MATRIKS SLIDE

MATRIKS

Pemanfaatan matriks dalam kehidupan sehari-hari :

1.Pemanfaatan matriks dalam ilmu komputer antara lain

adalah untuk pemrograman yang membutuhkan array dan pada bidang keamanan computer. Enkripsi data dapat dilakukan dengan menggunakan beragam operasi matriks.

2.Penerapan Matriks dalam Analisis Sektor Perekonomian Indonesia 3.Digunakan untuk menggambarkan persaingan – persaingan pasar 4.dll

DAFTAR SLIDE DAFTAR SLIDE

Operasi Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Determinan Matriks

Inverse Matriks

Definisi Matriks Definisi Matriks

• Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan yang diatur berdasarkan baris (row) dan kolom (column).

• Ukuran (ordo) matriks menyatakan banyaknya

baris dan kolom pada matriks tersebut

Ordo Matriks Ordo Matriks

Ordo Matriks A : 3 X 2 Ordo Matriks B : 1 X 4 Ordo Matriks C : ……..

Ordo Matriks D : …….

1 2

3 0

1 4

 

 

  

  

 

A

 2 3 1 6 

  

B

2 1 3 4 0 1 7 6 3 2 1 5 0 1 0 4

  

 

 

   

 

 

C 1

2

    

D  

Notasi Matriks Notasi Matriks

• Matriks dinotasikan dengan huruf besar.

1 1 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0

 

 

   

  

 

A

11 12 1

21 22 2

1 2

n n m n

m m mn

a a a

a a a

a a a



 

 

 

  

 

 

A





  



Jenis-Jenis Matriks Jenis-Jenis Matriks

1. Matriks Nol 2. Matriks Satu 3. Matriks Baris 4. Matriks Kolom 5. Matriks Persegi

6. Matriks Segitiga Atas 7. Matriks Segitiga Bawah 8. Matriks Diagonal

9. Matriks Identitas

10.Matriks Tranpose

JENIS –JENIS MATRIKS JENIS –JENIS MATRIKS

 Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n

 Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol

Sifat-sifat dari matriks nol :

-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 -A*0=0, begitu juga 0*A=0.



 





1 3

4 A 1



















0 0

0 0

0 0

2

O3x

JENIS –JENIS MATRIKS JENIS –JENIS MATRIKS

 Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.

Contoh :

 Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama



















5 0 0

0 2 0

0 0 1

3 3x

D



















5 0 0

0 5 0

0 0 5

3

D3x

JENIS –JENIS MATRIKS JENIS –JENIS MATRIKS

 Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.

Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A

I*A=A

 Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol

 Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol



















1 0 0

0 1 0

0 0 1 D



















6 0 0

2 1 0

5 4 2 A



















1 5 2

0 4 3

0 0 1 B

Operasi Pada Matriks Operasi Pada Matriks

• Penjumlahan dan Pengurangan

Syarat untuk menjumlahkan matriks harus memiliki ordo yang sama

11 12 13 11 12 13 11 11 12 12 13 13

21 22 23 21 22 23 21 21 22 22 23 23

31 32 33 31 32 33 31 31 32 32 33 33

; +

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a b a b a b

a a a b b b a b a b a b

  

     

     

           

        

     

A B A B

Soal dan Penyelesaian Soal dan Penyelesaian

Jika

Maka:

    

          

3 2 5 4 6 7

dan

1 6 4 0 8 2

A B

7 4 12

1 2 6

A B   

   

 

1 8 2

1 14 2

A B    

      

• Perkalian Matriks dengan Matriks

2 buah matriks (misal A dan B) dapat dikalikan jika :

Operasi Pada Matriks Operasi Pada Matriks

Ordo a x b . b x c = a x c

Soal dan Penyelesaian Soal dan Penyelesaian

Tentukan AB jika:

Jawab:

Apakah AB = BA???

Operasi Pada Matriks Operasi Pada Matriks

• Perkalian Skalar Pada Matriks

Jika A adalah suatu matriks dan c suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c.

11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

a a a ca ca ca

a a a c ca ca ca

a a a ca ca ca

   

   

      

   

   

A A

Soal dan Penyelesaian Soal dan Penyelesaian

Jika

Maka:

7 4 12

1 2 6

A   

      

7 4 12 14 8 24

2. 2.

1 2 6 2 4 12

A       

              

Matriks Transpose Matriks Transpose

 Contoh :

matriks A : berordo 2 x 3

transposenya : berordo 3 x 2

 

 



 

3 1 4

1 3

A

1



















3 1

1 3

4 1 At

T T

T T T

T T

T T

T

kA kA

A B

AB

A A

B A

B A













) .(

4

) .(

3

) .(

2

) .(

1

Matriks Transpose Matriks Transpose

Beberapa Sifat Matriks Transpose :

T T

T T T

T T

T T

T

kA kA

A B

AB

A A

B A

B A













) .(

4

) .(

3

) .(

2

) .(

1

Matriks Transpose Matriks Transpose

Pembuktian aturan no1 :



 















 



 







 



 



23 23 22

22 21

21

13 13 12

12 11

11 23

22 21

13 12

11 23

22 21

13 12

11

b a

b a

b a

b a b

a b

a b

b b

b b b a

a a

a a

B a A



 



 

23 22 21

13 12 11

b b b

b b B b



 



 

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

A a



















23 13

22 12

21 11

b b

b b

b b B^T





































































23 23 13

13

22 22 12

12

21 21 11

11

23 13

22 12

21 11

23 13

22 12

21 11

b a

b a

b a

b a

b a b

a

b b

b b

b b

a a

a a

a a

B A^{T T}

TERBUKTI

Matriks Transpose Matriks Transpose



 



 

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

A a



















23 13

22 12

21 11

a a

a a

a a A^T



 



 



















23 22

21

13 12

11

23 13

22 12

21 11

)

( a a a

a a

a a

a

a a

a a A

T T

T

TERBUKTI

Pembuktian aturan no 2 :

Buktikan aturan no. 3 dan no. 4 !

Matriks Simetri Matriks Simetri

Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.

Contoh :

1. 2.





































0 0 2

0 0 3

2 3 1

0 0 2

0 0 3

2 3 1

AT

A



 



 



 



 

2 1

1 2

2 1

1 2

BT

B

A

A

^T



Latihan Soal

Latihan Soal

Latihan Soal Latihan Soal

2. Diberikan matriks :

Jika mungkin, hitunglah :

a. (AB)

^T

c. A

^T

B

^T

e. (B

^T

+ A)C b. B

^T

A

^T

d. B

^T

C + A

2 1 2 3 2 5

A   

  

 

2 1 3 4 1 2 B

  

 

  

  

 

2 1 3 1 2 4 3 1 0 C

 

 

   

 

 

Determinan Matriks

Determinan Matriks

























1 2

2

0 1

1

1 2

3 B

Tentukan determinan matriks Jawab :

 

1 2

2

0 1

1

1 2

3 det







 B

) 1 )(

1 )(

2 ( ) 2 )(

0 )(

3 ( ) 2 )(

1 )(

1 ( ) 2 )(

1 )(

1 ( ) 2 )(

0 )(

2 ( ) 1 )(

1 )(

3

(           



2 0 2 2 0

3     



1

2 2

1 1

2 3





Contoh

Contoh

Misalkan

Beberapa definisi yang perlu diketahui :

• M

_ij

disebut Minor- ij yaitu determinan dari matriks baru ordo 2 x2 yang diperoleh setelah elemen-

elemen pada baris ke_i dan kolom ke-j dihilangkan Contoh :



 









 









nn n

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a A

...

: :

:

...

...

2 1

2 22

21

1 12

11

 







 









2 1 0

1 2 1

0 1 2

A

₁₃

1 2

maka 1

0 1

M  

Determinan Matriks dengan Determinan Matriks dengan

Ekspansi Kofaktor

Ekspansi Kofaktor

Kofaktor

C

ij

Matrik dinamakan kofaktor - ij yaitu (-1)

^i+j

M

ij

Contoh :

maka

= (– 1)

³

(2 – 0)

= – 2

 

^{1 2}

12

1 1

1 0 2

C

 

^

2 1 0

1 2 1

0 1 2















 A 

Adjoin Matriks Adjoin Matriks

A = Adj A =

Contoh : A =

Adj A =

Invers Matriks Invers Matriks

A = A=

Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :

- Cari determinan dari M - Transpose matriks M - Cari adjoin matriks - Gunakan rumus diatas

Invers Matriks

Invers Matriks

Invers Matriks Invers Matriks

Tentukan invers sari matriks

.

Invers Matriks Invers Matriks

4. Cari invers Matriks A dengan memasukkan rumus

Latihan Soal Latihan Soal

1. Tentukan determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dan dengan cara hitung langsung lalu bandingkan hasilnya

2 1 1

1 2 1 1 1 2 C

 

 

  

 

 

3 2 0 0 1 0 4 4 1

D

  

 

  

  

 

 







 









2 0 0

0 4 3

0 1 2

A

  





 





 



1 0

5

2 1

7

3 1 1

B

1 0 2 2 1 3 4 1 8

E

 

 

   

 

 

4 1 8 2 1 3 1 0 2 F

 

 

   

 

 

1 0 2 3 1 3 4 1 8 G

 

 

   

 

 

1 0 2 6 1 3 4 1 8 H

 

 

   

 

 

Latihan Soal Latihan Soal

2. Tentukan invers matriks dari masing-masing matriks di bawah ini

2 1 1

1 2 1 1 1 2 C

 

 

  

 

 

3 2 0 0 1 0 4 4 1

D

  

 

  

  

 

 







 









2 0 0

0 4 3

0 1 2

A

  





 





 



1 0

5

2 1

7

3 1 1

B

1 0 2 2 1 3 4 1 8

E

 

 

   

 

 

4 1 8 2 1 3 1 0 2 F

 

 

   

 

 

1 0 2 3 1 3 4 1 8 G

 

 

   

 

 

1 0 2 6 1 3 4 1 8 H

 

 

   

 

 