ANALISIS DIMENSI - Spada UNS

ANALISIS DIMENSI

Dalam kasus demikian langkah pertama yang harus dilakukan adalah MENGENAL VARIABEL-VARIABEL ATAU PARAMETER- PARAMETER YANG BERPENGARUH

ANALISIS DIMENSI DIPERGUNAKAN BILA VARIABEL-VARIABEL YANG

MEMPENGARUHI SUATU GEJALA FISIK DIKETAHUI TETAPI HUBUNGAN

ANTARA SATU DENGAN YANG LAINNYA BELUM DIKETAHUI

Variabel terebut dapat dikelompokkan atas

a. Variabel geometri :

Contoh : ukuran panjang, ukuran luas, ukuran volume b. Variabel fisik yang timbul akibat gerak benda dalam fluida :

Contoh : gaya, tegangan geser

c. Variabel yang menyangkut gerak benda : Contoh : kecepatan, percepatan

e. Variabel yang menyangkut keadaan benda : Contoh : suhu, tekanan

d. Variabel yang menyatakan sifat benda dan fluida:

Contoh : massa jenis, viskositas, tegangan permukaan

CONTOH

ANALISIS DIMENSI

SUATU PROSES DALAM MEMFORMULASI PERSOALAN DALAM SUATU PARAMETER TIDAK BERDIMENSI

• Reduction in variables

𝐹=(𝐴1,𝐴𝐴2,…,𝐴𝑛)=0, 𝐴𝑖 = dimensional variables

𝑓=(∏1,∏2,…,∏𝑛)=0, ∏𝑖 = non-dimensional parameters

• Helps in understanding physics

• Useful in data analysis and modeling

• Fundamental to concepts of similarity and model testing

Teori Buckingham

Dasar Matematis:

Bila dalam suatu persoalan fisik, sebuah parameter TIDAK BEBAS (Dependent

Parameter) merupakan fungsi dari (n-1) parameter BEBAS (Independent parameter), maka akan didapat hubungan antara variabel-variabel tersebut dalam bentuk

fungsional, sbb.:

q1 = f(q2, q3, ………..q(n-1)) dimana:

q1 = parameter tidak bebas

q2, q3,…q(n-1) = parameter bebas atau dapat juga ditulis:

g(q1, q2, ………..qn) = 0

• dimana : g = sembarang fungsi yang bukan f

Contoh: gaya drag pada bola F

_D

= f(D, V, ρ, μ)

atau:

g(F

_D

, D, V, ρ, μ) = 0

Pernyataan Teori Pi BUCKINGHAM

Bila ada fungsi yang terdiri dari n parameter g(q

₁

, q

₂

,………..q

_n

) = 0, maka parameter-parameter tersebut dapat dikelompokkan menjadi (n-m) kelompok

independent dimensionless atau yang dinotasikan sebagai parameter ∏ dan dapat diexpresikan sebagai:

G(∏₁,∏₂,………..∏_n-m) = 0 atau : ∏₁ = G1(∏₂,………..∏_n-m)

dimana:

• m = adalah repeating parameter yang umumnya diambil sama dengan r (tetapi tidak selalu)

• r = adalah jumlah minimum dimensi bebas yang dibutuhkan untuk menspesifikasikan dimensi-dimensi dari seluruh parameter yang ada

Contoh : Drag Force

• Contoh: g ( F_D , D , v , ρ , µ ) = 0

[MLt^-2] [L] [Lt^-1] [ML^-3] [ML^-1t-¹]

• Dalam hal ini jumlah dimensi bebas minimum yang dibutuhkan adalah M, L, t Jadi r = 3 maka m = r = 3

• Note: sejumlah (n-m) = 5-3=2 parameter ∏ yang diperoleh dari prosedur diatas adalah independent.

Prosedur Menentukan Kelompok ∏ Ada 6 langkah

1. Tulislah seluruh parameter yang kita duga berpengaruh 2. Pilihlah satu set Dimensi Dasar

• misalkan : M, L, t, T

• atau F, L, t, T

3. Tulislah seluruh parameter yang terlibat dalam bentuk Dimensi Dasar yang telah dipilih (catatlah r adalah jumlah dari dimensi primer minimum yang

dibutuhkan),

misalkan: F, D, v, µ, ρ

sehingga : r = 3 (M, L, t)

4. Pilihlah Parameter yang diulang m (repeating parameter) yang jumlahnya sama dengan jumlah minimum dimensi primer yang digunakan (r)

misalkan: m = r = 3 →ρ ,v, D

Note :

• Jangan memilih repeating parameter yang mempunyai dimensi dasar yang sama dengan repeating parameter lainnya, walaupun hanya dibedakan dengan suatu exponent (pangkat) saja

• misalkan: panjang (L) = [L] dengan luas (A) = [L2] tidak boleh dipilih bersama- sama sebagai repeating parameter.

• Jangan memilih parameter tidak bebas sebagai repeating parameter

5. Dari parameter-parameter dipilih (n) dan repeating parameter (m), untuk m

= r dapatkan grup-grup tanpa dimensi, dalam hal ini akan ada (n-m) grup tanpa dimensi.

6. Untuk meyakinkan hasilnya, periksalah grup-grup tanpa dimensi dengan Dimensi Dasar yang lain.

Contoh : Drag Force

•

Dimana hasil π ini adalah :

ς 𝟏 = 𝑮𝟏( ρ ,v, D,µ)

ς 𝟐 = 𝑮𝟐( ρ ,v, D , 𝑭)

misal π

₁

dpt disusun sbb:

𝜋1 = 𝜌

^𝑏

𝑣

^𝑑

𝐷

^𝑒

𝜇

Di mana d, b dan e adl pangkat yg akan dicari. Bila ditulis dlm bentuk dimensi diperoleh:

𝜋1 = 𝑀 𝐿

^{−3 𝑏}

𝐿 𝑡

^{−1 𝑑}

𝐿

^𝑒

𝑀𝐿

⁻¹

𝑡

⁻¹

Seluruh parameter terlbat : F, D, v, µ, ρ

Karena 

₁

adalah nondimensional maka pers diatas bagiankanan

harus juga nondimensional. Hal ini berarti pangkat dari dimensi m, L dan t semua harus sama dengan nol, shg diperoleh :

untuk pangkat M : b + 1 = 0

untuk pangkat L : − 3b + d + e -1 = 0 untuk pangkat t : − d – 1 = 0

Penyelesaian dari pers diatas diperoleh hasil d = − 1, b = − 1 dan e = − 1,

bila dimasukkan dalam persamaan 

₁

diperoleh : 𝜋

₁

= 𝑀

^𝑏+1

𝐿

^{−3𝑏+𝑑+𝑒−1}

𝑡

^−𝑑−1

𝝅_𝟏 = 𝝆^−𝟏𝒗^−𝟏𝑫^−𝟏𝝁 = 𝝁 𝝆𝒗𝑫

• Dengan cara yang sama diperoleh untuk ∏₂

𝜋₂ = 𝐹 𝜌𝑣²𝐷²

Sehingga diperoleh hubungan