KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN BILANGAN I SMP

See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/312491693

Kumpulan Soal Olimpiade dan Pembahasan Bilangan 1

Chapter · January 2017

CITATIONS

0

READS

70,363

1 author:

A A Abdillah

University of Birmingham 54PUBLICATIONS   101CITATIONS   

SEE PROFILE

CORET

AN

AZUL

KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN BILANGAN I

SMP

Abdul Azis Abdillah Januari 2017

Soal

1. Angka satuan dari 1 + (1×2) + (1×2×3) + (1×2×3×4) +...+ (1×2×3×4×...×2017) adalah ...

2. Diberikan dua buah bilangan yaitu x= 201720172017×2016201620162016 dany = 201620162016× 2017201720172017.. Hitunglah nilai dari (x−y)²⁰¹⁷

3. Hitunglah p

54 + 14√ 5 +p

12−2√ 35 +p

32−10√ 7 4. Hitunglah

1

2×3 + 1

3×4+ 1

4×5+...+ 1 2016×2017

5. Manakah yang paling besar diantara dua bilanganadanb, jikaa= 216²⁰⁴ danb= 5³⁰⁶? 6. Sederhanakan bentuk berikut ini

q 2p

2√

2...=...

7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini.

HITAM 4 _____x MATIH

8. Berapakah hasil dari 100²−99²+ 98²−97²+...+ 2²−1²? 9. Berapakah jumlah digit bilangan 2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁷?

10. Hitunglah nilai dari 1 1 +√

2 + 1

√ 2 +√

3 + 1

√ 3 +√

4 +...+ 1

√

9800 +√ 9801 11. Hitunglah

1− 1³

1000

×

1− 2³ 1000

×

1− 3³ 1000

×...×

1−2017³ 1000

12. Carilah nilai dari

1− 1

1− 1

1− 1 ...

1− 1

CORET

AN

AZUL

13. Buktikan bahwa

1 1!+ 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1 2016! <2 14. Nilai dari

2017×(2016²−16)×2015 2020×(2016²−1) adalah ...

(OSK 2016)

15. Banyak bilangan realxyang memenuhix²⁰¹⁶−x²⁰¹⁴=x²⁰¹⁵−x²⁰¹³ adalah ...

(OSK 2016) 16. Nilai dari

1.2.4+2.4.8+...+n.2n.4n 1.3.9+2.6.18+...+n.3n.9n

²₃

adalah ...

(OSK 2016)

17. Misalkandxemenyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama denganx. Jika

x= 2

1

1001+₁₀₀₂² +₁₀₀₃³ +...+₁₀₁₀¹⁰ , maka dxe=...

(OSK 2016) 18. √

5050²−4950²=...

19. Jikaa=q

b

1−b, makab dinyatakan dalamaadalah...

20. Bentuk sederhana darip 4−√

15−p 4 +√

15 adalah ...

CORET

AN

AZUL

Pembahasan

1. Angka satuan dari 1 + (1×2) + (1×2×3) + (1×2×3×4) +...+ (1×2×3×4×...×2017) adalah ...

Perhatikan jumlah 4 suku pertama berikut:

Jumlah satu suku pertama yaitu 1, angka satuan (1) Jumlah dua suku pertama yaitu 1 + 2 = 3, angka satuan (3) Jumlah tiga suku pertama yaitu 3 + 6 = 9, angka satuan (9) Jumlah empat suku pertama yaitu 9 + 24 = 33, angka satuan (3) Perhatikan jumlah 5 suku pertama dan selanjutnya:

Jumlah lima suku pertama yaitu 33 + 120 = 153, angka satuan (3) Jumlah enam suku pertama yaitu 153 + 720 = 873, angka satuan (3) ...

Maka jumlah 2017 suku pertama yaitu 153 + 720 = 873, angka satuan (3)

2. Diberikan dua buah bilangan yaitu x= 201720172017×2016201620162016 dany = 201620162016× 2017201720172017.. Hitunglah nilai dari (x−y)²⁰¹⁷

Perhatikan bentuk berikut:

x= 201720172017×2016201620162016

= 2017(100010001)×2016(1000100010001) y= 201620162016×2017201720172017

= 2016(100010001)×2017(1000100010001)

Berdasarkan diatas terlihat bahwax=y, sehingga nilai dari (x−y)²⁰¹⁷= 0²⁰¹⁷= 0

CORET

AN

AZUL

3. Hitunglah p

54 + 14√ 5 +p

12−2√ 35 +p

32−10√ 7

Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut.

• (√ a+√

b)²= (a+b) + 2√

a.b←→(√ a+√

b) = q

(a+b) + 2√ a.b

• (√ a−√

b)²= (a+b)−2√

a.b←→(√ a−√

b) = q

(a+b)−2√ a.b

Maka q

54 + 14√ 5 +

q

12−2√ 35 +

q

32−10√ 7 =

q

54 + 2√ 245 +

q

12−2√ 35 +

q

32−2√ 175

= (√ 49 +√

5) + (√ 7−√

5) + (√ 25−√

7)

= 12

4. Hitunglah

1

2×3 + 1

3×4+ 1

4×5+...+ 1 2016×2017

CORET

AN

AZUL

Untuk menjawab bentuk soal seperti ini perhatikan bentuk berikut.

1

a×(a+ 1) = 1

a− 1

a+ 1 Dari bentuk diatas maka diperoleh

1

2×3 + 1

3×4 + 1

4×5 +...+ 1

2016×2017 = 1 2−1

3 +1 3 −1

4+...+ 1

2016− 1 2017

= 1 2− 1

2017

5. Manakah yang paling besar diantara dua bilanganadanb, jikaa= 216²⁰⁴ danb= 5³⁰⁶? Ubahadanbkedalam bentuk berikut

a= 216²⁰⁴= (216²)¹⁰²= 46656¹⁰² b= 5³⁰⁶= (5³)¹⁰²= 125¹⁰²

Sehingga jelas terlihat bahwaamerupakan bilangan yang terbesar

6. Sederhanakan bentuk berikut ini q

2p 2√

2...=...

Misalkana= q

2p 2√

2..., makaa=√ 2a Kuadratkan kedua ruas maka diperoleh

a²= 2a a²−2a= 0 a(a−2) = 0

Nilai yang memenuhi adalaha= 0 ataua= 2.

atidak mungkin bernilai 0, makaaditolak. Sehingga nilai yang memenuhi adalaha= 2

7. Carilah nilai yang dapat menggantikan huruf-huruf pada operasi berikut ini.

HITAM 4 _____x MATIH

CORET

AN

AZUL

• HasilH×4 harus kurang dari 10 (tidak ada yang disimpan), yang mungkin hanya 1 atau 2.

• H tidak mungkin 1, karenaHIT AM×4 bersatuan genap, makaH= 2.

• JikaH = 2 makaM = 8.

• IT A×4 + 3 =AT I (ingat 3 merupakan simpanan dari 8×4)

• I×4<10, maka nilai I yang mungkin hanya 0, 1, dan 2, sehingga nilai yang memenuhi adalahI= 1. Akibat ini, haruslahA= 7.

• T×4 + 3 menghasilkan angka akhirT dan dibawa 3, maka haruslah T = 9.

∴Jadi 21978

4 _____x 87912

8. Berapakah hasil dari 100²−99²+ 98²−97²+...+ 2²−1²?

CORET

AN

AZUL

Perhatikan pola berikut : 2²−1²= 3 = 1 + 2 4²−3²= 7 = 3 + 4 6²−5²= 11 = 5 + 6 ...

maka soal dapat dituliskan dalam bentuk

100²−99²+ 98²−97²+...+ 2²−1²= 100 + 99 + 97 + 96 +...+ 2 + 1

= 100(100 + 1) 2

= 5050

9. Berapakah jumlah digit bilangan 2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁷?

2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁷= 2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁶×5 = (2×5)²⁰¹⁶×5 = 5×10²⁰¹⁶ Sehingga jumlah digit bilangan dari 2²⁰¹⁶×5²⁰¹⁷ adalah 2017 digit

10. Hitunglah nilai dari 1 1 +√

2 + 1

√2 +√

3 + 1

√3 +√

4 +...+ 1

√9800 +√ 9801 Rasionalkan setiap penyebut sehingga diperoleh bentuk berikut:

=¹⁻

√ 2 1−2 +

√2−√ 3 2−3 +

√3−√ 4 3−4 +...+

√9800−√ 9801 9800−9801

=−(1−√ 2 +√

2−√ 3 +√

3−√

4 +...+√

9800−√ 9801)

=−(1−√ 9801)

=−(1−99)

= 98 11. Hitunglah

1− 1³

1000

×

1− 2³ 1000

×

1− 3³ 1000

×...×

1−2017³ 1000

Perhatikan bentuk berikut:

=

1−₁₀₀₀¹³

×

1−₁₀₀₀²³

×...×

1−₁₀₀₀¹⁰³

×...×

1−²⁰¹⁷₁₀₀₀³

= 1−₁₀₀₀¹

× 1−₁₀₀₀⁸

×...× 1−¹⁰⁰⁰₁₀₀₀

×...×

1−²⁰¹⁷₁₀₀₀³

= 1−₁₀₀₀¹

× 1−₁₀₀₀⁸

×...×(1−1)×...×

1−²⁰¹⁷₁₀₀₀³

= 1−₁₀₀₀¹

× 1−₁₀₀₀⁸

×...×(0)×...×

1−²⁰¹⁷₁₀₀₀³

= 0

12. Carilah nilai dari

1− 1

2² 1− 1

3² 1− 1 4²

...

1− 1

n²

CORET

AN

AZUL

1− 1

2² 1− 1

3² 1− 1 4²

...

1− 1

n²

=

1−1

2 1 +1

2 1−1

3 1 + 1 3

...

1− 1

n 1 + 1

n

= 1

2 3 2

2 3

4 3

...

n−1 n

n+ 1 n

=n+ 1 2n

13. Buktikan bahwa

1 1!+ 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1 2016! <2

CORET

AN

AZUL

Perhatikan ketaksamaan berikut:

1 3! < 2

3!; 1 4! < 3

4!;· · ·; 1

2016! < 2015 2016!

maka 1

1!+ 1 2!+ 1

3!+· · ·+ 1 2016! < 1

1!+ 1 2!+ 2

3!+· · ·+ 2015

2016! (*)

Perhatikan bahwa

k

(k+ 1)! = k+ 1

(k+ 1)! − 1 (k+ 1)!

= 1

(k)!− 1

(k+ 1)! (**)

Dengan menggunakan bentuk pada (**) maka pertaksamaan pada (*) dapat ditulis menjadi:

1 1!+1

2!+1

3!+· · ·+ 1 2016!< 1

1!+ 1

1!− 1 2!

+

1 2!− 1

3!

+

1 3!− 1

4!

+· · ·+

1

2015!− 1 2016!

1 1!+ 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1

2016! <1 + 1− 1 2016!

1 1!+ 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1

2016! <2− 1 2016!

1 1!+ 1

2!+ 1

3!+· · ·+ 1 2016! <2

∴Terbukti 14. Nilai dari

2017×(2016²−16)×2015 2020×(2016²−1) adalah ...

(OSK 2016)

Misalkanx= 2016, maka diperoleh bentuk 2017×(2016²−16)×2015

2020×(2016²−1) =(x+ 1)×(x²−16)×(x−1) (x+ 4)×(x²−1)

=(x²−1)(x+ 4)(x−4) (x+ 4)(x²−1)

=x−4 (*)

Kemudian substitusikan nilaix= 2016 pada persamaan (*), sehingga diperoleh nilai 2017×(2016²−16)×2015

2020×(2016²−1) = 2016−4 = 2012

CORET

AN

AZUL

x²⁰¹⁶−x²⁰¹⁴=x²⁰¹⁵−x²⁰¹³ (x²⁰¹⁵−x²⁰¹³)x−x²⁰¹⁵−x²⁰¹³= 0

(x−1)(x²⁰¹⁵−x²⁰¹³) = 0 (x−1)(x²−1)(x²013) = 0

(x−1)(x−1)(x+ 1)(x²013) = 0 (*)

Sehingga nilaixyang memenuhi persamaan (*) adalahx=−1,x= 1, danx= 0

16. Nilai dari

1.2.4+2.4.8+...+n.2n.4n 1.3.9+2.6.18+...+n.3n.9n

²₃

adalah ...

(OSK 2016)

1.2.4 + 2.4.8 +...+n.2n.4n 1.3.9 + 2.6.18 +...+n.3n.9n

²₃

=

1.2.4(1 + 2 +...+n) 1.3.9(1 + 2 +...+n)

²₃

= 8

27 ²₃

= 4 9

CORET

AN

AZUL

17. Misalkandxemenyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama denganx. Jika

x= 2

1

1001+₁₀₀₂² +₁₀₀₃³ +...+₁₀₁₀¹⁰ , maka dxe=...

(OSK 2016)

Kita akan menyelesaikan permasalahan ini dengan mencari rentang nilai terdekat dengan x.

Berikut penyelesaiannya

Nilai minimum untukxdapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut men- jadi 1001, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu

2

1

1001+₁₀₀₁² +₁₀₀₁³ +...+₁₀₀₁¹⁰ = 2

55 1001

=2002 55 = 36,4

Nilai maximum untuk x dapat diperoleh dengan mengubah semua penyebut dari penyebut menjadi 1010, sehingga diperoleh suatu nilai yaitu

2

1

1010+₁₀₁₀² +₁₀₁₀³ +...+₁₀₁₀¹⁰ = 2

55 1010

=2020

55 = 36,73

Berdasarkan nilai minimum dan maksimum yang telah kita peroleh yaitu 36,4 < x < 36,73 dapat disimpulkan bahwa nilaidxeyang memenuhi adalah 37

18. √

5050²−4950²=...

p5050²−4950²=p

(5050 + 4950)−(5050−4950)

=p

(100.000).(100)

= 1000

19. Jikaa=q

b

1−b, makab dinyatakan dalamaadalah...

CORET

AN

AZUL

a= r b

1−b Pangkatkan dua pada setiap ruas, maka diperoleh bentuk

a²= b 1−b Kalikan ke dua ruas dengan (1−b), maka diperoleh bentuk

a²(1−b) =b a²−a²b=b

a²=b+a²b a²=b(1 +a²) a²

1 +a² =b

∴b= _1+a^a22

20. Bentuk sederhana darip 4−√

15−p 4 +√

15 adalah ...

CORET

AN

AZUL

Misalkanp 4−√

15−p 4 +√

15 =x

Kuadratkan kedua ruas, maka diperoleh bentuk

x²= q

4−√ 15−

q 4 +√

15 ²

= q

4−√ 15−

q 4 +√

15 q

4−√ 15−

q 4 +√

15

= 4−√

15 +

4 +√ 15

−2 q

4−√ 15

q 4 +√

15

= 8−2√ 16−15

= 8−2.1

= 6

∴Sehingga nilaix=√ 6

Biografi Penulis

Abdul Azis Abdillah memiliki minat dalam bidang matematika terapan. Saat ini, kegiatan yang dilakukan selain belajar menulis, juga merupakan salah satu staf pengajar di salah satu perguruan tinggi yang ada di Depok. Penulis dapat dihubungi melalui alamat email berikut : abdillah.azul@gmail.com

Jika anda ingin memasang iklan pada karya-karya penulis silahkan menghubungi penulis lewat alamat email yang telah disediakan.