MAKALAH STATISTIK
STATISTIK PELUANG,PERMUTASI,DAN KOMBINASI
Oleh : YUSRIL GAFFAR
2022120003
FAKULTAS TEKNIK PRODI TEKNIK SIPIL
UNIVERSITAS SAWERIGADING MAKASSAR
2023
KATA PENGANTAR
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena penulis dapat menyelesaikan Makalah ini. Penyusunan Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Statistika yang berjudul “Statistik Peluang, Permutasi dan Kombinasi.”
Selain itu tujuan dari penyusunan Makalah ini juga untuk menambah wawasan tentang pengetahuan mempelajari teknik menghitung secara meluas.
Kami juga mengucapkan terima kasih kepada Bapak Muh Agus Budiawan S.si M.si. selaku dosen Statistik kami yang telah membimbing kami agar dapat menyelesaikan makalah ini.
Penulis menyadari bahwa Makalah ini sangat jauh dari kesempurnaan.
Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati, kami menerima kritik dan saran agar penyusunan Makalah selanjutnya menjadi lebih baik. Untuk itu kami mengucapkan banyak terima kasih dan semoga karya tulis ini bermanfaat bagi para pembaca.
Makassar,2 Desember 2023
Penulis
1
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ... 1
BAB I ... 4
PENDAHULUAN ... 4
1.1 Latar Belakang ... 4
1. 2 Rumusan Masalah ... 4
1.3 Tujuan ... 4
BAB II ... 5
PEMBAHASAN ... 5
2.1 Definisi Statistik ... 5
2.2 Statistika ... 5
2.3 Distribusi Peluang ... 7
2.4 Pengertian Permutasi ... 10
2.5 Pengertian Kombinasi ... 13
BAB III ... 13
PENUTUP ... Error! Bookmark not defined. 3.1 KESIMPULAN ... 14
3.2 SARAN ... 14
DAFTAR PUSTAKA... 14
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam materi ini kita akan membahas statistik teori permutasi dan kombinasi. Yang mungkin sudah pernah anda pelajari pada waktu SMA. Namun demikian, materi ini akan diberikan dalam makalah ini bukan hanya sekedar mengulang, tetapi diharapkan pula dapat memberikan wawasan yang luas mengenai pendefinisian permutasi dan kombinasi.
Untuk mendukung kelancaran anda terhadap penguasaan materi dalam makalah ini perlu juga dipelajari teknik menghitung yang mencakup prinsip perkalian dan penjumlahan serta permutasi dan kombinasi.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang di atas, dapat disimpulkan beberapa rumusan masalah sebagai berikut :
a) Apa yang dimaksud dengan permutasi serta pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari-hari?
b) Apa saja macam-macam permutasi ?
c) Apa yang dimaksud dengan kombinasi serta pengaplikasiannya dalam kehidupan sehari-hari?
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, dapat disimpulkan beberapa tujuan sebagai berikut :
d) Mampu memahami tentang definisi statistik.
e) Mampu memahami tentang macam-macam permutasi.
f) Mampu memahami tentang definisi kombinasi
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
Definisi Statistik
Statistik adalah sebagai alat pengolah data angka. Stasistik dapat juga diartikan sebagai metode/asas-asas guna mengerjakan/memanipulasi data kuantitatif agar angka berbicara. Pendekatan dengan statistik sering digunakan metode statistik yaitu metode guna mengumpulkan, mengolah, menyajikan, menganalisis & menginterpretasikan data statistik. Statistika dapat pula diartikan pengetahuan yang berhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penganalisisan dan penarikan kesimpulan berdasarkan data dan analisis. Jadi statistik adalah produk dari kerja statistika.
2.2
Statistika
Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data.
Statistika merupakan ilmu yg berkenaan dgn data sedang statistik adalah data informasi atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi sampel unit sampel dan probabilitas.
Ada dua macam statistika yaitu statistika deskriptif dan statistika inferensial.
Statistika deskriptif berkenaan dgn deskripsi data misal dari menghitung rata-rata dan varians dari data mentah; mendeksripsikan menggunakan tabel-tabel atau grafik sehingga data mentah lebih mudah “dibaca” dan lbh bermakna. Sedangkan statistika inferensial lbh dari itu misal melakukan pengujian hipotesis melakukan prediksi observasi masa depan atau membuat model regresi.
Statistika deskriptif berkenaan dgn bagaimana data dapat digambarkan dideskripsikan) atau disimpulkan baik secara numerik (misal menghitung rata-rata dan deviasi standar) atau secara grafis (dalam bentuk tabel atau grafik) utk mendapatkan gambaran sekilas mengenai data tersebut sehingga lbh mudah dibaca dan bermakna.
Statistika inferensial berkenaan dgn permodelan data dan melakukan pengambilan keputusan berdasarkan analisis data misal melakukan pengujian hipotesis melakukan estimasi pengamatan masa mendatang (estimasi atau prediksi) membuat permodelan hubungan (korelasi regresi ANOVA deret waktu) dan sebagainya.
Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah 'statistika' (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan 'statistik' (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.
Statistika banyak diterapkan dalam berbagai disiplin ilmu, baik ilmu-ilmu alam (misalnya astronomi dan biologi maupun ilmu-ilmu sosial (termasuk sosiologi dan psikologi), maupun di bidang bisnis, ekonomi, dan industri. Statistika juga digunakan dalam pemerintahan untuk berbagai macam tujuan; sensus penduduk merupakan salah satu prosedur yang paling dikenal.
Jika suatu kesimpulan data sudah dihimpun, pada statistika deskriptif kita hendak menyimpulkan data itu dalam beberapa hal. Pertama kita hendak membuat tabel, misalnya tabel frekuensi, tabel frekuensi kumulatif dan lain-lain yang mengatur data kasar itu. Juga kita akan melihat diagram atau grafik yang dapat memberi gambaran mengenai keseluruhan data itu, misalnya diagram lambang (piktogram), diagram batang, diagram lingkaran, histogram, ogive dan lain-lain. Kemudian kita hendak menghitung karakteristik data yang dapat mencakup semua data itu, misalnya rata-rata, median, modus dan lain-lain.
\
2.3 Distribusi Peluang
Dalam bab ini akan mempelajari pengelompokan atau distribusi yang dapat diharapkan berdasarkan kepada pengalaman yang terdahulu atau berdasarkan kepada pertimbangan-pertimbangan teoritis. Pentingnya mengetahui distribusi macam ini, akan jelas bila diberikan beberapa contoh :
1. Pengusaha teater disuatu daerah adalah selayaknya harus mengetahui selera penonton
di daerah itu. Ia harus mengetahui jenis film apa saja yang disenangi penduduk agar dalam tiap pertunjukan gedung teaternya dibanjiri para penonton.
2. Pengusaha rumah makan hendaknya mengetahui macam atau rassa makanan yang
disenangi dan yang tidak disenangi oleh para langganannya. Jika disuatu tempat, macam makanan bersari asam yang lebih disenangi, adalah kurang bijaknsana jika terlalu banyak menyajikan makanan yang rasanya manis atau rasa yang lain yang lakunya sangat diragukan.
3. Untuk suatu daerah, andaikan telah diperkirakan bahwa ukuran kaki wanita dewasa
adalah berukuran 34 sebanyak 25%, berukuran 35 sebanyak 32%, dan berukuran 36 sebanyak 38%, dan 5% berukuran lainnya. Jika pengusaha pabrik sepatu tidak ingin melihat sepatu yang dihasilkannya menjadi sarang tikus digudangnya, mengapa tidak membuatnya berdasarkan perbandingan pengelompokan tersebut?
Ketiga contoh diatas, dan lain-lain contoh dapat dicari, melukiskan pengelompokan peristiwa-peristiwa dimana pada tiap kelompok telah diperhitungkan banyak peristiwa yang terjadi, yang pada umumnya dinyatakan dalam persen. Untuk contoh pertama dinamakan distribusi selera dan contoh ketiga bisa disebut distribusi ukura kaki wanita. Distribusi demikian merupakan distribusi yang diharapkan berdasarkan pengalaman.
Ada distribusi dapat diharapkan berdasarkan pada pertimbangan-pertimbangan teoritis, umpamanya soal undian dengan mata uang. Misalkan kita ingin mengetahui apaka mata uang yang kita gunakan untuk undian itu jujur atau tidak. Andaikan kita melakukan undian sebanyak 1.000 kali dan diperoleh hasil bahwa G nampak 520 kali (tentulah nampak H sebanyak 480 kali). Sebelum kita menentukan apakah mata uang itu jujur atau tidak, terlebih dahulu kita harus mengetahui apa yang dapat diharapkan dari undian dengan menggunakan mata uang jujur.
Kita sudah mengetahui bahwa dalam undian dengan menggunakan mata uang jujur, peluang nampaknya tiap permukaan adalah ½. Jadi adalah beralasan jika kitapun
mengharapkan nampaknya G sama banyak dengan nampaknya H dalam undian tersebut.
Berdasarkan ini diperoleh distribusi yang diharapkan sebagai berikut.
Peristiwa Frekuensi diharapkan Muka G
Muka H
500 500
Untuk melanjutkan pembicaraan secara teoritis, marilah kita tinja hasil undian itu dari segi nampaknya dan tidak nampaknya G. sebut “0” jika nampak H (berarti 0 muka G yang menampak) dan “1” jika G yang nampak. Denan notasi baru ini, maka distribusi sebenarnya dan distribusi diharapkan untuk soal di atas adalah sebagai berikut.
Nampak G Frekuensi sebenarnya Frekuensi diharapkan 0
1
480 520
500 500
Jika kita melakukan undian dengan dua macam uang jujur, maka peristiwa yang dapat terjadi adalah :
HH, HG, GH, GG.
Atau berdasarkan nampaknya G masing-masing diperoleh sebanyak 0,1 dan 2.
Sehingga peluang untuk 0 G = 1/4, peluang untuk 1 G=1/4+1/4=1/2 dan peluang untuk 2 G = 1/4. Jika kita melakukan undian sebanyak 2.000 kali, makakita mengharapkan memperoleh hasil sebagai berikut.
Nampak G Frekuensi diharapkan 0
1 2
¼ x 2.000=500
½ x 2.000=1000
¼ x 2.000= 500
Andaikan sekarang kita melakukanundian dengan tigamata uang jujur. Hal-hal yang terjadi mengenai nampaknya permukaan adalah:
HHH, HHG, HGH, GHH, HGG, GHG, GGH, GGG
Atau nampaknya G adalah 0, 1, 2, atau 3. Ternyata bahwa : Peluang nampak 0G = 1/8
Peluang nampak 1g = 3/8 Peluang nampak 2G = 3/8 Peluang nampak 3G = 1/8
Jika ketiga mata uang yang jujur itu diundikan sebanyak 2.000 kali, maka kita mengharapkan distribusi nampaknya G seperti berikut :
Nampak G Frekuensi diharapkan 0
1 2 3
1/8 x 2.000 = 250 3/8 x 2.000 = 750 3/8 x 2.000 = 750 1/8 x 2.000 = 250
Untuk membicarakan distribusi peluang teoritis yang umum, maka biasanya frekuensi tidak dinyatakan dalam bentuk absolute yang diharapkan, melainkan dalam bentuk peluang. Guna keperluan ini marilah kita pakai notasi X sebagai pengganti peristiwa yang diperhatikan (dalam uraian ini ; nampaknya G) dan p(X) untuk menyatakan. Jika untuk undian dengan satu, dua, dan tiga mata uang jujur seperti di uraikan di atas digunakan notasi baru ini, maka berturut-turut diperoleh daftar berikut :
Fungsi peluang dibagi 5 yaitu : 1. Fungsi Peluang Diskret 2. Fungsi Peluang Kontinyu 3. Fungsi Peluang Bersama P(x,y) = P(X=x dan Y=y)
4. Fungsi Peluang Marginal 5. Fungsi Peluang Bersyarat
2.4 Pengertian Permutasi
Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya dengan memperhatikan urutan.
Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa obyek- obyek yang ada harus dapat “dibedakan” antara yang satu dengan yang lain. Contoh : {1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.
Macam-macam Permutasi :
Permutasi k Unsur dari n Unsur
Susunan k unsur dari n unsur yang berlainan dengan memperhatikan urutan disebut permutasi k unsur dari n unsur (k ≤ n).
Misalkan, kita diminta menyusun tiga huruf A, B, dan C, akan disusun 2 huruf dengan urutan yang berbeda, maka susunan yang diperoleh adalah AB, AC, BA, BC, CA, CB. Seluruhnya ada 6 susunan yang berbeda, setiap susunan ini disebut permutasi 2 unsur dari 3 unsur yang tersedia. Banyaknya permutasi k unsur dari n unsur dilambangkan oleh P(n, k).
RUMUS : P(n, k) = 𝑛!
(𝑛−k)!
Keterangan :
n = banyaknya seluruh obyek,
k = banyaknya obyek yang dipermutasikan.
Contoh :
Tersedia 5 buah buku mata pelajaran yang berbeda, diambil 3 buku dan akan disusun di atas rak buku. Ada berapa macam susunan yang dapat dilakukan ?
Jawab :
Banyaknya susunan buku itu adalah permutasi 3 buku dari 5 buku yang tersedia.
P(5, 3) = 5! = (5−3)!
5x4x3x2!
2! = 60
Jadi, banyaknya susunan 3 buku dari 5 buku itu seluruhnya ada 60.
Permutasi dengan Beberapa Unsur Sama
Setiap unsur pada permutasi tidak boleh digunakan lebih dari satu kali, kecuali jika dinyatakan secara khusus.
Banyaknya permutasi dari n unsur yang memuat k unsur yang sama, l unsur yang sama, …, m unsur yang sama (k + l+ … + m ≤ n) dapat ditentukan dengan rumus :
𝑛!
P = k!𝑙!…𝑚!
Contoh :
Terdapat 2 bola merah, 1 bola biru, dan 3 bola putih yang sama jenis dan ukurannya. Ada berapa carakah bola-bola itu dapat disusun berdampingan ?
Jawab : n = 6 k = 2 l = 1 m = 3
Banyaknya susunan bola-bola itu adalah 60
6! = 2!3!
6 x 5 x 4 x 3!
2 x 1 x 3! =
Permutasi Siklis
Penentuan susunan melingkar dapat diperoleh dengan menetapkan satu objek pada satu posisi, kemudian menetukan kemungkinan posisi objek lain yang sisa, sehingga bila teersedia n unsur berbeda, maka :
Banyaknya permutasi siklis dari n unsur = (n - 1)!
Contoh :
Berapa cara 5 orang dalam suatu pesta makan dapat diatur tempat duduknya mengelilingi sebuah meja bundar ?
Jawab :
Banyaknya susunan duduk 5 orang yang mengelilingi sebuah meja bundar = (5 - 1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1! = 24.
Inisiasi dalam kehidupan sehari-hari adalah penyusunan panitia suatu kegiatan yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara
Dalam penyusunan panitia ini jelas urutan akan sangat berpengaruh.
2.3 Pengertian Kombinasi
Kombinasi adalah suatu pilihan dari unsur-unsur yang ada tanpa memperhatikan urutannya. Banyaknya kombinasi k unsur dari n unsur dinyatakan
𝑛!
dengan C(n, k) =
Contoh :
(𝑛−k)!k!
Seorang petani akan membeli 3 ekor ayam, 2 ekor kambing, dan 1 ekor sapi dari pedagang yang memiliki 6 ekor ayam, 4 elor kambing, dan 3 ekor sapi. Dengan berapa cara petani tersebut dapat memilih ternak-ternak yang diinginkannya ?
Jawab :
Banyaknya cara memilih ayam = C(6, 3) = 6!
(6−3)!3!
4!
= 6!
3!3! = 20 cara 4!
Banyaknya cara memilih kambing = C(4, 2) =
=
(4−2)!2! 2!2!
=
6 caraBanyaknya cara memilih sapi = C(3, 1) = 3!
=
(3−1)!1!
3!
2!1!
=
3 caraJadi, petani tersebut memilih pilihan sebanyak = 20 x 6 x 3 = 360 cara.
Inisiasi kombinasi dalam kehidupan sehari-hari adalah misalnya arisan ibu- ibu yang diadakan sebulan sekali dimana setiap kali mengundi diambil 2 orang yang akan memperoleh arisan tersebut. Banyaknya pasangan orang yang akan memperoleh arisan di sini merupakan masalah kombinasi.
3.1 KESIMPULAN
Ada 2 pendekatan untuk menganalisis informasi berdasarkan jenis informasi yang diperoleh, yaitu analisis kuantitatif dan analisis kualitatif. Analisis kuantitatif/analisis data kuantitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja hitung- menghitung angka. Angka yang diolah disebut input dan hasilnya disebut output juga berupa angka. Analisis kualitatif/analisis data kualitatif adalah analisis yang berbasis pada kerja pengelompokan simbol-simbol selain angka.
Materi permutasi kita bisa menentukan banyak cara pengambilan data.
Dengan permutasi kita dapat menghitung kemungkinan banyaknya posisi duduk satu keluarga tersebut. Selain itu, kita juga dapat menghitung banyaknya susunan huruf maupun angka dengan cara yang tepat yaitu dengan menggunakan permutasi.
Pada materi kombinasi inti pengertiannya adalah susunan unsure- unsur dengan tidak memperhatikan urutannya. Pada kombinasi AB = BA jadi, dalam menggunakan kombinasi kita dapat menyimpulkan banyak cara pemilihan suatu kejadian dengan cara yang ditentukan.
3.2 SARAN
Demikianlah makalah yang dapat punyusun buat, sebagai manusia biasa kita menyadari dalam pembuatan makalah ini masih terdapat banyak kesalahan dan kekurangan. Untuk itu kritik dan saran yang bersifat konstruktif sangat kami harapkan demi kesempurnaan makalah ini dan berikutnya. Semoga makalah ini bermanfaat bagi kita yang memiliki minat belajar tentang statistik .Amiin
DAFTAR PUSTAKA
Wheeler, Ruric E. 1992. Moderm Mathematics. Belmont, CA : Wadsworth. Hudoyo Herman. 1996/1997. Matematika. : Depdikbud.
http://mejakreasi.blogspot.com/2012/12/permutasi-dan-kombinasi-peluang.html Suprijanto, H. Sigit.2009.Matematika.Jakarta Timur: Yudhistira.
http://marwajunia.blogspot.com/2012/02/makalah-statistik.html
