Analisis Tegangan dan Regangan

ANALISIS TEGANGAN DAN REGANGAN

Micky Kololu, ST., MT

Mengapa Mempelajari Tegangan?

 Tegangan adalah sebuah konsep dasar untuk prinsip mekanika batuan dan aplikasinya.

 Pada massa batuan terdapat kondisi tegangan awal yang harus dimengerti, baik secara langsung maupun sebagai kondisi tegangan yang diterapkan pada analisis dan desain.

 Selama dilakukan penggalian pada massa batuan kondisi tegangan akan berubah secara dramatik karena

batuan yang tadinya mengalami tegangan awal dan setelah digali tegangan disekitarnya akan

diredistribusikan.

 Tegangan merupakan besaran tensor dan tidak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari.

Konsep Tegangan

 Contoh batang di dibebani

secara aksial apakah tarik atau tekan oleh sebuah gaya yang melalui titki pusatnya.

 Tegangan s, atau intensitas distribusi gaya-gaya dalam dapat diperoleh dengan cara membagi total gaya tarik atau tekan dengan luas daerah dimana gaya tsb bekerja.

 Dalam kasus ini, tegangan s diwakili oleh besaran tensor engineering stress atau nominal stress yang

mewakili tegangan rata-rata (srata-rata) di atas sebuah luas, artinya bahwa tegangan di dalam penampang terdistribusi secara merata

s

s

_

 

A F

_n

rata rata

Komponen Tegangan Normal & Geser

 Pada kondisi bidang nyata atau bidang imajiner akan selalu ada gaya normal (F_n) dan tegangan normal (s_n) dan gaya geser (F_s) dan tegangan geser (t)

 Benda padat dapat menopang gaya geser tetapi cairan atau gas tidak

 Komponen tegangan normal (sn) dan tegangan geser (t) adalah gaya normalnya (F_n) dan gaya gesernya (F_s) per satuan luas.

Tegangan (Stress) & Regangan (Strain)



Jika sebuah batang prisma diberi tarikan dengan gaya yang terbagi rata di sepanjang ujungnya, gaya dalam juga terbagi merata di sepanjang potongan penampang sembarang mm.

Tegangan (stress) pada potongan penampang mm tersebut adalah gaya P dibagi dengan luas potongan penampang A.



Regangan (strain) dari batang prisma tersebut adalah pertambahan panjang dari batang

prisma tersebut dibagi dengan panjang mula-

mula

Tegangan (Stress) &

Regangan (Strain)

1 2

2 n

nt

P P

S cosθ = cosθ A' A

1 + cos2θ σ = S cosθ = σ cos θ = σ

2 τ = S sinθ =σ cosθ sinθ = σ sin2θ

s

 

 

 

 

 s_n maksimum pada q = 0 yang besarnya s_n = s

 t_nt maksimum pada q = 45⁰ yang besarnya t_nt = 1/2 s

 Tegangan tergantung pada:

 Titik dimana ia dikenakan.

 Orientasi dari luas permukaan dimana ia dikenakan.

 Sistem dari gaya-gaya luar yang dikenakan pada sebuah benda.

Konvensi Tanda

O dA

dF P

>

 Gaya-gaya yang dianggap positif adalah gaya- gaya tekan, yaitu yang berarah seperti yang ditunjukkan oleh dF.

 Hal ini berlawanan dengan konvensi yang

digunakan dalam teori elastisitas dan mekanika kontinu.

 Dalam mekanika batuan, akan lebih

memudahkan untuk menggunakan tegangan tekan bertanda positif karena:

 Kondisi tegangan (tegangan in situ akibat overburden, tekanan pemampatan dalam peralatan-peralatan, dan tekanan fluida di dalam pori) selalu berupa tegangan tekan.

 Konvensi ini digunakan juga di dalam mekanika tanah dan geologi struktur.

 Banyak problem dalam mekanika batuan menyangkut gesekan pada permukaan dan dalam kasus ini tegangan normal

Konvensi Tanda

Engineering Mechanics/

Material Science

Rock Mechanics/ Geoscience

Tegangan Pada Suatu Titik

Bekerja di atas bidang yang normal terhadap

sumbu x

σ xx

Bekerja pada arah x

Bekerja di atas bidang yang normal terhadap

sumbu x

t xy

Bekerja pada arah y



Perhatikan sebuah kubus dengan sisi paralel dengan sumbu x, y, dan z.



Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:

 Tiga tegangan normal s_xx, s_yy, dan s_zz

 Enam tegangan geser t_xy, t_yx, t_yz, t_zy, t_zx, dan t_xz

Konvensi Tanda (Lanjutan)



Arti subscript pada tegangan:

 Subscript pertama menunjukkan arah dari normal bidang dimana tegangan tersebut bekerja.

 Subscript kedua menunjukkan arah dari tegangan tersebut.

 Catatan: Untuk tegangan normal, kadang- kadang hanya digunakan satu subscript.



Sebagai syarat kesetimbangan rotasional, maka

semua gaya yang bekerja pada sisi kubus harus

setimbang, sehingga:

t_xy

=

t_yx

,

t_yz

=

t_zy

, dan

t_zx

=

t_xz

Konvensi Tanda (Lanjutan)

 Konvensi tanda untuk komponen tegangan dapat didasarkan pada normal kedalam (inward normal) yaitu normal dari muka kubus yang berarah ke pusat kubus.

 Tegangan yang searah dengan normal kedalam adalah positif.

 Pada muka horisontal bagian atas yang paralel dengan bidang x-y,

normal kedalam ke arah sumbu z negatif.

 Tegangan normal szz yang bekerja pada muka ini searah dengan arah

normal kedalam, sehingga dianggap positif.

 +t_zx ^{dan +}t_zy bekerja ke arah negatif sumbu x dan y.

 Semua tegangan pada muka yang terlihat pada gambar di samping adalah positif.

 Pada sisi bagian bawah, normal kedalam ke arah sumbu z positif, sehingga +szz berarah yang sama.

Tegangan Dalam Dua Dimensi

 Perhatikan sebuah elemen

bujursangkar dengan sisi yang sangat kecil pada bidang x-y dan tebal t.

 Elemen ini mengalami tegangan normal s_x, s_y dan tegangan geser t_xy

= t_yx.

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

 Akan ditentukan tegangan normal dan tegangan

geser yang bekerja pada sebuah bidang yang

normalnya membentuk sudut q terhadap sumbu x dimana s_x bekerja.

 Perlu digunakan prinsip

kesetimbangan gaya dalam sebuah segitiga yang

sangat kecil dengan tebal t.

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

 Panjang sisi segitiga:

 AB = a

 OA = a sin q

 OB = a cos q

 Untuk memenuhi kondisi

kesetimbangan, seluruh gaya yang bekerja pada arah s dan t dalam keadaan setimbang.

 ΣF_s = 0

 s (at) = s_x cosq (a cosq) t + t_xy sinq (a cosq) t + s_y sinq (a sinq) t + t_yx cosq (a sinq) t

 s = s_x cos²q + s_y sin²q + 2t_xy sinq cosq

Dari trigonometry:

( )

( )

2

2

2 2

cos θ= 1 1+cos2θ 2

sin θ= 1 1-cos2θ 2

cos θ + sin θ=1 2 sinθ cosθ = sin 2θ

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

( ) ( )

sin2θ cos2θ

2 σ σ

2 σ σ σ

sin2θ 2

cos2θ σ

2 σ 2

cos2θ σ

2 σ σ

cos2θ 2 1

sin2θ σ cos2θ

2 1 σ σ

xy y

x y

x

xy y

x y x

y xy

x

t t t

 



 



 

 























Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

ΣF_t = 0

t at = -s_x sinq a cosq t + t_xy cosq a cosq t + s_y cosq a sinq t - t_yx sinq a sinq t

t = (sy-sx) sinq cosq + txy(cos2q) Dari trigonometry:

2 2

sinθ cosθ = sin 2θ1 2

cos θ - sin θ=cos2θ

cos2θ sin2θ

2 σ σ

cos2θ sin2θ

2 σ σ

xy y

x

xy x

y

t

 



 



 



 t

t

 



 



 

 t

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

Persamaan – persamaan :

sin2θ cos2θ

2 σ σ

2 σ

σ σ

^{x y x y}

  t

_xy



 



 

 



cos2θ sin2θ

2 σ σ

xy y

x

t

t   

 



 





Memungkinkan kita untuk menentukan tegangan normal s dan tegangan geser t pada setiap bidang yang didefinisikan oleh q untuk setiap kombinasi nilai sx, sy, dan txy.

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

 Persamaan-persamaan yang diturunkan untuk s dan t dapat juga dilihat sebagai persamaan untuk menghitung sx’ dan tx’y’

pada sebuah sistem sumbu O,x’,y’ yang merupakan hasil rotasi sumbu O,x,y

sebesar q.

 Tegangan sy’ dapat dihitung dengan mengganti q dengan q+90^O

 Sehingga persamaan-persamaan untuk perubahan sumbu menjadi:

 [s = sx cos²q + sy sin²q + 2txy sinq cosq]

 sx’ = s_xcos²q + 2t_xysinqcosq + s_ysin²q

 sy’ = s_xcos²(q+90^O) + 2t_xysin(q+90^O)cos(q+90^O) + s_ysin²(q+90^O)

 sy’ = sxsin²q – 2txysinqcosq + sycos²q

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

Dengan menjumlahkan

sx’ = sxcos²q + 2txysinqcosq + sysin²q dan sy’ = sxsin²q – 2txysinqcosq + sycos²q

diperoleh

s_x’ + s_y’ = s_x(cos²q+sin²q) + s_y(cos²q+sin²q) s_x’ + s_y’ = s_x + s_y

Jadi, hasil penjumlahan komponen-komponen tegangan normal yang saling tegak lurus adalah konstan atau invariant dengan perputaran sumbu. Ini merupakan sifat skalar dari tegangan dalam dua dimensi.

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

Ekspresi untuk tegangan geser tidak berubah:

( )

^{sin2θ cos2θ}

2 1

xy '

' s s t

txy  x  y 

 Arah-arah dimana t=0 disebut sumbu- sumbu utama (principal axes) dan komponen-komponen tegangan pada arah ini disebut tegangan-tegangan utama (principal stresses) dan

dinotasikan dengan s1 dan s3.

 Akan terdapat satu nilai q untuk mana tegangan geser tidak ada (t=0).

x y

xy

x y

xy

x y

xy

xy

x y

xy

x y

τ=- σ -σ sin2θ+τ cos2θ 2

0=- σ -σ sin2θ+τ cos2θ 2

σ -σ sin2θ=τ cos2θ 2

sin2θ 2τ

cos2θ σ -σ=

tan2θ= 2τ

σ -σ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tegangan Dalam Dua Dimensi (Lanjutan)

 Sudut 2q merupakan sudut dari sumbu x yang menunjukkan arah tegangan-tegangan utama s₁ dan s₃.

 Karena tan 2q = tan (2q+180^O) maka:

 Sudut q merupakan arah s1

 Sudut q+90 merupakan arah s3.

 Setelah sudut q diperoleh, s₁ dan s₃ dapat dihitung dengan menggunakan persamaan untuk menghitung s di depan.

Tunjukkan bahwa s₁ dan s₃ dapat dinyatakan sebagai:

( ) ( )

( ) ( )

2

2 1

2

2 3

2 4

2 4

x y x y

xy

x y x y

xy

s s s s

s t

s s s s

s t

 

  

 

  

Lingkaran Mohr

Lihat kembali persamaan untuk menghitung s dan t

cos2θ sin2θ

2 σ σ

sin2θ cos2θ

2 σ σ

2 σ σ σ

xy y

x

xy y

x y

x

t

 



 



 



 t

t

 



 



 

 



Kedua persamaan tersebut dapat ditulis kembali dengan menempatkan semua 2q di sebelah kanan

cos2θ sin2θ

2 σ σ

sin2θ cos2θ

2 σ σ

2 σ σ σ

xy y

x

xy y

x y

x

t

 



 



 



 t

t

 



 



 

 



Lingkaran Mohr (Lanjutan)

Pengkuadratan persamaan yang mengandung s menghasilkan:

2 2

x y x y

xy

2 2

x y x y 2 x y 2 2

xy xy

σ σ σ σ

σ cos2θ sin2θ

2 2

σ σ σ σ σ σ

σ cos 2θ 2 sin2 cos2 sin 2θ

2 2 2

t

t q q t

 

     

    

   

    

    

        

   

     

     

     

Pengkuadratan persamaan yang mengandung t menghasilkan:

2

x y

2

xy

2

x y

2 2 2 2

xy xy

σ σ

sin2θ cos2θ 2

σ σ

sin 2 2 sin2 cos2 cos 2θ

2 2

x y

σ σ

θ θ θ

t t

t t t

    

     

     

     

Lingkaran Mohr (Lanjutan)

Penjumlahan kedua persamaan hasil pengkuadratan menghasilkan:

2xy y 2

2 x y 2

x

2 σ σ

2 σ

σ σ   t



 



 

 t

 



 



 



PERSAMAAN

LINGKARAN

( x  a ) (

²

 y  b )

²

 R

²

Lingkaran Mohr (Lanjutan)

Persamaan : ²_xy

y 2 2 x

y 2 x

2 σ σ

2 σ

σ σ  t





 

 t

 







 



adalah Persamaan Lingkaran dengan:

2xy y 2

x

y x

2 σ : σ

jari - Jari

2 ,0 σ : σ

pusat Titik

σ, sumbu Sistem

t

 







 



 



 

t

Lingkaran Mohr (Lanjutan)

^s1

s₃ s3

s1

sn

q t

a

n

2a 2q

s1

sn

s3

s s

s_n

Lingkaran Mohr (Lanjutan)

 Untuk memplot tegangan geser pada Lingkaran Mohr, digunakan konvensi tanda positif dan negatif yang hanya valid untuk

keperluan presentasi grafis.

 Tegangan geser diplot positif jika tegangan tersebut akan memutar elemen berlawanan dengan arah putaran jarum jam.

 Tegangan geser diplot negatif jika tegangan tersebut akan memutar elemen searah dengan arah putaran jarum jam.

Lingkaran Mohr (Lanjutan)

Lingkaran Mohr merupakan metode grafis sederhana dan cepat yang dapat digunakan untuk:

 Menentukan besar tegangan normal dan tegangan geser pada bidang tertentu.

 Menentukan besar dan arah tegangan- tegangan utama.

Latihan 1

 Tentukan tegangan normal dan tegangan geser (ke arah mana?) yang bekerja pada

Bidang C

 Tentukan besar dan arah tegangan utama mayor (s₁) dan

tegangan utama minor (s₃)

Latihan 1 (Lanjutan)

Latihan 1 (Lanjutan)

Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 30^O counter clockwise dari arah bekerjanya s_x (sumbu x) ATAU

Bersudut 30^O counter clockwise dari bidang tempat s_x bekerja (Bidang A)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN COUNTER CLOCKWISE 2 x 30^O = 60^O

Latihan 1 (Lanjutan)

Perhatikan Bidang C

Normalnya bersudut 60^O clockwise dari arah bekerjanya s_y (sumbu y) ATAU

Bersudut 60^O clockwise dari bidang tempat sy bekerja (Bidang B)

PADA LINGKARAN MOHR DIUKURKAN CLOCKWISE 2 x 60^O = 120^O

Latihan 1 (Lanjutan)

 Jadi secara grafis:

s = 23.2 MPa t = 3.9 MPa

 Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

cos2θ sin2θ

2 σ σ

sin2θ cos2θ

2 σ σ

2 σ σ σ

xy y

x

xy y

x y

x

t

 



 



 



 t

t

 



 



 

 



Latihan 1 (Lanjutan)

MPa 23.196

5.196 4

14 σ

sin60 6

cos60 2

6 22

2 6 σ 22

sin2θ cos2θ

2 σ σ

2 σ σ σ

0 O

y xy x

y x









 



 



 

 



t

 



 



 

 



MPa 3.928

3 6.928

cos60 6

sin60 2

6 22

cos2θ sin2θ

2 σ σ

O O

y xy x









 t

 



 



 



 t

t

 



 



 





t

Latihan 1 (Lanjutan)

Secara grafis:

s = 23.2 MPa t = 3.9 MPa

Dengan rumus:

s = 23.196 MPa t = -3.928 MPa

OK

OK?

Latihan 1 (Lanjutan)

s1 = 24 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 18.5^O counter clockwise dari arah bekerjanya s_x (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 18.5^O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya sx (Bidang A)

Latihan 1 (Lanjutan)

s₃ = 4 MPa

Bekerja pada bidang yang normalnya bersudut 108.5^O counter clockwise dari arah bekerjanya sx (sumbu x)

ATAU

Bekerja pada bidang yang bersudut 108.5^O counter clockwise dari bidang tempat bekerjanya s_x (Bidang A)

Latihan 1 (Lanjutan)

 Dengan menggunakan persamaan-persamaan terdahulu:

( ) ( )

( ) ( )

2

2 1

2

2 3

2 4

2 4

x y x y

xy

x y x y

xy

s s s s

s t

s s s s

s t

 

  

 

  

Latihan 1 (Lanjutan)

( ) ( )

( ) ( )

MPa 4

MPa 24

10 14

6 6

4 22 6 1

2 22 1

4 1 2

1

3 1

3 , 1

2 2 3

, 1

2xy y 2

x y

x 3

, 1

 s

 s



 s









 s

t

 s

 s

 s

 s



s

Latihan 1 (Lanjutan)

(

^{O O}

)

^{2 O}

2

1 O 1 O

1 1

y x

1 xy

43 . 108

87 . 36 180

2

43 . 18 87

. 36 2

16 tan 12

2

6 2

2

) 6 ( tan 2

2

σ σ

tan 2 2

 q





 q

 q



 q

 q

  q



 t q







Latihan 1 (Lanjutan)

2 O 3

1 O 1

5 . 108

MPa 4

5 . 18 MPa

24

: grafis Secara

 q



 s

 q



 s

2 O 3

1 O 1

43 . 108

MPa 4

43 . 18 MPa

24

: rumus Dari

 q



 s

 q





OK

s

OK

Latihan 1 (Lanjutan)

Tegangan dalam 3 Dimensi

 Tegangan-tegangan yang bekerja pada sisi kubus dapat dinyatakan dengan:

 Tiga tegangan normal s_xx, s_yy, dan s_zz

 Enam tegangan geser t_xy, t_yx, t_yz, t_zy, t_zx, dan t_xz

 Sebagai syarat

kesetimbangan rotasional:

t_xy = t_yx, t_yz = t_zy, dan t_zx = t_xz

 Tegangan-tegangan yang bekerja cukup dinyatakan dengan enam komponen

Tegangan dalam 3 Dimensi (Lanjutan)

 Jadi, kondisi tegangan pada sebuah titik dapat dinyatakan dengan matriks tegangan [s], sebagai berikut:

[ ]   





 







s t

t

t s

t

t t

s



z yz

zx

yz y

xy

zx xy

x

σ

Transformasi Tegangan

 Sumbu-sumbu referensi untuk penentuan kondisi tegangan dapat dilakukan secara bebas.

 Sistem sumbu asal (x,y,z)

 Sistem sumbu baru (l,m,n)

 Orientasi dari sumbu

tertentu, relatif terhadap sumbu-sumbu asal

didefinsikan oleh sebuah vektor baris dari cosinus arah.

 Cosinus arah adalah

proyeksi dari vektor satuan yang paralel dengan salah satu sumbu baru (l, m, atau n) pada salah satu sumbu lama (x, y, atau z).

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

 Cosinus arah sumbu l: l_x = cos al, l_y = cos bl, l_z = cos gl

 Cosinus arah sumbu m: m_x = cos a_m, m_y = cos b_m, m_z = cos g_m

 Cosinus arah sumbu n: n_x = cos an, n_y = cos bn, n_z = cos gn

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

 Tetrahedron OABC adalah bagian dari kubus yang digunakan untuk

menentukan kondisi tegangan sebelum ini.

 Untuk kesetimbangan, material yang

dihilangkan digantikan oleh gaya penyeimbang sebesar t per unit luas yang bekerja pada ABC.

 Normal bidang ABC, yaitu OP mempunyai cosinus arah (l_x, l_y, dan l_z).

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

 Jika luas ABC adalah A, maka proyeksi ABC pada bidang-bidang dengan normal sumbu-sumbu x, y, dan z adalah:

 OAC = A_x = Al_x

 OAB = A_y = Al_y

 OBC = A_z = Al_z

 Anggap komponen-

komponen vektor traksi t adalah t_x, t_y, t_z.

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

 Syarat kesetimbangan gaya pada arah x akan

menghasilkan:

t_xA – s_xA_x – t_xyA_y – t_zxA_z = 0 t_xA – s_xAl_x – t_xyAl_y – t_zxAl_z = 0

atau

t_x = s_xl_x + t_xyl_y + t_zxl_z

 Dengan menggunakan

syarat kesetimbangan gaya pada arah y dan z,

diperoleh:

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

[ ] [ ][ ]

^{ l}















 l l l

















s t

t

t s

t

t t

s



















σ t

atau t t t

z y x z

yz zx

yz y

xy

zx xy

x z

y x

 Dengan melakukan hal yang sama untuk sumbu- sumbu l, m, dan n

diperoleh:

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

[ ] [ ] [ ]

^{t* σ* *}

l lm nl l

m lm m mn m

n nl mn n n

t t

t atau

s t t l

t s t l

t t s l

l

     

     

     

     

     





 [t], [t*], [l], dan [l*] adalah vektor-vektor yang

dinyatakan relatif terhadap sistem koordinat x,y,z dan l,m,n.

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

 Suatu vektor [v] ditransformasikan dari satu sistem

sumbu x,y,z ke sistem sumbu l,m,n melalui persamaan transformasi:

[ ] [ ][ ] v *  R v

 







 







 







 









 







 







atau

v v v n

n n

m m

m

l l

l v

v v

z y x

z y

x

z y

x

z y

x

n m l

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

 Matriks [R] adalah matriks rotasi yang baris-barisnya dibentuk oleh vektor baris cosinus arah dari sumbu baru terhadap

sumbu asal.

 Sifat khas matriks [R] adalah bahwa invers-nya sama dengan transpose-nya, atau:

[ ] R

^{ 1}

 [ ] R

^T

 Kembali ke persamaan-persamaan yang menghubungkan [t] dan [t*]

serta [l] dan [l*]:

Transformasi Tegangan (Lanjutan)

[ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ][ ] [ ][ ][ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]

[ ] [ ][ ][ ]

: diperluas yang

bentuk dalam

atau

R σ R

* σ maka

*

* σ

* t

karena

* R

σ R σ

R t

R

* t

sehingga

* R

R

* dan

* t R

t t

R

* t

T

T T

T



l



l

 l





l

 l

 l

 l







Transformasi Tegangan (Lanjutan)

 







 







 







 







t t

t t

t t

 







 









 







 







t t

t t

t t

z z

z

y y

y

x x

x z

yz zx

yz y

xy

zx xy

x z

y x

z y

x

z y

x n

mn nl

mn m

lm

nl lm

l

n m

l

n m

l

n m

l σ

σ σ

n n

n

m m

m

l l

l σ

σ σ

Jadi, dengan melakukan perkalian matriks pada ruas kanan persamaan di atas, maka komponen-komponen tegangan

akibat perputaran sumbu-sumbu dapat ditentukan

Tegangan Utama

 Seperti telah diuraikan sebelumnya, bidang utama

(principal plane) adalah bidang dimana tidak terdapat tegangan geser.

 Pada bidang ini hanya bekerja tegangan normal yang merupakan tegangan utama (principal stress),

sedangkan normal dari bidang tersebut merupakan arah dari sumbu utama (principal axis).

 Karena terdapat tiga acuan arah yang harus

diperhitungkan, akan terdapat juga tiga sumbu utama.

 Jadi, ada tiga tegangan utama dan tiga sumbu utama yang harus ditentukan untuk

menggambarkan kondisi tegangan di sebuah titik.

Tegangan Utama (Lanjutan)

 Misalkan bahwa bidang ABC pada pembahasan terdahulu mempunyai orientasi sedemikian rupa sehingga resultan tegangan yang bekerja padanya hanya tegangan normal s_p.

 Komponen-komponen traksi pada bidang ABC adalah:















 l l l



















z y x p

z y x

σ t

t t

 Pada pembahasan terdahulu komponen-komponen traksi dapat dihubungkan juga dengan kondisi tegangan dan orientasi bidang:















 l l l

















s t

t

t s

t

t t

s



















z y x z

yz zx

yz y

xy

zx xy

x z

y x

t t t

Tegangan Utama (Lanjutan)

 Dengan mengurangkan kedua persamaan di atas, diperoleh:

[ ]

⁰

σ σ

σ σ

σ σ

z y x

p z

yz zx

yz p

y xy

zx xy

p x

















 l l l

















 t

t

t

 t

t t



 Persamaan matriks ini menunjukkan satu set dari tiga persamaan simultan yang homogen dalam l_x, l_y, dan l_z.

 Persamaan di atas akan mempunyai solusi non-trivial jika determinan dari matriks koefisien = 0, yang menghasilkan persamaan pangkat tiga:

Tegangan Utama (Lanjutan)

( )

( )

3 2

p 1 p 2 p 3

1 x y z

2 2 2

2 x y y z z x xy yz zx

2 2 2

3 x y z x yz y zx z xy

σ σ σ 0

dimana

σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ 2

_{xy yz zx}

σ σ σ

t t t

t t t t t t

   

  

     

    

I I I

I I

I

I₁ = Invariant tegangan (Stress invariant) pertama I₂ = Invariant tegangan (Stress invariant) kedua I₃ = Invariant tegangan (Stress invariant) ketiga

Tegangan Utama (Lanjutan)

 Solusi dari persamaan

0 I

σ I σ

I

σ

_p³



_{1 p}²



_{2 p}



₃



adalah tiga tegangan utama, dengan urutan dari yang terbesar ke terkecil sebagai berikut:

s₁ = Tegangan utama mayor (Major principal stress)

s₂ = Tegangan utama tengah (Intermediate principal stress) s3 = Tegangan utama minor (Minor principal stress)

Tegangan Utama (Lanjutan)

Setiap tegangan utama akan berhubungan dengan sumbu utama, yang cosinus arahnya (l_x,l_y,l_z) dapat dicari langsung dari persamaan matriks:

[ ]

⁰

σ σ

σ σ

σ σ

z y x

p z

yz zx

yz p

y xy

zx xy

p x

















 l l l

















 t

t

t

 t

t t



dan sifat dasar dari cosinus arah, yaitu:

2 1

2 z 2 y

x l l  l

Tegangan Utama (Lanjutan)

Brady & Brown (1993) mengusulkan bahwa untuk setiap tegangan utama s_i (i =1,2,3), cosinus arahnya adalah:

( )

( )

(

^{2 2 2}

)

^{1 2}

zi

2 2 1 2

yi 2

2 2 1 2

xi 2

C B

A C

C B

A B

C B

A A





 l





 l







l

( )

( )

( )

2 2 2 1 2

xi 2 2 2

2 2 2 1 2

2 2 2 1 2

= A A +B +C

( A +B +C B A B C C A B C

yi

zi

l

l l

  

  

dengan A, B, dan C adalah:

Tegangan Utama (Lanjutan)

yz zx

i y

xy

i z

zx

yz xy

i z

yz

yz i

y

σ C σ

σ B σ

σ σ

σ A σ

t t



t

 t

t

 t



 t

t

 

Tegangan Utama (Lanjutan)

 Prosedur untuk menghitung tegangan-tegangan utama dan orientasi dari sumbu utama secara sederhana adalah penentuan nilai-nilai Eigen (Eigen Values – Principal Stresses) dari matriks tegangan dan vektor Eigen (Eigen Vector - Directions) dari setiap nilai eigen (Ingat: MA2132)

 Karena ketiga sumbu utama saling tegak lurus, maka hasil

perkalian skalar (dot product) dari vektor cosinus arahnya sama dengan nol:

0 0 0

1 z 3 z 1

y 3 y 1

x 3 x

3 z 2 z 3

y 2 y 3

x 2 x

2 z 1 z 2

y 1 y 2

x 1 x

 l

l

 l

l

 l

l

 l

l

 l

l

 l

l

 l

l

 l

l

 l

l

Tegangan Utama (Lanjutan)

 Karena penjumlahan komponen tegangan normal yang saling tegak lurus bersifat invariant (ingat materi terdahulu), maka:

z y

x 3

2

1

σ σ σ σ σ

σ     

 Kedua hal ini dapat digunakan untuk memeriksa hasil perhitungan besar dan arah tegangan utama

Latihan 2

Tentukan besar dan arah tegangan-tegangan utama pada suatu titik jika keenam komponen tegangan pada titik tersebut adalah

s

_x

= 7.825 MPa t

_xy

= 1.422 MPa

s

_y

= 6.308 MPa t

_yz

= 0.012 MPa

s

_z

= 7.866 MPa t

_zx

= -1.857 MPa

Latihan 2 (Lanjutan)

( )

(

^{σ σ σ}

)

^350.0MPa

2 σ

σ σ I

MPa 0

. 155 σ

σ σ

σ σ

σ I

MPa 0

. 22 σ

σ σ

I

2xy 2 z

zx 2 y

yz x zx

yz xy z

y x 3

2zx 2yz

2xy x

z z

y y

x 2

z y

x 1

 t

 t

 t

 t t t





 t

 t

 t

















sehingga persamaan pangkat tiga untuk menghitung tegangan utama menjadi:

0 0 . 350 σ

0 . 155 σ

0 . 22

σ³_p  _p²  _p  

yang menghasilkan:

MPa 0

. 5 σ

MPa 0

. 7 σ

MPa 0

. 0 1 σ

3 2 1







Latihan 2 (Lanjutan)

Mencari cosinus arah s₁:

38 . 012 7

. 0 857

. 1

692 . 3 422

. 1 012

. 0 857

. 1

0 . 10 308

. 6 422

. σ 1

C σ

012 . 134 3

. 2 857

. 1

012 . 0 422

. 1 0

. 10 866

. 7 857 . 1

012 . 0 422

. 1 σ

B σ

857 . 134 7

. 2 012

. 0

012 . 0 682

. 3 0

. 10 866

. 7 012

. 0

012 . 0 0

. 10 308

. 6 σ

σ σ

A σ

yz zx

1 y

xy

1 z

zx

yz xy

1 z

yz

yz 1

y



 

 



  t

t



t

 

 

 

 

  t

t

 t



 





 

 t

t

 

Latihan 2 (Lanjutan)

( )

( )

(

^{A B C}

)

^{6.839 10.843 0.6307 (cos129.1 )}

C

) 73.9 (cos

2778 .

0 843 . 10 012 . 3 C

B A

B

) 43.6 (cos

7246 .

0 843

. 10 857 . 7 C

B A

A

2 0 2 1 2

1 2 z

2 0 2 1 2

1 2 y

2 0 2 1 2

1 2 x













 l









 l









 l

Periksa:

1.0000 (-0.6307)

(0.2778) )

7246 .

0

( ^{2 2 2}

2z1 2y1

2x1 l l    

l

Latihan 2 (Lanjutan)

Mencari cosinus arah s₂:

268 . 012 1

. 0 857

. 1

692 . 0 422

. 1 012

. 0 857