MATRIKS
Standar Kompetensi : 3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar : 3.1 Menggunakan sifat-sifat dan operasi matriks untuk menunjukkan bahwa suatu matriks persegi merupakan invers dari matriks persegi lain
3.2 Menentukan determinan dan invers matriks 2 x 2 3.3 Menggunakan determinan dan invers dalam
penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel A. Pengertian Matriks.
Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom dan dibatasi dengan tanda kurung.
Dalam kehidupan sehari-hari dapatkah anda menyebutkan contoh susunan bilangan yang dapat dibuat menjadi matriks?
Matriks diberinama dengan huruf kapital.
Contoh : A =
10 4 2 5
6 11 0 1
9 7 2 3
; M =
1 2
3 4
; P =
12 7
5
Setiap bilangan pada matriks disebut unsur atau elemen dari matriks tersebut Contoh :
1. Unsur baris ke 2 dari matriks A adalah : 1 , 0 , 11 dan 6 2. Elemen kolom ke 3 dari matriks A adalah : 7 , 11 dan –4 3. Unsur baris ke 2 kolom ke 3 dari matri A adalah : 11
4. Unsur baris ke 3 dari matrik A adalah ………
5. Elemen baris ke 2 dari matrik M adalah ………
6. Unsur kolom ke 4 dari matrik A adalah ……….
7. Elemen kolom ke 1 dari matriks M adalah ………
8. Unsur baris ke 3 kolom ke 4 dari matri A adalah ………..
9. Elemen baris ke 2 kolom ke 2 dari matri M adalah………
10. Unsur baris ke 3 kolom ke 1 dari matri P adalah ………...
Ordo atau ukuran suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris kali banyaknya kolom matriks itu.
Contoh : Matriks A terdiri atas 3 baris (mendatar/horizontal) dan 4 kolom (tegak/vertikal) maka matriks A berordo 3x4 ditulis A3x4 dan banyaknya unsur matriks A adalah 3x4=12 1. Ordo matriks M adalah ……. ,banyaknya unsur matriks M adalah ………..
2. Ordo matriks P adalah ……. ,banyaknya unsur matriks P adalah ………
a a a ... a
Contoh :
13 75
22
C x
, tuliskan
...
...
...
...
...
...
...
...
...
33
P x
2. Matriks Baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris.
Contoh : N1x3
2 6 4
, tuliskan B1x4
.... .... .... ....
3. Matriks Kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom.
Contoh :
9 15
12
Q x
, tuliskan
....
....
....
1
K 3x
4. Matriks Nol (
0
) adalah matriks yang semua unsurnya nol.Contoh :
00 0
00 0
32
O x
, tuliskan
....
....
....
....
....
....
23
O x
5. Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua unsurnya nol kecuali unsur diagonal utamanya tidak semuanya nol.
Contoh :
50 0
01 0
00 2
33
D x
, tentukan
...
...
22
D x
6. Matriks Satuan atau Matriks Identitas adalah matriks diagonal yang semua unsur diagonal utamanya satu.
Contoh :
10 01
22
I x
, tentukan
....
....
....
....
....
....
....
....
....
33
I x
Contoh :
2 0 0
13 0
0 4 5
33
S x
, tentukan
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
....
4
T 4x
8. Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang semua unsur di atas diagonal utamanya nol sedangkan unsur lainnya tidak semuanya nol.
Contoh :
3 7 0 4
0 5 3 1
0 0 1 2
0 0 0 6
33
R x
, tentukan
....
....
....
....
....
....
....
....
....
33
Q x
9. Matriks Koefisien adalah matriks yang unsur-unsurnya diperoleh dari koefisien variabel suatu sistem persamaan linear.
Contoh : Matriks koefisien dari sistem persamaan
4 5 3
7 2
y x
y x
adalah
5 3
1 2
Tentukan matriks koefisien dari sistem pers.
18 7
2
12 3 5
1 2 3
y x
z y x
z y x
adalah
...
...
...
...
...
...
1. Transpose dari matriks
6 10
02 1 7
M
adalah
60 1
102
t 7 M
2. Transpose dari matriks
3 01
95
P 2
adalah
....
....
....
....
....
....
P t
3. Transfos dari matriks
11 5 4
9 8 0
3 1 2
G
adalah
...
...
...
...
...
...
...
...
...
G t
D. Operasi Hitung pada Matriks.
a. Kesamaam dua buah matriks.
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (ditulis A = B ) bila matriks A dan B berordo sama dan semua unsur yang seletaknya sama.
Contoh :
1. Diketahui matriks :
A =
1 2
3 4
; B =
2 3
4 1
; C =
3
22 1
3 6
x
dan D =
34 2
2 2 12 4
Manakah diantara matriks diatas yang sama?
Jawab : A = D dan …. = ….
2. Diketahui matriks :
c ba
3 0 1
9 2
=
3 0 12
9
5
2
b
3c 12 ...
3. Diketahui matriks :
11 5 2
9 2
0
3 1 2
c a
b
b a
=
11 5 17
9 10 0
4 1 2
Tentukan nilai a , b dan c.
Jawab :
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
4. Diketahui matriks : A =
3 2
2 yx
yx
dan B =
3 1
11 2
Jika A = Bt tentukan nilai x dan y.
Jawab : A = Bt
3 2
2 yx
yx
=
....
....
....
....
x y ...
2x y ...
………
………
………
………
Jawab : Pt = Q
...
...
....
...
...
=
1 5
11 21
………
………
………
………
………
………
………
b. Penjumlahan dua buah matriks.
Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan (ditulis A + B ) bila matriks A dan B berordo sama dengan cara menjumlahkan unsur-unsur yang seletaknya.
Contoh : Hitunglah!
1.
113 21 75 84 7251 81143 .... .... .... ....
sdrc
qbpa
sr
qp
dc
ba
2.
24 38 52
610 02 17
....
....
....
....
....
....
3.
810 6
122 5
947
115 4
98 0
312
...
...
...
...
...
...
...
...
...
c. Lawan suatu matriks
Jika matriks A + B = 0 maka kedua matriks itu berlawanan, A lawan dari B dan sebaliknya (ditulis A = – B dan B = – A)
Diketahui matriks
dc
A ba
dan A(A)0maka
00 00 ...
...
dc ba
Jadi
...
...
...
...
A
Contoh :
1. Diketahui matriks
1 5
P 83
maka
...
...
...
...
P
2. Diketahui matriks
4 06
95
Q 2
maka
...
...
...
...
...
...
Q
d. Pengurangan dua buah matriks
Dalam bilangan berlaku a – b = a + (–b), karena setiap matrik mempunyai lawan maka dalam matriks juga berlaku A – B = A + (–B)
Contoh : Hitunglah !
1.
84 72 76
35
84 72 76 35
...
...
...
...
2.
115 83 62
01 59 107
...
...
...
01 59 107
...
...
...
...
...
...
3.
...
...
69
47
32
58
4.
...
...
89 710 41 56
5.
...
...
056 41011 381 924
e. Perkalian matriks dengan bilangan real
Dalam bilangan berlaku 2a = a + a , dalam matriks juga berlaku 2A = A + A
Diketahui matriks
12
A 34
maka
12 34 12
2 AAA 34
...
...
...
...
Jadi bila matriks
dc
A ba
dan k bilangan real maka
...
...
...
...
.Ak
Contoh :
Diketahui matriks A =
4 3
1 5
; B =
6 7
2 8
, tentukanlah
1. 5.A = 5.
4 3
1 5
=
...
...
...
...
2. –3.B = –3.
6 7
2 8
=
...
...
...
...
5 1
8 2
... ... ...
4. 3.A – 2.B =3.
4 3
1 5
– 2.
6 7
2 8
=
...
...
...
...
...
...
5. Diketahui matriks :
5 3
4
A 1
;
71
2
B 6
dan
89 C 24
Hitunglah matriks 2A3BC....
f. Sifat-sifat Penjumlahan dan Perkalian matriks dengan bilangan real.
Diketahui matriks :
5 3
P 82
;
7 1
10
Q 7
dan
11 9
4
R 6
, tentukanlah!1.
...
...
53
.3.3 82
P
2.
...
...
53 .5.5 82 P
3.
...
...
53 .8.8 82 P
4.
...
...
71 .5.5 107 Q
107 ...
6.
...
...
...
...
...
...
QP
7.
...
...
...
...
...
...
RP
8.
...
...
...
...
...
...
PQ
9.
...
...
...
...
...
...
RQ
10.
...
...
...
...
...
...
PR
11.
...
...
...
...
...
...
QR
12.
...
...
...
...
...
...
QP
13.
...
...
...
...
...
...
.5.5QP
14.
...
...
...
...
...
...
.8.8QP
15.
...
...
...
...
...
...
.5.3PP
16.
...
...
...
...
...
...
.3.8PP
17.
...
...
...
...
.5).(5 QP
18.
...
...
...
...
.8).(8
QP
19.
...
...
...
...
...
...
)( RQP
20.
...
...
...
...
...
...
)(
RQP
Jadi bila diketahui A ; B dan C matriks m dan n bilangan real maka sifat-sifat berikut berlaku : (i) A + B = ……… (sifat ………..)
(ii) m.A + n.A = (…………).A (iii) m.A – n.A = (…………).A
(iv) m.A + m.B = m. (………….)
(v) m.A – m.B = m.(………….) (vi) (A + B) + C =
………. (sifat
………..)
g. Persamaan Matrikks
Contoh : Tentukanlah matriks
X
yang memenuhi persamaan berikut!....) ...
...
(sifat
1.
38 .3 12 16 .2X 54
...
...
924 .2X 36
...
...
...
...
.2X
...
...
...
...
X
2.
8 1 9 .3 1 7 6
.2 X
...
...
...
.2 8 1 9 .3X
...
...
...
...
...
...
.3X
...
...
.3 X
...
...
...
X
3.
39 512 711 .5X 103
4.
61 34 25 .3.2 27 56 81
X
h. Perkalian dua buah matriks
Ilustrasi : Ani dan Budi pergi ke KOPSIS ingin membeli buku dan pensil yang sama.
Sebelum membeli mereka mencatat dulu yang mau mereka beli dalam suatu tabel sbb:
Buku Pensi l
Harga Uang yng harus
dibayar
Ani 5 2 Buku Rp.
2.000
Ani Rp. ………..
Budi 4 3 Pensil Rp. 500 Budi Rp. ………..
Bila judul baris dan judul kolom dihapus kemudian dibatasi dengan tanda kurung, jadilah matriks. Hitunglah berapa uang yang harus dibayar Ani dan Budi masing- masing?
...
...
... ...
...
...
...
...
...
500 000.2 34
25
x x
x
Kalo dirumuskan menjadi
Contoh : Hitunglah !
qdpc qbpa q p dc ba
..
..
1.
...
...
)1.(23.5 )1.(63.4 1 3 25 64
2.
5 2 46
37
...
...
...
....
...
....
72 ... ... ...
4.
...
...
6 3 28 45
5.
...
...
...
2
4
75
21
93
6.
...
...
1 3 2 617 254
7.
...
...
4 2 3 572 183
8.
...
1 5 2 4 3
5
Contoh : Hitunglah !
ba qp .... sbqarbpa
9.
...
...
)1.(6)3).(2(2.6 7).2(
)1.(5)3.(42.5 7.4
12 37 62 54
10.
34 16 45
73
...
...
...
...
...
...
...
....
...
...
...
....
11.
23 15 63
45 72
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
12.
...
...
56 13 28 45
13.
...
...
...
35
84
45
21
73
14.
...
...
31 43 52 617 254
15.
...
...
...
...
...
...
31 4 2 7
5
16. Diketahui matriks
4 3
1
A 2
hitunglah :a.
...
...
...
...
...
...
2 .. AAA
b.
...
...
...
...
...
...
23 .. AAA
1.
...
...
...
...
...
...
.BA
2.
...
...
...
...
...
...
.CA
3.
...
...
...
...
...
...
.IA
4.
...
...
...
...
...
...
.AB
5.
...
...
...
...
...
...
.CB
6.
...
...
...
...
...
...
.IB
7.
...
...
...
...
...
...
.AC
8.
...
...
...
...
...
...
.BC
9.
...
...
...
...
...
...
.IC
10.
...
...
...
...
...
...
.AI
11.
...
...
...
...
...
...
.BI
12.
...
...
...
...
...
...
.CI
13.
...
...
...
...
...
...
)..(CBA
14.
...
...
...
...
...
...
)..(
CBA
15.
...
...
...
...
...
...
BA
16.
...
...
...
...
...
...
BA
17.
...
...
...
...
...
...
).(
BAC
18.
...
...
...
...
...
...
).(CBA
19.
...
...
...
...
...
...
..BCAC
20.
...
...
...
...
...
...
..CBCA
Jadi bila diketahui matriks A ; B dan C maka sifat-sifat berikut berlaku : (i) A . B …. B . A (………..)
(ii) A.I …. I.A …. …. (………..……)
E. Invers matriks berordo 2x2 Hitunglah !
1.
...
...
57 23 37 25
2.
...
...
37 25 57 23
3.
...
...
41 92 21 94
4.
...
...
21 94 41 92
Def. Jika matriks A.B = B.A = I maka kedua matriks itu saling invers ditulis A = B –1 dan B = A –1
maka A.A –1 = A –1.A = I Rumus Invers matriks berordo 2x2
...
...
ac bd dc ba
...
...
...
ac
bd
dc
ba
...
...
...
ac bd dc
ba
Jadi bila
dc
A ba
maka
...
...
...
...
... . ...
1 ..
A
dengan a.d b.c disebut determinan matriks
A
ditulisa cbd dc
AA ba ..
det
dan invers matriks
A
bisa juga ditulis
...
...
...
...
... . ...
1 ..
A
Apakah setiap matriks mempunyai invers ? (………)
Matriks P yang tidak punya invers disebut matriks singular bila det P = ….
Contoh :
1. Tentukan determinan matriks berikut ini :
a.
...)2).(5()4).(3(
42
det 53
42
53
AA
b.
...)(....).(....)(....).(..
65
det 41
65
41
BB
c.
