(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, / 66

(1)

MATRIKS

Departemen Matematika FMIPA-IPB

Bogor, 2012

(Departemen Matematika FMIPA-IPB) Matriks Bogor, 2012 1 / 66

(2)

Topik Bahasan

1 Matriks

2 Operasi Matriks

3 Determinan matriks

4 Matriks Invers

5 Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks

6 Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)

7 Solusi

(3)

Matriks

Definisi matriks

Definisi (Matriks)

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang atau persegi. Ukuran atau ordo dari suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang membentuknya.

Notasi: huruf kapital A, B, C, D, . . .

Catatan: Secara umum matriks dapat ditulis sbb.

A_{m n}= a_{ij m n}= 0 BB

@

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... a_m1 a_m2 . . . a_mn

1 CC A

a_ij= elemen matriks A yang terletak pada baris ke-i, kolom ke-j.

i=1, 2, . . . , m; j=1, 2, . . . , n.

m n = ukuran atau ordo matriks A.

(4)

Mendefinisikan matriks

Cara mendefinisikan matriks:

dituliskan seluruh elemennya didefinisikan elemennya Soal

Tentukan matriks A yang elemennya didefinisikan sebagai berikut:

1 A= a_{ij 3 3}, a_ij= ^{1, i}=j i, i6=^j

2 A= a_{ij 4 5}, a_ij= ¹+i, i<j i j, i j

SOLUSI

(5)

Matriks

Submatriks

Definisi (Submatriks)

Submatriks dari matriks A adalah suatu matriks baru yang diperoleh dari matriks A dengan menghilangkan beberapa baris atau kolomnya.

Catatan: A adalah submatriks A sendiri.

Soal

Tentukan submatriks dari matriks

A=

1 0 1 2 1 2 3 1 5

!

a. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 2 dan kolom 1.

b. yang diperoleh dengan menghilangkan baris 1, 3 dan kolom 2.

SOLUSI

(6)

Matriks khusus

1 Matriks segi: Matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

Catatan:

1 Khusus untuk matriks segi, ordo n n, biasa ditulis ordo n.

2 Jika A= (a_ij)_{n n}maka elemen a₁₁, a₂₂, . . . , anndisebut elemen diagonal utama matriks A.

2 Matriks segitiga atas: Matriks segi yang semua elemen di bawah diagonal utamanya nol.

3 Matriks segitiga bawah: Matriks segi yang semua elemen di atas diagonal utamanya nol.

4 Matriks identitas: Matriks yang semua elemen diagonal utamanya bernilai satu dan elemen lainnya bernilai nol.

Catatan: Matriks identitas berordo n dilambangkan In.

(7)

Operasi Matriks

Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar

Definisi (Penjumlahan dan pengurangan)

Misalkan A dan B adalah dua matriks yang berukuran m n dan

A= 0 BB

@

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... am1 am2 . . . amn

1 CC

A , B= 0 BB

@

b₁₁ b₁₂ . . . b_1n b₂₁ b₂₂ . . . b_2n ... ... . .. ... bm1 bm2 . . . bmn

1 CC A .

Penjumlahan/pengurangan matriks A dan B ditulis A B didefinisikan sebagai berikut:

A B= 0 BB

@

a11 b11 a12 b12 . . . a1n b1n

a₂₁ b₂₁ a₂₂ b₂₂ . . . a_2n b_2n ... ... . .. ... a_m1 b_m1 a_m2 b_m2 . . . a_mn b_mn

1 CC A .

(8)

Definisi (Perkalian skalar)

Perkalian skalar k dengan matriks A, ditulis kA, didefinisikan sebagai berikut:

kA= 0 BB

@

ka₁₁ ka₁₂ . . . ka_1n ka21 ka22 . . . ka2n

... ... . .. ... ka_m1 ka_m2 . . . kamn

1 CC A .

Catatan:

A= ( 1)A

(9)

Operasi Matriks

Hukum penjumlahan dan perkalian skalar

Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berukuran sama dan k adalah skalar, maka

1 (A+B) +C=A+ (B+C)

2 A+ ( A) =A A=O

3 A+B=B+A

4 k(A+B) =kA+kB

5 0A=O

dengan O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya nol.

(10)

Definisi (Perkalian matriks)

Misalkan A= a_{ij m p}dan B= b_{ij p n}adalah dua matriks yang berturut-turut berukuran m p dan p n. Perkalian matriks A dan B, ditulis AB, didefinisikan sebagai berikut:

dengan c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+. . .+a_ipb_pj =

∑

p k=₁

a_ikb_kj. i=1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n.

(11)

Operasi Matriks

Hukum perkalian matriks

Misalkan A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ukurannya sesuai sehingga perkalian matriks di bawah ini terdefinisi dan k adalah skalar, maka

1 Hukum asosiatif (AB)C=A(BC)

2 Hukum distributif kiri A(B+C) =AB+AC

3 Hukum distributif kanan (B+C)A=BA+CA

4 k(AB) = (kA)B=A(kB) Catatan: secara umum AB6=^BA.

(12)

Putaran (transpos) matriks

Definisi (Putaran (transpos) suatu matriks)

Misalkan A= (a_ij)adalah matriks berukuran m n. Putaran atau transpos dari matriks A, ditulis A^T, adalah matriks berukuran n m yang didefinisikan sebagai berikut:

(13)

Operasi Matriks

Sifat matriks putaran

1 (A B)^T =A^T B^T

2 (A^T)^T =A

3 (kA)^T =k A^T ,dengan k skalar

4 (AB)^T =B^TA^T

(14)

Soal operasi matriks

Soal

Diketahui matriks A, B, C, dan D sebagai berikut:

A = ¹ ^{1 2}

0 3 4 B= ⁴ ⁰ ³

1 2 3

C =

2 3

5 1

1 0

!

D= 2

1 3

!

Tentukan operasi berikut bila terdefinisi, bila tidak, berikan alasannya.

a. 2A+B b.(2A+B)C c. C^TD

d.(AC)^T e. AA^T f. 3A+BD

SOLUSI

(15)

Determinan matriks

Definisi (Determinan matriks berukuran 1 x 1) Diberikan matriks A berukuran 1 x 1, yaitu

A= (a₁₁).

Didefinisikan determinan matriks A, yaitu det(A) = jÂj =â11. Catatan: Determinan matriks A, biasa juga ditulisjÂj

(16)

Definisi (Determinan matriks berukuran n x n)

Misalkan A= (a_ij)_{n n}dan A_ijadalah submatriks A yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Minor elemen a_ij, notasi M_ij, didefinisikan sebagai

M_ij=det(A_ij),

dan kofaktor elemen a_ij, notasi α_ijdidefinisikan

α_ij = ( 1)ⁱ⁺^jM_ij. Maka

1 det(A) =

∑

n j=1

a_ijα_ij, untuk sebarang i, i=1, 2, . . . , n

2 det(A) =

∑

n i=1

a_ijα_ij, untuk sebarang j, j=1, 2, . . . , n .

(17)

Metode ini dikenal dengan nama metode minor-kofaktor.

(18)

Contoh (Determinan matriks ukuran 2 x 2)

Dengan menggunakan metode minor kofaktor, matriks A berukuran 2 x 2

A= ^{a b}_{c d} ,

maka tunjukkan det(A) =ad bc.

(19)

Contoh (Determinan matriks ukuran 3 x 3) Jika matriks A berukuran 3 x 3

A=

a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₂₁ a₂₂ a₂₃ a₃₁ a₃₂ a₃₃

! ,

maka det(A) =

(a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂) (a₁₃a₂₂a₃₁+a₁₂a₂₁a₃₃+a₁₁a₂₃a₃₂).

Metode ini dikenal dengan nama metode Sarrus.

(20)

Soal determinan matriks

Soal

Tentukan determinan matriks berikut:

1 A= ¹₃ ²₁

2 B=

3 2 1

1 3 2

0 3 1

!

3 C= 0 B@

0 0 1 1

1 0 0 1

0 1 1 1

1 1 1 1

1 CA

SOLUSI

(21)

Sifat-sifat Determinan

1 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang semua elemennya nol, maka det(A) =0.

2 Jika A merupakan matriks segitiga atas atau matriks segitiga bawah, maka determinan matriks A adalah perkalian

elemen-elemen diagonal utamanya.

3 Jika matriks A memiliki baris/kolom yang merupakan kelipatan dari baris/kolom yang lain, maka det(A) =0.

Soal

Tentukan determinan matriks-matriks berikut:

A=

3 0 0 4 2 0 5 1 0

! , B=

2 5 3 0 3 7

0 0 1

!

, dan C = 0 B@

3 2 4 8

0 3 3 6

0 2 2 4

0 5 5 10

1 CA .

SOLUSI

(22)

Matriks invers

Definisi (Matriks invers)

Misalkan A matriks segi berordo n. Matriks A dikatakan memiliki invers, jika terdapat matriks B sedemikian sehingga AB=BA=I_n. Matriks B disebut invers matriks A.

Notasi: B=A ¹(dibaca: invers matriks A) Sifat matriks invers:

1 Invers suatu matriks bersifat tunggal.

2 Jika matriks A dan B memiliki invers, maka (A ¹) ¹=A

(AB) ¹=B ¹A ¹ (A^T) ¹= (A ¹)^T

(23)

Matriks Invers

Metode matriks adjoin

Teorema (Metode matriks adjoin)

Misalkan A= (a_ij)adalah matriks segi berordo n. Jika det(A) 6=^{0 dan} matriks C= (α_ij), dengan α_ijadalah kofaktor elemen a_ij, maka invers matriks A adalah

A ¹= ¹ det(A)^C

T

C^T disebut matriks adjoin dari matriks A.

Catatan:

Jika det(A) =0, A tidak memiliki invers dan disebut singular.

(24)

Contoh

Dengan menggunakan metode matriks adjoin, dapat ditunjukkan jika matriks A berukuran 2 x 2

A= ^{a b}_{c d} , det(A)6=^{0, ad} ^bc6=⁰

maka

A ¹= ¹ ad bc

d b

c a .

(25)

Matriks Invers

Soal

Dengan menggunakan metode matriks adjoin, tentukan invers matriks-matriks berikut

A= ³ ¹

2 1 , B=

2 1 3 0 2 1 1 1 2

!

SOLUSI

(26)

Operasi baris dasar (OBD)

1 Tukarkan baris ke-i dan ke-j Notasi: E_ij

2 Kalikan baris ke-i dengan suatu konstanta k6=⁰ Notasi: E_i₍_k₎

3 Tambahkan baris ke-i dengan k kali baris ke-j, k6=^{0, i}6=^j Notasi: E_ij₍_k₎

Catatan: Serangkaian operasi baris dasar dengan urutan E₁, E₂, . . . , E_n yang dikenakan pada matriks A ditulis

E_n. . . E₂E₁(A).

(27)

Operasi Baris Dasar (OBD) dan Pangkat Matriks

Soal operasi baris dasar

Soal

Jika diketahui

A=

1 2 3 2 1 2 1 1 4

! .

Tentukan matriks B=E₂( 1)E₁₃(2)E12(A).

SOLUSI

(28)

Ekuivalen baris

Definisi

Matriks A dikatakan ekuivalen baris dengan matriks B, notasi A B, apabila terdapat serangkaian operasi baris dasar E₁, E₂, . . . , En, sehingga

B = E_n. . . E₂E₁(A). A˜Ê¹Ã₁˜Ê²˜...˜Êⁿ˜B

(29)

Soal

Tentukan serangkaian operasi baris dasar terhadap matriks A,

A=

1 2 3

2 6 10

1 2 9

!

sehingga A ekuivalen baris dengan matriks segitiga atas kemudian tentukan determinan dari matriks segitiga atas tersebut.

SOLUSI

(30)

Pangkat matriks

Definisi (Pangkat matriks)

Misalkan A matriks berordo m n. Pangkat atau rank matriks A, notasi: p(A)(dibaca: pangkat matriks A), didefinisikan sebagai ordo terbesar submatriks segi A yang determinannya tidak nol.

(31)

Soal

Tentukan pangkat matriks berikut.

1 A= ^{1 0 1 2}_{1 1 0 0}

2 B=

1 1 0

0 1 1

0 2 2

!

3 C=

5 1 0

0 2 1

0 0 1

!

SOLUSI

(32)

Menentukan pangkat matriks menggunakan OBD

Teorema (Menentukan pangkat matriks)

Pangkat matriks hasil serangkaian operasi baris dasar sama dengan pangkat matriks asal.

Catatan: Jika A B, maka p(A) =p(B). Prosedur:

1 Lakukan operasi baris dasar terhadap matriks sehingga berbentuk matriks mirip segitiga atas a_ij=0, i>j .

2 Pangkat matriks adalah banyaknya baris matriks hasil OBD yang tidak semua elemennya nol.

(33)

Soal

Dengan menggunakan operasi baris dasar, tentukan pangkat matriks berikut.

1 A=

1 1 2

3 1 0

4 2 2

!

2 B=

1 1 2 1

3 1 0 1

4 2 2 1

!

SOLUSI

(34)

Persamaan Linear

Definisi (Persamaan linear)

Suatu persamaan dalam n variabel x₁, x₂, . . . , x_ndikatakan linear bila dapat dituliskan dalam bentuk

c₁x₁+c₂x₂+. . .+c_nx_n=k

di mana c₁, c₂, . . . , c_ndan k adalah konstanta real.

Contoh:

1 2x=5 adalah persamaan linear.

2 3x+6y+2z=10 adalah persamaan linear.

3 4xy+6z=7 bukan persamaan linear.

(35)

Terapan Matriks (Sistem Persamaan Linear, SPL)

Sistem Persamaan Linear

Definisi (Sistem persamaan linear)

Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah suatu sistem persamaan yang dapat ditulis dalam bentuk

a₁₁x₁+a₁₂x₂+. . .+a_1nxn = b₁ a₂₁x₁+a₂₂x₂+. . .+a_2nxn = b₂ ... a_m1x₁+a_m2x₂+. . .+a_mnx_n = b_m.

(36)

SPL di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX=B

di mana

A= 0 BB

@

a₁₁ a₁₂ . . . a_1n a₂₁ a₂₂ . . . a_2n ... ... . .. ... a_m1 a_m2 . . . amn

1 CC

A X=

0 BB

@ x₁ x₂ ... x_n

1 CC

A B=

0 BB

@ b₁ b₂ ... b_n

1 CC A

Catatan:

1 A disebut matriks koefisien

2 (Aj^B)disebut matriks yang diperbesar atau matriks gandeng

3 Jika B=O, SPL disebut SPL homogen

4 Jika B6=O, SPL disebut SPL takhomogen

(37)

Soal

1 Periksa apakah persamaan di bawah ini linear atau tidak.

1 2x1+x2 x3=0

2 x1+x2x3+x4=0

3 sin x1+_x₂+_3x₃=₂

4 x1+_x₂ _2x₃=_x₄+₁

2 Tuliskan SPL berikut ke dalam bentuk perkalian matriks AX=B dan matriks yang diperbesar Aj^B.

2x 3y+2z = 0 2x y z = 1 3x 2y+z = 1

SOLUSI

(38)

Soal

Tuliskan SPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar berikut.

0 B@

1 1 2

5 4 9

2 0 3

0 1 4

1 2 1 7

1 CA

SOLUSI

(39)

Penyelesaian SPL

Definisi (Penyelesaian SPL)

Penyelesaian atau solusi SPL AX=B yang terdiri dari m persamaan dan n variabel adalah pasangan n bilangan(s₁, s2, . . . , sn)yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut. (s₁, s₂, . . . , sn) berkorespondensi secara berurutan dengan(x₁, x₂, . . . , x_n). Penyelesaian SPL:

tidak ada tunggal

banyaknya takhingga

(40)

Ilustrasi: Kemungkinan solusi SPL berikut l₁ : a₁x+b₁y=c₁ l₂ : a₂x+b₂y=c₂

ada tiga, yaitu:

Tidak ada Penyelesaian tunggal Banyak penyelesaian

(41)

Kekonsistenan SPL

Definisi (Kekonsistenan SPL)

Suatu SPL dikatakan konsisten bila sekurang-kurangnya memiliki satu penyelesaian dan dikatakan takkonsisten bila tidak memiliki penyelesaian.

Teorema (Kekonsistenan SPL)

Sistem persamaan linear AX=B, dengan A matriks berordo m n, konsisten jika dan hanya jika p(A) =p(Aj^B). Jika SPL konsisten dan

1 p(A) =n, maka SPL tersebut memiliki penyelesaian tunggal.

2 p(A) <n, maka SPL tersebut memiliki banyak penyelesaian.

(42)

Soal

1 Tentukan kekonsistenan SPL berikut.

2x+y 2z+3w=1 3x+2y z+2w=4 3x+2y+3z 3w=5

2 Tentukan α agar SPL berikut: a. konsisten b. takkonsisten x 3y+2z = 4

2x+y z = 1 3x 2y+z = α

SOLUSI

(43)

Masalah: Menentukan penyelesaian SPLAX=BdenganAberordo m n.

Konsep dasar:

1 Jika(Aj^B) (Cj^D), maka penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar(Aj^B)dan penyelesaian SPL dengan matriks yang diperbesar(Cj^D)adalah sama.

2 Jika C berbentuk matriks segitiga atas atau mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks(Cj^D)seperti pada gambar:

(1) (2)

C matriks segitiga atas C mirip matriks segitiga atas maka SPL AX=B konsisten.

3 Jika C berbentuk mirip matriks segitiga atas, sehingga matriks (Cj^D)seperti pada gambar:

(3)

maka SPL AX=B takkonsisten.

Catatan: Bagian yang tidak diarsir semua elemennya nol.

(44)

Prosedur Penyelesaian SPL

Prosedur:

1 Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar(Aj^B).

2 Lakukan serangkaian operasi baris dasar sehingga

(Aj^B) (Cj^D), dengan(Cj^D)merupakan matriks seperti pada gambar (1),(2), atau (3).

3 Jika(Cj^D)merupakan matriks seperti pada (3), maka SPL takkonsisten.

4 Jika(Cj^D)merupakan matriks seperti pada (1) atau (2), lakukan substitusi mundur pada SPL CX=D.

5 Penyelesaian pada langkah 4 merupakan penyelesaian SPL AX=B.

(45)

Soal

Tentukan penyelesaian SPL berikut.

1 x₁+2x₂+x₃=5 2x₁+2x₂+x₃=6 x₁+2x2+3x3=9

2 x₁+x₂+2x₃=15 x₁+x₃=10 2x₁+x₂+3x₃=25

SOLUSI

(46)

Penerapan SPL

(47)

Soal

Seorang petani yang sukses memiliki 3 buah kebun, yaitu kebun A, B dan C, yang masing-masing ditanami pohon kelapa. Untuk memanen 1 hektar kebun A diperlukan 8 orang kuli, 2 orang mandor dan 1 mobil pengangkut. Untuk memanen 1 hektar kebun B diperlukan 5 orang kuli, 3 orang mandor dan 2 mobil pengangkut. Sedangkan untuk memanen 1 hektar kebun C diperlukan 10 orang kuli dan 3 mobil pengangkut. Jika petani tersebut memiliki 74 orang kuli, 18 orang mandor dan 20 buah mobil pengangkut, tentukan luas

masing-masing kebun (dalam hektar) agar aset yang dimiliki petani tersebut termanfaatkan seluruhnya.

SOLUSI

(48)

Soal

Sebuah perusahaan distributor barang akan mendistribusikan barang dari 2 gudang yang terletak di kota A yang memuat 40 satuan barang, sedangkan gudang yang kedua terletak di kota B yang memuat 30 satuan barang.

Barang-barang tersebut akan didistribusikan ke kota C dan D yang masing-masing membutuhkan 20 dan 50 satuan barang. Ongkos

pengangkutan dari kota A ke kota C sebesar Rp 2.000,00; dari kota A ke kota D sebesar Rp 1.000,00; dari kota B ke kota C sebesar Rp 3.000,00 dan dari kota B ke kota D sebesar Rp 1.000,00. Biaya minimum pengangkutan barang-barang tersebut sebesar Rp 90.000,00. Tentukan banyaknya barang yang diangkut dari kedua gudang ke kota C dan D agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi.

SOLUSI

(49)

Tentang Slide

Penyusun: Dosen Dep. Matematika FMIPA IPB Versi: 2012 (sejak 2009)

Media Presentasi: L^ATEX - BEAMER (PDFL^ATEX)

(50)

SolusiMatriks A dengan elemen yang didefinisikan tersebut:

1 A=

1 1 1 2 1 2 3 3 1

!

2 A= 0 B@

0 2 2 2 2 1 0 3 3 3 2 1 0 4 4 3 2 1 0 5

1 CA

Soal

(51)

Solusi

SolusiSubmatriks dari matriks A adalah:

a. A_a= ^{0 1}_{1 5} b. A_b= ( 2 2 )

Soal

(52)

SolusiOperasi matriks

a. 6 2 1

1 4 11

b. 1 20

7 7

c. 4

7

d. 6 5

5 25

e. 5 11

4 3

f. Tidak terdefinisi karena ukuran A adalah 2 x 3 sedangkan ukuran BD adalah 2 x 1.

Soal

(53)

Solusi

j^Cj = ⁰ ⁰+1

1 0 1

0 1 1

1 1 1 1

1 0 0

0 1 1

1 1 1

= ((1+0+0) (1+1+0)) (( 1+0+0) (0+1+0))

= 1+2=1

, determinant

1 ^Soal

(54)

Solusij^Aj =⁰ j^Bj = ⁶ j^Cj =⁰

Soal

(55)

Solusi

A ¹= ¹₂ ¹₃ B ¹=

3 1 5

1 1 2

2 1 4

!

Soal

(56)

Solusi

B=

4 3 10

1 2 3

1 1 4

!

Soal

(57)

Solusi

Solusi A=

1 2 3

2 6 10

1 2 9

! 1 2 3

0 2 4

0 4 12

! 1 2 3

0 2 4

0 0 4

!

=B

dan determinan matriks B adalah 8.

Soal

(58)

Solusi

1 Pangkat = 2

2 Pangkat = 2

3 Pangkat = 3

Soal

(59)

Solusi

SolusiPenentuan pangkat matriks dengan operasi baris dasar.

1 A=

1 1 2

3 1 0

4 2 2

! 1 1 2

0 2 6

0 0 0

!

. Pangkat = 2

2 B=

1 1 2 1

3 1 0 1

4 2 2 1

! 1 1 2 1

0 2 6 2

0 0 0 1

!

. Pangkat = 3

Soal

(60)

Solusi

1 Persamaan sebelumnya adalah:

1 Linear.

2 Tidak linear, karena terdapat perkalian x2x3.

3 Tidak linear, karena terdapat fungsi trigonometri.

4 Linear.

2 SPL dalam bentuk perkalian matriks yang diperbesar:

2 3 2

2 1 1

3 2 1

0 1 1

!

Soal

(61)

Solusi

SolusiSPL yang menghasilkan matriks yang diperbesar tersebut adalah:

x+y+2z = 1 5x+4y+9z = 2

2x 3z = 1

y 4z = 7

Soal

(62)

Solusi

1

0

@ 2 1 2 3

0 ¹₂ 2 ⁵₂

0 0 4 5

1

5

12

1

A. Konsisten dan memiliki banyak penyelesaian.

2 Penentuan nilai α

1 3 2

0 7 5

0 0 0

4 7 α 5

!

Agar SPL tersebut konsisten, haruslah α=5. Jika α6=^{5, maka} SPL tersebut tak konsisten.

Soal

(63)

Solusi

1 Penyelesaian SPL

1 2 1

0 2 1

0 0 2

5 4 4

!

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan penyelesaian tunggal dengan nilai x₃=2, x₂ =1, x₁=1.

2 Penyelesaian SPL

1 1 2

0 1 1

0 0 0

15 5 0

!

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan banyak penyelesaian. Misal x₃=s, maka x₂ =5 s dan x₁ =10 s

Soal

(64)

SolusiMisal x, y, z adalah luas kebun A, B dan C. Setiap baris merepresentasikan kuli, mandor dan mobil pengangkut.

x y z Ketersediaan

Kuli 8 5 10 74

Mandor 2 3 - 18

Mobil 1 2 3 20

8x+5y+10z=74 2x+3y=18 x+2y+3z=20 x, y, z 0

Diubah ke dalam bentuk matriks yang diperbesar adalah:

8 5 10 2 3 0 1 2 3

74 18 20

! E₁₃

˜

1 2 3 2 3 0 8 5 10

20 18 74

!

E₂₁( 2)E₃₁( 8)

˜

1 2 3

0 1 6

0 11 14

20 22 86

!

E₃₂( 11)

˜

1 2 3

0 1 6

0 0 52

20 22 156

!

(65)

Solusi

Dari hasil penyederhanaan tersebut, didapatkan 52z = 156=)^z=3

y 6z = 22 =) ^y ¹⁸= 22=)^y=4 x+2y+3z = 20=)^x+8+9=20=)^x=3

solusi z=3, y=4, x=3.

SolusiJadi, agar aset petani tersebut dapat termanfaatkan seluruhnya, luas kebun A adalah 3 hektar, luas kebun B adalah 4 hektar, dan luas kebun C adalah 3 hektar. ^Soal

(66)

SolusiMisal diberikan variabel sebagai berikut:

w adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke C.

x adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang A ke D.

y adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke C.

z adalah banyaknya barang yang diangkut dari gudang B ke D.

0 BB B@

1 1 0 0

1 0 1 0

0 0 1 1

0 1 0 1

2000 1000 3000 1000

40 20 30 50 90000

1 CC CA

(67)

Solusi

Dari hasil penyederhanaan tersebut, banyaknya distribusi barang agar biaya pengangkutan minimum terpenuhi adalah sebagai berikut:

Solusi

Banyaknya barang dari gudang A ke C adalah 20 barang.

Banyaknya barang dari gudang A ke D adalah 20 barang.

Tidak ada barang dari gudang B ke C.

Banyaknya barang dari gudang B ke D adalah 30 barang.

Soal