PARABOLOIDA ELIPTIK kkerucut eliptik dan hiperboloida

PARABOLOIDA ELIPTIK

Paraboloida eliptik adalah suatu permukaan yang dapat diletakkan sedemikian rupa sehingga irisannya yang sejajar bidang koordinat berbentuk elips dan irisannya yang sejajar bidang koordinat lainnya berbentuk parabola.

Berikut ini akan dijelaskan persamaan paraboloida eliptik dengan titik puncak di O (0,0,0) dengan sumbu x, y, dan z sebagai sumbunya.

1. Perhatikan gambar di atas, paraboloida eliptik tersebut yaitu:

Elips yang digerakkan terletak pada bidang YOZ dengan persamaan 𝑥 = 0

𝑦² 𝑧² 𝑎² + 𝑏² = 1

Dan garis arah dari elips yang bergerak adalah parabola pada bidang XOZ dengan persamaan

𝑦 = 0 𝑧² = 2𝑝𝑥 Aturan untuk menggerakkan elips adalah:

a. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang YOZ b. Titik pusat elips selalu terletak pada sumbu x

c. Dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d. Elips yang digerakkan selau tetap sebangun dengan elips semula Misalkan elips digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑥 = 𝜆 dan setengah sumbu-sumbunya adalah 𝑦0 yang sejajar sumbu y dan 𝑧0 yang sejajar sumbu z.

Sesuai aturan a, b, dan c, maka titik (𝜆, 0, 𝑧⁰) memenuhi 𝑦 = 0

𝑧⁰² = 2𝑝𝜆

2

2

0 2 0

Sesuai aturan a, b, dan d, maka ^𝑦0 = ^𝑎 sehingga

𝑦₀²

= ^𝑎2 atau

𝑦 ² = ^𝑎2 𝑧

2

𝑧0 𝑏

𝑧₀₂ 𝑏 2

0 𝑏² 0

➀ 𝑦 ² = 2^𝑎 2𝑝𝜆 (Substitusi

𝑧 ² = 2𝑝𝜆)

0 𝑏² 0

Jadi, persamaan elips yang terbentuk pada bidang 𝑥 = 𝜆 tersebut adalah 𝑥 = 𝜆_𝑦2

+ ^𝑧2 = 1

𝑦₀₂ 𝑧₀₂

Atau 𝑥 =𝜆

𝑦² 𝑎22𝑝 𝑏ℎ

+

𝑧² 2𝑝ℎ

= 1 (Substitusi 𝑦 ² = ^𝑎 2𝑝𝜆 dan

𝑧 𝑏

2 = 2𝑝𝜆)

Dengan mengeliminasi 𝜆 pada persamaan diperoleh

Persamaan Keterangan

𝑦²

+ ^𝑧2 = 1

𝑎22𝑝ℎ 2𝑝ℎ

𝑏2 Tulis persamaan

2 2

2𝑝𝜆 ( _𝑎2 ^𝑦 + ^𝑧 ) = 2𝑝𝜆(1)

2𝑝ℎ 2𝑝ℎ 𝑏2

Kedua ruas dikali 2𝑝𝜆

2 2

2𝑝𝜆 ( _𝑎2^𝑦) + 2𝑝𝜆 ( ^𝑧 ) = 2𝑝𝜆

2𝑝ℎ 2𝑝ℎ

𝑏2

Sifat Distributif (2𝑝𝜆 . ¹ ) 2^𝑦 + (2𝑝𝜆 . ¹ ) 𝑧²

= 2𝑝𝜆

2𝑝ℎ ^𝑎2 2𝑝ℎ 𝑏2

Sifat Asosiatif

𝑦²

+ 𝑧² = 2𝑝𝜆

𝑎2𝑏2 Invers Perkalian

𝑦². ^𝑏 2 + 𝑧² = 2𝑝𝜆

𝑎² Mengubah pembagian menjadi perkalian

1 (𝑦². ^𝑏2 + 𝑧²) = ¹ (2𝑝𝜆)

𝑏² 𝑎² 𝑏²

Kedua ruas dikali 1 𝑏² 1 (𝑦². ^𝑏2) + ¹ (𝑧²) = ^2𝑝 𝜆

𝑏² 𝑎² 𝑏² 𝑏² Sifat Distributif

𝑦²

+ ^𝑧2 = ^2𝑝 𝑥

𝑎² 𝑏² 𝑏² Invers perkalian dan substitusi 𝜆 = Sehingga diperoleh persamaan paraboloida eliptik dengan titik puncak di𝑥 O (0,0,0) dengan sumbu x sebagai sumbunya yaitu:

2

2. Perhatikan gambar di samping, paraboloida eliptik tersebut yaitu:

Elips yang digerakkan terletak pada bidang XOZ dengan persamaan

𝑦 = 0 𝑥² 𝑧² 𝑎² + 𝑏² = 1

Dan garis arah dari elips yang bergerak adalah parabola pada bidang YOZ dengan persamaan

𝑥 = 0 𝑧² = 2𝑝𝑦 Aturan untuk menggerakkan elips adalah:

a. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOZ b. Titik pusat elips selalu terletak pada sumbu y

c. Dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d. Elips yang digerakkan selau tetap sebangun dengan elips semula Misalkan elips digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑦 = 𝜆 dan setengah sumbu-sumbunya adalah 𝑥⁰ yang sejajar sumbu x dan 𝑧⁰ yang sejajar sumbu z.

Sesuai aturan a, b, dan c, maka titik (0, 𝜆, 𝑧⁰) memenuhi 𝑥 = 0

𝑧⁰² = 2𝑝𝜆 Sesuai aturan a, b, dan d, maka ^𝑥0 = ^𝑎 sehingga

𝑥₀²

= ^𝑎2 atau

𝑥 ² = ^𝑎2 𝑧

2

𝑧0 𝑏

𝑧₀₂ 𝑏 2

0 𝑏² 0

➀ 𝑥 ² = 2^𝑎 2𝑝𝜆(Substitusi

𝑧 ² = 2𝑝𝜆)

0 𝑏² 0

Jadi, persamaan elips yang terbentuk pada bidang 𝑦 = 𝜆 tersebut adalah 𝑦 = 𝜆

𝑥²

𝑥₀₂+ ^𝑧2 = 1

𝑧₀₂

Atau 𝑦 =

𝑏

2

0 2 0

+ 2𝑝ℎ^𝑧2

�= 1

�

2 = 2𝑝𝜆)

𝑥²

𝑎² + 𝑏𝑧²² = 𝑏2𝑝² 𝑦 Dengan mengeliminasi 𝜆 pada persamaan diperoleh

Persamaan Keterangan

𝑥²

+ ^𝑧2 = 1

𝑎22𝑝ℎ 2𝑝ℎ

𝑏2 Tulis persamaan

2 2

2𝑝𝜆 ( _𝑎2 ^𝑥+ ^𝑧 ) = 2𝑝𝜆(1)

2𝑝ℎ 2𝑝ℎ 𝑏2

Kedua ruas dikali 2𝑝𝜆

2 2

2𝑝𝜆 ( _𝑎2^𝑥) + 2𝑝𝜆 ( ^𝑧 ) = 2𝑝𝜆

2𝑝ℎ 2𝑝ℎ

𝑏2

Sifat Distributif (2𝑝𝜆 . ¹ ) 2^𝑥 + (2𝑝𝜆 . ¹ ) 𝑧²

= 2𝑝𝜆_{2𝑝ℎ 𝑎2 2𝑝ℎ}

𝑏2

Sifat Asosiatif

𝑥²

+ 𝑧² = 2𝑝𝜆

𝑎2𝑏2 Invers Perkalian

𝑥². ^𝑏 2 + 𝑧² = 2𝑝𝜆

𝑎² Mengubah pembagian menjadi perkalian

1 (𝑥². ^𝑏2 + 𝑧²) = ¹ (2𝑝𝜆)

𝑏² 𝑎² 𝑏²

Kedua ruas dikali 1 𝑏² 1 (𝑥². ^𝑏2) + ¹ (𝑧²) = ^2𝑝 𝜆

𝑏² 𝑎² 𝑏² 𝑏² Sifat Distributif

𝑥²

+ ^𝑧2 = ^2𝑝 𝑦

𝑎² 𝑏² 𝑏² Invers perkalian dan substitusi 𝜆 = Sehingga diperoleh persamaan paraboloida eliptik dengan titik puncak di𝑦 O (0,0,0) dengan sumbu y sebagai sumbunya yaitu:

2

3. Perhatikan gambar di samping, paraboloida eliptik tersebut yaitu:

Elips yang digerakkan terletak pada bidang XOY dengan persamaan

𝑧 = 0 𝑥² 𝑦² 𝑎² + 𝑏² = 1

Dan garis arah dari elips yang bergerak adalah parabola pada bidang YOZ dengan persamaan

𝑥 = 0 𝑦² = 2𝑝𝑧 Aturan untuk menggerakkan elips adalah:

a. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY b. Titik pusat elips selalu terletak pada sumbu z

c. Dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah, dan

d. Elips yang digerakkan selau tetap sebangun dengan elips semula Misalkan elips digerakkan sehingga terletak pada bidang 𝑧 = 𝜆 dan setengah sumbu-sumbunya adalah 𝑥⁰ yang sejajar sumbu x dan 𝑦⁰ yang sejajar sumbu y.

Sesuai aturan a, b, dan c, maka titik (0, 𝑦⁰, 𝜆) memenuhi 𝑥 = 0

𝑦⁰² = 2𝑝𝜆 Sesuai aturan a, b, dan d, maka ^𝑥0 = ^𝑎 sehingga

𝑥₀²

= ^𝑎2 atau

𝑥 ² = ^𝑎2 𝑦

2

𝑦0 𝑏

𝑦₀₂ 𝑏 2

0 𝑏² 0

➀ 𝑥 ² = 2^𝑎 2𝑝𝜆(Substitusi

𝑦 ² = 2𝑝𝜆)

0 𝑏² 0

Jadi, persamaan elips yang terbentuk pada bidang 𝑧 = 𝜆 tersebut adalah 𝑧 = 𝜆

𝑥²

𝑥₀₂+ ^𝑦2 = 1

𝑦₀₂

Atau ^𝑏

2

0 2 0

+ 2𝑝ℎ^𝑦2

�= 1

�

2 = 2𝑝𝜆)

𝑥²

𝑎² + 𝑏𝑦²² = 𝑏2𝑝² 𝑧 Dengan mengeliminasi 𝜆 pada persamaan diperoleh

Persamaan Keterangan

𝑥²

+ ^𝑦2 = 1

𝑎22𝑝ℎ 2𝑝ℎ

𝑏2 Tulis persamaan

2 2

2𝑝𝜆 ( _𝑎2 ^𝑥+ ^𝑦 ) = 2𝑝𝜆(1)

2𝑝ℎ 2𝑝ℎ 𝑏2

Kedua ruas dikali 2𝑝𝜆

2 2

2𝑝𝜆 ( _𝑎2^𝑥) + 2𝑝𝜆 ( ^𝑦 ) = 2𝑝𝜆

2𝑝ℎ 2𝑝ℎ

𝑏2

Sifat Distributif (2𝑝𝜆 . ¹ ) 2^𝑥 + (2𝑝𝜆 . ¹ ) 𝑦²

= 2𝑝𝜆_{2𝑝ℎ 𝑎2 2𝑝ℎ}

𝑏2

Sifat Asosiatif

𝑥²

+ 𝑦² = 2𝑝𝜆

𝑎2𝑏2 Invers Perkalian

𝑥². ^𝑏 2 + 𝑦² = 2𝑝𝜆

𝑎² Mengubah pembagian menjadi perkalian

1 (𝑥². ^𝑏2 + 𝑦²) = ¹ (2𝑝𝜆)

𝑏² 𝑎² 𝑏²

Kedua ruas dikali 1 𝑏² 1 (𝑥². ^𝑏2) + ¹ (𝑦²) = ^2𝑝 𝜆

𝑏² 𝑎² 𝑏² 𝑏² Sifat Distributif

𝑥²

+ ^𝑦2 = ^2𝑝 𝑧

𝑎² 𝑏² 𝑏² Invers perkalian dan substitusi 𝜆 = Sehingga diperoleh persamaan paraboloida eliptik dengan titik puncak di𝑧 O (0,0,0) dengan sumbu z sebagai sumbunya yaitu:

Referensi:

https://id.scribd.com/document/410776536/Makalah-Paraboloida-Elliptis-Dan- Paraboloida-Hiperbolik

Grafik digambar dengan aplikasi GeoGebra 3D Graphing Calculator