materi elips-pgs-mll-titik-di-luar-elips

Anang Wibowo, S.Pd – www.matikzone.wordpress.com – 085 233 897 897 – 24 Mei 2014

Elips – PGS Melalui Titik di Luar Elips

Gambar di atas menunjukkan sebuah elips yang berpusat di titik (0, 0). Dengan titik fokus F1 (c, 0) dan F2 (– c, 0).

AP dan BP adalah garis singgung yang ditarik melalui titik P yang berada di luar elips. Karena tidak ada rumus khusus dalam masalah ini, langkah- langkah menentukan persamaan garis singgung dapat dilakukan dengan:

1. Menentukan persamaan garis kutub AB dalam y = mx + c.

2. Mensubtitusikan persamaan garis kutub ke persamaan elips. Diperoleh persamaan kuadrat dalam variabel x.

3. Menentukan syarat garis menyinggung elips, yaitu diskriminan D = 0. Akan diperoleh 2 nilai x yang merupakan absis dari titik singgung.

4. Subtitusi nilai x ke persamaan garis kutub AB (bukan ke persamaan elips). Diperoleh 2 nilai y yang merupakan ordinat dari titik singgung.

5. Selanjutnya, menentukan persamaan garis singgung dengan menggunakan persamaan garis singgung melalui titik pada elips.

Mencari persamaan garis kutub:

2 2

2 2 2 2

1 1

1 1

2 2

Garis singgung (sebut )

melalui titik pada elips, maka 1

melalui titik , sehingga 1 ... (1)

Garis singgung (sebut ) melalui

A

A A

A

A A

A A A

B

B

AP GS

x x y y

GS A

a b

x x y y

GS P b x x a y y a b

a b

BP GS

GS

+ =

+ = ⇒ + =

2 2

2 2 2 2

1 1

1 1

2 2

titik pada elips, maka 1

melalui titik , sehingga 1 ... (2)

B B

B B

B B B

x x y y

B a b

x x y y

GS P b x x a y y a b

a b

+ =

+ = ⇒ + =

X Y

F² F₁ A

B

( 1, 1)

P x y

Anang Wibowo, S.Pd – www.matikzone.wordpress.com – 085 233 897 897 – 24 Mei 2014

Demikian juga:

Persamaan garis kutub dari titik P pada elips yang berpusat di titik (0, 0) dengan titik fokus pada sumbu Y, F1 (0, c) dan F2 (0, – c) adalah:

Persamaan garis kutub dari titik P pada elips yang berpusat di titik (h, k) dengan titik fokus pada sumbu mayor yang sejajar dengan sumbu X, F1 (h + c, k) dan F2 (h – c, k) adalah:

Persamaan garis kutub dari titik P pada elips yang berpusat di titik (h, k) dengan titik fokus pada sumbu mayor yang sejajar dengan sumbu Y, F1 (h, k + c) dan F2 (h, k – c) adalah:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

2

2 2 1

1 1 2

1

2 1 2

1

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2

1 1

Kurangkan (1) dengan (2), diperoleh:

0 , adalah gradien garis .

Persamaan garis adalah:

A B

A B A B

A B

A A A A

A A

y y b x

b x x x a y y y A B

x x a y

A B

y y m x x y y b x x x

a y

a y y a y y b x x b x x a y y b x x

− + − = ⇒ − = −

−

− = − ⇒ − = − −

⇒ − = − +

⇒ + = ² ₁ ² ₁

2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

(dibagi a )

1 (persamaan (1))

Jadi, persamaan garis kutub adalah: 1

A A

A A

b x x a y y x x y y x x y y

a b a b b

x x y y

a b

x x y y

AB a b

+

⇒ + = +

⇒ + =

+ =

1 1

2 2 1

x x y y b + a =

(

1

)( ) (

1

)( )

2 2 1

x h x h y k y k

a b

− − − −

+ =

(

1

)( ) (

1

)( )

2 2 1

x h x h y k y k

b a

− − − −

+ =