aritmatika (Sn) adalah jumlah suku ke-n pada barisan aritmatika. Nah, di sini kita hanya menjumlahkan barisan aritmatikanya saja sampai ke suku yang diperintahkan. Misalnya, kamu diperintahkan untuk mencari deret aritmatika jumlah 5 suku pertama dari barisan yang tadi dibahas. Jadi seperti ini ya penjelasannya.

3, 7, 11, 15, 19, ...

Jumlah 5 suku pertamanya berarti, 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55

Lalu, bagaimana ya kalau mencari deret aritmatika jumlah 100 suku pertama dari suatu barisan? Nah, daripada kamu pusing menjumlahkan semua suku dari pertama sampai suku ke seratus, mending kamu memakai rumus deret aritmatikanya!.

𝑈

_𝑛

= 𝑎 ∙ 𝑟

^𝑛−1

Rumus Deret Aritmatika:

𝑆_𝑛 = Jumlah suku ke-n

𝑎 = Suku pertama barisan aritmatika 𝑏 = Beda

𝑛 = Banyak suku barisan aritmatika Contoh:

Diketahui barisan aritmatika 27,24,21,18,…

Jumlah suku ke-20 adalah 𝑎 = 27

𝑏 = 24- 27 = -3 𝑆_𝑛=^𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑆₂₀ =²⁰

2 (2 ∙ 27 + (20 − 1) − 3) 𝑆₂₀ = 10(54 − 57)

𝑆₂₀ = −30 d. Deret Geometri

𝑆_𝑛=𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

𝑆_𝑛=𝑎(1 − 𝑟^𝑛)

1 − 𝑟 , 𝑟 < 1 𝑆_𝑛=𝑎(𝑟^𝑛− 1)

𝑟 − 1 , 𝑟 < 1

𝐷𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 ∶ 𝑎 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑝𝑒𝑟𝑡𝑎𝑚𝑎

𝑟 = 𝑟𝑎𝑠𝑖𝑜 𝑛 = 𝑠𝑢𝑘𝑢 𝑘𝑒

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Tentukan banyak lingkaran pada pola ke- 10, 100, n pada pola berikut untuk sebarang n bilangan bulat positif.

3, 6, 10, …(disebut juga pola bilangan segitiga) (1 + 2), (1 + 2 + 3), (1 + 2 + 3 + 4), … Perhatihan bahwa :

l₁ : → 1 l₂ : → 1 + 2 l₃ : → 1 + 2 + 3 l₄ : → 1 + 2 + 3 + 4

Diketahui deret bilangan di atas merupakan deret aritmetika dengan:

a (suku pertama) = 1 b (beda/selisih) = 1

dengan rumus jumlah sampai suku ke-n:

𝑆𝑛=𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏)

Banyak lingkaran pada pola ke- 10 𝑆₁₀=10

2 (2 ∙ 1 + (10 − 1)1) 𝑆₁₀=10

2 (2 + 9) 𝑆₁₀= 5(11)

𝑆₁₀ = 55

Banyak lingkaran pada pola ke-100

𝑆₁₀ =100

2 (2 ∙ 1 + (100 − 1)1) 𝑆₁₀=100

2 (2 + 99) 𝑆₁₀= 50(2 + 99) 𝑆₁₀= 50(101)

𝑆₁₀= 5050

Banyak lingkaran pada pola ke-n 𝑆_𝑛=𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑆_𝑛=𝑛

2(2 ∙ 1 + (𝑛 − 1)1) 𝑆_𝑛=𝑛

2(2 + 𝑛 − 1) 𝑆_𝑛=𝑛(𝑛 + 1)

2

2. Jika𝑆₁ = 1, 𝑆₂ = 𝑆₁− 3, 𝑆₃ = 𝑆₂+ 5, 𝑆₄ = 𝑆₃− 7, 𝑆₅ = 𝑆₄+ 9,….

Adalah suku-suku barisan bilangan maka nilai 𝑆₂₀₁₃ adalah…

𝑆₁ = 1

𝑆₂ = 𝑆₁− 3 = −2 𝑆₃ = 𝑆₂+ 5 = 3 𝑆₄ = 𝑆₃− 7 = −4 𝑆₅ = 𝑆₄+ 9 = 5 .

. . .Dst

Dari perhitungan tersebut kita bisa melihat pola maka kita dapatkan 𝑆₂₀₁₃= 2013

3. Jika x adalah jumlah 99 bilangan ganjil terkecil yang lebih besar dari 2011 dan y adalah jumlah 99 bilangan genap terkecil yang lebih besar dari 6, maka x + y = ...

𝑥 = 2013 + 2015 + 2017 + … 𝑦 = 8 + 10 + 12 + …

𝑥 + 𝑦 = 2021 + 2025 + 2029 + … Merupakan deret aritmatika dengan:

𝑎 = 2021

𝑏 = 2025 – 2021 = 4 𝑛 = 99

𝑆𝑛=^𝑛₂(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑆₉₉=⁹⁹

2 (2 ∙ 2021 + (99 − 1)4) 𝑆₉₉=⁹⁹₂ (2 ∙ 2021 + (98)4) 𝑆₉₉=⁹⁹

2 (2 ∙ 2021 + 392) 𝑆₉₉=⁹⁹₂ (4042 + 392) 𝑆₉₉=⁹⁹

2 (4434) 𝑆₉₉=219483

Jadi, 𝑥 + 𝑦 = 219483.

4. Dari barisan aritmetika diketahui suku ke-7 = 22 dan suku ke-11 = 34.

Jumlah 18 suku pertama adalah ....

𝑈₇ = 𝑎 + 6𝑏 = 22 𝑈₁₁ = 𝑎 + 10𝑏 = 34

−4𝑏 = −12 ⇒ 𝑏 = 3 Untuk b = 3, maka

𝑎 + 6𝑏 = 22

𝑎 + 6(3) = 22 ⇒ 𝑎 = 22 − 18 = 4 𝑆_𝑛=^𝑛

2(2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏) 𝑆₁₈=¹⁸

2 (2 ∙ 4 + (18 − 1)3) 𝑆₁₈= 9(8 + 51)

𝑆₁₈= 9(59) 𝑆₁₈= 531

5. Diketahui barisan geometri dengan suku ke-3 = 12 dan suku ke-6 = 96.

Jumlah 10 suku pertama barisan itu adalah ....

Barisan geometri dengan 𝑈₃ = 𝑎𝑟² = 12

𝑈₆ = 𝑎𝑟⁵ = 96 Substitusikan 𝑎𝑟⁵ = 96 (𝑎𝑟²)𝑟³ = 96 12𝑟³ = 96 𝑟³ = ⁹⁶

12 𝑟³ = 8 𝑟³ = 2³ 𝑟 = 2 𝑎𝑟² = 12 𝑎(2)² = 12 𝑎 = 3 𝑆_𝑛 = ^{𝑎(𝑟𝑛−1)}

𝑟−1 𝑆₁₀= ^3(210−1)

2−1 𝑆₁₀= ^3(210−1)

2−1 𝑆₁₀= 3(1023) 𝑆₁₀= 3069

LATIHAN SOAL

1. Suatu barisan aritmetika diketahui 𝑈₆ = 18 dan 𝑈₁₀ = 30. Jumlah 16 suku pertama dari barisan tersebut adalah ....

2. Diketahui rumus jumlah suku ke-n suatu barisan aritmetika adalah 𝑆_𝑛 = 2𝑛²+ 𝑛. Nilai dari 𝑈₁+ 𝑈₃+ 𝑈₅+ ⋯ + 𝑈_2𝑛−1 adalah…

3. Nilai penjumlahan bilangan berikut adalah ...

1²− 2²+ 3²− 4²+ 5²− ⋯ + 2010² + 2011²

4. Suatu survei dilakukan pada siswa kelas VII untuk mengetahui siswa yang berminat mengikuti kegiatan Paskibra. Hasil survei adalah sebagai berikut:

• 25% dari total siswa putra dan 50% dari total siswa putri ternyata berminat mengikuti kegiatan tersebut;

• 90% dari total peminat kegiatan Paskibra adalah siswa putri.

Rasio total siswa putri dan total siswa putra kelas VII di sekolah tersebut adalah ....

5. Jika Nilai 100𝐵 = 100²+ 99²− 98²− 97²+ 96²+ 95²− 94² − 93²+ ⋯ + 4²+ 3² − 2²− 1²

6.1 Kombinatorik (Permutasi dan Kombinasi) Aturan perkalian

Jika terdapat k unsur yang tersedia, dengan:

𝑛₁ = banyak cara untuk menyusun unsur pertama

𝑛₂ = banyak cara untuk menyusun unsur kedua setelah unsur pertama tersusun

𝑛₃ = banyak cara untuk menyusun unsur ketiga setelah unsur kedua tersusun

𝑛_𝑘 = banyak cara untuk menyusun unsur ke- k setelah objek unsur sebelumnya tersusun

Maka banyak cara untuk menyusun k unsur yang tersedia adalah:

𝑛₁ × 𝑛₂× 𝑛₃× … × 𝑛_𝑘 Contoh :

1. Dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 4 jalur, dari kota A ke kota C dapat ditempuh dengan 3 jalur, dari kota B maupun C ke kota D dapat ditempuh dengan 3 jalur, dan dari kota B ke kota C terhubung dengan 1 jalur. Tentukan banyak pilihan jalur dari kota A ke kota D.

Jika dari kota A ke kota D melalui jalur B, maka banyak pilihan jalur adalah: (4 × 1 × 3) + (4 × 3) = 24 𝑐𝑎𝑟𝑎

Jika dari kota A ke kota D memilih jalur C, maka banyak pilihan jalur adalah: (3 × 1 × 3) + (3 × 3) = 18 𝑐𝑎𝑟𝑎

Jadi, banyak pilihan jalur dari kota A ke kota D adalah 42 jalur.

2. Seorang manager supermarket ingin menyusun barang berdasarkan nomor seri barang. Dia ingin menyusun nomor seri dimulai dari nomor 3000 sampai dengan 8000 dan tidak memuat angka yang sama. Tentukan banyak nomor seri yang disusun dari angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

• Setiap bilangan yang berada diantara 3000 dan 8000 pastilah memiliki banyak angka yang sama yakni 4 angka:

• Untuk mengisi angka ribuan hanya dapat diisi angka 3, 4, 5, 6, 7. Artinya terdapat 5 cara mengisi ribuan.

BAB 6

• Untuk mengisi ratusan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 7 kemungkinan (mengapa?)

• Untuk mengisi puluhan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 6 angka yang mungkin (mengapa?)

• Untuk mengisi satuan dapat diisi angka 1 sampai 8 tetapi hanya ada 5 angka yang mungkin (mengapa?)

• Dengan demikian, banyak angka yang dapat mengisi keempat posisi tersebut adalah sebagai berikut:

5 7 6 5

Banyak susunan nomor seri yang diperoleh adalah 5 × 7 × 6 × 5 = 1.050 𝑐𝑎𝑟𝑎.

Beberapa penggunaan permutasi dan kombinasi secara sederhana diantaranya adalah:

1. Menyusun k obyek yang berbeda secara mendatar memberikan variasi susunan sebanyak

𝑘! = (𝑘)(𝑘 − 1)(𝑘 − 2) … (1) Contoh:

1! = 1

2! = 2 × 1 = 2 3! = 3 × 2 × 1 = 6 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 24

2. Mengambil dan Menyusun n obyek dari k obyek yang berbeda secara mendatar memberikan variasi sebanyak

𝑘! = (𝑘)(𝑘 − 1)(𝑘 − 2) … (𝑘 − 𝑛 + 1) atau sering disebut permutasi n obyek yang diambil dari k obyek, dan ditulis

𝑃_𝑛^𝑘= 𝑘!

(𝑘 − 𝑛)!, 𝑛 > 1 Jika n=1

𝑃_𝑛^𝑘= 𝑘!

(𝑘 − 𝑛)!= 𝑘 Jika 𝑘 − 𝑛 = 1

𝑃_𝑛^𝑘 = 𝑘!

(𝑘 − 𝑛)!= 𝑘!

Jika 𝑘 − 𝑛 = 0

𝑃_𝑛^𝑘 = 𝑘!

(𝑘 − 𝑛)!= 𝑘!

Contoh:

1) Dari kata MATH. Tentukan susunan kata yang mungkin.

Dengan rumus :

𝑃_𝑛^𝑘 = 𝑘!

(𝑘 − 𝑛)!

𝑃₄⁴ = 4!

(4 − 4)!

𝑃₄⁴ =4 × 3 × 2 × 1 (0)!

𝑃₄⁴ = 24 Bukti :

MATH MAHT MTAH MTHA MHTA MHAT AMTH AMHT ATMH ATHM AHTM AHMT TAMH TAHM TMAH TMHA THMA THAM HATM HAMT HTAM HTMA HMTA HMAT

2) `Lima orang akan pergi ke pantai menggunakan sebuah mobil berkapasitas 6 tempat duduk. Jika hanya ada dua orang yang bisa menjadi sopir. maka banyaknya cara mengatur tempat duduk di dalam mobil adalah ...

Misal yang dapat menjadi sopir adalah A dan B Penumpang: A, B, C, D, dan E

Sehingga akan terdapat dua pola tempat duduk:

Pola I:

𝑃₄⁵ = 5!

(5 − 4)!

𝑃₄⁵ = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 1

𝑃₄⁵ = 120 Pola II:

𝑃₄⁵ = 5!

(5 − 4)!

𝑃₄⁵ = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 1

𝑃₄⁵ = 120

Jadi, banyak cara mengatur tempat duduk mereka adalah 120 + 120 = 240

3. Mengambil n obyek dari k obyek berbeda tanpa menyusun memberikan variasi sebanyak (𝑘)(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)

𝑛(𝑛−1)…(1) atau sering disebut Combinasi n obyek yang diambil dari k obyek, dan ditulis

𝐶_𝑛^𝑘 = 𝑘!

(𝑛!)(𝑛 − 1)!

Contoh :

Misalnya dalam sebuah kotak terdapat 10 bola bernomor beda dengan 3 warna kuning, 2 warna biru, dan sisanya berwarna merah. Dari dalam kotak diambil 2 warna kubing, sebuah bola biru dan tiga warna merah kemudian disusun berjajar, maka banyaknya variasi susunan bola dapat ditentukan melalui pemikiran berikut:

a. Diambil 2 bola kuning dari 3 bola kuning di kotak ada 𝐶₂³ = 3!

(2!)(3 − 1)!= 3 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑖 b. Diambil 1 bola biru dari 2 bola biru di kotak ada

𝐶₁² = 2!

(1!)(2 − 1)!= 2 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑖 c. Diambil 3 bola merah dari 5 bola merah di kotak ada

𝐶₃⁵ = 5!

(3!)(5 − 3)!= 10 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑖 d. Lalu 6 bola ditangan disusun diperoleh

6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑖 e. Jadi variasi susunan bola sebanyak

𝐶₂³𝐶₁²𝐶₃⁵6! = 3 ∙ 2 ∙ 10 ∙ 720 = 4320 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑠𝑖

6.2 Peluang

Rumus untuk peluang suatu kejadian adalah:

Keterangan:

𝑃(𝐴) = Peluang kejadian A

𝑛(𝐴) = Titik sampel kejadian A

𝑛(𝑆) = Ruang sampel kejadian A

Nilai peluang suatu kejadian dapat dicari dengan membagi titik sampel dengan ruang sampel. sehingga dapat disimpulkan bahwa:

“Peluang suatu kejadian bernilai antara 0 dan 1, atau dapat dinotasikan 0

≤ P(A) ≤ 1”

Kenapa nilai peluang kejadian antara 0 dan 1?

Karena, Apabila nilai P(A) = 0 maka dapat diartikan bahwa kejadian A sangat mustahil untuk terjadi sedangkan jika nilai P(A) = 1 maka diartikan bahwa kejadian A pasti akan terjadi.

Contoh kejadian mustahil:

• Pohon bisa terbang

• Kura-kura bisa berlari kencang

• Contoh kejadian yang pasti terjadi:

Contoh kejadian yang pasti terjadi:

• Gajah beranak

• Adanya malam dan siang hari Contoh :

Dua buah dadu dilempar. Peluang muncul kedua mata dadu berjumlah lebih dari 7 adalah

𝑃(𝐴) =𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)

(S) {

(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6) (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6) (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6) (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)

n(S) = 36

(A) = {(2,6); (3,5); (3,6); (4,4); (4,5); (4,6); (5,3); (5,4);

(5,5); (5,6); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6) } n(A) = 15

Maka 𝑃(𝐴) = ^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

𝑃(𝐴) =¹⁵

36= ⁵

12

6.3 Statistika a. Rata-rata

𝑥 =𝑥₁+ 𝑥₂ + 𝑥₃+ ⋯ + 𝑥_𝑛 Contoh : 𝑛

Diberikan nilai data tinggi badan dari 8 siswa SMP Tunasbangsa yaitu 155, 150, 152, 152, 157, 161, 154, 156. Hitunglah rata-rata tinggi mereka

Jawab:

𝑥 =155 + 150 + 152 + 152 + 157 + 161 + 154 + 156

= 154,625 8 Data kelompok

x̄ = rataan hitung dari data kelompok fi = frekuensi kelas ke-i

xi = nilai tengah kelas ke-

Contoh :

Hitunglah mean dari data kelompok berikut ini! Berikut merupakan tabel Tinggi Badan Siswa Kelas VI SD N Suka Bersama:

Tinggi Badan Titik

tengah Frekuensi Xi.Fi

156-160 158 5 790

161-165 163 10 1630

166-170 168 5 840

171-175 173 10 1730

Jumlah 30 4990

Jadi, mean dari data kelompok diatas adalah 166,33 cm b. Median ( Nilai tengah)

Median = 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑘𝑒 (^𝑛+1

2 ) untuk banyaknya data ganjil Median = ^{𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒(}

𝑛

2)+𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒(^𝑛₂+1)

2 untuk data genap

untuk menentukan median, kamu harus mengurutkan data terlebih dahulu

Contoh :

Misalkan ada bilangan 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 (banyak data ganjil), maka nilai tengahnya adalah 40.

Andaikan banyak data genap misal 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85. Oleh karena tidak ada data yang berada tepat di tengah, maka kita tentukan dengan menjumlah data keempat dan kelima kemudian dibagi dua, yaitu:

45 + 55 2 = 50

Jadi, nilai tengah dari data 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 adalah 50

agar dapat mencari nilai median dari suatu data kelompok diperlukan sebuah rumus sebagai berikut

Tb = tepi bawah kelas median n = jumlah seluruh frekuensi

fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median fi = frekuensi kelas median

p = panjang kelas interval Contoh :

Interval Frekuensi

100-110 12

120-130 18

140-150 10

Jumlah 40

Jadi median dari data interval diatas adalah 123,9 cm.

c. Modus

Modus adalah banyaknya data yang sering muncul atau Modus menunjukkan nilai dalam sebaran data yang paling sering muncul.

Contoh

Diketahui data nilai ulangan matematika yaitu 7, 5, 8, 8, 6, 7, 8, 5, 9, 9, 6, 8, 7,7, 9, 6, 9, 5, 8, 6, 7, 8, 10. Tentukan modus dari dari tersebut.

5 → ada 2 8 → ada 6

6 → ada 4 9 → ada 4

7 → ada 5 10 → ada 1

Oleh karena nilai 8 yang paling banyak, maka modusnya adalah 8.

Data kelompok

Tb = tepi bawah kelas modus

𝑑₁= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelum kelas modus

𝑑₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi setelah kelas modus

p = panjang kelas interval Contoh :

Carilah modus dari data interval di bawah ini. Berikut ini adalah tabel hasil panen jagung di Desa Mangunsuman:

Nilai Frekuensi

30-34 3

35-39 5

40-44 10

45-49 11

50-54 8

d. Quartil

Letak 𝑄₁ = ^𝑛+1

4

Letak 𝑄₂ = ²

4(𝑛 + 1) Letak 𝑄₃ =³

4(𝑛 + 1)

Dengan n adalah banyaknya data Data haruslah diurutkan terlebih dahulu

i = 1 untuk kuartil bawah i = 2 untuk kuartil tengah i = 3 untuk kuartil atas Tb = tepi bawah kelas kuartil n = jumlah seluruh frekuensi

𝑓_𝑘= jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil 𝑓_𝑖= frekuensi kelas kuartil

p = panjang kelas interval

Contoh :

Kuartil atas dari data pada tabel adalah … Jumlah data = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 + 4 = 40

Kuartil atas atau Q3: terletak pada ¾ bagian data. Sehingga, letak kuartil atas berada di data ke-30. Caranya adalah seperti berikut.

Letak Q3 berada pada data ke – ¾ × 40 = 30

Perhatikan tabel yang sudah dilengkapi dengan frekuensi komulatif kurang dari (fk) dan letak kuartil atas.

Sehingga, nilai kuartil atasnya adalah:

𝑄₃ = 69,5 + ( 3

4 . 40 − 28 8 ) × 5

𝑄₃ = 69,5 + (30 − 28 8 ) × 5 𝑄₃ = 69,5 + (2

8) × 5 𝑄₃= 69,5 + 1,25 = 70,75

e. Jangkauan

Jangkauan = data terbesar – data terkecil Contoh :

Diberikan nilai data tinggi badan dari 8 siswa SMP Tunasbangsa yaitu 155, 150, 152, 152, 157, 161, 154, 156. Hitunglah Jangkauan dari data tersebut

Jangkauan : 161-150=11

Jangkauan data kelompok = 𝑄₃− 𝑄₁

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Rata-rata dari 25 siswa adalah 40. Jika selisih rata-rata nilai 5 siswa terendah dan 20 siswa sisanya adalah 25, maka rata-rata nilai 5 siswa terendah adalah …

Misal:

𝑥_𝑎 = Rata-rata nilai 5 siswa terendah 𝑛_𝑎 = Banyaknya siswa pada 𝑥_𝑎 𝑛_𝑏 = Banyaknya siswa pada 𝑥_𝑏 𝑥_𝑏 = Rata-rata nilai 20 siswa lainnya Diketahui :

𝑛 = 25

𝑥_{𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛} = 40 𝑛_𝑎 = 5 𝑑𝑎𝑛 𝑛_𝑏= 20

𝑥_𝑏− 𝑥_𝑎 = 25 → 𝑥_𝑏 = 25 + 𝑥_𝑎

𝑥_{𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛} =𝑛_𝑎 ∙ 𝑥_𝑎+ 𝑛_𝑏∙ 𝑥_𝑏 𝑛_𝑎+ 𝑛_𝑏 40 = 5 ∙ 𝑥_𝑎 + 20 ∙ (25 + 𝑥_𝑎)

5 + 20 40 =25𝑥_𝑎+ 500

25 25𝑥_𝑎 = 1000 − 500

𝑥_𝑎 = 20

2. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun 2012 2013 2014 2015 Produk A 1200 2400 2400 3600

Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ....

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun 2012 2013 2014 2015

Produk A 1200 60% 2400 80% 2400 40% 3600 90%

Produk B a 40% b 20% c 60% d 10%

𝑎 =^40%

60%× 1200 = 800 𝑏 =^20%

80%× 2400 = 600 𝑐 = ^60%

40%× 2400 = 3600 𝑑 = ^10%

90%× 3600 = 400 Rata-rata = 800+600+3600+400

4 = 1350

3. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing- masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ....

Menurut informasi pada soal bahwa Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing- masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13, maka banyak masing-masing kartu ada 26 dan total semua kartu sebanyak 104 Banyak kartu berwarna merah ada 26, maka peluang terambil kartu berwarna merah = ²⁶

104

Banyak kartu bernomor 13 ada 8 – 2 = 6, maka peluang terambil kartu bernomor 13 = ⁶

104

Dengan demikian, peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13

26 104+ 6

104= 8 26

Jadi, Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ⁸

26

4. Pada suatu pameran seni di sekolah, akan dipajang 8 lukisan istimewa terdiri dari 3 lukisan cat air dan 5 lukisan cat minyak. Semua lukisan tersebut saling berbeda. Untuk alasan artistic, maka setiap lukisan cat air akan diletakkan di antara dua lukisan cat minyak. Banyak kemungkinan susunan duduk para guru dan tamu tersebut adalah….

Koreksi: mungkin pernyataan “susunan duduk para guru dan tamu”

maksudnya adalah “susunan lukisan “.

Banyak cara meletakkan 3 lukisan di antara 4 ruang antara 5 lukisan cat minyak adalah 𝐶₃⁴ = 4 𝑐𝑎𝑟𝑎.

Banyak cara mengatur posisi 3 lukisan cat air adalah 3! = 6 cara

Banyak cara mengatur posisi 5 lukisan cat minyak adalah 5! = 120 cara.

Banyak kemungkinan mengatur lukisan dimana lukisan cat air selalu berada di antara 2 cat minyak adalah 4 x 6 x 120 = 2880 cara.

LATIHAN SOAL

1. Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80. Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78. Jika nilai A tiga kali nilai B, maka selisih antara nilai A dan B adalah ....

2. Terdapat empat kotak yang dinomori 1 sampai 4. Setiap kotak dapat diisi maksimum 5 koin dengan syarat kotak yang bernomor lebih besar tidak boleh berisi koin lebih banyak dari kotak yang bernomor lebih kecil. Jika tidak boleh ada kotak yang kosong, banyak cara pengisian koin yang mungkin ke dalam keempat kotak tersebut adalah ….

3. Dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus, kemudian dicatat sisi yang muncul. Jika diasumsikan munculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya setiap mata uang seimbang, maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah ….

4. Data 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 𝑑𝑎𝑛 𝑥₄. Jika jangkauan data tersebut adalah 16, 𝑥₁ = ¹

6𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛, 𝑥₂ = ¹

2𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛, 𝑑𝑎𝑛 𝑥₃ = 𝑥₄, maka rata-rata data tersebut adalah

7.1 Bangun Datar a. Segitiga

Segitiga adalah bidang datar yang dibentuk oleh tiga buah garis lurus yang bertemu pada tiga titik sudut serta tidak ada garis yang sejajar.

Segitiga Lancip Segitiga Tumpul Segitia Siku-siku Diberikan sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, dan C.

• Garis tinggi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan tegak lurus terhadap sisi di hadapan titik sudut tersebut.

• Garis bagi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sudut sama besar.

• Garis bagi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sisi di hadapan titik sudut sama panjang.

Jika ABC sebuah segitiga yang panjang alas a dan tinggi t, maka luas daerah segitiga dapat dinyatakan dengan:

𝐿 =1 2 𝑎 ∙ 𝑡

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi a , b dan c, maka keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 𝐾 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi 𝑎 , 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐, maka keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah:

𝐿 = √𝑆(𝑆 − 𝑎)(𝑆 − 𝑏)(𝑆 − 𝑐) 𝑆 = 1

2𝐾 S = Panjang setengah keliling

BAB 7

Contoh :

Suatu segitiga sama sisi memiliki panjang alas 20 cm dan tinggi 10 cm. Hitunglah keliling dan luas segitiga tersebut!

Karena segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi, sehingga ketiga sisinya sama panjang.

𝑎 = 20 𝑐𝑚 𝑡 = 10 𝑐𝑚

rumus keliling segitiga = 𝑠 + 𝑠 + 𝑠

= 20 + 20 + 20

= 60 𝑐𝑚

rumus luas segitiga= ½ 𝑎 × 𝑡

= ½ 20 × 10

= 100 𝑐𝑚² b. Persegi Panjang

Untuk semua persegipanjang berlaku:

• Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Pada persegipanjang ABCD, sisi AB dan CD sejajar dan sama panjang.

Demikian juga sisi AD dan BC sejajar dan sama panjang.

• Semua sudutnya sama besar dan besar setiap sudutnya 90⁰. Pada persegipanjang ABCD,sudut A,B,C,D = 90⁰.

• Memiliki dua diagonal yang sama panjang. Pada persegipanjang ABCD, AC = BD

Misalkan ABCD sebuah persegipanjang dengan AB adalah panjang (p) dan BC adalah lebar (l). Luas (L) dan Keliling

(K) persegipanjang dinyatakan dengan:

𝐿 = 𝑝 𝑥 𝑙

𝐾 = 2(𝑝 + 𝑙) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐾 = 2𝑝 + 2𝑙 Contoh :

Sebuah Persegi Panjang memiliki panjang 8 cm dan lebar 5, maka luas dan keliling Persegi Panjang tersebut adalah

Diketahui :

p = 8 cm, menyatakan panjangnya.

l = 5 cm, menyatakan lebarnya.

𝐿 = 8 × 5 = 40𝑐𝑚²

𝐾 = 2(𝑝 + 𝑙) = 2(8 + 5) = 26

Persegipanjang besar berukuran 9 𝑐𝑚 × 5 𝑐𝑚. Daerah yang diarsir adalah satu-satunya bangun di dalam persegipanjang yang bukan persegi. Berapakah luas daerah yang diarsir.

Jawab :

Diketahui ukuran persegipanjang besar:

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 9 𝑐𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 = 5 𝑐𝑚

Karena hanya daerah arsiran yang bukan merupakan persegi, berarti bidang datar lainnya merupakan persegi (bidang yang berwarna).

Misal:

Persegi A bidang berwarna merah: panjang sisi persegi A = 5 cm Persegi B bidang berwarna kuning: panjang sisi persegi B = 4 cm Persegi C bidang berwarna biru: panjang sisi persegi C = 1 cm

Panjang persegipanjang = panjang sisi persegi B – panjang sisi persegi C= 4 – 1 = 3

Lebar persegi panjang = panjang sisi persegi A – panjang sisi persegi B= 5 – 4 = 1

Sehingga, luas persegipanjang arsiran = 3 × 1 = 3 𝑐𝑚².