KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR: Matematika Kelas 9

(1)

TRANSFORMASI

KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar

Setelah mengikuti pembelajaran transformasi siswa mampu:

1. Menunjukkan prilaku ingin tahu, mencerminkan sikap jujur dan konsisten dalam melakukan aktivitas di rumah, sekolah dan masyarakat sebagai wujud implementasi penyelidikan transformasi.

2. Mendeskripsikan lokasi benda dalam koordinat kartesius.

3. Memahami konsep transformasi (dilatasi, 4. translasi, pencerminanan, rotasi) menggunakan

obyek-obyek geometri.

5. Menyelesaikan permasalahan dengan menaksir besaran yang tidak diketahui menggunakan grafik.

6. Menerapkan prinsip-prinsip transformasi (dilatasi, translasi, pencerminanan, rotasi) dalam menyelesaikan permasalahan nyata

Melalui proses pembelajaran

transformasi,siswa memiliki pengalaman belajar sebagai berikut:

 Terlatih berpikir kritis dan berpikir kreatif

 Menemukan ilmu pengetahuan dari pemecahan masalah nyata

 Mengajak untuk melakukan penelitian dasar dalam membangun konsep.

 Dilatih bekerjasama dalam tim untuk menemukan solusi permasalahan.

 Dilatih mengajukan ide-ide secar bebas dan terbuka

 Merasakan manfaat matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Pengertian Transformasi

Transformasi geometri adalah bagian dari geometri yang membicarakan tentang perubahan, baik perubahan letak atau bentuk penyajiannya.

(2)

Transformasi geometri lebih sering disebut transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik menjadi koordinat lainnya dengan suatu aturan tertentu. Misalnya transformasi T terhadap titik P(x,y) menghasilkan bayangan P’(x’ , y’) operasi tersebut dapat ditulis sebagai

P(x , y) → P’(x’ , y’)

Transformasi pada bidang datar yang akan dibahas adalah: pencerminan, pergeseran, perputaran dan perkalian.

A.Pencerminan (Refleksi)

Jika titik P dicerminkan terhadap garis AB, maka bayangan dari titik P (P’)dapat digambarkan sebagai berikut:

Pada refleksi tersebut, titik P dipetakan ke P’, ditulis P → P’, sebaliknya jika titik P’ dpetakan ke P ditulis P’ → P .

Latihan – 1

1. Gambarkan bayangan dari titik A jika direfleksikan terhadap garis MN !

168 | M O D U L M A T E M A T I K A 9 S M P K P E N A B U R

A B

P P’

•

=

A

•

a M

N

A

•

b M

N

1. Jarak titik asal P terhadap cermin (garis) AB = jarak bayangan P’ terhadap cermin (garis) AB.

2. Garis yang menghubungkan titik P dan P’ yaitu PP’, tegak lurus terhadap cermin (garis) AB

(3)

2. Gambarkan bayangan dari garis AB jika direfleksikan terhadap garis MN !

3. Gambarkan bayangan dari bangun ABC jika direfleksikan terhadap garis MN !

A.1. Refleksi Pada bidang Koordinat a. Refleksi terhadap Sumbu Y

A

•

a M

N B

•

A

•

b M

N B

•

A

•

M

N B

•

C

•

X Y

0 A

•

A’

•

B

•

B’

•

Refleksi terhadap sumbu Y artinya sumbu Y sebagai cerminnya.

Perhatikan gambar di samping ! Pada refleksi terhadap sumbu Y, A (2, 2) ↔ A’ (-2, 2)

B (-3, -1) ↔ B’ (3 , -1)

P ( a, b) ↔ P’ ( , ) → diisi oleh siswa

(4)

b. Refleksi terhadap Sumbu X

c. Refleksi terhadap Sumbu Y = X

d. Refleksi terhadap Sumbu Y = - X

X Y

0

A

•

A’

•

B

•

B’

•

Y =X

X Y

0A

•

A’

•

B

•

B’

•

Y = - X

X Y

0 A

•

A’

•

B

•

B’

•

Refleksi terhadap sumbu X artinya sumbu X sebagai cerminnya.

Perhatikan gambar di samping ! Pada refleksi terhadap sumbu X, A (2, 3) ↔ A’ (2, -3)

B (-1, -2) ↔ B’ (-1 , 2)

Refleksi terhadap sumbu Y = X artinya sumbu Y = X sebagai cerminnya.

Perhatikan gambar di samping ! Pada refleksi terhadap sumbu Y = X, A (2, 4) ↔ A’ (4, 2)

B (-1, -3) ↔ B’ (-3 , -1)

Refleksi terhadap sumbu Y = X artinya sumbu Y = X sebagai cerminnya.

Perhatikan gambar di samping ! Pada refleksi terhadap sumbu Y = X, A (-1, -1) ↔ A’ (1, 1)

B (-1, 4) ↔ B’ (-4 , 1)

(5)

e. Refleksi terhadap garis Y = k

f. Refleksi terhadap garis X = h

Latihan – 2

1. Pada kertas berpetak, gambarlah titik R(3, -4) dan T( -5, -7)!

a. Gambarlah bayangan titik R dan T pada refleksi terhadap sumbu X, kemudian tulislah koordinat titik R’ dan T’ !

b. Gambarlah bayangan titik R dan T pada refleksi terhadap sumbu Y, kemudian tulislah koordinat titik R’’ dan T’’ !

c. Gambarlah bayangan titik R dan T pada refleksi terhadap sumbu Y = X, kemudian tulislah koordinat titik R”’ dan T”’ !

2. Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(-4, 7), B(-6, 2) dan C(-2, 2).

a. Gambarkan ∆ ABC dan bayangannya pada refleksi terhadap sumbu Y = X ! b. Tuliskan koordinat titik – titik sudut bayangannya !

3. Diketahui titik K(3, -6). Tentukan bayangan dari titik K jika:

a. direfleksikan terhadap sumbu Y dan dilajutkan dengan refleksi terhadap garis Y = -X b. direfleksikan terhadap sumbu X dan dilajutkan dengan refleksi terhadap garis Y = X 4. Jika titik L”(5 , -6) adalah hasil refleksi berturut – turut terhadap garis Y = X dan sumbu Y,

tentukan koordinat titik L !

5. Jika titik M” (-9, -7) adalah hasil refleksi berturut – turut terhadap garis Y = -X dan sumbu X, tentukan koordinat titik M !

X Y

Y = k

0

P’(a,k)

• P(a,b)•

=

Pada refleksi terhadap garis Y = k, P(a, b) → P’(a, 2k – b)

Cari informasi gambarnya !!

Pada refleksi terhadap garis Y = k, P(a, b) → P’(2h - a, b)

(6)

6. Dengan menggunakan rumus, tentukan koordinat bayangan titik berikut:

a. A(5, -3) pada refleksi terhadap garis X = 7 b. B(-3, 6) pada refleksi terhadap garis X = -7 c. C(5, -3) pada refleksi terhadap garis Y = 7 d. D(-3, 6) pada refleksi terhadap garis Y = -7

7. Tentukan koordinat bayangan titik H(8, -6) jika direkfleksikan terhadap garis x = 6, kemudian direfleksikan lagi terhadap garis x = -8 !

8. Tentukan koordinat bayangan titik K(-6, -2) jika direkfleksikan terhadap garis y = 3, kemudian direfleksikan lagi terhadap garis x = 2 !

9. Titik R’(19, 11) adalah bayangan dari titik R pada refleksi terhadap garis x = 5. Tentukan koordinat titik R tersebut !

10. Titik Q” (-6, 18) adalah bayangan dari titik R pada refleksi terhadap garis y = -4 dan x = 6.

Tentukan koordinat titik R tersebut !

B.Translasi (Pergeseran)

Jadi pengertian translasi adalah suatu perpindahan semua titik pada suatu bidang dengan jarak (besar) dan arah yang sama.

A

B

C

D A’

B’

C’

D’

Pada gambar di samping menunjukan bangun ABCD digeser sampai menempati bangun A’B’C’D’. Semia titik yang terletak pada bangun ABCD dipindahkan menempati bangun A’B’C’B’ dengan jarak dan arah yang sama.

Perpindahan semua titik pada bangun ABCD ke titik – titik bangun A’B’C’D’ dengan besar dan arah yang sama disebut pergeseran atau translasi

(7)

Notasi translasi adalah

(

^pq

)

dengan p sebagai komponen mendatar dan y sebagai komponen tegak.

Contoh:

1. Translasi

(

⁴3

)

artinya memindahkan titik pada bidang dengan tahapan:

4 satuan ke kanan 3 satuan ke atas

2. Translasi

(

⁻⁴3

)

4 satuan ke kiri 3 satuan ke atas

3. Translasi

(

−3⁴

)

4 satuan ke kanan 3 satuan ke bawah

4. Translasi

(

⁻⁴−3

)

4 satuan ke kiri 3 satuan ke bawah

Translasi

(

^pq

)

memindahkan titik dengan aturan sebagai berikut:

 Jika p bertanda positif maka bergeser p satuan ke kanan, jika p bertanda negative bergeser p satuan ke kiri

 Jika q bertanda positif maka bergeser q satuan ke atas, jika q bertanda negative bergeser q satuan ke bawah

Titik A(x , y) di translasikan dengan

(

^pq

)

dinotasikan dengan A(x , y) A’(x + p, y + q) Contoh:

1. Tentukan bayangan titik L(2, -6) dan M(5, 4) masing – masing pada translasi:

a.

[

⁻³⁸

]

_b.

[

⁻⁵⁻⁷

]

Jawab:

(

q^p

)

(8)

a. PP’ mewakili translasi

[

⁻³⁸

]

_.

Bayangan titik L(2, -6) pada translasi

[

⁻³⁸

]

adalah L’(2 + 8 , -6 + (-3)) = L’(10, -9) b. Dikerjakan oleh siswa sebagai latihan !

2. Pada translasi

[

⁹^b

]

, titik N(4a, 5b) dipetakan ke titik N’(21, 8 – 2b). Tentukan nilai a dan b

!

Titik N(4a , 5b) N’(21, 8 – 2b) = (4a + 9, 5b + b)

3. Titik – titik pada ^∆ ABC adalah A(6, 4), B(5, -2) dan C(8, -3). Pada translasi

[

⁻⁷²

]

_.

∆ ABC dipetakan ke ∆ A’B’C’.

a. Gambarkan ∆ ABC beserta bayangannya b. Tentukan koordinat titik A’, B’ dan C’

Jawab:

Dikerjakan oleh siswa sebagai latihan !

Latihan – 3

1. Gambar berikut menunjukan tiga buah jajargenjang yang kongruen.

E F G H

I J

[

⁹^b

]

Menentukan nilai b 5b + b = 8 – 2b 6b = 8 – 2b 6b + 2b = 8 8b = 8 b =

8 8 b = 1

jadi nilai b = 1 Menentukan nilai a

4a + 9 = 21 4a = 21 – 9 4a = 12 a=

12 4 a = 3

jadi nilai a = 3

Tulislah ruas garis berarah yang mewakili translasi berikut:

a. ABFE dipetakan ke CDHG b. FGJI dipetakan ke ABFE

(9)

2. Pada suatu translasi , titik A(8, 3) dipetakan oleh suatu translasi

[

^p^q

]

dan bayangan dari A adalah A’(-4, 6). Tentukan nilai p dan q !

3. Perhatikan gambar berikut !

4. Titik – titik sudut ∆ ABC adalah A(-1, 4), B(-3, -2) dan C(3, 1).

a. Gambarlah ∆

ABC dan bayangannya pada translasi

[

⁻³⁵

]

_!

b. Tentukan koordinat titk – titik sudut bayangannya !

5. A(3,2), B(9,2), C dan D(3,6) adalah titik – titik sudut persegi panjang ABCD a. Gambarkan persegipanjang ABCD pada kertas berpetak

b. Tentukan koordinat titik C !

c. Gambarkan bayangan persegipanjang ABCD dengan translasi 1 2 AC !

A B C D

X Y

I

II III

Dari gambar di samping, tentukan pasangan bilangan untuk translasi berikut:

a. Segitiga I dipetakan ke segitiga II b. Segitiga I dipetakan ke segitiga III c. Segitiga II dipetakan ke segitiga III

Untuk dua kali pergeseran yang berurutan

[

^p^q

]

_dan

[

^r^s

]

berlaku:

[

^p^q

]

₊

[

^r^s

]

₌

[

^p+^q+^r^s

]

(10)

6. Pada kertas berpetak, gambarlah titik P(3, 2) kemudian gambarlah titiak – titik berikut:

a. Titik Q sebagai bayangan dari titik P pada translasi

(

⁴1

)

b. Titik R sebagai bayangan dari titik P pada translasi

(

²5

)

c. Titik S sebagai bayangan dari titik P pada translasi

(

⁴1

)

dilanjutkan

(

²5

)

7. Tentukan koordinat bayangan titik – titik berikut!

a. Bayangan titik S(-2 , 4) oleh translasi

(

⁻³2

)

dilanjutkan dengan

(

⁴1

)

b. Bayangan titik T(-3 , -5) oleh translasi

(

−5²

)

dilanjutkan dengan

(

⁻⁶−2

)

C.

Rotasi (Perputaran)

Rotasi (perputaran) sejauh α (notasi untuk besaran sudut) adalah perpindahan sebuah titik, atau bangun datar sejauh α dengan pusat O(0 , 0).

Jika rotasi searah dengan arah putar jarum jam maka α bertanda negative

Jika rotasi berlawanan arah dengan arah putar jarum jam maka α bertanda positif Suatu rotasi (perputaran) pada bidang datar ditentukan oleh:

1. Pusat rotasi 2. Besar sudut ( α ) 3. Arah rotasi

A •

α

A’ •

Pada rotasi dengan sembarang sudut putar terdapat sifat berikut:

1. Sebuah garis sama panjang dengan bayangannya.

2. Sebuah bangun dan bayangannya kongruen atau sama dan sebangun.

(11)

 Rotasi -90⁰

a. Gambarlah pada kertas berpetak titik A(5 , 4) kemudian rotasikan titik tersebut sebesar -90⁰ dengan pusat O (0 , 0). Di manakah bayangannya ?

b. Gambarlah pada kertas berpetak titik B(-7, 6) kemudian rotasikan titik tersebut sebesar -90⁰ dengan pusat O (0 , 0). Di manakah bayangannya ?

c. Garis AB dengan koordinat A(3, 6) dan B(-2, 4). Gambarlah garis tersebut dan dan rotasikan sebesar -90⁰. Bagaimana letak garis yang terbentuk ? Bagaimana koordinat bayangannya ? Rotasi -90⁰ dengan pusat rotasi O (0,0), maka P(a , b) P’(…. , …. )

 Rotasi 90⁰

a. Gambarlah pada kertas berpetak titik A(5 , 4) kemudian rotasikan titik tersebut sebesar 90⁰ dengan pusat O (0 , 0). Di manakah bayangannya ?

b. Gambarlah pada kertas berpetak titik B(-7, 6) kemudian rotasikan titik tersebut sebesar 90⁰ dengan pusat O (0 , 0). Di manakah bayangannya ?

c. Garis AB dengan koordinat A(3, 6) dan B(-2, 4). Gambarlah garis tersebut dan dan rotasikan sebesar 90⁰. Bagaimana letak garis yang terbentuk ? Bagaimana koordinat bayangannya ? Rotasi 90⁰ dengan pusat rotasi O (0,0), maka P(a , b) P’(…. , …. )

 Rotasi 180⁰

a. Gambarlah pada kertas berpetak titik A(5 , 4) kemudian rotasikan titik tersebut sebesar 180⁰ dengan pusat O (0 , 0). Di manakah bayangannya ?

b. Gambarlah pada kertas berpetak titik B(-7, 6) kemudian rotasikan titik tersebut sebesar 180⁰ dengan pusat O (0 , 0). Di manakah bayangannya ?

c. Garis AB dengan koordinat A(3, 6) dan B(-2, 4). Gambarlah garis tersebut dan dan rotasikan sebesar 180⁰. Bagaimana letak garis yang terbentuk ? Bagaimana koordinat bayangannya ?

(12)

Rotasi 90⁰ dengan pusat rotasi O (0,0), maka P(a , b) P’(…. , …. ) Latihan – 4

Tentukan bayangan titik – titik berikut pada rotasi dengan pusat O !

Titik Sudut Rotasi

90⁰ 180⁰ -90⁰ (4 , -3)

(2 , 6)

(13)

D. Dilatasi (Perkalian)

Pengertian Dilatasi

Pada dilatasi, setiap titik P dipetakan ke titik P’ sehingga OP’ = kOP, dengan O sebagai pusat dilatasi dan k adalah factor skala.

Untuk bisa melakukan dilatasi, diperlukan informasi mengenai faktor skala dan pusat dilatasi.

 Faktor skala

Faktor skala adalah ukuran perbesaran atau pengecilan dari bangun mula – mula.

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat mengubah ukuran, atau ukurannya tetap tetapi tidak mengubah bentuk.

a. Jika k > 1, maka bangun akar diperbesar dan terletak secara terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

b. Jika k = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak.

c. Jika 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan

bangun semula.

d. Jika –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi

dengan bangun semula.

e. Jika k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi

dengan bangun semula.

 Pusat Dilatasi

Berbentuk titik koordinat, Jika tidak ditentukan maka pusatnya O(0, 0)

(14)

Contoh:

Latihan – 5

1. a. Gambarlah ∆ PQR dengan P(4 , 0), Q(0,5) dan R(-2 , -2)!

b. Gambarlah bayangan ∆ PQR dengan dilatasi yang berpusat di O(0,0) dan faktor skala = -1

2. Gambarlah ∆ AOB dengan O sebagai pusat koordinat, A(6,0), B(0, 4) a. Gambarlah ∆ A’OB’ pada dilatasi [O , 2]

b. Gambarlah ^∆ A”OB” pada dilatasi [O, 1 2 ] c. Tulis koordinat A’, B’, A” dan B” !

d. Dilatasi manakah yang memetakan ∆ A’OB’ ke ∆ A”OB” ?

3. Gambarlah segiempat PQRS dengan P(-1 , 0), Q(-2, 2), R(-3, 0) dan S(-2, -3). Dengan pusat dilatasi T(-2, -3), gambarlah bayangan PQRS dengan faktor skala

a. -2

A • A’ •

B • B’ •

D(O, k)

D((p, q), k)

1. Dilatasi dengan pusat O (0 , 0) dan faktor skala k Titik P(x, y) P’(kx , ky)

2. Dilatasi dengan pusat (p, q) dan faktor skala k

Titik P(x, y) P’(p+ k(x - p) ,q + k(y - q)) Sebuah garis AB dengan koordinat A(0, 3) dan

B(4, 0) didilatasikan dengan pusat O(0,0) dan faktor skala 2, tentukan bayangan dari A dan B serta gambarkan dalam kertas berpetak!

Jawab:

A (0, 3) A’(2.0 , 2.3) = A’(0 , 6) B (4, 0 B’(2.4 , 2.0) = B’(8 , 0)

D(O, 2) D(O, 2)

(15)

b.

1 2

4. Sebuah tabung mempunyai jari-jari 8 cm dan tinggi 28 cm diisi air sampai penuh. Jika tabung tersebut diperbesar dengan faktor skala 2, berapakah volum air yang bisa masuk ke dalam tabung tersebut sampai penuh?

5. Sebuah kubus mempunyai panjang rusuk 30 cm. Jika tabung tersebut diperbesar dengan faktor

skala 1

3 , hitunglah:

a. Volum kubus mula – mula b. Volum kubus hasil perbesaran

c. Perbandingan volum kubus mula – mula dengan hasil perbesaran

6. Sebuah balon berbentuk bola dengan diameter 3,5 cm, diisi udara dengan menggunakan pompa sehingga setiap 10 detik, diameter balon menjadi 3/2 kali diameter balon pada 10 detik

sebelumnya. Jika balon hanya dapat menampung 3000 cm³ udara, setelah berapa detikkah balon

akan pecah? (Volume bola = 4

3 πr³ ; r adalah jari-jari bola).

Latihan – 6 Antar Ruang Lingkup

1. Dengan menggunakan busur, tentukanlah bayangan titik P(1,3) jika dirotasikan terhadap titik asal O(0,0) dengan sudut 30°. Gunakan penaksiran atau pendekatan!

2. Cerminkanlah titik-titik berikut berdasarkan cermin yang diberikan pada tabel berikut!

Titik Cermin

Sumbu x Sumbu y X = -3 Y = 5 X = Y

(3 , -5)

(-4 , -2)

(12 , -3)

(9 , 7) (-3 , 0)

(-1 , 1)

(16)

3. Tentukan bayangan titik P(2,3) dan garis 2x –3y + 6 = 0 oleh transformasi pada tabel berikut!

Titik

Transformasi Translasi

(

−5³

)

Cermin y = -x

Rotasi [O , 90⁰]

Dilatasi [O , 3) ( 1 , 2)

(-2 , 6) (-3 , -2) (2 , -3) (-4 , -5)

4. Seorang anak bermain lompat-lompatan di halaman rumah. Langkah-langkah permainannya demikian.

Langkah 1:

Si anak melompat 1 lompatan ke depan kemudian menggambar garis sepanjang 1 cm Langkah 2:

Kemudian si anak melompat 2 lompatan dari posisi terkahir ke kanan kemudian menggambar garis sepanjang 4 cm.

Langkah 3:

Kemudian dia melompat 3 lompatan dari posisi terakhir ke belakang kemudian menggambar garis sepanjang 9 cm.

Langkah 4:

Kemudian dia melompat 4 lompatan ke kiri kemudian menggambar garis sepanjang 16 cm.

Langkah 5:

Demikianlah si anak mengulangi lompatannya ke depan dengan 5 lompatan dan menggambar garis sepanjang 25 cm.

Anak tersebut melompat berulang ke depan, ke kanan, ke belakang dan ke kiri. Jika diasumsikan arah ke depan dan ke belakang adalah sumbu y positif dan negatif, sementara arah ke kanan dan ke kiri adalah sumbu x positif dan negatif, dan posisi awal si anak adalah titik O (0,0) maka tunjukkanlah posisi si anak pada saat menggambar garis sepanjang 1 m!

Tunjukkanlah translasi pergerakan si anak tersebut!