1
KESALAHAN DALAM MENYELESAIKAN SOAL NILAI MUTLAK DAN HAL YANG PERLU KITA PIKIRKAN
Oleh: Abdur Rahman As’ari
Pendahuluan
Pernahkah Anda diminta untuk menyelesaikan persamaan berikut:
ȁെݔȁ ൌ െݔ
Soal semacam ini pernah diajukan oleh bapak Drs. Sudirman, M.Si. kepada para guru peserta PLPG di Universitas Negeri Malang. Ternyata jawabannya sungguh mengejutkan. Mereka menjawab bahwa himpunan penyelesaiannya adalah himpunan kosong.
Usut punya usut, salah satu penyebabnya adalah kebiasaan selama ini variabel yang ada di dalam tanda nilai mutlak umumnya tidak memuat tanda negatif. Nilai mutlak biasanya didefinisikan sebagai berikut:
ȁݔȁ ൌ ቄݔǡݔ Ͳ
െݔǡݔ ൏ Ͳ
Lihat variabel di dalam tanda nilai mutlak! Bukankah tidak ada tanda negatif di dalam tanda nilai mutlak itu.
Salah satu faktor yang menentukan penguasaan konsep dengan baik adalah ketercukupan contoh, dan variasinya. Karena itu, kalau di dalam pembelajaran tentang nilai mutlak ini kita sebagai guru tidak pernah memberikan contoh yang cukup banyak serta memiliki variasi yang lengkap, maka kita tidak bisa berharap para siswa kita akan memiliki penguasaan konsep yang mantap.
Sebenarnyalah, kalau para guru ini menguasai konsep nilai mutlak dengan baik, maka dengan menggunakan definisi saja, barangkali dia sudah bisa menentukan himpunan selesaian dari soal tadi.
ȁെݔȁ ൌ ൜ െݔǢ െݔ Ͳ
െሺെݔሻǢ െݔ ൏ Ͳ
Dengan kata lain:
ȁെݔȁ ൌ ቄെݔǢ െݔ Ͳ ݔǢ െݔ ൏ Ͳ
Mengingat soal tersebut menyatakan tentukan himpunan penyelesaian dari ȁെݔȁ ൌ െݔǡ maka jawaban dari soal ini adalah ሼݔȁ െ ݔ Ͳሽ. Himpunan penyelesaian ini sebenarnya ekivalen dengan ሼݔȁݔ Ͳሽ, atau himpunan semua bilangan tak positif. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari persamaan di atas bukan himpunan kosong.
id250755953 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com
2 Kita juga bisa menyelesaikan soal tersebut dengan cara lain sebagai berikut:
Jika ݔ Ͳǡ maka –ݔ ൏ Ͳ. Berdasarkan definisi dari harga mutlak, ȁെݔȁ ൌ െሺെݔሻ ൌ ݔ. Jadi, bilangan positif bukanlah penyelesaiannya.
Jika ݔ Ͳǡ maka െݔ ͲǤ Berdasarkan definisi dari harga mutlak, ȁെݔȁ ൌ െݔ. Inilah soal tersebut. Jadi, penyelesaiannya adalah ሼݔȁ െ ݔ Ͳሽ atau ሼݔȁݔ Ͳሽ.
Jawaban ini konsisten dengan jawaban sebelumnya.
Selanjutnya, Pak Sudirman meminta para peserta untuk memberikan sekor terhadap jawaban siswa tentang suatu pertaksamaan yang memuat nilai mutlak. Diperlihatkannya jawaban seorang siswa terhadap pertaksamaan ȁݔ െ ʹȁ ͵ݔ ʹ sebagai berikut:
ȁݔ െ ʹȁ ͵ݔ ʹ
ȁݔ െ ʹȁଶ ሺ͵ݔ ʹሻଶ
ݔଶെ Ͷݔ Ͷ ͻݔଶ ͳʹݔ Ͷ
ͺݔଶ ͳݔ ൏ Ͳ
ͺݔሺݔ ʹሻ ൏ Ͳ
െʹ ൏ ݔ ൏ Ͳ
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah ሼݔȁ െ ʹ ൏ ݔ ൏ Ͳሽ
Semua guru menyatakan bahwa sekor yang harus diberikan untuk jawaban itu adalah 100.
Mereka beralasan bahwa siswa sudah mengerjakan semuanya dengan benar dan cermat.
Sungguh mereka tidak menyadari bahwa ʹ െͳͲ, tetapi ʹଶ ൏ ሺെͳͲሻଶǤ Mereka hanya
mengikuti prosedur saja tanpa melihat kapan prosedur itu bisa digunakan. ȁݔ െ ʹȁ memang bisa lebih besar dari ͵ݔ ʹǡ tetapi kuadratnya bisa saja tidak berlaku.
Bukankah ͵ݔ ʹ hanya merupakan ungkapan matematis dari bilangan. Kendatipun semua konstantanya positif, tidak berarti bahwa ͵ݔ ʹ selalu bernilai positif. Bukankah untuk ݔ ൌ െͶǡ maka nilai dari ͵ݔ ʹ adalah -10. Dalam hal demikian, maka pengkuadratan langsung masing- masing ruas sebenarnya tidak boleh dilakukan.
Karena itu, jawaban siswa tadi adalah salah, dan oleh karenanya sekor jawaban siswa itu seharusnya kurang dari 100, bahkan kalau saya jadi penilainya, sekornya jauh kurang dari 50.
Siswa itu hanya pandai menjalankan prosedur pemangkatan, penyederhanaan, dan pemfaktoran. Siswa tersebut tidak memahami konsep nilai mutlak dengan baik.
3
Bagaimana jawab yang seharusnya?
Mengingat nilai dari suatu nilai mutlak tidak pernah negatif, maka penentunya adalah nilai dari ͵ݔ ʹ. Kita pecah ini ke dalam dua kasus, yaitu: kasus 1, manakala ͵ݔ ʹ ൏ Ͳ, dan kasus 2, manakala ͵ݔ ʹ ͲǤ
Kasus 1
Manakala nilai ͵ݔ ʹ ൏ Ͳ atau ݔ ൏ െଶ
ଷ, maka ȁݔ െ ʹȁ ͵ݔ ʹ selalu bernilai benar. Sehingga untuk kasus 1, diperoleh penyelesaian ݔ ൏ െଶ
ଷ. Kasus 2
Manakala nilai ͵ݔ ʹ Ͳ atau ݔ െଶ
ଷ, maka kedua ruas bernilai positif.
Untuk menyelesaikannya, maka masing-masing ruas dikuadratkan dan diselesaikan seperti yang dilakukan oleh siswa di atas.
Jadi
ȁݔ െ ʹȁ ͵ݔ ʹ
ȁݔ െ ʹȁଶ ሺ͵ݔ ʹሻଶ
ݔଶെ Ͷݔ Ͷ ͻݔଶ ͳʹݔ Ͷ
ͺݔଶ ͳݔ ൏ Ͳ
ͺݔሺݔ ʹሻ ൏ Ͳ
െʹ ൏ ݔ ൏ Ͳ
Dengan demikian, untuk ݔ െଶ
ଷ
nilai ݔ yang memenuhi adalah െʹ ൏ ݔ ൏ Ͳ sehingga untuk kasus 2 diperoleh penyelesaian െଶ
ଷ ݔ ൏ Ͳ
Penyelesaian keseluruhan dari pertaksamaan ini adalah gabungan dari penyelesaian dua kasus tersebut, yakni:
൜ݔȁݔ ൏ െʹ
͵ൠ ൜ݔȁ െʹ
͵ ݔ ൏ Ͳൠ
Kalau bentuk ini disederhanakan, maka diperoleh hasil:
ሼݔȁݔ ൏ Ͳሽז
4
Beberapa Pelajaran Yang Dipetik
Dari uraian di atas, tampak bahwa dalam menyelesaikan soal nilai mutlak, siswa perlu menguasai beberapa hal, antara lain:
1. Konsep nilai mutlak itu sendiri. Siswa perlu mengetahui kapan nilai mutlak suatu bilangan sama dengan bilangan itu sendiri dan kapan merupakan negasinya.
2. Hubungan antara variabel dengan nilainya. Koefisien negatif di depan suatu variabel tidak boleh diartikan sebagai bilangan positif. –ݔ bisa bernilai positif dan bisa bernilai negatif, tergantung dari nilai ݔǤ
3. Syarat suatu operasi pemangkatan dapat dilakukan. Anak perlu mengatahui bahwa ܽ ൏ ܾ tidak selalu berakibat ܽଶ൏ ܾଶǤPemahaman tentang sifat fungsi kuadrat perlu dikuasai oleh siswa.
Renungan di Akhir Tulisan
Berdasarkan pembahasan di atas, tampaknya penguasaan materi para guru masih perlu terus menerus diasah dan dikembangkan. Kesalahan-kesalahan yang terjadi seperti di atas perlu mendapatkan remedial, dan forum PLPG telah memberikan kesempatan kepada mereka untuk memperoleh layanan remidi itu. Andaikata MGMP bisa diberdayakan seperti halnya PLPG ini, mungkin kekurangan guru dalam materi matematika seperti yang telah diuraikan di atas bisa diatasi lebih baik. Apa mungkin?
Guru-guru yang melakukan kesalahan ini adalah produk LPTK. Sebaiknya LPTK melakukan refleksi diri. Sudah cocokkah kurikulum yang dianut selama ini? Sudahkah para dosen melaksanakan pembelajaran yang membelajarkan calon guru secara optimal? Menurut hemat penulis, tampaknya kita harus lebih banyak introspeksi diri. Kita tidak boleh berpuas-puas dengan apa yang sudah ada, dan menganggap bahwa apa yang telah kita lakukan sebagai suatu kegiatan yang optimal. Masih banyak celah yang perlu ditambal, bahkan kalau perlu kita harus melakukan reorientasi dan memikirkan ulang program penyiapan guru matematika kita.
Penelitian-penelitian yang berorientasi kemajuan ke depan, bukan semata-mata untuk mencari credit point atau mencari keuntungan finansial, harus kita nomor duakan. Peningkatan mutu pendidikanlah yang harus dikedepankan.
Semoga tulisan singkat ini menginspirasi kita untuk berbuat lebih baik.
