SLIDE NILAI MUTLAK DAN SIFAT-SIFATNYA

NILAI MUTLAK DAN SIFAT-SIFATNYA

Nilai Mutlak

• Misalkan 𝑥 ∈ 𝑅. Nilai mutlak dari 𝑥 ditulis

• 𝑥 = ቊ 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0

− 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

• Contoh :

• 0 = 0 ,

• |1|=1, 2 = 2, 3 = 3,

• −1 = − −1 = 1,

• −2 = − −2 = 2,

• −3 = − −3 = 3

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Grafik fungsi y=|x|

Contoh : Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi persamaan : 1. 𝑥 − 2 = 5

Penyelesaian :

𝑥 − 2 = 5 ↔ 𝑥 − 2 = − 5 atau 𝑥 − 2 = 5

↔ 𝑥 − 2 = −5 → 𝑥 = −5 + 2 = −3 atau 𝑥 − 2 = 5 → 𝑥 = 5 + 2 = 7 Himpunan Penyelesaian :

Himpunan Penyelesaian =HP= {− 3, 7}

− 3 2 7

5 5

2. 3𝑥 + 2 = 5𝑥 − 4 Penyelesaian :

3𝑥 + 2 = 5𝑥 − 4 ↔ 3𝑥 + 2 = − 5𝑥 − 4 atau 3𝑥 + 2 = 5𝑥 − 4

↔ 3𝑥 + 2 = − 5𝑥 − 4 → 3𝑥 + 5𝑥 = 4 − 2 → 8𝑥 = 2 → 𝑥 = 2

8 = 1 4 atau 3𝑥 + 2 = 5𝑥 − 4 → 3𝑥 − 5𝑥 = −4 − 2 → −2𝑥 = −6 → 𝑥 = 3 Himpunan Penyelesaian :

HP= { ¹

4 , 3}

Sifat-sifat nilai mutlak

Jika 𝑥 dan 𝑦 dua bilangan real, maka berlaku sifat berikut ini : 1. 𝑥 𝑦 = 𝑥 𝑦

2. ^𝑥

𝑦 = ^𝑥

𝑦

3. 𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 4. 𝑥 + 𝑦 ≥ 𝑥 − 𝑦

5. 𝑥 < 𝑎 ↔ − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎

− 𝑎 ⁰ 𝑎

6. 𝑥 > 𝑎 ↔ 𝑥 < − 𝑎 atau 𝑥 > 𝑎

8. 𝑥 = 𝑥²

9. 𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥² < 𝑦²

− 𝑎 ⁰ 𝑎

• 𝑥 − 𝑎 = 𝑘, artinya jarak antara 𝑥 dan 𝑎 sama dengan 𝑘.

• 𝑥 + 𝑎 = 𝑘, artinya jarak antara 𝑥 dan − 𝑎 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘.

• 𝑥 = 𝑘, 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑛𝑦𝑎 jarak antara 𝑥 dan 0 𝑠𝑎𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑘.

• 𝑥 − 𝑎 < 𝑘 ↔ −𝑘 < 𝑥 − 𝑎 < 𝑘

• ↔ 𝑎 − 𝑘 < 𝑥 < 𝑎 + 𝑘.

𝑎 − 𝑘 𝑎 𝑎 + 𝑘

𝑘 𝑘

𝑥

• 𝑥 − 𝑎 > 𝑘 ↔ 𝑥 − 𝑎 < −𝑘 atau 𝑥 − 𝑎 > 𝑘

• ↔ 𝑥 < 𝑎 − 𝑘 atau 𝑥 > 𝑎 + 𝑘.

𝑎 − 𝑘 𝑎 𝑎 + 𝑘

𝑘 𝑘

𝑥

| |

𝑥

Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

1. 2𝑥 − 5 < 3

Penyelesaian : 𝑥 < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑥 < 𝑎 2𝑥 − 5 < 3 ↔ −3 < 2𝑥 − 5 < 3

↔ −3 + 5 < 2𝑥 < 3 + 5

↔ 2 < 2𝑥 < 8 ↔ 1 < 𝑥 < 4 Jadi himpunan penyelesaian :

𝐻𝑃 = 𝑥| 1 < 𝑥 < 4 = (1,4) _{1 4}

2. 𝑥 + 2 < 1 Penyelesaian :

𝑥 < 𝑎 ↔ − 𝑎 < 𝑥 < 𝑎

𝑥 + 2 < 1 ↔ −1 < 𝑥 + 2 < 1

↔ −1 − 2 < 𝑥 < 1 − 2

↔ −3 < 𝑥 < −1

Jadi himpunan penyelesaian :

𝐻𝑃 = 𝑥| − 3 < 𝑥 < −1 = (−3, −1)

−3 −1

3. 𝑥 − 4 > 2 Penyelesaian :

𝑥 > 𝑎 ↔ 𝑥 < − 𝑎 atau 𝑥 > 𝑎

𝑥 − 4 > 2 ↔ 𝑥 − 4 < −2 atau 𝑥 − 4 > 2

↔ 𝑥 < −2 + 4 atau 𝑥 > 2 + 4

↔ 𝑥 < 2 atau 𝑥 > 6 Jadi himpunan penyelesaian :

𝐻𝑃 = 𝑥| 𝑥 < 2, 𝑥 > 6 = (−∞, 2) ∪ (6, ∞)

2 6

4. 𝑥 − 1 < 2 𝑥 − 3 Penyelesaian :

𝑥 < 𝑦 ↔ 𝑥² < 𝑦²

𝑥 − 1 < 2 𝑥 − 3 ↔ 𝑥 − 1 < 2(𝑥 − 3)

↔ 𝑥 − 1 < (2𝑥 − 6) ↔ 𝑥 − 1 ² < 2𝑥 − 6 ²

↔ 𝑥² − 2𝑥 + 1 < 4𝑥² − 24𝑥 + 36

↔ 𝑥² − 2𝑥 + 1 − 4𝑥² + 24𝑥 − 36 < 0

↔ −3𝑥² + 22𝑥 − 35 < 0 ↔ 3𝑥² − 22𝑥 + 35 > 0

3𝑥² − 22𝑥 + 35 = 0

Menggunakan rumus abc, dengan : 𝑎 = 3, 𝑏 = −22, 𝑐 = 35 𝑥_1,2 = − 𝑏 ± 𝑏² − 4 𝑎 𝑐

2 𝑎 = − −22 ± −22 ² − 4(3)(35) 2(3)

𝑥_1,2 = 22 ± 484 − 420

6 = 22 ± 64

6 = 22 ± 8 6

𝑥₁ = 22 + 8

6 = 30

6 = 5 ; 𝑥₂ = 22 − 8

6 = 14

6 = 7 3 3𝑥² − 22𝑥 + 35 = 0 → 𝑥 − 5 3𝑥 − 7 = 0

7

3 5

Jadi himpunan penyelesaian : 𝐻𝑃 = 𝑥 𝑥 < 7

3 , 𝑥 > 5 = −∞, 7

3 ∪ (5, ∞)

Cara ke dua yang lebih mudah, gunakan : 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

↔ 𝑥 − 1 ² < 2𝑥 − 6 ² ↔ 𝑥 − 1 ² − 2𝑥 − 6 ² < 0

↔ 𝑥 − 1 + (2𝑥 − 6) 𝑥 − 1 − (2𝑥 − 6) < 0

↔ (𝑥 − 1 + 2𝑥 − 6)(𝑥 − 1 − 2𝑥 + 6) < 0

↔ 3𝑥 − 7 −𝑥 + 5 < 0

3𝑥 − 7 −𝑥 + 5 = 0 → 𝑥 = 7

3 ; 𝑥 = 5 𝐻𝑃 = 𝑥 𝑥 < 7

3 , 𝑥 > 5 = −∞, 7

3 ∪ (5, ∞)

5. 1

2𝑥 − 4 > 3 Penyelesaian :

Jika 𝑎 dan 𝑏 keduanya positif atau keduanya negatif dan 𝑎 < 𝑏 , maka 1

𝑎 > 1 𝑏 . 1

2𝑥 − 4 > 3 ↔ 2𝑥 − 4 < 1

3 ↔ − 1

3 < 2𝑥 − 4 < 1 3

↔ 4 − 1

3 < 2𝑥 < 1

3 + 4

↔ 4 − 1

3 < 2𝑥 < 1

3 + 4

↔ 11

3 < 2𝑥 < 13 3

↔ ¹¹

6 < 𝑥 < ¹³

6 .

Tetapi 2𝑥 − 4 ≠ 0 → 𝑥 ≠ 2

11

6 < 𝑥 < 2 atau 2 < 𝑥 < ¹³

6 . 𝐻𝑃 = ¹¹

6 , 2 ∪ 2, ¹³

6

6. 𝑥 + 5

2 − 𝑥 < 6 Penyelesaian :

𝑥 + 5

2 − 𝑥 < 6 ↔ 𝑥 + 5

2 − 𝑥 < 6

↔ 𝑥 + 5 < 6 2 − 𝑥

↔ 𝑥 + 5 < 6(2 − 𝑥)

↔ 𝑥 + 5 < 12 − 6𝑥

↔ 𝑥 + 5 ² < 12 − 6𝑥 ²

↔ 𝑥 + 5 ² < 12 − 6𝑥 ²

↔ 𝑥² + 10𝑥 + 25 < 144 − 144𝑥 + 36𝑥²

↔ 𝑥² + 10𝑥 + 25 − 144 + 144𝑥 − 36𝑥² < 0

↔ −35𝑥² + 154𝑥 − 119 < 0

↔ 35𝑥² − 154𝑥 + 119 > 0

35𝑥² − 154𝑥 + 119 = 0 ↔ 5𝑥² − 22𝑥 + 17 = 0

Menggunakan rumus abc, dengan : 𝑎 = 5, 𝑏 = −22, 𝑐 = 17

𝑥_1,2 = − 𝑏 ± 𝑏² − 4 𝑎 𝑐

2 𝑎 = − −22 ± −22 ² − 4(5)(17) 2(5)

𝑥_1,2 = − 𝑏 ± 𝑏² − 4 𝑎 𝑐

2 𝑎 = − −22 ± −22 ² − 4(5)(17) 2(5)

𝑥_1,2 = 22 ± 484 − 340

10 = 22 ± 144

10 = 22 ± 12 10

𝑥₁ = 22 + 12

10 = 34

10 = 17

5 ; 𝑥₂ = 22 − 12

10 = 10

10 = 1 5𝑥² − 22𝑥 + 17 = 0 → 5𝑥 − 17 𝑥 − 1 = 0

17

1 5

Jadi himpunan penyelesaian :

𝐻𝑃 = 𝑥 𝑥 < 1 , 𝑥 > 17

5 = −∞, 1 ∪ 17

5 , ∞

Cara ke dua yang lebih mudah, gunakan : 𝑎² − 𝑏² = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

↔ 𝑥 + 5 ² < 12 − 6𝑥 ² ↔ 𝑥 + 5 ² − 12 − 6𝑥 ² < 0

↔ 𝑥 + 5 + (12 − 6𝑥) 𝑥 + 5 − (12 − 6𝑥) < 0

↔ (𝑥 + 5 + 12 − 6𝑥)(𝑥 + 5 − 12 + 6𝑥) < 0

↔ −5𝑥 + 17 7𝑥 − 7 < 0

−5𝑥 + 17 7𝑥 − 7 = 0

−5𝑥 + 17 = 0 → 𝑥 = 17

5 ; 7𝑥 − 7 = 0 → ; 𝑥 = 1

17

1 5

Jadi himpunan penyelesaian : 𝐻𝑃 = 𝑥 𝑥 < 1 , 𝑥 > 17

5 = −∞, 1 ∪ 17

5 , ∞

Latihan.

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari : 1. 𝑥 + 1 < 4

2. 2𝑥 − 7 > 3

3. 2 2𝑥 − 3 < 𝑥 + 10 4. 𝑥 − 2 < 3 𝑥 + 7