POSISI TITIK DAN GARIS TERHADAP LINGKARAN

1 | P a g e

POSISI TITIK DAN GARIS TERHADAP LINGKARAN

3.2

KATA KUNCI

Posisi titik

Terhadap lingkaran 𝐿  𝑥² + 𝑦 ² = 𝑟²

Terhadap lingkaran 𝐿  (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏) ² = 𝑟² Terhadap lingkaran 𝐿  𝑥² + 𝑦² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 Posisi Garis

Memotong di dua titik

Menyinggung (Memotong di satu titik) Tidak memotong dan menyinggung Jarak Titik terhadap Lingkaran Posisi titik pada lingkaran

Posisi titik dalam lingkaran Posisi titik luar lingkaran

LINGKARAN

JARAK TITIK PUSAT

TITIK KOORDINAT MENYINGGUNG

MEMOTONG DISKRIMINAN GARIS

PERSAMAAN LINGKARAN

3.2.1

POSISI TERHADAP LINGKARAN 𝐿  (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏) ² = 𝑟²

Kemungkinan posisi suatu titik 𝑃(𝑎, 𝑏) terhadap lingkaran adalah sebagai berikut:

1. 𝑃(𝑎, 𝑏) di dalam lingkaran

2. 𝑃(𝑎, 𝑏) pada lingkaran

3. 𝑃(𝑎, 𝑏) di luar lingkaran

POSISI TITIK TERHADAP LINGKARAN

2 | P a g e

POSISI TERHADAP LINGKARAN 𝐿  (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏) ² = 𝑟²

Ada 3 macam kemungkinan posisi titik 𝑃(𝑐, 𝑑) terhadap lingkaran 𝐿  (𝑥 − 𝑎)² + (𝑦 − 𝑏) ² = 𝑟², meliputi:

1. Titik 𝑃(𝑐, 𝑑) dikatakan terletak di dalam lingkaran L jika dan hanya jika (𝒄 − 𝒂)^𝟐 + (𝒅 − 𝒃)^𝟐 < 𝒓^𝟐

2. Titik 𝑃(𝑐, 𝑑) dikatakan terletak pada lingkaran L jika dan hanya jika (𝒄 − 𝒂)^𝟐 + (𝒅 − 𝒃)^𝟐= 𝒓^𝟐 3. Titik 𝑃(𝑐, 𝑑) dikatakan terletak di luar lingkaran

jika dan hanya jika (𝒄 − 𝒂)^𝟐 + (𝒅 − 𝒃)^𝟐 > 𝒓^𝟐

POSISI TERHADAP LINGKARAN 𝐿  𝑥² + 𝑦² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0

Penentuan posisi suatu titik 𝑇(𝑝, 𝑞) terhadap lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 dilakukan dengan mensubstitusi 𝑇(𝑝, 𝑞) ke lingkaran L, maka diperoleh 𝐾 = 𝑝²+ 𝑞²+ 𝐴𝑝 + 𝐵𝑞 + 𝐶. Dengan melihat nilai 𝐾, kita dapat menentukan posisi titik 𝑇(𝑝, 𝑞) ke lingkaran L sebagai berikut:

3 | P a g e Contoh 1::

1. Tanpa menggambar pada bidang cartesius, tentukan posisi titik berikut terhadap lingkaran L : a. A (2,3) dan 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦² = 8

b. B (-1,1) dan 𝐿 ≡ (𝑥 + 3)²+ (𝑦 − 2)²− 16 = 0 c. C (3,5) dan 𝐿 ≡ (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 3)² = 4 d. D (5,2) dan 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 8𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0 e. E (6,4) dan 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 8𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0 Pembahasan Nomor 1a

Posisi titik A (2,3) terhadap 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦² = 8 Substitusikan titik A ke L

2²+ 3² = 4 + 9 = 13 > 8, sehingga A berada diluar lingkaran.

Pembahasan Nomor 1b Posisi titik B (-1,1) terhadap 𝐿 ≡ (𝑥 + 3)²+ (𝑦 − 2)²− 16 = 0 ≡ (𝑥 + 3)²+ (𝑦 − 2)² = 16 Substitusikan titik B ke L

(−1 + 3)²+ (1 − 2)² = 4 + 1 = 5 < 16, sehingga B berada di dalam lingkaran.

Pembahasan Nomor 1c Posisi titik C (3,5) terhadap 𝐿 ≡ (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 3)² = 4 Substitusikan titik C ke L

(3 − 5)²+ (5 − 3)² = 4 + 4 = 8 > 4, sehingga C berada di luar lingkaran.

Pembahasan Nomor 1d

Posisi titik D (5,2) terhadap 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 8𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0 Substitusikan titik D ke L

5²+ 2²− 8(5) − 2(2) + 8 = 25 + 4 − 40 − 4 + 8 = −7 < 0, sehingga D berada di dalam lingkaran.

Pembahasan Nomor 1e

Posisi titik E (6,4) terhadap 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²− 8𝑥 − 2𝑦 + 8 = 0 Substitusikan titik E ke L

6²+ 4²− 8(6) − 2(4) + 8 = 36 + 16 − 48 − 8 + 8 = 4 > 0, sehingga E berada di luar lingkaran.

Contoh 3::

1. Tentukan nilai n agar titik T (3,n) terletak pada lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 5𝑥 − 13𝑦 + 6 = 0! Nilai n agar titik T (3,n) terletak pada lingkaran

𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 5𝑥 − 13𝑦 + 6 = 0 Suatu titik dikatakan terletak pada lingkaran jika L=0

Substitusikan titik T terhadap lingkaran L

3² + 𝑛²+ 5(3) − 13(𝑛) + 6 = 0

⇔ 9 + 𝑛²+ 15 − 13𝑛 + 6 = 0

⇔ 𝑛²− 13𝑛 + 30 = 0

⇔ (𝑛 − 3)(𝑛 − 10) = 0

⇔ 𝑛 = 3 ∨ 𝑛 = 10

4 | P a g e Contoh 4::

1. Tentukan nilai k agar titik N (k,2) terletak diluar lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 3𝑦 − 10 = 0! Nilai k agar titik N (k,2) terletak diluar lingkaran

𝐿 ≡ 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 3𝑦 − 10 = 0 Suatu titik dikatakan terletak diluar lingkaran jika L>0

Substitusikan titik N terhadap lingkaran L 𝑘²+ 2²+ 4(𝑘) − 3(2) − 10 > 0

⇔ 𝑘²+ 4 + 4𝑘 − 6 − 10 > 0

⇔ 𝑘²+ 4𝑘 − 12 > 0

Pembuat nol: (𝑘 + 6)(𝑘 − 2) = 0

⇔ 𝑘 = −6 ∨ 𝑘 = 2 Buat garis bilangan

Jadi 𝑘 < −6 ∨ 𝑘 > 2

5 | P a g e

3.2.2

POSISI GARIS TERHADAP LINGKARAN

Berdasarkan tinjauan diskriminan 𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐, maka dapat ditentukan posisi garis 𝑔 terhadap lingkaran L sebagai berikut.

PROSEDUR PENGERJAAN

Misalkan garis g dan lingkaran L mempunyai persamaan:

𝑔  𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0,

𝐿  𝑥²+ 𝑦² + 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0,

Posisi garis g terhadap lingkaran L dapat ditentukan melalui langkah-langkah sebagai berikut.

Langkah 1:: Pada persamaan garis nyatakan x sebagai fungsi y atau sebaliknya.

Langkah 2:: Subtitusikan x atau y yang diperoleh pada Langkah 1 ke dalam persamaan lingkaran (berbentuk kuadrat). Subtitusi ini menghasilkan persamaan kuadrat dalam variabel x atau y (disebut:

persamaaan kuadrat gabungan). Kemudian hitunglah nilai diskriminan D, dari persamaan kuadrat gabungan itu.

Langkah 3:: Posisi garis g terhadap lingkaran L ditentukan oleh nilai diskriminan 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.

1. D  0  garis g memotong lingkaran L di dua titik yang berlainan.

2. D = 0  garis g menyinggung lingkaran L.

3. D  0  garis g tidak memotong maupun menyinggung lingkaran L.

6 | P a g e Contoh 1::

1. Tentukan kedudukan garis 𝑦 = 3𝑥 + 1 terhadap lingkaran-lingkaran berikut : a. 𝑥²+ 𝑦² = 9

b. (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 2)² = 4 c. 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0 Pembahasan Nomor 1a

Kedudukan garis 𝑦 = 3𝑥 + 1 terhadap 𝑥²+ 𝑦² = 9 Substitusikan garis ke lingkaran

𝑥²+ 𝑦² = 9

⇔ 𝑥²+ (3𝑥 + 1)² = 9

⇔ 𝑥²+ 9𝑥²+ 6𝑥 + 1 = 9

⇔ 10𝑥² + 6𝑥 − 8 = 0

⇔ 5𝑥² + 3𝑥 − 4 = 0

Menentukan diskriminannya

𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 3²− 4(5)(−4) = 9 + 160 = 169 > 0 Karena D>0, maka garis memotong lingkaran di 2 titik.

Pembahasan Nomor 1b

Kedudukan garis 𝑦 = 3𝑥 + 1 terhadap (𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 2)² = 4 Substitusikan garis ke lingkaran

(𝑥 − 1)²+ (𝑦 − 2)² = 4

⇔ (𝑥 − 1)²+ (3𝑥 + 1 − 2)² = 4

⇔ (𝑥 − 1)²+ (3𝑥 − 1)² = 4

⇔ 𝑥²− 2𝑥 + 1 + 9𝑥²− 6𝑥 + 1 − 4 = 0

⇔ 10𝑥² − 8𝑥 − 2 = 0 ⇔ 5𝑥²− 4𝑥 − 1 = 0 Menentukan diskriminannya

𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = (−4)²− 4(5)(−1) = 16 + 20 = 36 > 0 Karena D>0, maka garis memotong lingkaran di 2 titik.

Pembahasan Nomor 1c

Kedudukan garis 𝑦 = 3𝑥 + 1 terhadap 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0 Substitusikan garis ke lingkaran

𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 + 4𝑦 − 10 = 0

⇔ 𝑥²+ (3𝑥 + 1)²+ 4𝑥 + 4(3𝑥 + 1) − 10 = 0

⇔ 𝑥²+ 9𝑥²+ 6𝑥 + 1 + 4𝑥 + 12𝑥 + 4 − 10 = 0

⇔ 10𝑥²+ 22𝑥 − 5 = 0 Menentukan diskriminannya

𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 22²− 4(10)(−5) = 484 + 200 = 684 > 0 Karena D>0, maka garis memotong lingkaran di 2 titik.

Contoh 2::

1. Tentukan kedudukan garis 2𝑥 − 𝑦 = 0 terhadap lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 ! Pembahasan Nomor 2

Kedudukan garis 2𝑥 − 𝑦 = 0 ⇔ 𝑦 = 2𝑥 terhadap 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 Substitusikan garis ke lingkaran

𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 𝑦 + 1 = 0

⇔ 𝑥²+ (2𝑥)²+ 4𝑥 − (2𝑥) + 1 = 0

⇔ 𝑥²+ 4𝑥²+ 2𝑥 + 1 = 0

⇔ 5𝑥² + 2𝑥 + 1 = 0

Menentukan diskriminannya

𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = 2² − 4(5)(1) = 4 − 20 = −18 < 0

Karena D<0, maka garis memotong tidak memotong maupun menyinggung lingkaran.

7 | P a g e Contoh 3::

1. Tentukan nilai 𝑘 agar garis y = 𝑘𝑥 + 2 menyinggung lingkaran (𝑥 − 2)²+ 𝑦² = 4 !

2. Tentukan nilai p agar garis 𝑦 = −𝑥 + 𝑝 tidak memotong maupun menyinggung lingkaran 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0 !

Pembahasan Nomor 1

Nilai 𝑘 agar garis 𝑦 = 𝑘𝑥 + 2 menyinggung lingkaran (𝑥 − 2)²+ 𝑦²= 4 Suatu garis menyinggung lingkaran jika D=0

Substitusikan garis ke lingkaran (𝑥 − 2)² + 𝑦² = 4

⇔ (𝑥 − 2)²+ (𝑘𝑥 + 2)² = 4

⇔ 𝑥²− 4𝑥 + 4 + 𝑘²𝑥²+ 4𝑘𝑥 + 4 − 4 = 0

⇔ (1 + 𝑘²)𝑥²+ (−4 + 4𝑘)𝑥 + 4 = 0

Menentukan diskriminannya disamadengankan 0 𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = (−4 + 4𝑘)²− 4(1 + 𝑘²)(4)

⇔ 0 = 16 − 32𝑘 + 16𝑘²− 16 − 16𝑘²

⇔ 0 = −32𝑘 ⇔ 𝑘 = 0 Pembahasan Nomor 2

Nilai p agar garis 𝑦 = −𝑥 + 𝑝 tidak memotong maupun menyinggung lingkaran 𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0

Suatu garis tidak memotong maupun menyinggung lingkaran jika D<0 Substitusikan garis ke lingkaran

𝑥²+ 𝑦²− 2𝑥 − 4𝑦 + 3 = 0

⇔ 𝑥²+ (−𝑥 + 𝑝)²− 2𝑥 − 4(−𝑥 + 𝑝) + 3 = 0

⇔ 𝑥²+ 𝑥²− 2𝑝𝑥 + 𝑝²− 2𝑥 + 4𝑥 − 4𝑝 + 3 = 0

⇔ 2𝑥²+ (−2𝑝 + 2)𝑥 + (𝑝²− 4𝑝 + 3) = 0 Menentukan diskriminannya, D<0

𝐷 = 𝑏²− 4𝑎𝑐 = (−2𝑝 + 2)²− 4(2)(𝑝²− 4𝑝 + 3) < 0

⇔ 4𝑝²− 8𝑝 + 4 − 8𝑝²+ 32𝑝 − 24 < 0

⇔ −4𝑝²+ 24𝑝 − 20 < 0 kedua ruas dibagi -4

⇔ 𝑝²− 6𝑝 + 5 > 0 ⇔ (𝑝 − 1)(𝑝 − 5) > 0 Pembuat nol 𝑝 = 1 ∨ 𝑝 = 5, Buat garis bilangan

∴ 𝑝 < 1 ∨ 𝑝 > 5 Contoh 4::

1. Apabila garis 𝑦 = 2𝑥 memotong lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 + 3𝑦 − 75 = 0, maka tentukan titik potongnya!

Titik potong apabila garis 𝑦 = 2𝑥 memotong lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 + 3𝑦 − 75 = 0 Substitusikan garis ke lingkaran

𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 + 3𝑦 − 75 = 0

⇔ 𝑥²+ (2𝑥)²+ 4𝑥 + 3(2𝑥) − 75 = 0

⇔ 𝑥²+ 4𝑥²+ 4𝑥 + 6𝑥 − 75 = 0

⇔ 5𝑥²+ 10𝑥 − 75 = 0

Untuk 𝑥 = −5 ⇔ 𝑦 = 2(−5) = −10 Untuk 𝑥 = 3 ⇔ 𝑦 = 2(3) = 6

Jadi titik potongnya (−5, −10) dan (3,6)

8 | P a g e

⇔ 𝑥²+ 2𝑥 − 15 = 0

⇔ (𝑥 + 5)(𝑥 − 3) = 0 ⇔ 𝑥 = −5 ∨ 𝑥 = 3

3.2.3

JARAK TITIK TERHADAP LINGKARAN

Jarak titik 𝐴(𝑥₁, 𝑦₁) terhadap lingkaran L yang berpusat di 𝑃(𝑎, 𝑏) dan berjari-jari 𝑟 dapat ditentukan melalui posisi titik terhadap lingkaran.

Posisi titik 𝐴(𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran L

Karena titik 𝐴(𝑥₁, 𝑦₁) pada lingkaran L, maka L(𝑥₁, 𝑦₁) = 0 Sehingga:

9 | P a g e

Tuliskan langkah-langkah penyelesaian soal berikut!

Foto dan unggah pekerjaan kalian di fitur submission.

1. Tentukan kedudukan titik P(3,5) terhadap lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 6𝑥 + 8𝑦 − 13 = 0!

2. Titik (4,2) terletak pada lingkaran 𝑥² + 𝑦²− (5 − 𝑘)𝑥 + (2 + 𝑘)𝑦 − 10 = 0. Tentukan nilai k!

3. Tentukan posisi garis 3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 terhadap lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 4𝑥 − 𝑦 + 1 = 0!

4. Tentukan nilai 𝑚 agar garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 1 menyinggung lingkaran 𝑥²+ 𝑦²+ 2𝑥 + 8𝑦 − 8 = 0!

5. Tentukan jarak terjauh titik P(3,2) ke lingkaran 𝐿 ≡ (𝑥 − 2)²+ (𝑦 − 1)² = 32!

Contoh 1::

Diberikan titik A(6, 8) dan lingkaran 𝐿 ≡ 𝑥² + 𝑦² = 49 Hitunglah jarak terdekat titik A ke lingkaran L!

TASK 1