Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi Linier

METODE KUADRAT TERKECIL UNTUK REGRESI LINIER

Cara ini berpangkal pada kenyataan bahwa jumlah pangkat dua ( kuaddrat ) dari pada jarak antara titi- titik dengan garis regrasi yang sedang di cari harus sekecil mungkin . Dari pada menjelaskan panjang lebar tentang istilah ini,lebih baik kita gunakan saja hasil rumus-rumus yang di turunkan dari metoda tersebut

Untuk fenomena yang terdiri dari sebuah variable bebas X dan sebuah variable tak bebas Y dimana model regrasi linier untuk populasi seperti dalam rumus XV (2) telah dapa di dua maka , kita perlu menaksir parameter-parameter sehingga di dapat persamaan seperti dalam rumusXV (3) . Jadi untuk model regresi linier populasi

µy.x = ᶿ1 + ᶿ2 X

Akan di taksirn harga-harga ᶿ1 dan ᶿ2 oleh a dan b sehingga di dapat persamaan regresi menggunakan data sampel :

Y = a + b X

Untuk keperluan ini , sebaiknya data hasil pengamat di catat dalam bentuk seper)ti di bawah ini Variabel

Tak bebas (Y)

Variabel Bebas

(X) Y1

Y2

. . Yn

X1

X2

. . Xn

Di sini dapat di dapat pasangan antara X dan Y dan n , seperti biasa , menyatakan ukuran sampel.

Koefosien-koefisien regresi a dan b untuk regrasi linier Ternyata dapat di hitung dengan rumus :

a =

(

∑

^Yi)(

∑

^{X 2}_I⁾⁻⁽

∑

^Xi)(

∑

^{Xi Yi)}

n

∑

^{X 2}_i⁻⁽

∑

^Xi)2

b =

n ∑ ^{Xi Yi −(} ∑ ^{Xi )(} ∑ ^{Yi )}

n ∑ ^{X 2} _i ^{– (} ∑ ^{Xi )}

²

Jika terlebih dahulu di hitung koefisien b , maka koefisien a dapat pula di tentukan oleh rumus : a =

Ȳ −b X

Dengan X= dan Y= masing – masing rata-rata untuk variabel – variabel X dan Y .

Rumus – rumus di atas di pakai untuk menenukan koefisien-koefisiaen regresi Y atas X untuk koefisien – koefisien regresi Y atas X . Untuk koefisien –koefisien regresi X atas Y , rumus yang sama di gunakan tapi Jadi untuk regresi X atas Y yang di taksir oleh

X= = c + d Y

Dengan menggunakan datahasil penelitian , maka koefisien-koefisiennya di hitung dari rumus

a =

( ∑ ^{Xi )(} ∑ ^{Y 2} _I ⁾⁻⁽ ∑ ^Yi)( ∑ ^{Xi Yi )}

n ∑ ^{Y 2} _i ⁻⁽ ∑ ^{Yi )}

²

b =

n ∑ ^{Xi Yi−(} ∑ ^{Xi )(} ∑ ^{Yi )}

n ∑ ^{X 2} _i ^{– (} ∑ ^{Xi )}

²

Contoh :

Data berikut melukiskan hasil pengamatan mengenai banyak orang yang datang ( x ) dan banyak orang berbelanja ( Y ) di sebuah toko selama 30 hari .

DAFAR XV

BANYAK PENGUNJUNG DAN YANG BERBELANJA DI SEBUAH TOKO SELAMA 30 HARI

Pengunjung

(Xi) Berbelanja

(Yi) Pengunjung

(Xi) Berbelanja

(Yi) 34

38 34 40 30 40 40 34 35 39 33 32 42 40 42

32 36 31 38 29 35 33 30 32 36 31 31 36 37 35

42 41 32 34 36 37 36 37 39 40 33 34 36 37 38

38 37 30 30 30 33 32 34 35 36 32 32 34 32 34

Akan di tentukan persamaan regresi Y atas X yang di perkirakan paling cocok dengan keadaan data yang di peroleh . Untuk ini diagram pancaran perlu di perbuat dan dapat di lihat bahwa letak titik-titik ada pada sekitar garis lurus .

DAFTAR XV

NILAI-NILAI YANG PERLU

UNTUK MENGHITUNG KOEFISIEN REGRESI LINIER

Xi Yi XiYi Xi2 Xi Yi XiYi Xi2

34 38 34 40 30 40 40 34 35 39 33 32 42 40 42

32 36 31 38 29 35 33 30 32 36 31 31 36 37 35

1088 1368 1054 1520 870 1400 1320 1020 1120 1404 1023 992 1512 1480 1470

1156 1444 1156 1600 900 1600 1600 1156 1225 1521 1089 1024 1764 1600 1764

42 41 32 34 36 37 36 37 39 40 33 34 36 37 38

38 37 30 30 30 33 32 34 35 36 32 32 34 32 34

1596 1517 960 1020 1080 1221 1152 1258 1365 1440 1056 1088 1224 1184 1292

1764 1681 1024 1156 1296 1369 1296 1369 1521 1600 1089 1156 1296 1369 1444

seteLah di jumlahkan di dapat :

∑ ^{Xi =¿¿}

^{1.105 ;}

∑ ^Yi

^{=1.001 ;}

∑ ^{X 2} _i ^{= 41.029}

Ari rumus kita peroleh harga-harga

A =

( 1.001 ) ( 41.029 ) – ( 1.105 )( 37.094 ) 30 ( 41.029) – ( 1.105 )

^{2 = 8,24}

B =

30 ( 37.094 ) – ( 1.105 )( 1.001 )

30 ( 41.029 ) – ( 1.105)

^{2 = 0,68}

Dengan demikian , persamaan regresi linier Y atas X untuk soal di atas adalah : Y= = 8,24 + 0,68

Variabel tak bebas Y dalam regresi telah di nyatakan oleh symbol Y ( baca : ye topi ) untuk menyatakan bahwa kita berhadapan dengan Y yang di dapat dari regresi dan untuk membedakan dengan Y yang di dapat dari regresi dan untuk membedakan nya dengan Y dari hasil pengamatan .

regresi linier dan menyatakan perubahan rata-rata variabel Y un tuk setiap perubahan variabel Y untuk setiap perubahan variabel X sebesar satu unit .. Perubahan ini merupakan pertambahan apabila

bbertanda positif dan penurunan atau pengurangan jika bertanda negatif. Demikianlah misalnya , untuk contoh kita b = 0,68 bertanda positif ; sehingga kita dapat mengatakan bahwa untuk setiap

X ( = pengunjung ) bertambah dengan seorang ,maka ata-rata pembeli (Y) bertambah dengan 0,68 orang.

Regresi yang di dapat ,selanjutnya di gunakan untuk keperluan ramalan apabila harga variabel bebas di ketahui . Jika X = 30 Misalnya , dengan jalan memasukan harga tersebut kedalam persamaan di atas di dapat

Y= = 8,24 + 0,68 (30) = 28,6

Di perkirakan rata-rata ada 28,6 orang pembeli untuk setiap 30 orang pengunjung yang masuk ke toko itu . Harga-harga ramalan lainnya dapat dihitung dengan jalan yang sama untuk setiap harga X yang di berikan . Jika hara-harga X yang di masukan ke dalam persamaan regresi terletak di dalam daer ruang gerak X hasil pengamatan . dalam contoh kita mulai dari 30 sampai dengan 42 proses itu di namakan Interpolasi

Memasukan harga – harga X di luar batas daerah ruang gerak pengamatan merupakan ekstrpolasi . Khusus mengenai ekstrapolasi ini,jika harus di lakukan , hendaknya di lakukan dengan hati-hati dan penuh pertimbangan . Resiko selalu timbul terkecuali kita tahu dengan cukup alas an bahwa regrasi yang sama berlaku untuk X di luar daerah ruang gerak pengamatan .

Sebuah contoh lagii adalah mengenai hubungan antara tinggi badan dan berat badan mahasiswa yang datanya mdi berikan di bawah ini.

DAFTAR XV

TINGGI DAN BERAT BADAN Tinggi

(cm)

Berat (kg)

Tinggi (cm)

Berat (kg)

162 48,0 161 58,3

168 170 167 159 160 170 163 164 158 164 158 156

46,3 58,1 53,2 46,8 47,0 63,2 52,7 59,2 47,1 58,4 46,5 46,0

163 160 168 169 156 162 159 164 167 158 163 160

50,7 50,6 60,3 47,0 46,9 49,7 46,9 56,1 58,0 47,0 56,0 49,8

Untuk mene ntukan regresi linier antara tinggi (X) dan berat (Y) dalam hal ini adalah masuk akal jika kedua buah reegresi di tentukan , ialah regresi Y atas X dan regresi antara x atas Y . Dalam hal pertama kita dapat meramalkan Y kalau X di ketahui sedangkan dalam hal kedua dapat meramalkan X apabila Y di ketahui .Haarga-harga yang di perlukan untuk ini adalah :

∑ ^{Xi= 4.209 ,} ∑ ^{Yi=1.349 , 8 ,} ∑ ^{XiYi=¿ 218.682, 4}

^¿

∑ ^Xi

²

^=¿

^{681.777 ,}

∑ ^{Y 2} _i

= 70.816,551 dan n = 26 Dari rumus Xv kita dapat menghitung koefisien b untuk regresi Y atas X, yakni

B =

26 ( 218 .682 , 4 ) – ( 4.209 )( 1.349 ,8 ) 26 ( 681.777 ) – ( 4.209)

^{2 = 0,42} Dengan rumus XIV (7) di dapat koefisien :

A=

1.349 ,8

26 −( 0 , 49 ) 4.209

26 =16 ,08

Regresi Y atas X , persamaannya adalah

Y= = -16,08 +0,42 X

Untuk menentukan regresi linier X atas Y .Dengan persamaan X= = c + dY, maka koefisien-koefisien c dan d masing-masing di dapat dari rumus XV (8) maka di peroleh :

C =

( 4.209) (70.816 , 51) – ( 1.349 ,8 )(218.682 , 4 )

26 ( 70 .816 ,51 ) – ( 1.349 ,8 )

^{2 = 147,63}

D =

26 ( 218.682 , 4 )−( 4.209)( 1.349 ,8 ) 26 ( 70 .816 ,51 ) – ( 1.349 ,8 )

^{2 = 0,23}

Regresi linier X atas Y mempunyai persamaan persamaan

X= = 147,63 + 0,23 Y

Berbagai varians sehubungan dengan regresi linier sederhana.