Genap 2021/2022
MATEMATIKA TEKNIK II (TSD 2202) 4 SKS
Determinan Matriks
Pertemuan ke-9
Dr. Ir. Restu Faizah, ST., MT.
Determinan Orde 2
Determinan Orde 3
Matriks
Matriks adalah sekumpulan bilangan riil (atau elemen) atau kompleks yang disusun menurut baris dan kolom sehingga membentuk jajaran (array)
persegi panjang.
Matriks memiliki orde yang terdiri atas m baris dan n kolom
Pada Teknik Sipil, matriks sangat bermanfaat pada perhitungan
hubungan antara beban, kekuatan, perpindahan/displacement, dan tegangan-regangan
Matriks
Cara membaca Matriks
Matriks memiliki kolom dan baris. Diatas adalah matriks 3x3, yaitu memiliki baris sebanyak i dan kolom sebanyak j.
Matriks Khusus
1. Matriks Bujur sangkar 2. Matriks Baris
3. Matriks Kolom
4. Matriks Diagonal: matriks bujur sangkar yang semua elemennya adalah nol (0), kecuali elemen pada diagonal utamanya.
5. Matriks Satuan/Identitas: matriks diagonal yang semua elemen diagonal utamanya= 1., A.I = I.A=A
6. Matriks nol: semua elemennya nol
7. Matriks bujur sangkar simetrik (aij = aji), A = AT
8. Matriks bujur sangkar anti-simetrik (aij = - aji), A = -AT
Determinan
• Syarat suatu matrik mempunyai determinan: matrik bujursangkar
• Lambang determinan matrik A adalah det(A) atau |A|
Determinan orde dua: 2 baris 2 kolom.
Determinan orde 2 bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan dengan 2 variable (x dan y)
Determinan orde tiga: 3 baris 3 kolom.
Determinan orde 3 bisa digunakan untuk menyelesaikan persamaan dengan 3 variable (x, y, dan z)
Determinan adalah nilai yang dapat dihitung dari unsur-unsur suatu matriks persegi (matriks bujur sangkar)
Determinan Orde 2
Contoh:
Tentukanlah determinan matriks Pembahasan:
Determinan orde 3
Sarrus: Mengalikan elemen-elemen yang membentuk diagonal
Determinan orde 3 memiliki 3 baris dan 3 kolom. Ada beberapa cara mencari determinan orde 3: (1) Metode Sarrus, (2)
Determinan orde 3
Contoh: mencari determinan orde 3 dengan metode Sarrus:
Determinan orde 3
3 3
2 2
c b
c b
3 3
3
2 2
2
1 1
1
c b
a
c b
a
c b
a
Aij disebut Minor dari a1
Matriks A (orde 3) = Dengan cara menghilangkan baris ke-1 dan kolom ke-1, akan diperoleh matriks Aij
(orde 2)
Matriks Aij (orde 3) =
Determinan orde 3
3 3
2 2
1 3
3
2 2
1 3
3
2 2
1 3
3 3
2 2
2
1 1
1
b a
b c a
c a
c b a
c b
c a b
c b
a
c b
a
c b
a
Minor dari a1 Minor dari b1 Minor dari c1
Contoh: mencari determinan dengan menguraikan baris pertama (menjumlahkan kofaktor dari baris pertama .
Kofaktor adalah nilai minor elemen dalam determinan beserta tanda tempatnya.
Determinan matriks orde 3 merupakan jumlah dari kofaktor dalam 1 baris atau 1 kolom
Determinan orde 3
Diuraikan dari baris pertama
Determinan A = 4 . (4 – 10) – 2 . (8 – 15) + 8 . (4 – 3)
= - 24 + 14 + 8 = -2
Determinan orde 3
Coba perhatikan hasil perhitungan determinan menggunakan metode Sarrus dan Minor-kofaktor, ternyata hasilnya sama.
Perhitungan determinan menggunakan metode Minor-kofaktor, dengan menguraikan pada baris dan kolom mana saja juga akan memberikan hasil
yang sama.
Coba buktikan untuk mencari determinan matriks A terdahulu, dengan - menguraikan baris ke-2 atau ke-3, atau
- menguraikan kolom ke 1, ke-2, atau ke-3.
Sifat-sifat determinan
1. Harga suatu determinan tetap tidak berubah jika kolom diganti menjadi baris dan baris diganti menjadi kolom.
2. Jika dua baris atau kolom ditukar tempatnya, maka tanda determinan berubah
3. Jika ada dua baris atau kolom identik, hasil determinan adalah nol.
4. Jika elemen-elemen salah satu baris atau kolom semua dikalikan
dengan faktor yang sama, maka determinannyapun dikalikan dengan faktor tersebut.
5. Determinan suatu matriks bujur sangkar memiliki harga yang sama dengan determinan matriks transposenya.
6. Suatu matriks yang determinannya = nol disebut matriks singular.
Latihan
Diketahui matriks A,B, dan C sebagai berikut:
Tentukan:
a. Determinan matriks [A] dan [B]
b. Determinan matriks [C] dan [D], menggunakan metode Minor- Kofaktor dan metode Sarrus.
