Cara Menghitung Mean, Median, dan Modus

B. Latihan

1. Jika diketahui sepuluh buah data 25, 23, 26, 28, 30, 32, 35, 36, 38, dan 40, tentukan nilai mean data tersebut !

Penyelesaian :

Mean =

Mean =

Mean =

Mean = 31.3

Jadi, mean atau nilai rata-rata dari data tersebut adalah 31.3 2. Data Indeks Prestasi dari 24 mahasiswa sebagai berikut :

2.30 2.40 2.40 2.65 2.70 2.85 2.85 3.00 3.15 3.15 3.20 3.15 3.50 3.75 3.60 3.50 4.15 4.15 4.20 4.15 4.50 4.75 4.60 4.50 Hitunglah mean, median, dan modus !

Penyelesaian : a) Mean

Mean =

Mean =

Mean =

 X 3.46

Jadi, mean atau nilai rata-rata dari data tersebut adalah 3.46 b) Median

Urutkan data dari terkecil hingga terbesar

2.30 2.40 2.40 2.65 2.70 2.85 2.85 3.00 3.15 3.15 3.15 3.20 3.50 3.50 3.60 3.75 4.15 4.15 4.15 4.20 4.50 4.50 4.60 4.75

Me =

Me =

Me =

Me = Me =

Maka nilai tengah (Median) dari data diatas adalah 3.35 c) Modus

2.30 2.40 2.40 2.65 2.70 2.85 2.85 3.00 3.15 3.15 3.15 3.20 3.50 3.50 3.60 3.75 4.15 4.15 4.15 4.20 4.50 4.50 4.60 4.75

Modus adalah Data yang sering muncul yang ditandai dengan data terbanyak. Dari data pada soal nomor 2, Modus adalah 3.15 dan 4.15 3. Hitung nilai mean, median, modus dari data :

2 8 4 2 4 8 2 9 2 10

20 8 4 21 40 60 2 8 7 6

Penyelesaian : Mean

Mean =

Mean =

Mean =



X 11.35

Jadi, mean atau nilai rata-rata dari data tersebut adalah 11.35 Median

Urutkan data dari terkecil hingga terbesar

2 2 2 2 2 4 4 4 6 7

8 8 8 8 9 20 20 21 40 60

Me =

Me =

Me =

Me =

Maka nilai tengah (Median) dari data diatas adalah 7.5 Modus

2 2 2 2 2 4 4 4 6 7

8 8 8 8 9 20 20 21 40 60

Modus adalah Data yang sering muncul yang ditandai dengan data terbanyak.

Dari data pada soal nomor 2, Modus adalah 2

D. Latihan

1. Jelaskan kegunaan ukuran disperse dan ukuran variabilitas dan jelaskan jenis- jenisnya masing-masing !

Penyelesaian : Ukuran Disperse

Dispersi Data adalah data yang menggambarkan bagaimana suatu kelompok data menyebar terhadap pusatnya data atau ukuran penyebaran suatu kelompok data terhadap pusatnya data. Dispersi data sangat penting untuk membandingkan penyebaran dua distribusi data atau lebih. Pusat data seperti rata-rata hitung, median dan modus hanya memberi informasi yang sangat terbatas sehingga tanpa disandingkan dengan dispersi data menjadi kurang bermanfaat dalam menganalisa data.

Kegunaan ukuran penyebaran antara lain sebagai berikut :

a. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk menentukan apakah nilai rataratanya benar-benar representatif atau tidak. Apabila suatu kelompok data mempunyai penyebaran yang tidak sama terhadap nilai rata-ratanya, maka dikatakan bahwa nilai rata-rata tersebut tidak representatif.

b. Ukuran penyebaran dapat digunakan untuk mengadakan perbandingan terhadap variabilitas data.

c. Ukuran penyebaran dapat membantu penggunaan ukuran statistika, misalnya dalam pengujian hipotesis, apakah dua sampel berasal dari populasi yang sama atau tidak.

Jenis Ukuran dispersi

Beberapa jenis pengukuran Dispersi adalah sebagai berikut:

a. Jangkauan (Range)

Selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah.

b. Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation)

Jumlah nilai mutlak dari selisih semua nilai dengan nilai rata-rata dibagi c. Varians (Variance)

Rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya.

d. Standar Deviasi

Akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya.

e. Jangkauan kuartil dan jangkauan persentil 10-90

Jangkauan kuartil disebut juga simpangan kuartil atau semi antar kuartil atau deviasi kuartil sedangkan jangkauan persentil 10-90 disebut juga rentang persentil 10-90.

f. Koefisien Variasi

Koefisien Variasi, disebut dispersi relatif, dapat digunakan untuk

membandingkan nilai – nilai besar dengan nilai – nilai kecil. Sedangkan lima bentuk dispersi sebelumnya tidak bisa.

Ukuran Variabilitas

Ukuran variabilitas (penyebaran) adalah ukuran yang mengukur seberapa jauh data yang ada menyimpang dari ukuran pusatnya (tendency central).Variabilitas berfungsi sebagai alat ukur untuk mengetahui homogenitas dan heterogenitas suatu kelompok data. Semakin kecil nilai variabilitas menunjukkan semakin kecil penyebaran suatu kelompok data (homogenitas). Semakin besar nilai variabilitas menunjukkan semakin besar penyebaran suatu kelompok data (heterogenitas).

Jenis

 Range

 Inter-kuartil

 Deviasi rata-rata

 Varians

 Koefisien varians

2. Data Indeks Prestasi dari 40 siswa sebagai berikut :

63 81 67 85 77 78 57 80 53 74

85 97 62 71 75 95 61 78 83 71

77 75 65 68 60 62 87 79 63 93

93 73 84 85 70 90 82 80 76 68

a) Hitunglah mean, median, dan modus !

b) Hitunglah rentang, dan simpangan baku ! Penyelesaian :

a) Mean, Median, dan Modus Mean

Mean =

Mean =

Mean =



X 75.57

Jadi, mean atau nilai rata-rata dari data tersebut adalah 75.57 Median

Urutkan data dari terkecil hingga terbesar

53 57 60 61 62 62 63 63 65 67

68 68 70 71 71 73 74 75 75 76

77 77 78 78 79 80 80 81 82 83

84 85 85 85 87 90 93 93 95 97

Me =

Me =

Me =

Me = 76.5

Maka nilai tengah (Median) dari data diatas adalah 76.5

Modus

53 57 60 61 62 62 63 63 65 67

68 68 70 71 71 73 74 75 75 76

77 77 78 78 79 80 80 81 82 83

84 85 85 85 87 90 93 93 95 97

Modus adalah Data yang sering muncul yang ditandai dengan data terbanyak. Dari data diatas, Modus adalah 85

b) Rentang dan Simpangan baku Rentang (Range)

Range = Data terbesar – Data terkecil

= 97 - 53

= 44

Simpangan baku

No Nilai (x) (x-x) (x-x)²

1 53 -22.58 509.630625

2 57 -18.58 345.03

3 60 -15.58 242.580625

4 61 -14.58 212.43

5 62 -13.58 184.28

6 62 -13.58 184.28

7 63 -12.58 158.13

8 63 -12.58 158.13

9 65 -10.58 111.83

10 67 -8.58 73.53

11 68 -7.58 57.38

12 68 -7.58 57.38

13 70 -5.58 31.08

14 71 -4.58 20.93

15 71 -4.58 20.93

16 73 -2.58 6.63

17 74 -1.58 2.48

18 75 -0.58 0.33

19 75 -0.58 0.33

20 76 0.42 0.18

21 77 1.43 2.03

22 77 1.43 2.03

23 78 2.43 5.88

24 78 2.43 5.88

25 79 3.43 11.73

26 80 4.43 19.58

Simpangan Baku (S) S = ^√∑ x

∑

S = √

S = √ S = 10.83

Jadi dari data tersebut, didapat Simpangan Baku S = 10.83 3. Hitung nilai mean, median, modus, dan simpangan baku dari data :

2 8 4 2 4 8 2 9 2 10

20 8 4 21 40 60 2 8 7 6

Penyelesaian : Mean

Mean =

Mean =

Mean = 11.35

Jadi, mean atau nilai rata-rata dari data tersebut adalah 11.35

 X

27 80 4.43 19.58

28 81 5.43 29.43

29 82 6.43 41.28

30 83 7.43 55.13

31 84 8.43 70.98

32 85 9.43 88.83

33 85 9.43 88.83

34 85 9.43 88.83

35 87 11.43 130.53

36 90 14.43 208.08

37 93 17.43 303.63

38 93 17.43 303.63

39 95 19.43 377.33

40 97 21.43 459.03

Jumlah 380 0.00 4689.78

Median

Urutkan data dari terkecil hingga terbesar

2 2 2 2 2 4 4 4 6 7

8 8 8 8 9 20 20 21 40 60

Me =

Me =

Me =

Me =

Maka nilai tengah (Median) dari data diatas adalah 7.5 Modus

2 2 2 2 2 4 4 4 6 7

8 8 8 8 9 20 20 21 40 60

Modus adalah Data yang sering muncul yang ditandai dengan data terbanyak.

Dari data pada soal nomor 2, Modus adalah 2

4. Tentukan nilai interquartile range dari data terkelompok pada tabel di bawah ini !

Skor f fk

10-19 2 2

20-29 8 10

30-39 15 25

40-49 10 35

50-59 4 39

60-69 1 40

Jumlah N = 40

Penyelesaian : Q₁ = (n) Q1 = (40)

Q1 = (berada pada rentang 20-29)

Q1 = 19.5 +

Q₁ = 19.5 +(

)10 Q1 = 29.5

Q3 = (n) Q₃= (40)

Q₃ = (berada pada rentang 40-49)

Q3 = 39.5 +

Q3 = 39.5 +(

)10 Q3 = 44.5

interquartile range (H) = Q3-Q1

= 44.5 – 29.5 = 15

E. Latihan

1. Jelaskan apa yang dimaksud dengan kemencengan/kemiringan dan kurtosis ! Penyelesaian :

Kemencengan atau kemiringan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.

Ukuran keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data.

Dengan kata lain, keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingan, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut:

• Leptokurtik. Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.

• Platikurtik. Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak

hamper mendatar.

• Mesokurtik. Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak

tidak tinggi dan tidak mendatar.

Bila distrilbusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.

2. Jelaskan apa yang dimaksud dengan leptokurtik, platikurtik, dan mesokurtik!

Penyelesaian :

3. Jelaskan karakteristik simpangan rata-rata, simpangan kuartil, dan simpangan baku !

Jawab :

Simpangan Rata-Rata (Mean Deviation)

Simpangan rata-rata merupakan penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean/median. Untuk data mentahnya simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah. Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.

Simpangan Kuartil atau disebut Jangkauan Semi Antar Kuartil adalah Setengah dari jangkauan kuartil.

Simpangan Baku (Standard Deviation)

Simpangan baku merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya. Namun apabila dalam gugus data tersebut terdapat nilai ekstrem, standard deviasi menjadi tidak sensitive lagi, sama halnya seperti mea

4. Diberikan data sebagai berikut :

X F

31-40 2

41-50 3

51-60 5

61-70 14

71-80 24

81-90 20

91-100 12

Jumlah 80

Hitunglah :

a. Simpangan rata-rata b. Simpangan kuartil

c. Simpangan baku

d. Koefisien kemecengan/kemiringan e. Koefisien kurtsis persentil

Jawab :

a. Simpangan rata-rata Penyelesaian

Tentukan nilai tengah xi = (xinterval atas + xinterval bawah)/2

X Frekuensi

(F)

Nilai

Tengah (x_i) (F xi)

31-40 2 35.5 71

41-50 3 45.5 136.5

51-60 5 55.5 277.5

61-70 14 65.5 917

71-80 24 75.5 1812

81-90 20 85.5 1710

91-100 12 95.5 1146

Jumlah 80 458.5 6070

Tentukan ratarata dengan :

 X ^∑

∑

 X



X 75.875

Hitung simpangan Rata-rata X Frekuensi

(F)

Nilai Tengah

(xi)

(F xi) | x_i -X | F | x_i -X |

31-40 2 35.5 71 40.375 80.75

41-50 3 45.5 136.5 30.375 91.125

51-60 5 55.5 277.5 20.375 101.875

61-70 14 65.5 917 10.375 145.25

71-80 24 75.5 1812 0.375 9

81-90 20 85.5 1710 9.625 192.5

91-100 12 95.5 1146 19.625 235.5

Jumlah 80 458.5 6070 131.125 856

SR = ^∑

∑

X

SR =

SR = 10.7

b. Simpangan kuartil Penyelesaian

X F Fk

31-40 2 2

41-50 3 5

51-60 5 10

61-70 14 24

71-80 24 48

81-90 20 68

91-100 12 80

Jumlah 80

Q1 = (n) Q1 = (80)

Q₁ = (berada pada rentang 61-70)

Q₁ = 60.5 +

Q1 = 60.5 +(

)10 Q₁ = 67.64

Q₃ = (n) Q3= (80)

Q3 = (berada pada rentang 81-90)

Q3 = 80.5 +

Q₃ = 80.5 +(

)10 Q₃ = 86.5

Simpangan Kuartil (SK) =

=

SK = 9.43 c. Simpangan baku

Penyelesaian

X Frekuensi (F)

Nilai Tengah

(x_i)

(F x_i) (x-x) (x-x)² F (x-x)²

31-40 2 35.5 71 40.375 1630.14 3260.28

41-50 3 45.5 136.5 30.375 922.64 2767.92

51-60 5 55.5 277.5 20.375 415.14 2075.70

61-70 14 65.5 917 10.375 107.64 1506.97

71-80 24 75.5 1812 0.375 0.14 3.38

81-90 20 85.5 1710 9.625 92.64 1852.81

91-100 12 95.5 1146 19.625 385.14 4621.69

Jumlah 80 458.5 6070 131.125 3553.48 16088.75

Simpangan Baku (S)

S = ^√∑ _∑ S = √ S = √ S = 14.18

Jadi dari data tersebut, didapat Simpangan Baku S = 14.18 d. Koefisien kemiringan

Penyelesaian

X F Fk

31-40 2 2

41-50 3 5

51-60 5 10

61-70 14 24

71-80 24 48

81-90 20 68

91-100 12 80

Jumlah 80

Diketahui dari (b) bahwa Q₁ = 67.64 ; Q₃ = 86.5 x

Untuk Q2 : Q₂ = (n) Q2 = (80)

Q2 = (berada pada rentang 71-80) Q2 = 70.5 +

Q2 = 70.5 +(

)10 Q₂ = 77.167

Sk =

Sk =

Sk = -0.0102

Karena nilai Sk nya -0.0102 ( SK < 0 ) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negative

e. Koefisien kurtosis persentil

X F Fk

31-40 2 2

41-50 3 5

51-60 5 10

61-70 14 24

71-80 24 48

81-90 20 68

91-100 12 80

Jumlah 80

Kt = Diketahui dari (b) bahwa Q1 = 67.64 ; Q3 = 86.5

P10 =

(n) P10 =

(80)

P₁₀ = 8 (berada pada rentang 51-60) P₁₀ = B₁₀ +

∑

*C P10 = 50.5 +

*10 P₁₀ = 50.5 + 6

P10 = 56.5

P₉₀ =

(n) P90 =

(80)

P90 = 72 (berada pada rentang 91-100) P90 = B10 +

∑

*C P90 = 90.5 +

*10 P90 = 90.5 + 3.333 P₉₀ = 93.833

Sehingga koefisien kurtosis persentilnya adalah:Kt = Kt =

Kt =

Kt = 0.2526118……..

Kt = 0.25

Karena nilai K = 0,25 (K<0,263) maka distribusinya platikurtik.

5. Diberikan data sebagai berikut :

X F

35-44 3

45-54 3

55-64 8

65-74 23

75-84 20

85-94 19

95-104 4

Jumlah 80

Hitunglah :

a. Simpangan rata-rata b. Simpangan kuartil c. Simpangan baku

d. Koefisien kemecengan/kemiringan e. Koefisien kurtsis persentil

Jawab :

a. Simpangan rata-rata Penyelesaian

Tentukan nilai tengah xi = (xinterval atas + xinterval bawah)/2

X Frekuensi

(F)

Nilai

Tengah (x_i) (F xi)

35-44 3 39.5 118.5

45-54 3 49.5 148.5

55-64 8 59.5 476

65-74 23 69.5 1598.5

75-84 20 79.5 1590

85-94 19 89.5 1700.5

95-104 4 99.5 398

Jumlah 80 486.5 6030

Tentukan ratarata dengan :

∑

∑

 X

75.375

Hitung simpangan Rata-rata

X Frekuensi (F)

Nilai Tengah

(x_i)

(F xi) | x_i - | F | x_i - |

35-44 3 39.5 118.5 35.875 107.625

45-54 3 49.5 148.5 25.875 77.625

55-64 8 59.5 476 15.875 127

65-74 23 69.5 1598.5 5.875 135.125

75-84 20 79.5 1590 4.125 82.5

85-94 19 89.5 1700.5 14.125 268.375

95-104 4 99.5 398 24.125 96.5

Jumlah 80 486.5 6030 125.875 894.75

SR = ^∑

∑

 X

 X

X X

X

SR =

SR = 11.18

b. Simpangan kuartil Penyelesaian

X F Fk

35-44 3 3

45-54 3 6

55-64 8 14

65-74 23 37

75-84 20 57

85-94 19 76

95-104 4 80

Jumlah 80

Q1 = (n) Q1 = (80)

Q₁ = (berada pada rentang 65-74)

Q₁ = 64.5 +

Q1 = 60.5 +(

)10 Q₁ = 63.11

Q₃ = (n) Q3= (80)

Q3 = (berada pada rentang 85-94)

Q₃ = 84.5 +

Q3 = 84.5 +(

)10 Q₃ = 88.08

Simpangan Kuartil (SK) =

=

SK = 12.485 c. Simpangan baku

Penyelesaian

X Frekuensi (F)

Nilai Tengah

(xi)

(F xi) (x- ) (x- )² F (x- )²

35-44 3 39.5 118.5 35.875 1287.02 3861.05

45-54 3 49.5 148.5 25.875 669.52 2008.55

55-64 8 59.5 476 15.875 252.02 2016.13

65-74 23 69.5 1598.5 5.875 34.52 793.86

75-84 20 79.5 1590 4.125 17.02 340.31

85-94 19 89.5 1700.5 14.125 199.52 3790.80

95-104 4 99.5 398 24.125 582.02 2328.06

Jumlah 80 486.5 6030 125.875 3041.61 15138.75

Simpangan Baku (S) S = ^√∑

∑

S = √

S = √ S = 13.75624…..

Jadi dari data tersebut, didapat Simpangan Baku S = 13.76 d. Koefisien kemiringan

Penyelesaian

X F Fk

35-44 3 3

45-54 3 6

55-64 8 14

65-74 23 37

75-84 20 57

85-94 19 76

95-104 4 80

Jumlah 80

Diketahui dari (b) bahwa Q1 = 63.11 ; Q3 = 88.08 Untuk Q2 :

x x x

x

Q₂ = (n) Q2 = (80)

Q2 = (berada pada rentang 75-84) Q2 = 74.5 +

Q2 = 74.5 +(

)10 Q₂ = 76

Sk = Sk =

Sk = -0.00324

Karena nilai Sk nya -0.00324 ( SK < 0 ) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negative

f. Koefisien kurtosis persentil

X F Fk

35-44 3 3

45-54 3 6

55-64 8 14

65-74 23 37

75-84 20 57

85-94 19 76

95-104 4 80

Jumlah 80

Kt = Diketahui dari (b) bahwa Q1 = 63.11 ; Q3 = 88.08

P₁₀ =

(n) P10 =

(80)

P10 = 8 (berada pada rentang 55-64) P₁₀ = B₁₀ +

∑

*C P₁₀ = 54.5 +

*10

P10 = 50.5 + 2.5 P10 = 53

P₉₀ =

(n) P90 =

(80)

P90 = 72 (berada pada rentang 85-94) P₉₀ = B₁₀ +

∑

*C P90 = 84.5 +

*10 P90 = 90.5 + 7.895 P90 = 98.395

Sehingga koefisien kurtosis persentilnya adalah:Kt = Kt =

Kt =

Kt = 0.27503028…...

Kt = 0.275

Karena nilai K = 0,275 (K>0,263) maka distribusinya leptokurtik.