Statistika

BAB 6 KOMBINATORIKA, PELUANG, DAN STATISTIK

6.3 Statistika

𝑥 =𝑥₁+ 𝑥₂ + 𝑥₃+ ⋯ + 𝑥_𝑛 Contoh : 𝑛

Diberikan nilai data tinggi badan dari 8 siswa SMP Tunasbangsa yaitu 155, 150, 152, 152, 157, 161, 154, 156. Hitunglah rata-rata tinggi mereka

Jawab:

𝑥 =155 + 150 + 152 + 152 + 157 + 161 + 154 + 156

= 154,625 8 Data kelompok

x̄ = rataan hitung dari data kelompok fi = frekuensi kelas ke-i

xi = nilai tengah kelas ke-

Contoh :

Hitunglah mean dari data kelompok berikut ini! Berikut merupakan tabel Tinggi Badan Siswa Kelas VI SD N Suka Bersama:

Tinggi Badan Titik

tengah Frekuensi Xi.Fi

156-160 158 5 790

161-165 163 10 1630

166-170 168 5 840

171-175 173 10 1730

Jumlah 30 4990

Jadi, mean dari data kelompok diatas adalah 166,33 cm b. Median ( Nilai tengah)

Median = 𝑑𝑎𝑡𝑎𝑘𝑒 (^𝑛+1

2 ) untuk banyaknya data ganjil Median = ^{𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒(}

𝑛

2)+𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑘𝑒(^𝑛₂+1)

2 untuk data genap

untuk menentukan median, kamu harus mengurutkan data terlebih dahulu

Contoh :

Misalkan ada bilangan 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70 (banyak data ganjil), maka nilai tengahnya adalah 40.

Andaikan banyak data genap misal 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85. Oleh karena tidak ada data yang berada tepat di tengah, maka kita tentukan dengan menjumlah data keempat dan kelima kemudian dibagi dua, yaitu:

45 + 55 2 = 50

Jadi, nilai tengah dari data 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85 adalah 50

agar dapat mencari nilai median dari suatu data kelompok diperlukan sebuah rumus sebagai berikut

Tb = tepi bawah kelas median n = jumlah seluruh frekuensi

fk = jumlah frekuensi sebelum kelas median fi = frekuensi kelas median

p = panjang kelas interval Contoh :

Interval Frekuensi

100-110 12

120-130 18

140-150 10

Jumlah 40

Jadi median dari data interval diatas adalah 123,9 cm.

c. Modus

Modus adalah banyaknya data yang sering muncul atau Modus menunjukkan nilai dalam sebaran data yang paling sering muncul.

Contoh

Diketahui data nilai ulangan matematika yaitu 7, 5, 8, 8, 6, 7, 8, 5, 9, 9, 6, 8, 7,7, 9, 6, 9, 5, 8, 6, 7, 8, 10. Tentukan modus dari dari tersebut.

5 → ada 2 8 → ada 6

6 → ada 4 9 → ada 4

7 → ada 5 10 → ada 1

Oleh karena nilai 8 yang paling banyak, maka modusnya adalah 8.

Data kelompok

Tb = tepi bawah kelas modus

𝑑₁= selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelum kelas modus

𝑑₂ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi setelah kelas modus

p = panjang kelas interval Contoh :

Carilah modus dari data interval di bawah ini. Berikut ini adalah tabel hasil panen jagung di Desa Mangunsuman:

Nilai Frekuensi

30-34 3

35-39 5

40-44 10

45-49 11

50-54 8

d. Quartil

Letak 𝑄₁ = ^𝑛+1

4

Letak 𝑄₂ = ²

4(𝑛 + 1) Letak 𝑄₃ =³

4(𝑛 + 1)

Dengan n adalah banyaknya data Data haruslah diurutkan terlebih dahulu

i = 1 untuk kuartil bawah i = 2 untuk kuartil tengah i = 3 untuk kuartil atas Tb = tepi bawah kelas kuartil n = jumlah seluruh frekuensi

𝑓_𝑘= jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil 𝑓_𝑖= frekuensi kelas kuartil

p = panjang kelas interval

Contoh :

Kuartil atas dari data pada tabel adalah … Jumlah data = 4 + 6 + 8 + 10 + 8 + 4 = 40

Kuartil atas atau Q3: terletak pada ¾ bagian data. Sehingga, letak kuartil atas berada di data ke-30. Caranya adalah seperti berikut.

Letak Q3 berada pada data ke – ¾ × 40 = 30

Perhatikan tabel yang sudah dilengkapi dengan frekuensi komulatif kurang dari (fk) dan letak kuartil atas.

Sehingga, nilai kuartil atasnya adalah:

𝑄₃ = 69,5 + ( 3

4 . 40 − 28 8 ) × 5

𝑄₃ = 69,5 + (30 − 28 8 ) × 5 𝑄₃ = 69,5 + (2

8) × 5 𝑄₃= 69,5 + 1,25 = 70,75

e. Jangkauan

Jangkauan = data terbesar – data terkecil Contoh :

Diberikan nilai data tinggi badan dari 8 siswa SMP Tunasbangsa yaitu 155, 150, 152, 152, 157, 161, 154, 156. Hitunglah Jangkauan dari data tersebut

Jangkauan : 161-150=11

Jangkauan data kelompok = 𝑄₃− 𝑄₁

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Rata-rata dari 25 siswa adalah 40. Jika selisih rata-rata nilai 5 siswa terendah dan 20 siswa sisanya adalah 25, maka rata-rata nilai 5 siswa terendah adalah …

Misal:

𝑥_𝑎 = Rata-rata nilai 5 siswa terendah 𝑛_𝑎 = Banyaknya siswa pada 𝑥_𝑎 𝑛_𝑏 = Banyaknya siswa pada 𝑥_𝑏 𝑥_𝑏 = Rata-rata nilai 20 siswa lainnya Diketahui :

𝑛 = 25

𝑥_{𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛} = 40 𝑛_𝑎 = 5 𝑑𝑎𝑛 𝑛_𝑏= 20

𝑥_𝑏− 𝑥_𝑎 = 25 → 𝑥_𝑏 = 25 + 𝑥_𝑎

𝑥_{𝑔𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛} =𝑛_𝑎 ∙ 𝑥_𝑎+ 𝑛_𝑏∙ 𝑥_𝑏 𝑛_𝑎+ 𝑛_𝑏 40 = 5 ∙ 𝑥_𝑎 + 20 ∙ (25 + 𝑥_𝑎)

5 + 20 40 =25𝑥_𝑎+ 500

25 25𝑥_𝑎 = 1000 − 500

𝑥_𝑎 = 20

2. Suatu perusahaan menjual dua jenis produk A dan B. Rasio hasil penjualan produk A dan B dari tahun 2012 sampai dengan 2015 disajikan pada gambar berikut

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun 2012 2013 2014 2015 Produk A 1200 2400 2400 3600

Rata-rata banyak penjualan produk B dalam 4 tahun yang sama adalah ....

Diketahui banyak penjualan produk A selama 4 tahun adalah sebagai berikut.

Tahun 2012 2013 2014 2015

Produk A 1200 60% 2400 80% 2400 40% 3600 90%

Produk B a 40% b 20% c 60% d 10%

𝑎 =^40%

60%× 1200 = 800 𝑏 =^20%

80%× 2400 = 600 𝑐 = ^60%

40%× 2400 = 3600 𝑑 = ^10%

90%× 3600 = 400 Rata-rata = 800+600+3600+400

4 = 1350

3. Di atas meja terdapat dua set kartu. Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing- masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13. Satu kartu akan diambil secara acak dari dua set kartu tersebut. Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ....

Menurut informasi pada soal bahwa Setiap set kartu terdiri atas 52 lembar dengan empat warna berbeda (merah, kuning, hijau, dan biru). Masing- masing warna terdiri atas 13 kartu bernomor 1 sampai dengan 13, maka banyak masing-masing kartu ada 26 dan total semua kartu sebanyak 104 Banyak kartu berwarna merah ada 26, maka peluang terambil kartu berwarna merah = ²⁶

104

Banyak kartu bernomor 13 ada 8 – 2 = 6, maka peluang terambil kartu bernomor 13 = ⁶

104

Dengan demikian, peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13

26 104+ 6

104= 8 26

Jadi, Peluang terambil kartu berwarna merah atau bernomor 13 adalah ⁸

26

4. Pada suatu pameran seni di sekolah, akan dipajang 8 lukisan istimewa terdiri dari 3 lukisan cat air dan 5 lukisan cat minyak. Semua lukisan tersebut saling berbeda. Untuk alasan artistic, maka setiap lukisan cat air akan diletakkan di antara dua lukisan cat minyak. Banyak kemungkinan susunan duduk para guru dan tamu tersebut adalah….

Koreksi: mungkin pernyataan “susunan duduk para guru dan tamu”

maksudnya adalah “susunan lukisan “.

Banyak cara meletakkan 3 lukisan di antara 4 ruang antara 5 lukisan cat minyak adalah 𝐶₃⁴ = 4 𝑐𝑎𝑟𝑎.

Banyak cara mengatur posisi 3 lukisan cat air adalah 3! = 6 cara

Banyak cara mengatur posisi 5 lukisan cat minyak adalah 5! = 120 cara.

Banyak kemungkinan mengatur lukisan dimana lukisan cat air selalu berada di antara 2 cat minyak adalah 4 x 6 x 120 = 2880 cara.

LATIHAN SOAL

1. Rata-rata nilai dari 28 siswa adalah 80. Setelah ditambah nilai siswa A dan B, rata-ratanya menjadi 78. Jika nilai A tiga kali nilai B, maka selisih antara nilai A dan B adalah ....

2. Terdapat empat kotak yang dinomori 1 sampai 4. Setiap kotak dapat diisi maksimum 5 koin dengan syarat kotak yang bernomor lebih besar tidak boleh berisi koin lebih banyak dari kotak yang bernomor lebih kecil. Jika tidak boleh ada kotak yang kosong, banyak cara pengisian koin yang mungkin ke dalam keempat kotak tersebut adalah ….

3. Dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus, kemudian dicatat sisi yang muncul. Jika diasumsikan munculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya setiap mata uang seimbang, maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah ….

4. Data 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan 𝑥₁, 𝑥₂, 𝑥₃, 𝑑𝑎𝑛 𝑥₄. Jika jangkauan data tersebut adalah 16, 𝑥₁ = ¹

6𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛, 𝑥₂ = ¹

2𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛, 𝑑𝑎𝑛 𝑥₃ = 𝑥₄, maka rata-rata data tersebut adalah

7.1 Bangun Datar a. Segitiga

Segitiga adalah bidang datar yang dibentuk oleh tiga buah garis lurus yang bertemu pada tiga titik sudut serta tidak ada garis yang sejajar.

Segitiga Lancip Segitiga Tumpul Segitia Siku-siku Diberikan sebuah segitiga dengan titik sudut A, B, dan C.

• Garis tinggi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan tegak lurus terhadap sisi di hadapan titik sudut tersebut.

• Garis bagi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sudut sama besar.

• Garis bagi adalah garis yang melalui salah satu titik sudut A, B, dan C dan membagi dua sisi di hadapan titik sudut sama panjang.

Jika ABC sebuah segitiga yang panjang alas a dan tinggi t, maka luas daerah segitiga dapat dinyatakan dengan:

𝐿 =1 2 𝑎 ∙ 𝑡

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi a , b dan c, maka keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah 𝐾 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐.

Jika ∆𝐴𝐵𝐶 memiliki panjang sisi 𝑎 , 𝑏 𝑑𝑎𝑛 𝑐, maka keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 adalah:

𝐿 = √𝑆(𝑆 − 𝑎)(𝑆 − 𝑏)(𝑆 − 𝑐) 𝑆 = 1

2𝐾 S = Panjang setengah keliling

BAB 7

Contoh :

Suatu segitiga sama sisi memiliki panjang alas 20 cm dan tinggi 10 cm. Hitunglah keliling dan luas segitiga tersebut!

Karena segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi, sehingga ketiga sisinya sama panjang.

𝑎 = 20 𝑐𝑚 𝑡 = 10 𝑐𝑚

rumus keliling segitiga = 𝑠 + 𝑠 + 𝑠

= 20 + 20 + 20

= 60 𝑐𝑚

rumus luas segitiga= ½ 𝑎 × 𝑡

= ½ 20 × 10

= 100 𝑐𝑚² b. Persegi Panjang

Untuk semua persegipanjang berlaku:

• Sisi-sisi yang berhadapan sejajar dan sama panjang. Pada persegipanjang ABCD, sisi AB dan CD sejajar dan sama panjang.

Demikian juga sisi AD dan BC sejajar dan sama panjang.

• Semua sudutnya sama besar dan besar setiap sudutnya 90⁰. Pada persegipanjang ABCD,sudut A,B,C,D = 90⁰.

• Memiliki dua diagonal yang sama panjang. Pada persegipanjang ABCD, AC = BD

Misalkan ABCD sebuah persegipanjang dengan AB adalah panjang (p) dan BC adalah lebar (l). Luas (L) dan Keliling

(K) persegipanjang dinyatakan dengan:

𝐿 = 𝑝 𝑥 𝑙

𝐾 = 2(𝑝 + 𝑙) 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐾 = 2𝑝 + 2𝑙 Contoh :

Sebuah Persegi Panjang memiliki panjang 8 cm dan lebar 5, maka luas dan keliling Persegi Panjang tersebut adalah

Diketahui :

p = 8 cm, menyatakan panjangnya.

l = 5 cm, menyatakan lebarnya.

𝐿 = 8 × 5 = 40𝑐𝑚²

𝐾 = 2(𝑝 + 𝑙) = 2(8 + 5) = 26

Persegipanjang besar berukuran 9 𝑐𝑚 × 5 𝑐𝑚. Daerah yang diarsir adalah satu-satunya bangun di dalam persegipanjang yang bukan persegi. Berapakah luas daerah yang diarsir.

Jawab :

Diketahui ukuran persegipanjang besar:

𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 = 9 𝑐𝑚 𝑑𝑎𝑛 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 = 5 𝑐𝑚

Karena hanya daerah arsiran yang bukan merupakan persegi, berarti bidang datar lainnya merupakan persegi (bidang yang berwarna).

Misal:

Persegi A bidang berwarna merah: panjang sisi persegi A = 5 cm Persegi B bidang berwarna kuning: panjang sisi persegi B = 4 cm Persegi C bidang berwarna biru: panjang sisi persegi C = 1 cm

Panjang persegipanjang = panjang sisi persegi B – panjang sisi persegi C= 4 – 1 = 3

Lebar persegi panjang = panjang sisi persegi A – panjang sisi persegi B= 5 – 4 = 1

Sehingga, luas persegipanjang arsiran = 3 × 1 = 3 𝑐𝑚².

c. Persegi

Misalkan ABCD sebuah persegi dengan panjang sisinya s. Luas (L) dan Keliling (K) persegi dinyatakan dengan:

𝐿 = 𝑠 𝑥 𝑠 = 𝑠² 𝐾 = 4𝑠 Untuk semua persegi berlaku:

• Mempunyai empat sisi yang sama panjang. Pada persegi ABCD, panjang sisi AB sejajar dengan CD, sisi BC sejajar dengan AD.

• Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang. Pada persegi ABCD, sisi AB dan CD sejajar dan sama panjang.

Demikian juga sisi AD dan BC sejajar dan sama panjang.

• Mempunyai empat sudut siku-siku. Pada persegi ABCD, Sudut A,B,C,D = 90⁰Karena terdapat empat sudut dan tiap sudut besarnya 90⁰ maka jumlah keempat sudut dalam persegi adalah 360⁰.

• Memiliki dua diagonal yang sama panjang. Pada persegi ABCD, AC = BD.

Contoh :

Reni mempunyai satu lembar karton bermotif berbentuk persegi dengan panjang sisinya 25 cm. Reni akan membuat mainan yang berbentuk seperti pada gambar di bawah. Berapakah luas karton yang tidak terpakai?

Jawab :

Perhatikan gambar berikut

Perhatikan persegipanjang ABFB dan EFCD, EB merupakan diagonal persegipanjang ABFB yang mengakibatkan daerah arsiran ABE samadengan setengah dari persegipanjang ABFB. Kemudian, EC merupakan diagonal persegipanjang EFCD yang mengakibatkan daerah arsiran EDC samadengan setengah dari persegipanjang EFCD.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa luas arsiran keseluruhan samadengan setengah dari persegi ABCD, arti lainnya bahwa luas daerah karton yang terpakai samadengan luas karton yang tidak terpakai Sehingga:

𝐿. 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 =1

2𝑃𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝐿. 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 =1

225² 𝐿. 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 312,5 𝑐𝑚²

d. Trapezium

Sifat-sifat pada trapezium:

• Trapezium memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

• Jumlah sudut-sudut berdekatan pada garis sejajar suatu trapezium adalah 180⁰.

Trapezium samakaki memiliki sifat berikut.

• Memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

• Memiliki dua diagonal bidang yang sama Panjang

• Sudut-sudut alasnya sama besar. Trapezium samakaki memiliki sifat berikut.

• Memiliki tepat satu pasang sisi sejajar.

• Memiliki dua sudut siku-siku

Sebuah trapesium ABCD samakaki, dengan panjang alas b, sisi atas a, dan tingginya t, luas dan kelilingnya adalah :

𝐿 = (𝑎 + 𝑏)𝑥 𝑡 𝐾 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 2 Contoh :

Sebuah trapesium memiliki sisi sejajar masing-masing 12 cm dan 14 cm serta memiliki tinggi 10 cm. Hitunglah Luas trapesium tersebut ?

𝐿 = (12 + 14)𝑥 10 2 𝐿 =(16)𝑥 10

𝐿 = 80 2 Contoh 2 :

Pada trapesium ABCD di atas, diketahui AB=22 cm, CD=10 cm, DE

= 8 cm. Hitunglah : a. Keliling ABCD b. Luas ABCD

Dari gambar tersebut, dapat dicari :

𝐴𝐷² = 𝐷𝐸²+ 𝐴𝐸² 𝐴𝐷 = √8²+ 6²

𝐴𝐷 = √100 𝐴𝐷 = 10

𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐶𝐷 + 𝐴𝐷 𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 22 + 10 + 10 + 10

𝐾𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 52 𝑐𝑚 𝐿 = (22 + 10)𝑥 8

2 𝐿 =(32)𝑥 8

2 𝐿 = 128𝑐𝑚²

e. Jajar Genjang

Ciri-ciri jajargenjang antara lain:

• Memiliki dua pasang sisi sejajar.

• Jumlah sudut yang berhadapan adalah 180⁰.

• Memiliki dua pasang sudut yang sama besar.

Misalkan ABCD adalah jajargenjang dengan panjang alas a, tinggi t, dan l adalah panjang sisi yang lain, maka:

𝐿 = 𝑎 𝑥 𝑡 𝐾 = 2𝑎 + 2𝑙

Contoh :

Diketahui jajargenjang ABCD. Titik P dan Q terletak pada AC sehingga DP dan BQ tegak lurus AC. Jika panjang AD = 13 cm, AC

= 25 cm dan luas jajargenjang tersebut adalah 125 cm2. Maka panjang BQ adalah ... cm

Diketahui:

AD = BC = 13 cm AC = 25 cm

Luas jajargenjang = 125 𝑐𝑚² Perhatikan segitiga ACD:

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝐴𝐶𝐷 =1

2𝐿𝑗𝑎𝑗𝑎𝑟 𝑔𝑒𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 1

2 𝐴𝐶. 𝐷𝑃 =1 2 125 1

2 25. 𝐷𝑃 =1 2 125 𝐷𝑃 = 5

∆𝐴𝑃𝐷 merupakan segitiga siku-siku (siku-siku di P):

𝐵𝐸 = √𝐴𝐷²− 𝐷𝑃² 𝐵𝐸 = √13² − 5² 𝐵𝐸 = √169 − 25

𝐵𝐸 = √144 𝐵𝐸 = 12 Sehingga:

𝑃𝑄 = 𝐴𝐶 – (𝐴𝑃 + 𝐶𝑄)

= 25 – (12 + 12)

= 25 – 24 = 1

Jadi, panjang PQ adalah 1 cm.

f. Belah ketupat

Sifat-sifat belahketupat:

• Memiliki dua pasang sisi sejajar dan sama panjang.

• Semua sisi belahketupat adalah sama panjang.

• Memiliki dua diagonal yang saling tegak lurus.

• Dua pasang sudut yang berhadapan sama besar

Sebuah belahketupat dengan panjang sisinya a, maka luas dan keliling belahketupat adalah:

𝐿 = 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂ 𝐾 = 4𝑠 2

𝑑₁ = panjang diagonal pertama 𝑑₂ = panjangn diagonal kedua Contoh 1:

Tentukanlah keliling belah ketupat yang memiliki panjang sisi sebesar 10 cm

𝐾 = 4 𝑥 𝑠 𝐾 = 4 𝑥 10 𝐾 = 40 𝑐𝑚 Contoh 2

Diketahui panjang diagonal-diagonal sebuah belah ketupat berturut- turut 12 dan 9 cm. Tentukan luas belah ketupat tersebut ?

𝐿 = 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂ 2 𝐿 =12 𝑥 9

2 𝐿 = 54𝑐𝑚²

g. Layang-layang

Sebuah layang-layang dengan panjang sisi s1 dan s2 , maka luas dan keliling belahketupat adalah:

𝐿 = 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂

𝐾 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑠𝑖𝑠𝑖 2 Contoh :

Perhatikan gambar layang ABCD di bawah ini.

Jika panjang AC = 24 cm, panjang BC = 20 cm dan luas ABCD = 300 𝑐𝑚², maka tentukanlah panjang AD dan keliling layang-layang ABCD.

Penyelesaian:

Untuk mencari panjang AD terlebih dahulu cari panjang BD dengan menggunkan rumus luas layang-layang yaitu:

𝐿 =1

2 𝑥 𝑑₁ 𝑥 𝑑₂ 𝐿 =1

2 𝑥 𝐵𝐷 𝑥 𝐴𝐶

300 𝑐𝑚² =1

2 𝑥 𝐵𝐷 𝑥 24 𝑐𝑚 𝐵𝐷 =300 𝑐𝑚²

12 𝑐𝑚 𝐵𝐷 = 25 𝑐𝑚

Sekarang cari panjang BO dengan rumus teorema Pythagoras yaitu:

𝐵𝑂 = √𝐵𝐶² − 𝐶𝑂² 𝐵𝑂 = √20² − 12² 𝐵𝑂 = √400 − 144

𝐵𝑂 = √256 𝐵𝑂 = 16 𝑐𝑚 Sekarang cari panjang DO yaitu:

𝐷𝑂 = 𝐵𝐷 – 𝐵𝑂 𝐷𝑂 = 25 𝑐𝑚 – 16 𝑐𝑚

𝐷𝑂 = 9 𝑐𝑚

Dengan menggunkan rumus Phytagoras maka panjang AD dapat dicari yaitu:

𝐴𝐷 = √𝐴𝑂² + 𝐷𝑂² 𝐴𝐷 = √12² + 9² 𝐴𝐷 = √144 + 81

𝐴𝐷 = √225 𝐴𝐷 = 15 𝑐𝑚

Keliling bangun layang-layang ABCD dapat dicari dengan menjumlahkan seluruh sisi layang-layang tersebut.

𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2 (𝐴𝐷 + 𝐵𝐶)

𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2 (15 𝑐𝑚 + 20 𝑐𝑚) 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 2 (35 𝑐𝑚)

𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 = 70 𝑐𝑚

7.2 Bangun Ruang a. Kubus

Kubus ABCD.EFGH dibatasi oleh bidang ABCD, ABFE, BCGF, CDHG, ADHE, dan EFGH. Bidang-bidang tersebut disebut sisi-sisi kubus ABCD.EFGH. Selanjutnya, AB , BC , CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH disebut rusuk-rusuk kubus.

1. Titik sudut 8 buah

2. Sisi berjumlah 6 buah (luasnya beda-beda) 3. Rusuk berjumlah 12 buah

4. Diagonal bidang berjumlah 12 buah 5. Diagonal ruang berjumlah 4 buah.

6. Bidang diagonal berjumlah 6 buah Rumus-rumus Kubus

Volume = 𝑠 𝑥 𝑠 𝑥 𝑠 = 𝑠³

Luas Permukaan = 6 𝑠 𝑥 𝑠 = 6 𝑠² Panjang Diagonal Bidang = 𝑠√2 Panjang Diagonal Ruang = 𝑠√3 Luas Bidang Diagonal = 𝑠²√2 Contoh :

Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 1 satuan, maka jarak titik E ke bidang datar AFH adalah ... satuan

Panjang rusuh kubus ABCD.EFGH = 1 satuan AE= 1 satuan

𝐴𝐹 = 𝐹𝐻 = 𝐸𝐺 = √2 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛 𝐹𝑆 = 𝐸𝑆 =1

2𝐹𝐻 =1 2√2 Perhatikan AFS

𝐴𝑆 =√𝐴𝐹²− 𝐹𝑆²

= √(√2)² − (^√2

2)

2

= √2 −¹

2

= √³

2

= ^√6

Perhatikan segitiga ASE 2

𝐿. ∆𝐴𝑆𝐸 = 𝐿. ∆𝐴𝐸𝑆 1

2× 𝐴𝑆 × 𝑇𝐸 =1

2× 𝐴𝐸 × 𝑆𝐸 1

2×1

2√6 × 𝑇𝐸 =1

2× 1 ×1 2√2 𝑇𝐸 = √2

√6= 1

3√3 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛

b. Balok

1. Titik sudut 8 buah

2. Sisi berjumlah 6 buah (luasnya beda-beda) 3. Rusuk berjumlah 12 buah

4. Diagonal bidang berjumlah 12 buah 5. Diagonal ruang berjumlah 4 buah.

6. Bidang diagonal berjumlah 6 buah Rumus Balok

Rumus-rumus Balok

Volume = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑥 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 = 𝑝 𝑥 𝑙 𝑥 Luas Permukaan = 2 (𝑝𝑙 + 𝑝𝑡 + 𝑙𝑡)

Panjang Diagonal Bidang = 𝑃𝑅 = √𝑝²+ 𝑙² , 𝑃𝑈 = √𝑝²+ 𝑡² , 𝑄𝑉 =

√𝑙²+ 𝑡²

Panjang Diagonal Ruang = √𝑝²+ 𝑙²+ 𝑡² Keterangan:

p = panjang l = lebar t = tingi Contoh :

Volume pada balok yang memiliki panjang 12 cm, lebar 7 cm dan tinggi 5 sm adalah…

Pembahasan:

Diketahui:

𝑝 = 12 𝑐𝑚 𝑙 = 7 𝑐𝑚 𝑡 = 5𝑐𝑚

𝑉 = 𝑝. 𝑙. 𝑡

𝑉 = 12 × 7 × 5 = 420 𝑐𝑚³

c. Limas

Sebuah limas terdiri dari sisi alas, sisi tegak, rusuk, titik puncak, dan tinggi. Jumlah sisi tegak akan sama dengan jumlah sisi alas. Jika alasnya segitiga maka jumlah sisi tegaknya adalah 3, jika alasnya berbentuk segilima maka jumlah sisi tegaknya adalah 5. Jumlah rusuknyapun mengikuti bentuk alas. Jika alasnya segitiga maka jumlah rusuknya 6, jika alasnya segiempat maka jumlah rusuknya 8, pokoknya 2 kalinya.

Sebuah limas pasti akan memiliki puncak dan tinggi. Tinggi limas adalah jarak terpendek dari puncak limas ke sisi alas. Tinggi limas selalu teka lurus dengan titik potong sumbu simetri bidang alas.

Rumus rumus Limas Volume Limas = ¹

3 Luas Alas x Tinggi

Luas Permukaan = Jumlah Luas Alas + Jumlah Luas sisi tegak Contoh:

Terdapat sebuah limas dengan alas berbentuk persegi yang berukuran 9 cm. Jika tinggi limas adalah 15 cm, berapakah volume dari limas tersebut?

Solusi:

𝑉 =1

3 𝑥 𝑠 𝑥 𝑠 𝑥 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑉 =1

3 𝑥 9 𝑥 9 𝑥 15

𝑉 = 405 𝑐𝑚³

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑙𝑖𝑚𝑎𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑏𝑢𝑡 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 405 𝑐𝑚³.

d. Prisma

Prisma segitiga

prisma segiempat

Rumus Prisma

Volume = Luas alas x Tinggi

Luas permukaan = (2 x Luas Alas) + (Keliling alas x tinggi) Contoh :

Diketahui sebuah prisma yang dibentuk oleh bidang-bidang sisi berupa: dua trapesium yang kongruen ABFE dan DCGH. Jika AB sejajar EF, panjang AE = panjang BF, panjang AB = 2 kali panjang EF, panjang AP = panjang PB = panjang DQ = panjang QC, AD Tegak lurus AB dan EH tegak lurus EF, maka perbandingan volume prisma APE.DQH dan prisma PBFE.QCGH adalah ....

Pembahasan:

Perhatikan ilustrasi gambar berikut.

Misalkan AP = PB = EF = a dan BC = FG = b Perhatikan prisma APE.DQH.

Volume prisma APE.DQH = Luas alas × tinggi

=¹

2(𝑎. 𝑡) × 𝑡

=¹

2𝑎𝑏𝑡 Perhatikan prisma PBFE.QCGH.

Volume prisma PBFE.QCGH = Luas alas × tinggi

=¹

2(𝑎. 𝑡) × 𝑡

=𝑎𝑏𝑡 Dengan demikian

Volume prisma APE. DQH Volume prisma PBFE. QCGH=

1 2 𝑎𝑏𝑡

𝑎𝑏𝑡 = 1 2

e. Tabung

Volume (V) V = π × r × r × t V = π × r² × t

Luas Permukaan (L) L = 2 × π × r × (r + t) Luas Selimut (Ls) Ls = 2 × π × r × t

7.3 Lingkaran

1) Pusat lingkaran (titik O) 2) Jari-jari lingkaran (OA = OB)

3) Diameter atau garis tengah lingkaran H 4) Ruas garis AB

5) Busur (garis lengkung EF, IH, dan CD) 6) Tali busur (ruas garis EF)

7) Apotema tali busur (garis OG tegak lurus tali busur EF)

8) Daerah Tembereng Daerah yang dibatas oleh busur EF dan tali busur EF (warna kuning)

9) Daerah Juring (daerah yang dibatasi dua jari-jari/daerah abu-abu)

𝐿 = 𝜋𝑟²𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐿 =¹

4𝜋𝑑² 𝐾 = 2𝜋𝑟 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑘 = 𝜋𝑑 𝜋 = ²²

7 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝜋 = 3,14 𝑑 = 2𝑟

𝑟 = 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 =¹

2

Busur

Juring dan Tembereng

Hubungan antara Panjang Busur dan Juring a. Jika Sudut Pusatnya Sama

b. Jika Sudut Pusatnya Berbeda

c. Sudut Pusat dan Sudut Keliling

a) Sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama

b) Sudut keliling yang menghadap diamerter lingkaran

c) Segi empat tali busur (Segi empat sudut keliling)

d) Sudut antara dua tali busur berpotongan di dalam lingkaran

e) Sudut antara dua tali busur berpotongan di luar lingkaran

SOAL DAN PEMBAHASAN

1. ABCD adalah jajargenjang. E adalah titik tengah AB. Ruas garis DE memotong AC di titik P. perbandingan luas jajargenjang ABCD dengan luas segitiga AEP adalah . . . .

∠ PAE = ∠ PCD…………...dalam bersebrangan

∠ APE = ∠ CPD………..bertolak belakang

∠ AEP = ∠ PDC…………...dalam bersebrangan.

Sehingga Δ APE sebangun dengan Δ CDP.

AE = EB

Missal AE = a, maka CD = 2a

Jika dua segitiga sebangun, maka Perbandingan luas segitiga sama dengan perbandingan kuadrat

sisi-sisi yang bersesuaian.

Maka didapatkan :

𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆ 𝐴𝑃𝐸

𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐶𝐷𝑃 = 𝑎² (2𝑎)² = 1

4 1

4= 1 2 𝑎𝑡¹ 1 2 2𝑎𝑡² 1

4= 𝑎𝑡₁ 2𝑎𝑡₂ 𝑡₁ = 1, 𝑡₂ = 2 Jadi tinggi jajargenjang t = 3

𝐿 𝐴𝐵𝐶𝐷

𝐿 ∆ 𝐴𝐸𝑃= 𝑎. 𝑡 1 2 . 𝑎. 𝑡

= 𝑎 ∙ 3 1 2 𝑎

= 6 1

2. Dalam segitiga sama sisi ABC titik D, E, dan F pada sisi BC, CA, dan AB sehingga ∠ AFE = ∠ BFD; ∠ BDF = ∠ CDE; dan ∠ CED = ∠ AEF. Jika sisi segitiga ABC adalah 8 cm, maka luas segitiga DEF adalah . . . .

Karena ∠ AFE = ∠ BFD; ∠ BDF = ∠ CDE; dan ∠ CED = ∠ AEF, maka kemungkinannya adalah titik D, E dan F berada tepat di tengah sisi CB, AC dan AB. Jika panjang AB = 8 cm, dengan konsep kesebangunan didapatkan bahwa DE=EF=DF = 4 cm.

𝑠 =1

2(𝐷𝐸 + 𝐸𝐹 + 𝐹𝐷) 𝑠 =1

2× 12 = 6

𝐿∆𝐷𝐸𝐹 = √𝑠(𝑠 − 𝑎)(𝑠 − 𝑏)(𝑠 − 𝑐) 𝐿∆𝐷𝐸𝐹 = √6(6 − 4)(6 − 4)(6 − 4)

𝐿∆𝐷𝐸𝐹 = √6 × 8 𝐿∆𝐷𝐸𝐹 = √48 𝐿∆𝐷𝐸𝐹 = 4√3

3. Perhatikan gambar. Jika ∠ ABE + ∠ ACE + ∠ ADE = 96⁰, maka besar ∠ AOE adalah . .

∠ 𝐴𝐵𝐸 + ∠ 𝐴𝐶𝐸 + ∠ 𝐴𝐷𝐸 = 96⁰.

∠ 𝐴𝐵𝐸 = ∠ 𝐴𝐶𝐸 = ∠ 𝐴𝐷𝐸, 𝑚𝑒𝑛𝑔ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑠𝑎𝑚𝑎.

∠ 𝐴𝐵𝐸 = ⁹⁶

3 = 32⁰

∠ 𝐴𝑂𝐸 = 2 × 32⁰ = 64⁰ ..

4. Dikatehui ABCD adalah trapesium, AB sejajar CD, dan AB + CD = BC.

Jika panjang AD = 12, maka AB × CD adalah

Misalkan AB = a, DC = b Perhatikan ∆𝐵𝐶𝐸!

𝐵𝐸²+ 𝐶𝐸² = 𝐶𝐵² → (𝑎 − 𝑏)²+ 12² = (𝑎 + 𝑏)²

→ 𝑎²+ 𝑏²− 2𝑎𝑏 + 144 = 𝑎²+ 𝑏²+ 2𝑎𝑏

→ 𝑎𝑏 = 36 Jadi, AB × CD adalah 36

5. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan mempunyai diameter AB.

Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO = OE dan CD = DE untuk suatu titik C pada lingkaran. Jika jari-jari lingkaran adalah 1 cm, maka luas segitiga CDE = .... 𝑐𝑚²

Diketahui Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO = OE dan CD = DE

untuk suatu titik C pada lingkaran Misalkan CD = DE = x cm

Kemudian perhatikan ∆DOC dengan rumus pythagoras didapat, sebagai berikut:

𝐶𝐷²+ 𝐷𝑂² = 𝐶𝑂² →𝑥²+ (¹

2𝑥)² = 1²

→𝑥²+^𝑥2

4 = 1

→^5𝑥2

4 = 1

→𝑥² =⁴

5

𝐿𝑢𝑎𝑠 ∆𝐶𝐷𝐸 =¹

2∙ 𝐷𝐸 ∙ 𝐷𝐶

= ¹

2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥

= ¹

2𝑥

= ¹

2∙⁴

5

= ²

5

Jadi, Luas Segitiga CDE = ²

5 𝑐𝑚²

6. Jika gambar di bawah adalah segi delapan beraturan, maka perbandingan luas antara daerah yang diarsir dan luas segi delapan beraturan adalah

Jawab :

Segidelapan tersebut terdiri dari:

• 4 segitiga siku-siku sama kaki (yang sama persis)

• 4 persegipanjang (yang sama persis)

• 1 persegi. Misal:

Panjang sisi segi delapan adalah x

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 𝑦

Perhatikan segitiga siku-siku sama kaki pada gambar:

𝐴𝐶² + 𝐴𝐵² = 𝐵𝐶² 𝑦² + 𝑦² = 𝑥² 2𝑦² = 𝑥² 𝑦 =^√2

2 𝑥 Luas arsiran:

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑟𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛 = 2 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔

= 2.1

2𝑦²+ 𝑦𝑥

= 𝑦² + 𝑦𝑥

=𝑥² 2 +√2

2 𝑥²

=𝑥²(1 + √2) 2 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑎𝑛

= 4 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 + 4 × 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑠𝑒𝑔𝑖

= 41

2𝑦² + 4𝑦𝑥 + 𝑥²

= 2𝑦²+ 4𝑥𝑦 + 𝑥²

= 2𝑥²

2 + 4√2

2 𝑥² + 𝑥²

= 𝑥²+ 2√2𝑥²+ 𝑥²

= 2𝑥²+ 2√2𝑥²

= 2𝑥²(1 + √2) 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑘𝑠𝑖𝑟𝑎𝑛

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑑𝑒𝑙𝑎𝑝𝑎𝑛 =

𝑥²(1 + √2) 2

2𝑥²(1 + √2𝑥²)

= 1 2 2 =1

4

LATIHAN SOAL

1. Jika tiga buah persegi masing-masing panjang sisinya 6 cm, 10 cm, dan 8 cm disusun seperti gambar berikut ini,

maka luas daerah yang diarsir adalah …… 𝑐𝑚².

2. Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 10 cm. Jika dibuat lingkaran yang berpusat di titik tengah salah satu sisi segitiga dengan jari- jari 5 cm, maka luas daerah di dalam lingkaran dan di luar segitiga adalah ... 𝑐𝑚²

3. Dua buah lingkaran, sebut saja 𝐿₁ 𝑑𝑎𝑛 𝐿₂ memiliki pusat yang sama, yaitu di titik O. Jari-jari 𝐿₁ = 10 cm dan jari-jari 𝐿₂ = 5 cm. Titik A, B, C, D, E, F terletak pada 𝐿₁ sehingga 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸 = 𝐸𝐹 = 𝐹𝐴 . Titik P, Q, R terletak pada 𝐿₂ sehingga 𝑃𝑄 = 𝑄𝑅 = 𝑅𝑆 , 𝑃𝐴 = 𝑃𝐹 = 𝑄𝐵 = 𝑄𝐶 = 𝑅𝐷 = 𝑅𝐸 dan Tentukan luas daerah yang diarsir.

4. Diketahui segi delapan ABCDEFGH dengan oanjang sisinya 2 cm. Akan dipilih secara acak 3 titik sudutnya dan digunakan untuk membentuk suatu segitiga yangbakan dihitung luas daerahnya. Jika A adalah himpunan semua luas daerah segitiga yang mungkin dan jumlah semua anggota A adalah (𝑎 + 𝑏√2)𝑐𝑚², maka nilai dari 𝑎+𝑏 adalah….

5. Pada kilang minyak di daerah Duri, tersedia pompa-1 dan pompa-2.

Kedua pompa tersebut digu- nakan untuk mengisi tangki penampungan dengan volume 𝑉 . Tangki tersebut dapat diisi penuh menggunakan pompa-1 saja dalam waktu empat jam, atau menggunakan pompa-2 saja dalam waktu enam jam. Mula-mula kedua pompa digunakan secara bersamaan dalam waktu 𝑎 jam. Ke- mudian, pengisian dilanjutkan dengan hanya menggunakan pompa-1 selama 𝑏 jam dan dilanjutkan lagi dengan hanya menggunakan pompa-2 selama 𝑐 jam. Jika biaya operasional pompa-1 adalah15(𝑎 + 𝑏) ribu per jam dan biaya operasional pompa-2 adalah 4(𝑎 + 𝑐) ribu per jam, tentukan b dan c agar biaya operasional seluruh pompa adalah minimum (nyatakan 𝑏 dan 𝑐 sebagai fungsi dari 𝑎).

Tentukan juga nilai 𝑎 yang mungkin

TES AKHIR

1. Diketahui jumlah 20 suku pertama suatu barisan aritmatika adalah 1390.

Jika suku pertama dari barisan tersebut adalah 3, selisih dari dua suku berurutan di barisan tersebut adalah

2. Diketahui lima buah bilangan positif yang sudah terurut, yaiut n+1, n+2, 2m – 4, 2m – 2, m + 4. Rata- rata bilangan tersebut sama dengan jangkauannya dan sama pula dengan mediannya. Nilai m + n adalah 3. Misalkan terdapat n nilai ulangan mempunyai rata-rata 75. Jika ada

tambahan sebanyak m nilai ulangan yang masing-masing 100, maka rata- ratanya sekarang menjadi lebih dari 80. Nilai ^𝑚

𝑛 yang mungkin adalah

• ⁴

11

• ⁴

17

• ²

9

• ⁵

24

4. Diketahui A adalah himpunan yang memiliki tepat tiga anggota. Hasil penjumlahan setiap dua bilangan anggota A adalah 1209, 1690, dan 2019.

Selisih bilangan terbesar dan terkecil dari anggota A adalah

5. Delapan buku yang berbeda akan dibagikan kepada tiga orang siswa A, B, dan C sehingga berturut-turut mereka menerima 4 buku, 2 buku, dan 2 buku. Banyak cara pembagian buku tersebut adalah ... .

6. Hitunglah nilai berikut

4¹⁰⁰⁸− 4¹⁰⁰⁶ 2²⁰¹²− 2²⁰¹¹= ⋯

7. Seorang petani ikan ingin memperkirakan jumlah ikan pada sebuah kolam dengan cara menangkapnya. Mula-mula ia menangkap sebanyak 30 ekor dan memberi tanda pada semua ikan tersebut kemudian dilepaskan kembali ke kolam. Keesokan harinya ia menangkap 40 ekor ikan dan diantaranya terdapat 2 ekor ikan yang bertanda. Berapakah perkiraan banyaknya ikan yang berada di dalam kolam tersebut?

8. Segitiga 𝐴𝐵𝐶 terbentuk dari perpotongan antara tiga buah garis berikut 2𝑥 + 𝑦 = 4; 𝑥 − 𝑦 = 6 dan 𝑥 = −1. Luas segitiga ABC = ...

9. Diketahui 𝐴 = {0,1,2,3,4}; 𝑎, 𝑏, 𝑐 adalah tiga anggota yang berbeda dari 𝐴, 𝑑𝑎𝑛 (𝑎^𝑏)^𝑐 = 𝑛. Nilai maksimum dari n adalah…

10. Penyelesaian dari Pertidaksamaan |3𝑥 + 1| − |2𝑥 + 4| > 10 adalah…