Bab 2 aljabar jdwdgwjdhwdw

LAPORAN PROJEK AKHIR

ALJABAR LINIER DAN MATRIKS SEMESTER 3 Implementasi Transformasi Linear Matriks Pada Objek 2D

Disusun untuk Memenuhi Tugas Projek Akhir Mata Kuliah Aljabar Linier dan Matriks Dosen Pengampu : Ibu Siti

Disusun Oleh :

Lutfan Hasfi Naufal (227006131) Arin Nur Hakim (227006146) Naufal Rafi Hanifan (227006148)

Shamil Shidiq (227006159)

PROGRAM STUDI INFORMATIKA FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SILIWANGI 2023

DAFTAR ISI

Transformasi Affin pada Bidang 1

DAFTAR GAMBAR

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala rahmat-Nya sehingga Laporan dengan judul

“Implementasi Transformasi Linear Matriks Pada Objek 2D” dapat tersusun sampai dengan selesai. Laporan ini disusun untuk memenuhi salah satu tugas akhir, yakni Proyek Akhir UAS

dalam mata kuliah Aljabar Linier dan Matriks.

Laporan ini juga bertujuan untuk menambah pengetahuan mengenai materi dasar Matriks yang diimplementasikan kedalam Bahasa pemrograman, agar dapat mengetahui komponen dasar, perintah dasar penulisan, dan struktur program.

Selama penyusunan laporan tugas proyek akhir, ini kami mengambil dari berbagai sumber belajar seperti jurnal, YouTube, maupun referensi lainnya. Pada kesempatan kali ini, dengan segenap rasa kerendahan hati kami mengucapkan rasa terima kasih kepada semua pihak yang telah membagi pengetahuannya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas project akhir ini.

Kami menyadari penyusunan laporan ini jauh dari kata sempurna, oleh karena itu kritik dan saran yang bersifat membangun sangat kami harapkan.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarkatuh

Tasikmalaya, 17 November 2023

Transformasi Affin pada Bidang 3

BAB I PENDAHULUAN A. latar Belakang

Transformasi linear matriks pada objek dua dimensi (2D) merupakan konsep matematika yang fundamental dalam dunia komputer grafis. Transformasi ini memberikan kemampuan untuk mengubah posisi, orientasi, dan skala objek secara efisien dan konsisten. Implementasi transformasi linear matriks pada objek 2D memiliki relevansi yang besar dalam berbagai bidang, termasuk grafika komputer, pengembangan permainan, simulasi, dan aplikasi interaktif.

Laporan ini disusun untuk mendokumentasikan konsep, implementasi, dan aplikasi praktis dari transformasi linear matriks pada objek 2D.

Transformasi linear matriks adalah landasan utama dalam pengembangan grafika komputer.

Dalam menghasilkan visual yang menarik dan dinamis, pemahaman mendalam tentang transformasi matriks diperlukan. Oleh karena itu, laporan ini bertujuan untuk memberikan wawasan komprehensif tentang konsep ini dan menggambarkan bagaimana transformasi matriks dapat diterapkan secara efektif dalam lingkungan grafika komputer.

Implementasi transformasi linear matriks pada objek 2D memainkan peran krusial dalam optimalisasi kinerja aplikasi. Dengan menggunakan matriks transformasi, kita dapat menggabungkan beberapa transformasi sehingga mengurangi beban perhitungan dan meningkatkan efisiensi operasi grafis, terutama dalam aplikasi real-time.

Dalam industri pengembangan permainan, transformasi linear matriks menjadi pondasi untuk menciptakan dunia virtual yang dinamis. Laporan ini akan membahas bagaimana implementasi transformasi matriks dapat meningkatkan pengalaman visual pemain, memungkinkan animasi yang lebih kompleks, dan memberikan kontrol yang lebih baik terhadap objek dalam

permainan.

Selain dalam pengembangan permainan, transformasi linear matriks juga mendapatkan aplikasi luas dalam pengembangan aplikasi interaktif. Konsep ini dapat diterapkan dalam desain grafis, aplikasi peta, dan simulasi yang melibatkan manipulasi objek 2D secara real-time, memberikan pengguna pengalaman yang lebih dinamis dan responsif.

Melalui laporan ini, diharapkan pembaca dapat memahami konsep matematis di balik

transformasi linear matriks. Penjelasan akan diberikan secara sistematis, mulai dari dasar-dasar matriks transformasi hingga penerapannya dalam skenario praktis.

Pemahaman yang kuat tentang transformasi linear matriks pada objek 2D memiliki potensi besar untuk memberikan kontribusi signifikan terhadap pengembangan teknologi, khususnya dalam pengembangan grafis dan permainan. Laporan ini akan menggarisbawahi relevansi dan kontribusi transformasi matriks terhadap perkembangan teknologi visual.

Melalui eksplorasi mendalam terhadap implementasi transformasi linear matriks pada objek 2D, laporan ini bertujuan memberikan pandangan yang komprehensif dan praktis, memperluas pemahaman tentang konsep tersebut, dan mendorong penggunaan yang lebih efektif dalam pengembangan aplikasi dan industri yang melibatkan grafika komputer

B. Rumusan Masalah

C. Tujuan

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA atau LANDASAN TEORI A. Transformasi Linear -Rafi

Transformasi Affin pada Bidang 5

1. Pengertian Transformasi Linear

Transformasi linear merupakan dasar dalam aljabar linear yang berbentuk fungsi.

Transformasi linear yang dimaksud adalah perpindahan dari satu ruang yang biasa dinamakan dengan domain ke ruang lain yang dinamakan kodomain. Salah satu pembahasan dalam perkuliahan aljabar adalah mengenai transformasi linear yaitu suatu fungsi yang dapat

memetakan suatu ruang vektor ke ruang vektor yang lain, sehingga operasi standar pada ruang vektor (penjumlahan dan perkalian dengan skalar) tetap berlaku.

2. Hubungan Transformasi linear dengan Affin

Transformasi affine termasuk dalam kategori transformasi linear. Transformasi linear adalah transformasi matematis yang memenuhi dua properti utama: kekekalan operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Transformasi linear mengubah posisi dan bentuk objek tetapi mempertahankan sifat linearitasnya.

Transformasi affine adalah bentuk khusus dari transformasi linear yang melibatkan kombinasi linier dari operasi dasar seperti translasi (pergeseran), rotasi, penskalaan, dan pemantulan. Dalam konteks ruang dua dimensi, transformasi affine dapat direpresentasikan dengan matriks affine 2x3.

Secara umum, sebuah transformasi linear 2D direpresentasikan sebagai:

Di mana T adalah transformasi linear, v adalah vektor input, dan A adalah matriks transformasi.

Transformasi affine pada dasarnya adalah transformasi linear dengan penambahan elemen translasi. Jika v adalah vektor input, maka transformasi affine

dapat dituliskan sebagai:

Di sini, t adalah vektor translasi yang menyertai elemen-elemen linear pada matriks A.

Transformasi affine mempertahankan sifat-sifat transformasi linear dan juga memungkinkan pergeseran atau translasi.

Jadi, dapat disimpulkan bahwa transformasi affine adalah subset dari transformasi linear, di mana elemen-elemen transformasi linear diperluas untuk menyertakan translasi.

3.

Trasnformasi Affin Pada 2D

Transformasi affin 2D adalah sebuah pemetaan dari ² ke

yang ditentukan oleh sebuah matrik persegi yang invertible dan sebuah vektor kolom, secara matematik didefinisikan sebagai berikut;

Definisi

Misalkan A adalah matrik 2x2 yang invertible, dan

b

vektor kolom di ², maka transformasi affin 2D dinyatakan sebagai pemetaan

f :

yang didefinisikan oleh

2

2



² xAx 

b

Akibat dari pendefinisian tersebut dapat ditunjukan bahwa komposisi dari dua transformasi affin 2D masih transformasi affin 2D dan invers dari transformasi 2D adalah masih transformasi affin 2D seperti yang dinyatakan pada teorema 3.1 dan teorema 3.2 berikut;

Teorema 3.1.

Komposisi dari dua transformasi affin 2D adalah masih affin 2D.

Transformasi Affin pada Bidang 7

Misalkan A1 dan A2 adalah matrik 2x2 yang invertible, dan

b

1 dan

b

2 vektor kolom di ², maka untuk sebarang

transformasi affin 2D

T  ^x  ^{ A x  b}

^{1 dan}

^T  ^x  ^{ A x  b}

²

. Akibatnya

1 1 2 2

T  ^x  ^{ T}

²

 ^T

¹

^{ x } 

=

A2  ^{A1 x  b}

¹

 ^{ b}

²

=

A2 A1 x   ^{A2 b}

¹

^{ b}

²



Jika dimisalkan A = 2D.

Teorema 3.2.

A

₂

A

_{1 dan}

b

=

 ^{A2 b}

¹

^{ b}

²



^maka

^T  ^x  ^{ Ax }

b

adalah transformasi affin

■

Invers dari transformasi affin 2D adalah juga affin 2D Bukti

Misalkan A adalah matrik 2x2 yang invertible, dan

b

vektor kolom di ² , maka untuk suatu transformasi affin 2D untuk sebarang

a  Ax  b

atau

Ax  b  a

dapat dinyatakan

Jadi

x  A

^1

 ^{b  a} 

=

A

^1

b  A

^1

a

Jika dituliskan kembali dalam bentuk

x  Bb 

c

^dengan

B  A

^1

dan

c  A

^1

a

, maka ini berarti invers dari transformasi affin 2D adalah masih affin 2D.

■ Dari pendefinisian dan kedua teorema tersebut terlihat bahwa transformasi affin 2D merupakan pemetaan bijektif yang dapat mengindentifikasi ruang titik pada bidang Euclid ke dalam ruang vektor berdimensi dua. Akibatnya bangun bidang geometri Euclid yang dipetakan oleh transformasi affin dapat dipertahankan aspek dimensi bidangnya. Selain dari itu, dengan transformasi affin 2D sifat objek geometri bidang Euclid dapat dijelaskan secara analitik dan aljabar. Geometri transformasi bidang berikut adalah merupakan transformasi affin, yaitu adalah translasi, rotasi, dilatasi uniform, dilatasi non uniform, refleksi, dan shearing

x



2

a



2 x



2

Geometri transformasi bidang Citra transformasi bidang (i) Translasi,

dapat dinyatakan oleh

T  ^x   x  b  I

2

x  b

,

I

2 adalah matrik indentitas ordo 2x2 (ii) Rotasi

dapat dinyatakan oleh

T  ^x  ^{ R}

₀^

^x

^,

R

^

 cos sin 

adalah matrik

0

 sin cos 

 

rotasi

(iii) Dilatasi uniform

dapat dinyatakan oleh

T  ^x  ^{ I}

^a

^x

^,

I  a 0

, untuk suatu skalar a

a

 0 a 

 

(iv) Dilatasi non uniform

dapat dinyatakan oleh

T  ^x  ^{ I}

^ab

^x

^,

I  a 0

, untuk suatu skalar a dan b

ab

 0 b 

 

(v) Refleksi

dapat dinyatakan oleh

T  ^x  ^{ M}

^{2 x2}

^x

M  1 0

adalah matrik refleksi

2 x 2  0 1

 

dapat dinyatakan oleh

T  ^x  ^{ S}

^{2 x2}

^x

S  1 h

, untuk suatu skalar h

2 x2

 1 1 

 

Secara umum sifat suatu objek geometri yang ditransformasi melalui transforamsi affin dapat ditunjukan dalam teorema 3.3 berikut

Teorema 3.3

Misalkan

T  ^x  ^{ Ax  b}

adalah transformasi Affin, maka T i. Memetakan segmen garis ke segmen garis

ii. Mempertahankan sifat kesejajaran antara garis dengan garis iii. Memetakan bidang segi n ke bidang segi n

iv. Mempertahankan rasio panjang dua segmen garis sejajar Bukti

(i)

Misalkan l adalah segmen garis, maka persamaan l dapat ditulis dalam bentuk vektor

p  tu

, untuk suatu t di interval tutup I. Sehingga untuk setiap

t [0,1]

T  ^{p  tu}  ^{ A}  ^{p  tu}  ^{ b }  ^{Ap  b}  ^{ t}

 ^Au 

⁼

p

₁

 tu

₁

dengan

p

1

 Ap  b

dan

u

₁

 Au

. Akibatnya T(l) = l1 dengan l1

=

p

₁

 tu

₁

untuk

t [0,1]

adalah juga segmen garis. ■

(ii)

Misalkan l :

p  tu

dan m:

q  tv

untuk setiap

t 

adalah dua buah garis yang sejajar. Maka

v  ku

untuk suatu

k 

. Oleh karena itu

T  ^{p  tu}  ^{ A}  ^{p  tu}  ^{ b }  ^{Ap  b}  ^{ t}  ^Au  ^{ p1  tu1}

^,

dan

T  ^{q  tv}  ^{ A}  ^{q  t  ku }  ^{ b  A}  ^{q  t  ku }  ^{ b}

=

 ^{Aq  b}  ^{ t}  ^Aku  ^{ b }  ^{q1  t  ku1 } 

Ini berarti l dan m dipetakan ke garis l1 dan m1 yang sejajar. ■

(iii)

Dalam hal ini akan dibuktikan dengan induksi. Misalkan n = 3, Pandang sebuah bidang segitiga G. Maka G dapat direpresentasikan dalam bentuk vektor

u  sv  tw

, untuk

s, t

[0,1]

, dan s + t ≤ 1 dengan

v

dan

w

adalah vektor yang tidak segaris. Akibatnya

ui

dengan

T  ^G  ^{ T}  u  sv  tw  ^{ A}  u  sv  tw  ^

b

=

 ^{Au  b}  ^{ s}  ^Av  ^{ t}  ^Aw 

=

u

1

 sv

1

 tw

1 ,

s, t [0,1]

dan s + t ≤ 1. Karena

u

dan

v

tidak segaris, maka menurut (ii)

v

1

 Av

dan

w

1

 Aw

tidak sejajar. Jadi G dipetakan ke segitiga G1, di mana G1 =

u

1

 sv

1

 tw

1.

Sekarang misalkan T memetakan setiap bidang segi n ke bidang segi n untuk setiap n, dengan 3

≤ n ≤ k , dan misalkan P adalah polygon dengan k+1 sisi. Misalkan AB adalah diagonal dalam P, maka disgonal ini membagi P menjadi dua polygon, yaitu P 1 dan P 2 yang masing-masing memuat t dan k +3−t sisi, untuk suatu t dengan 3 ≤ t ≤ k. Menurut hipotesis induksi di atas, T(P

1) dan T(P2) masing-masing akan merupakan polygon yang dibentuk dengan t sisi dan k +3−t sisi. Karena polygon ini akan mempunyai segment garis dari T(A) ke T(B) sebagai diagonal, maka gabungan P1 dan P2 akan membentuk sebuah polygon dengan k + 1 sisi. Ini berlaku untuk setiap polygon dengan n sisi. Terbukti bahwa T memetakan bidang segi n ke bidang segi n. ■

(iv)

Pandang dua buah segmen garis sejajar, S1 dan S2 yang dinyatakan dalam bentuk vektor Si :

p  tu

untuk

t [0,1]

. Karena dua garis tersebut sejajar,

maka

u

₂

 ku

₁ untuk suatu

k 

.

Misalkan adalah panjang untuk segmen garis Si, rasio pajang segmen garis S2 dan S1 adalah

k

. Maka menurut (i), segmen garis Si dipetakan ke segmen garis yang mempunyai panjang

Au

i

. Karena

Au

2

 A  ^ku

¹

 ^{ k}  ^Au

¹



^,

maka

Au

2

 k

Au

1

yang menunjukan bahwa rasio

panjang T(S1) dan T(S2) adalah juga

k

. ■