BAB 2. Matriks Partisi

(1)

BAB 2. PEMBELAJARAN 1

Matriks Terpartisi

A. Tujuan Kegiatan Pembelajaran

Setelah mempelajari materi ini, mahasiswa diharapkan:

1. Mampu membedakan antara matriks terpartisi dan matriks bukan terpartisi 2. Mampu melakukan operasi aljabar antara matriks-matriks terpartisi

3. Mampu menentukan invers dari suatu matriks terpartisi 4. Mampu menentukan rank dari suatu matriks terpartisi 5. Mampu menentukan determinan dari suatu matriks terpartisi

B. Deskripsi Materi Pembelajaran

Matriks terpartisi pada prinsipnya tidak berbeda dengan matriks yang sudah dikenal selama ini. Perbedaannya hanya terletak pada elemen matriks, dimana pada matriks terpartisi, elemen-elemennya adalah blok-blok matriks dengan ukuran lebih kecil.

Matriks partisi dari A adalah matriks yang setiap elemennya juga berbentuk matriks, yang diperoleh dengan cara menarik satu atau beberapa garis horizontal atau vertical diantara 2 baris atau kolom A. Elemen-elemen yang dipisahkan oleh garis-garis tersebut dinamakan blok. Untuk matriks yang berukuran besar, mempartisi matriks akan menyederhanakan perhitungan, karena ukurannya lebih sederhana. Beberapa sifat operasi matriks terpartisi masih diturunkan dari sifat operasi matriks biasa, seperti penjumlahan dan perkalian dengan skalar, namun sifat-sifat yang lain seperti perkalian antara 2 matriks terpartisi, determinan, inverse dan trace memiliki bentuk yang berbeda.

C. Uraian Materi

C.1 Pengantar Matriks dan Sub Matriks

Matriks adalah koleksi bilangan-bilangan riil a11,a12,...,a1n,...,am1,am2,...,amn

(2)

Matriks sebagaimana didefinisikan di atas dikatakan berukuran mxn, di mana m menyatakan banyaknya baris dan n menyatakan banyaknya kolom. Bilangan pada baris ke-i dan kolom ke-j dikatakan elemen atau unsur ke-ij. Matriks umumnya ditulis menggunakan notasi huruf capital, seperti dan seterusnya. Jika elemen ke dari matriks adalah maka matriks A biasa ditulis:

 

a j A: ₁

Operasi-operasi aljabar antara 2 atau lebih matriks, sifat-sifat dan jenis-jenis matriks sudah diberikan pada matakuliah Matematika Dasar, jadi uraian kali ini difokuskan pada bagian-bagian khusus yang terkait langsung dengan matriks terpartisi, salah satu diantaranya adalah sub matriks.

Sub matriks dari matriks A adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan atau mencoret beberapa baris atau kolom A.

Sebagai Contoh, jika diberikan matriks berukuran 3x4 sebagai berikut:

- Jika baris ke-2 dari matriks tersebut dihilangkan maka diperoleh submatriks berukuran 2x4 sebagai berikut

- Jika kolom ke-1 dan kolom ke-3 dihapus maka diperoleh submatriks berukuran 3x2 seperti berikut ini

- Sebuah matriks merupakan submatriks dirinya sendiri

Misalkan adalah matriks berukuran mxn. Misalkan pula adalah submatriks dari berukuran yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i1,...,imr dan kolom

ke-s n j

j1,...,  dari dan adalah submatriks berukuran dari A

T

yang diperoleh dengan menghapus baris ke- j1,...,j_n_s dan kolol ke-i1,...,imr dari A

T

, maka

 

T

A

(3)

Sebuah submatriks yang diperoleh dengan menghapus baris dan kolom yang sama disebut principal submatriks. Principal submatriks dari matriks yang diperoleh dengan menghapus nr,



r1,2,...,n



baris dan kolom terakhir disebut leading

principal submatriks. Beberapa sifat yang terkait dengan principal submatriks diberikan

sebagai berikut:

- Jika A adalah matriks simetri maka principal submatriks A juga simetri. - Jika A adalah matriks diagonal maka principal submatriks A juga diagonal.

- Jika A adalah matriks segitiga atas (atau segitiga bawah) maka principal submatriks A juga merupakan matriks segitiga atas (atau bawah).

C.2 Matriks Terpartisi

Sebuah matriks dapat dibagi atau dipartisi ke dalam sejumlah submatriks dengan cara menyelipkan garis horizontal atau vertical diantara baris-baris atau kolom-kolom matriks. Matriks yang terbentuk disebur matriks terpartisi dan submatriks-submatriks di dalamnya disebut blok (elemen blok)

Dibawah ini diberikan beberapa matriks terpartisi yang mungkin dari sebuah matriks berukuran 3x4 yang diberikan sebelumnya

Jadi, matriks terpartisi adalah matriks A

 

a_ij ,i1,...,m;j 1,...,n yang dinyatakan kembali dalam bentuk

             rc rc r c c A A A A A A A A A A        1 2 22 21 1 12 11 ………..…………... (1.1)

dimana submatriks-submatriks A_i₁,A_i₂,...,A_icpada baris ke-i dari A mempunyai jumlah baris yang sama untuk setiap i1,2,...,r; dan submatriks-submatriks Aij,Aj2,...,Arjpada kolom

(4)

ke-j dari A mempunyai jumlah kolom yang sama pula. Sebagaimana elemen matriks, maka elemen blok dari sebuah matriks terpartisi ditandai berdasarkan posisi baris dan kolom blok tersebut. Misalnya, Aij adalah elemen blok pada baris ke-i kolom ke-j matriks A pada (1.1)

Berdasarkan hal tersebut maka matriks berikut bukan matriks terpartisi (kenapa?)

Apabila matriks terpartisi A berukuran rxr, yaitu:

             rr rc r r r A A A A A A A A A A        1 2 22 21 1 12 11 maka

- Elemen Aij disebut blok diagonal jika i=j

- Elemen Aij disebut blok off-diagonal jika i≠j

Jika semua blok off-diagonal A merupakan matriks O; yaitu:

                   rr A A A A        22 11

maka A disebut matriks blok-diagonal. Dalam kasus ini, A biasa ditulis:

) ,..., , ( ₁₁_, ₂₂ 22 11 nn rr A A A diag A A A A                           

(5)

Jika Aij=O untuk j<i; i,j=1,2,…,r yaitu:              rr r r A O O A A O A A A A        2 22 1 12 11

maka A disebut matriks blok-segitiga atas.

Secara similar, Jika Aij=O untuk j>i; i,j=1,2,…,r yaitu:

             rr rc r A A A O A A O O A A        1 22 21 11

maka A disebut matriks blok-segitiga bawah.

Uraian berikut ini akan membahas mengenai operasi-operasi matriks terpartisi, rank, inverse dan determinan matriks terpartisi:

1. Operasi-operasi matriks terpartisi.

Operasi-operasi standar yang berlaku pada matriks sebarang pada umumnya berlaku juga pada matriks terpartisi, sebagaimana diperlihatkan berikut ini:

a. Perkalian dengan scalar k tak nol. Misalkan

maka

(6)

Khususnya untuk k=1 maka

b. Transpose matriks terpartisi Jika

maka transpose A adalah

c. Penjumlahan

Misalkan

dan

(7)

Dengan syarat bahwa penjumlahan setiap elemen blokk Aij Bijterdefinisi (Dalam hal

ini, A dan B dikatakan konformal untuk penjumlahan) Jika A dan B konformal untuk penjumlahan maka

d. Perkalian matriks terpartisi

Jika A berukuran mxn dan B berukuran pxq dengan masing-masing terpartisi sebagai berikut:

dan A_ikB_kj terdefinisi untuk setiap i1,...,r;j1,...,v;k 1,...,c (A dan B konformal untuk perkalian) maka

dimana

Sebagai ilustrasi, misalkan .

(8)

maka Contoh 1.1. Misalkan Maka [ ] [ ] [ ] dimana [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Jadi [ ]

(9)

2. Trace matrik terpartisi

Misalkan A₁₁,A₁₂,...,A_nn adalah blok diagonal dari matriks bujursangkar yang terpartisi ke dalam

maka

3. Matriks blok segitiga

Misalkan diberikan matriks blok segitiga dalam bentuk:

      n m I V I 0 atau _      n m I V I 0

dimana V adalah matriks berukuran . Untuk setiap matriks A dan B yang berukuran masing-masing dan maka

- _                    VA B A B A I V I n m 0 - _                    A VA B B A I V I n m 0

Dengan cara yang sama jika matriks A dan B berukuran rmasing-masing dan maka -







A BV B



I V I B A n m , 0         -







B A BV B



I V I A B n m , , 0        

(10)

4. Rank matriks terpartisi

Lemma 1.1.

Misalkan T adalah matriks berukuran mxp, U berukuran mxq, V berukuran nxp dan W berukuran nxq maka:                            T U V W rank U T W V rank V W T U rank W V U T rank .

(Bukti Lemma dapat dilihat pada Lampiran A.1. Lemma pendukung tanpa bukti ditampilkan pada lampiran yang sama)

Lemma 1.2.

Misalkan T adalah matriks berukuran mxn, V berukuran nxp dan W berukuran nxq. Jika T memiliki full rank kolom (rank (T)=p atau W memiliki full rank baris (rank(W)=n, maka ) ( ) ( 0 0 W rank T rank T V W rank W V T rank               

(Bukti Lemma dapat dilihat pada Lampiran A.2. Lemma pendukung ditampilkan tanpa bukti pada lampiran yang sama)

Teorema 1.1

Misalkan T adalah matriks berukuran mxm, U berukuran mxq, V berukuran nxm dan W berukuran nxq. Jika rank(T)=m, yaitu T nonsingular, maka

) (W VT 1U rank m T U V W rank U T W V rank V W T U rank W V U T rank                               

(11)

5. Invers matriks terpartisi

Invers dari suatu matriks terpartisi ditentukan berdasarkan beberapa karakteristik berikut:

1) Matriks Blok Diagonal

- Misalkan T berukuran mxm dan W berukuran nxn. Matriks blok diagonal _

     W T 0 0

nonsingular jika dan hanya jika T dan W keduanya nonsingular, dan dalam hal ini

                1 1 1 0 0 0 0 W T W T

Jika diperumum untuk sebarang matriks bujursangkar A₁,A₂,...,A_k , maka











1 1



2 1 1 1 2 1, ,..., , ,...,     _ k k diag A A A A A A diag

- Jika U dan V nonsingular maka

                0 0 0 0 1 1 1 V U V U

2) Satu blok nol pada off-diagonal - Misalkan V berukuran nxm, maka

      n m I V I 0 dan _      m n I V I 0 nonsingular dan _               n m n m I V I I V I 0 1 0                m n m n I V I I V I 0 0 1

- Misalkan T berukuran mxm, V berukuran nxm dan W berukuran nxn. Matriks blok

      W V T 0 atau _      T V W

0 berukuran (m+n)x(m+n) nonsingular jika dan hanya jika T dan W keduanya nonsingular, dan dalam hal ini

                   1 1 1 1 1 0 0 W VT W T W V T

(12)

dan                    1 1 1 1 1 0 0 T VT W W T V W 3) Blok Segitiga Misalkan

masing-masing menyatakan matriks blok segitiga atas dimana blok Aij berukuran nixnj

dan matriks blok segitiga bawah dimana Bij berukuran nixnj d berukuran. Maka A

nonsingular jika dan hanya jika Aii nonsingular untuk setiap i. Demikian pula, B

nonsingular jika dan hanya jika Bii nonsingular.

Sebuah algoritma untuk menentukan invers matriks blok segitiga nonsingular diberikan pada Lampiran A.4. Sebagai ilustrasi, simak contoh berikut:

Contoh.1.2.

Gunakan algoritma pada Lampiran A.4 untuk menentukan invers dari

Jawab: Misalkan            33 23 22 13 12 11 0 0 0 f f f f f f F

Langkah pertama hitung f33:

5 . 0 2 1 33  f

Langkah kedua hitung f22 dan f23 ;

2 . 0 5 1 22   f ; f₂₃(0.2)(4)(0.5)0.4p

(13)

Langkah ketiga hitung ; 125 . 0 8 1 11  f

  

1 0.2 0.025 ) 125 . 0 ( 12   f

 

   



1 0.4 6 0.5



0.325; ) 125 . 0 ( 13    f Jadi                 5 . 0 0 0 4 . 0 2 . 0 0 325 . 0 025 . 0 125 . 0 1 F A

Secara umum, invers dari matriks yang terpartisi ke dalam blok 2x2 dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema 1.2

Misalkan A adalah matriks nxn yang terpartisi menjadi: _

      22 21 12 11 A A A A A ,

dengan A, A11 dan A22 nonsingular.

Jika B=A-1 dengan _

      22 21 12 11 B B B B B maka:









11 21 1 22 21 22 12 1 11 12 1 22 12 11 21 1 22 1 22 1 12 1 11 21 22 22 1 11 21 22 12 1 11 1 11 1 21 1 22 2 11 11 B A A B B A A B A A B A A A A A A A B A A B A A A A A A A B                        

Determinan Matriks Terpartisi

Telah diketahui sebelumnya bahwa determinan matriks segitiga adalah hasilkali elemen-elemen diagonal. Sifat ini ternyata dapat diperluas untuk matriks terpartisi, yang dinyatakan dalam teorema berikut:

Teorema 1.3.

Jika T adalah matriks berukuran mxm, V berukuran nxm dan W berukuran nxn, maka

T W T V W W V T   0 0

(14)

Berdasarkan teorema tersebut maka:

dan

Beberapa akibat dari teorema tersebut yang terkait dengan blok Nol dinyatakan sebagai berikut: 1. T W T W V V W T _mn ) 1 ( 0 0    2. W I W V V W I n n _    0 0 3. 1 0 _n  m I B I

Sifat determinan yang berkaitan dengan operasi baris elementer juga berlaku untuk operasi blok baris elementer.

Sebagai contoh, karena W

W U I_m  0 maka U U U W W U I_m   ' '

Sifat determinan matriks terpartisi yang lebih umum dinyatakan dalam teorema berikut ini:

Teorema 1.4.

Misalkan A matriks bujursangkar mxm yang terpartisi menjadi _

      22 21 12 11 A A A A A a. Jika nonsingular maka | | | || |

(15)

D. Tugas dan Soal Latihan

D.1 Tugas

1. Buktikan Teorema 1.2. Petunjuk:

Tuliskan persamaan matriks

[ ] [ ] [ ]

Tuliskan 4 persamaan, masing-masing berkaitan dengan dan 2 persamaan yang

berkaitan dengan matriks 0.

Selesaikan persamaan tersebut dalam

2. Buktikan Teorema 1.4.

3. Jika [ ] dan [ ]

Buktikan:

[

]

4. Buktikan operasi blok kolom elementer berikut ini:

a. [ ] [ ] [ ]

b. [ ] [ ] [

]

(Petunjuk: Gunakan hasil pada No. 3) 5. Misalkan

Masing-masing menyatakan matriks blok segitiga atas dengan elemen blok ke- berukuran ( dan matriks blok segitiga bawah dengan elemen blok ke berukuran (

(16)

6. Jika dan mempunyai invers, tunjukkan bahwa:

dimana

7. Gunakan Teorema 1.2 dan Teorema 1.4 untuk menentukan determinan dan inverse dari matriks

8. Misalkan [

] dimana setiap blok A berukuran dan matriks dan nonsingular. Tentukan inverse A dalam suku-suku dan .

Petunjuk: Gunakan persamaan pada Teorema 2.

C.2 Soal Latihan

1. Misalkan diberikan matriks A sebagai berikut:

dimana blok Aij berukuran nixnj . Buktikan A matriks segitiga atas jika dan hanya jika

setiap blok Aii ,i=1,2,…,r merupakan matriks segitiga.

2. Misalkan [

(17)

a. Tuliskan ekspresi untuk determinan A

b. Tentukan dan sedemikian sehingga A non singular. c. Tuliskan ekspresi

3. Misalkan

Dimana A, D, dan F adalah blok bujursangkar nonsingular. Tentukan invers dari G 4. Jika

a. Nyatakan matriks A ke dalam matriks blok 2x2. b. Tentukan invers A

c. Tentukan determinan A d. Tentukan rank(A)

Referensi

[1] Harvile, David A, 1997,” Matrix Algebra From a Statistician’s perspective”, Springer Verlag, New York, Inc.

[2] Schott, James R.,1997,”Matrix Analysis for Statistics,” John Wiley & Sons., Inc. [3] Abadir, Karim M. & Magnus, Jan R., 2005,”Matrix Algebra,” Cambridge University

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)